勾股定理课件1)

比 一
比 a=6
看 看 谁
c=10
b
a=5
a
b=15
c b=12
c=25
算
得
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
！
勾 股 定 理 课 件-1)（ PPT优 秀课件 ）
勾 股 定 理 课 件-1)（ PPT优 秀课件 ）
思考
(1)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三 角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边 长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和。
a2+b2=c2
对于等腰直角三角形有这 样的性质： 两直角边的平方和等于斜边的平方
思 那么对于一般的直角三角形 考 是否也有这样的性质呢？
做一做
2．观察右边两个图 并填写下表：
图1-2 图1-3
A的面积
16 4
B的面积
9 9
C的面积
C的面积怎么 求呢？
C A
B
图1-2
C A
B
图1-3
探究二：
C
茄菲尔德的证法
S S S S ＋ ＋ ＝ 三角形1
三角形2
三角形3
梯形
1 2
ab＋
1 2
ab＋
1 2
c2＝
1 2
(a＋b)(a＋b)
化简得: c2=a2+ b2
a cc b
c c
a
b
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1
1
欣赏美丽的勾股树
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积)
积)
积)
图2
4
9
13
图3
9 25
34
A、B、C 面积关
系
直角三 角形三 边关系
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
两条直角边上的正方形面
A
积之和等于斜边上的正方
a
形的面积．
Bb c
C
Sa+Sb=Sc
a2+b2=c2
命题1：
如果直角三角形的两直角边
a
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练习： 1、求下列图中字母所表示的正方形的面积
A =625
225
400
81
B=144
225
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学以致y用=，0 做一做
范例.求出下列直角三角形中未知边的长
弦 勾
股
图1-1
读一读
勾股世界
1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥 板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三 边的数，其年代远在商高之前。
相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了 勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 定理。
毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊 数学家，他是公元前五世纪的人，比商 高晚出生五百多年。
c2 =b2-2ab+a2 + 2ab
a
c
化简得：∴a2+b2=c2
勾股定理：
如果直角三角形的两直角边长分别为
ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么ａ2+b2=c2。
A
如图，在Rt△ABC中，
股b 弦c ∠C= 90°，则
C 勾a B
ａ2+b2=c2
定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。
读一读
“赵爽弦图’表现了我国古代人队数学的钻 研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲 ，因此，这个图案被选为2002年在北京召开的 国际数学家大会的会徽。
⒈ 勾股定理是几何中最重要的定理之 一，它揭示了直角三角形三边之间的 数量关系. ⒉勾股定理： 直角三角形两直角边a、b 平方和， 等于斜边c平方。
a2+b2 =c2
⒊勾股定理的主要作用是 在直角三角形 中,已知任意两边求第三边的长。
勾 股 定 理 课 件-1)（ PPT优 秀课件 ）
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图1-1
图1-2
目前世界上许多科学家正在试图寻找其它
星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如 地球上人类的语言,音乐,各种图形等.我国数学 家华罗庚建议,发射一种反映勾股定理的图形, 如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别 这种语言的.
证 法 4： 毕达哥拉斯证法
a2
a2 c2
b2
a2 + b2 = c2
章前图中左下角的图案有什么意义？为什么选 它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会 徽？
本章我们将探索并证明勾股定理及其逆定理， 并运用这两个定理去解决有关问题，由此可以加 深对直角三角形的认识。
读一读 勾 股 世 界
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年 前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三 角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即 “勾三、股四、弦五”。故称之为“勾股定理”或“商高 定理” 。图1-1称为“弦图”，最早是由公元前3世纪我 国汉代的数学家赵爽在为《周髀算经》注解时给出的. 赵 爽利用它来证明勾股定理。在这本书中的另一处，还记载 了勾股定理的一般形式。
S正方形c
=
72
-4×
1 2
×4×3
2 5 （面积单位）
B
C
图3-1 A
B
图3-2
把C“补”成边长为7的 正方形面积减去4个直 角三角形的面积。
探究二：
C的面积怎么求呢？
S正方形c
=
52
-4×
1 2
×2×3
=13（面积单位）
C A
B
图1-2
C A
B
图1-3
把C“补”成边长为5的 正方形面积减去4个直 角三角形的面积。
为 S1 S2S3 ．
C S2 S3
A
B
S1
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（3）变式：你还能求出Sa、Sb、Sc之间
的关系式吗？
C
Sb Sa
A
B Sa+Sb=Sc
Sc
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人教版八年级数学（下）
17.1勾股定理（1）
a2+b2=c2
ac b
武夷山三中数学组
2002年在北京召开国际数学家大会
这就是本届大会 会徽的图案．
你听说过勾股定理吗？
这个图案是我国汉代数学家 赵爽在证明勾股定理时用到的， 被称为“赵爽弦图”．
勾股定理
在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做 勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据我国古算书 《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们已经知道， 如果勾是三，股是四，那么弦是五，后来人们进一步发现 并证明了直角三角形三边之间的关系：两条直角边的平方 和等于斜边的平方。这就是勾股定理。
A
a c
B
b
C
A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC
即：a2 + b2 = c2
让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系
C A
图1
A的面积 B的面积 C的面积
(单位长 (单位长 (单位长
度)
度)
度)
99
B
图2 4 4
C
图2-1
A B
C的面积怎么求呢？
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
原可来以古发希现腊，著以名等数腰学三 家角毕形达 两哥直拉 角斯 边从 为朋 边友 长家的的小 地正砖方铺 形成的的 面地 积面 的上 和发 ，现等了于: 直以角斜三 边角为形边三 长边 的的 正数 方量形关的 系面积。。
即同我学们们惊，奇我地们发也现来，观等察腰
下三图角地形面的，三看 边看 之你 间能 有发 一现 种什 特 么殊？的是关否系也：和两大直数边学的家平有方同和 样等的于发斜现边呢的？ 平方。
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勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜 边为c，那么
a2 + b2 = c2
结论变形
c2=a2+b2 a2=c2-b2 b2=c2-a2
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c= a2 b2 c
b
a= c2 b2
b= c2 a2
相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定 理的证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛 祭神，由此，又有“百牛定理”之称。
看似平淡无奇 的现象有时却隐藏 着深刻的道理。
毕达哥拉斯是古希腊著名的 哲学家、数学家、天文学家，相 传2500•年前，一次，毕达哥拉斯 去朋友家作客．在宴席上，其他 的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论， 只有毕达哥拉斯却看着朋友家的 方砖地而发起呆来．原来，朋友 家的地是用一块块直角三角形形 状的砖铺成的，黑白相间，非常 美观大方．主人看到毕达哥拉斯 的样子非常奇怪，就想过去问 他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大 悟的样子，站起来，大笑着跑回 家去了。
C A
C的面积怎么求呢？
S正方形c
B C
图2-1
A
413318 2
B
（单位面积）
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分“割”成若干个 直角边为整数的三角形。
C A
C的面积怎么求呢？
S正方形c
B C
图2-1
A
B
图2-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C“补” 成边长为6 的正方形面积的一半。
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2.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
81 144
144 169
z
625 576
①
②
③
勾 股 定 理 课 件-1)（ PPT优 秀课件 ）
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课本P24 练习1.
求下列直角三角形中未知边的长:
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
c a
b
c a
b
也可以表示为
c2
+4•
ab 2
∵ (a+b)2
c2
+4•
ab 2
= a2+2ab+b2 = c2 +2ab
c a
b
c a
b
∴a2+b2=c2
美国总统的证明
伽菲尔德经过反复 的思考与演算，终于弄 清楚了其中的道理，并 给出了简洁的证明方 法．1876年4月1日，伽 菲尔德在《新英格兰教 育日志》上发表了他对 勾股定理的这一证法。 1881年，伽菲尔德就任 美国第二十任总统后， 人们为了纪念他对勾股 定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就称这一 证法称为“总统”证法。
A
x
度A
x
B
6
5
C
8
BC
13
解：（1）在Rt△ABC中,由 （2）在Rt△ABC中,由
勾股定理得：AB2=AC2+BC2 勾股定理:AB2+AC2=BC2
x2=62+82
x2+52=132
X2 =36+64
x2=132-52
x2 =100
x2=144
∵x>0 ∴ x=10
∵x>0 ∴ x=12
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1 62 2
1 8（单位面积）
Aa c b
B
图2-1
C
C A
B 图2-2
图2-1
A的面积 B的面积 C的面积
(单位长 (单位长 (单位长
度)
度)
度)
9 9 18
8
图2-2 4
4
A、B、
C面积 关系
SA+SB=SC
直角三 两直角边的平方和
角形三 等于斜边的平方
边关系
（图中每个小方格代表一个单位面积）
C的面积怎么求呢？
A
S正方形c
41431 2
B
图3-1
C AHale Waihona Puke Baidu
B
图3-2
2 5（面积单位） 分割成若干个直角边为
整数的三角形。
探究二：
C的面积怎么求呢？
S正方形c
=4×
1 2
×2×3+1
=13（面积单位）
分割成若干个直角边为 整数的三角形。
C A
B
图1-2
C A
B
图1-3
探究二：
C A C的面积怎么求呢？
议一议
3．三个正方形A，B， C面积之间有什么关系？
A的面积 B的面积 C的面积
图1-2 16
9
25
图1-3
4
9
13
SA+SB=SC
即：两条直角边上 的正方形面积之和 等于斜边上的正方 形的面积．
C A
B
图1-2
C A
B
图1-3
探究与猜想
B
A C
图2
C
A
B
图3
A的面积 B的面积 C的面积
(单位面 (单位面 (单位面
解：∵ SE= 49 S1=SA+SB
C D
S2=SC+SD ∴ SA+SB+SC+SD
B
S2
A S1
= S1+S2 = SE = 49
E
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（2）如图，分别以Rt △ABC
三边为边向外作三个正方形， 其面积分别用S1、S2、S3表示， 容易得出S1、S2、S3之间有的 关系式
长分别是a、b，斜边长是c，那么
a2+b2=c2。
a2+b2=c2
弦
c
是不是所有的直角三角形都具有这样
股
b
的特点呢？这就需要我们对一般的直角三 角形进行证明．到目前为止，对这个命题
┏
勾a
的证明方法已有几百种之多．下面我们就 来看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个
命题的．
依据科学理论的证实：
我国汉代的数学家赵爽指出：四个全等的直 角三角形如下拼成一个中空的正方形，由大正方 形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形 的面积和得：
直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.
赵
爽
弦 图
c
b
a
你能用这个图试着 证明勾股定理吗？
证法一： 用赵爽弦图证明勾股定理
c b
a
b
a
a2+b2=c2
赵爽弦图的证法
S S 4S ＝ ＋ 大正方形
小正方形
直角三角形
c
b a
b a
c2＝(b－a)2＋4×1 ab
2
cb
中黄实 (b -a)2
c
b a
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜 边为c，那么