全称量词和存在量词-课件

例3 写出下列命题的否定，并判断真假． (1)任何一个平行四边形的对边都平行． (2)非负数的平方是正数． (3)有的四边形没有外接圆． (4)∃x0，y0∈Z，使得 2x0＋y0＝3.
【思路点拨】 确定命题类型
→ 改变量词，否定性质 → 写出原命题的否定
→ 判断真假
【解】 (1)命题的否定： “存在一个平行四边形的对边不都平行．” 由平行四边形的定义知，这是假命题． (2)命题的否定： “存在一个非负数的平方不是正数．”因为 02＝0， 不是正数，所以该命题是真命题． (3)命题的否定： “所有四边形都有外接圆．”
(2)綈 p：所有三角形的三条边不全相等．
显然綈 p 为假命题．
(3)綈 p：对于任意的实数 a，b，有|a－1|＋|b＋2|≠0. 当 a＝1，b＝－2 时，|a－1|＋|b＋2|＝0. 故綈 p 为假命题．
(4)綈 p：∃x0∈R,3x0≤0.綈 p 为假命题．
方法感悟
1．同一个命题，由于自然语言不同，可以有不 同的表述，现列表总结如下：
可写成 “∀x∈R，x2＋3>0”． ∵对∀x∈R，都有x2≥0，∴x2＋3>0. ∴命题是真命题． (2)命题中含有量词“至少有一个”，这是一个存在 量词，它的作用范围是自然数集，用数学符号表示 可写成“∃x∈N，x<1”． ∵0∈N且0<1， ∴命题为真命题．
【名师点评】 熟知常见的量词是解决此类问题 的关键，有些命题不含有量词，这时我们需要根 据命题的具体意义去判断．
因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命 题为真，所以命题的否定为假命题． (4)命题的否定：“∀x，y∈Z，都有 2x＋y≠3.” ∵当 x＝0，y＝3 时， 2x＋y＝3， ∴原命题为真，命题的否定为假命题．
【名师点评】 (1)写命题的否定时，关键是确定命 题的类型． (2)判断命题的否定的真假时，可直接判断该命题， 也可判断原命题的真假，利用原命题和命题的否定
自我挑战 1 (2011年松原模拟)判断下列命题的真 假： (1)∀x∈R，x2＋2x＋1>0； (2)∃x0∈N，|x0|≤0； (3)∀x∈R，log2x>0； (4)∃x0∈R，cosx0＝π2.
解：(1)∵当 x＝－1 时，x2＋2x＋1＝0， ∴原命题是假命题． (2)∵当 x＝0 时，|x|≤0 成立， ∴原命题是真命题．
含有量词的命题真假的判断
(1)要判定含“存在”量词的命题为真，只要在给 定集合内，找到一个元素x0，使命题p(x0)为真， 否则，命题为假． (2)要判定一个含全称量词的命题为真，必须对给 定的集合内的每一个元素x，p(x)都为真，但要判 定其为假，只要在给定集合内找一个x0，使p(x0) 为假即可．
的真假性相反下结论． 自我挑战2 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实 根； (2)p：有些三角形的三条边相等； (3)p：存在实数a，b，使得|a－1|＋|b＋2|＝0； (4)p：∀x∈R,3x>0.
解：(1)綈 p：存在一个实数 m，使方程 x2＋mx－1＝ 0 没有实数根．因为该方程的判别式 Δ＝m2＋4>0 恒 成立， 故綈 p 为假命题．
思考感悟 你能举几个全称量词和存在量词吗？ 提示：常见的全称量词有：“所有的”“任意一 个”“一切”“每一个”“任何一个”“任给”等． 常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有 些”“有一个”“有的”“某些”等．
课堂互动讲练
考点突破 量词的数学符号表示 全称量词用数学符号“∀”表示，特称量词用数学 符号“∃”表示．
知新益能
1．全称量词和存在量词 (1)“任意”、“所有”、“每一个”等叫作_全__称____ 量词，数学上用符号“∀”表示． (2)“存在”、“某一个”、“至少有一个”等叫作 _存__在_____量词，数学上用符号“∃”表示．
2．含有一个量词的 命题的否定 一般地，命题 “∀ x∈ I， p(x)”的否 定是 “_∃_x_∈__I_，__ _綈 ____p_(x__) ____”；命题 “∃ x∈ I， p(x)”的否定是 “_∀ ___x_∈__I_，__綈 ____p_(_x_)____”．
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
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例2 判断下列命题的真假，并给出证明． (1)若 a>0，且 a≠1，则对任意实数 x，ax>0； (2)对任意实数 x1，x2，若 x1<x2，则 tan x1<tan x2； (3)存在常数 T0，使 sin (x＋T0)＝sinx； (4)有 x0∈R，使 x20＋1<0.
【思路点拨】 根据命题中所含量词的含义进 行判断．
1．2.2 全称量词和存在量词
1.2.2
学习目标 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
学习目标
1.理解全称量词与存在量词的意义，会判断含有一 个量词的命题的真假． 2．能正确对含有一个量词的命题进行否定，理解 全称命题与特称命题之间的关系．
课前自主学案
温故夯基
1．对于 p∧q：若命题 p 与 q 全真，则 p∧q 为真命 题；若 p 与 q 有一个是假命题，则 p∧q 为假命题； 对于 p∨q：若命题 p 与 q 全假，则 p∨q 为假命题； 若 p 与 q 至少有一个为真，则 p∨q 为真命题． 2．将原命题的条件和结论分别否定后，作为命题的 条件和结论，构成原命题的_否___命__题____；而命题的 否定是对命题的_结__论__的__否__定____．
命题 含全称量词的命题 ①对所有的x∈M，p(x) 成立 ②对一切x∈M，p(x)成 立
表述 ③对每一个x∈M，p(x) 方法 成立
④任意一个x∈M，p(x) 成立 ⑤凡x∈M，都有p(x)成 立
含存在量词的命题
①存在x∈M，使p(x) 成立
②至少有一个x∈M， 使p(x)成立 ③对有些x∈M，使 p(x)成立 ④对某个x∈M，使 p(x)成立 ⑤有一个x∈M，使 p(x)成立
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021 6:55:15 PM
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2.注意否命题与命题的否定是不同的，若 p 表示命 题，“非 p”叫作命题的否定．如果原命题是“若 p，则 q”，那么否命题是“若綈 p，则綈 q”，而
命题的否定是“若 p，则綈 q”，即只否定结论．
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
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例1 指出下列两个含有量词的命题中使用了什 么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的数 学符号取代，并判断真假． (1)对任意实数x，都有x2＋3>0； (2)至少有一个自然数小于1.
【思路点拨】 判断含有的量词类型
→ 相应数学符号表示
→ 判断真假
．用数学符号表示
(3)∵当 x＝1 时，log2x＝0， ∴原命题是假命题． (4)∵当 x∈R 时， cosx∈[－1,1]，而π>1，
2 ∴不存在 x0∈R，使 cosx0＝π2， ∴原命题是假命题．
含有一个量词的命题的否定 “∀x∈I，p(x)”的否定是“∃x∈I，綈 p(x)”； “∃x∈I，p(x)”的否定是“∀x∈I，綈 p(x)”．
【解】 (1)∵ax>0(a>0，a≠1)恒成立， ∴命题(1)是真命题． (2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan 0＝tan π， ∴命题(2)是假命题． (3)y＝sin x是周期函数，2π就是它的一个周期， ∴命题(3)是真命题． (4)对任意x∈R，x2＋1>0. ∴命题(4)是假命题．