同余的基本概念和性质

第一节 同余的基本性质
例4 解 求(25733 46)26被50除的余数。 (25733 46)26 (733 4)26 = [7(72)16 4]26
[7( 1)16 4]26 = (7 4)26
326 = 3(35)5 3(7)5 = 37(72)2
§3. 1 同余的概念和性 质
第三章 同 余
• 同余是数论中的一个基本概念。本 章除介绍同余的基础知识外，还要 介绍它的一些应用。
第一节 同余的基本性质
定义1 给定正整数m，如果整数a与b之差被m整
除，则称a与b对于模m同余，或称a与b同余，
模m，记为
a b (mod m)，
此时也称b是a对模m的同余 如果整数a与b之差不能被m整除，则称a
证明 结论(ⅰ)—(ⅳ)的证明，留作习题。
(ⅴ) 由
ac bc (mod m)
得到mc(a b)，再由(c, m) = 1和第一章第三
节定理4得到ma b，即 a b (mod m)。 证毕。
第一节 同余的基本性质
例1 设N =是整数N的十进制表示，即
N = an10n an 110n 1 a110 a0 ，则
第一节 同余的基本性质
定理2 同余具有下面的性质： (ⅰ) (自反性) a a (mod m)； (ⅱ) (对称性) a b (mod m) b a (mod m); (ⅲ) (传递性) a b，b c (mod m) a c (mod m)。 证明 留作习题。
第一节 同余的基本性质
pa 1或pa 1，
即a 1 (mod p)或a 1 (mod p)。
第一节 同余的基本性质
例9 设n的十进制表示是 13 xy 45 z , 若792n, 求x，y，z。 解 因为792 = 8911，故
792n 8n，9n及11n。
我们有 8n 8 z = 6， 以及 9n 91 3 x y 4 5 z = 19 x (5) y 9x y 1，
(ⅰ) 3|N
3| a
i0 n i
;
(ⅱ) 9|N
(ⅲ) 11|N (ⅳ) 13|N
9| a
i0
n
i
;
11 | ( 1 )
i0
n
i
ai;
13 | a 2 a 1 a 0 a 5 a 4 a 3 .
第一节 同余的基本性质
证明 由 100 1，101 1，102 1， (mod 3) 及式(2)可知
a
2
k 1
=(1 q2k + 2)2=1 q 2k + 31(mod 2k + 3)，
其中q 是某个整数。这说明式(4)当n = k 1也
成立。
由归纳法知式(4)对所有正整数n成立。
第一节 同余的基本性质
例8 设p是素数，a是整数，则由a2 1(mod p)
可以推出
a 1或a 1 (mod p)。 证明 由 a2 1 (mod p) pa2 1 = (a 1)(a 1)， 所以必是
定理3 设a，b，c，d是整数，并且 (1) a b (mod m)，c d (mod m)， 则 (ⅰ) a c b d (mod m)； (ⅱ) ac bd (mod m)。
证明
(ⅰ) 由式(1)及定义1可知
ma b，mc d，
第一节 同余的基本性质
因此 m(a c) (b d)，
与b对于模m不同余，或称a与b不同余，模m，
记为 a b (mod m)。
第一节 同余的基本性质
定理1 下面的三个叙述是等价的： (ⅰ) a b (mod m)； (ⅱ) 存在整数q，使得a = b qm； (ⅲ) 存在整数q1，q2，使得a = q1m r， b = q2m r，0 r < m。 证明 留作习题。
的形式，再利用式(2)。
第一节 同余的基本性质
例2 求
N a n 1a n 2 a1a 0
被7整除的条件，并
说明1123456789能否被7整除。 解 100 1, 101 3, 102 2, 103 1 (mod 7),因
此
N a n 1 a n 2 a 1 a 0 a 2 a 1 a 0 10 a 5 a 4 a 3 10
(ⅲ)
a a r (mod m)。
b
c
第一节 同余的基本性质
例6 证明: 若n是正整数, 则1342n + 1 3 n + 2. 证明 由
42n + 1 3 n + 2 = 442n 93 n = 416n 93 n 43n 93 n = 133 n 0 (mod 13) 得证。
此即结论(ⅰ)；
(ⅱ) 由式(1)及定理1可知，存在整数q1与q2 使得 a = b q1m，c = d q2m， 因此 ac = bd (q1q2m q1d q2b)m， 再利用定理1，推出结论(ⅱ)。证毕。
第一节 同余的基本性质
定理4 并且 x y (mod m)，ai bi (mod m)，0 i n， 设ai，bi（0 i n）以及x，y都是整数，
这样得到四个方程组：
x y 1 a 3 y x b
其中a取值9或18，b取值0或11。在0 x, y 9的 条件下解这四个方程组，得到 x = 8，y = 0，z = 6。
习题一
1. 证明定理1和定理2。
2. 证明定理4。
3. 证明定理5中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。
则
a
i0
n
i
x b i y (mod m ).
i i i0
n
(2)
证明 留作习题。
第一节 同余的基本性质
定理5 下面的结论成立：
(ⅰ) a b (mod m), dm, d>0 a b (mod d);
(ⅱ) a b (mod m), k > 0, kN
ak bk (mod mk)；
4. 求81234被13除的余数。
5.
设f(x)是整系数多项式，并且f(1), f(2), ,
f(m)都不能被m整除, 则f(x) = 0没有整数解.
62 427，求与。
6. 已知99
第一节 同余的基本性质
所以由式(3)得到
n 7
7
7
7 ( 3 ) 7 3 (mod 10 )
3 3
即n的个位数是3。
注:一般地，若求对模m的同余，可分以下步 骤进行：
(ⅰ) 求出整数k，使ak 1 (mod m)；
(ⅱ) 求出正整数r, r < k, 使得 bc r (mod k);
(ⅲ) a b (mod mi )，1 i k a b (mod [m1, m2, , mk])； (ⅳ) a b (mod m) (a, m) = (b, m)； (ⅴ) ac bc(modm), (c, m) =1 a b (mod m).
第一节 同余的基本性质
21 29 (mod 50)，
即所求的余数是29。
第一节 同余的基本性质
例5 解 求 n7
7
7
的个位数。
我们有 71 3，72 1，74 1 (mod 10)，
因此，若
77 r (mod 4)， 则
n 7
7
7
7 (mod 10 )
r
(3)
现在 77 (1)7 1 3 (mod 4)，
0 3
第一节 同余的基本性质
注: 一般地，在考虑使
N a n 1 a n 2 a 1 a 被m 0
除的余数时，首先是求出正整数k，Fra Baidu bibliotek得
10k 1或1 (mod m)，
再将
N a n 1 a n 2 a 1 a写成 0
0 k
N a k 1 a k 2 a 1 a 0 10 a 2 k 1 a 2 h 2 a k 10
0 3
a 2 a 1 a 0 a 5 a 4 a 3 a 8 a 7 a 6 (mod 7 ) ，
即
7 | N 7 | a 2 a1a 0 a 5a 4a 3 a 8a 7 a 6
第一节 同余的基本性质
由于 789 456 123 1 = 455，7455， 所以71123456789。
第一节 同余的基本性质
例3 解 说明 2
2
5
1 是否被641整除。
依次计算同余式
22 4，24 16，28 256，216 154，232 1
(mod 641)。
因此
2
2
5
1 0 (mod 641)，
即641 2
2
5
。 1
第一节 同余的基本性质
注: 一般地，计算ab (mod m)常是一件比较繁 复 的 工 作 。 但 是 ， 如 果 利 用 Euler 定 理 或 Fermat定理（见第四节）就可以适当简化。
第一节 同余的基本性质
| 例7 证明：若2 a，n是正整数，则
a
2
n
1 (mod 2n + 2)。
(4)
证明
设a = 2k 1，当n = 1时，有
a2 = (2k 1)2 = 4k(k 1) 1 1 (mod 23)， 即式(4)成立。
第一节 同余的基本性质
设式(4)对于n = k成立，则有 1 (mod 2k + 2) = 1 q2k + 2， 其中qZ，所以
第一节 同余的基本性质
11n 11z 5 4 y x 3 1 = 3 y x
113 y x。
(6)
由于0 x, y 9，所以由式(5)与式(6)分别得出 x y 1 = 9或18， 3 y x = 0或11。
第一节 同余的基本性质
N =(mod 3)，
由上式可得到结论(ⅰ)。 结论(ⅱ)，(ⅲ)用同样方法证明。
第一节 同余的基本性质
为了证明结论(ⅳ)，只需利用式(2)及 100 1，101 3，102 4，103 1， (mod 13)
和
N a n 1 a n 2 a 1 a 0 a 2 a 1 a 0 10 a 5 a 4 a 3 10 .