谓词逻辑2.1

谓词逻辑符号化（二）
例2.2 将上述命题谓词逻辑符号化。 2.有些计算机专业的学生并不喜欢这个专业。 解 (1)若考虑个体域为计算机专业的学生集合，则符号化为： F(x,y):x喜欢y。 a：计算机专业 x ┐F(x,a):有些计算机专业的学生并不喜欢这个专业。 (2)若考虑个体域是全总个体域，则符号化为： M(x): x是计算机专业的学生。 F(x,y):x喜欢y。 a：计算机专业 x ( M(x) ┐F(x,a) ):有些计算机专业的学生并不喜欢这 个专业。
基本概念
引例 1. 计算机专业的学生都很辛苦。 2.有些计算机专业的学生并不喜欢这个专业。 分解命题如下： 表示数量的词—— 所有的，有的 个体词—— 计算机专业的学生，计算机专业 谓词—— …很辛苦， …喜欢…
基本概念

量词——表示数量或范围的词 (1) 存在量词： 记作 ，表示“有些”、“一些”、“某些” 、“至少一个”等。 (2) 全称量词： 记作，表示“每个”、“任何一个”、“一 切”、“所有的”、“凡是”、“任意的”等。

为何引入谓词逻辑

命题逻辑无法进行上述推理的根本原因是：将 命题整体化提取表示太粗略，没有把命题之间 的内在联系反映出来。 要反映这种内在联系，就要对原子命题作进一 步的细化，分析出其中的个体、谓词、量词等， 研究它们之间的形式结构及逻辑关系，这就是 谓词逻辑所研究的内容。 谓词逻辑存在的基础就是将命题适当地分解。
这个CLeabharlann Baidu序包含有a函数和b函数。
命题分解如下：
个体词—— 青岛，C程序，宜居城市，a函数，b函数 表示个体性质的词—— …是一个宜居城市 谓 词 表示个体间关系的词—— … 包含有…和…
谓词逻辑符号化（一）
例2.1 将上述命题谓词逻辑符号化。 1.青岛是一个宜居城市。 a: 青岛； ——个体常元 A(x): x 是一个宜居城市。 ——个体变元 谓词的函数表示 A(a)：青岛是一个宜居城市。 2.这个C程序包含有a函数和b函数。 a: 这个C程序 ; b:a函数; c:b函数; B(x, y, z):x包含 y和z。 B(a, b, c):这个C程序包含有a函数和b函数。
离散数学
Discrete Mathematics
主讲：陈哲云
青岛理工大学计算机工程学院 2013.09
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数理逻辑

命题逻辑

谓词逻辑
第2章 谓词逻辑
数理逻辑回顾
思维如同加减法一样，是可以演算的。 ——唯物主义哲学家 霍布士
思维演算：遇到争论时, 双方可以把笔拿在手 中说:“让我们来算一下”, 就可以把问题解 决。 ——数理逻辑创始人 莱布尼兹
谓词逻辑符号化（二）
例2.5 用谓词逻辑将下列命题符号化。
1. 张强的父亲是音乐家。
令P(x): x是音乐家。f(x): x的父亲。c:张强。
则可表示为 P(f(c)) 2. 对任意整数x，x2-1=(x+1)(x-1) 。 令I(x):x是整数。f(x)= x2-1， g(x)= (x+1)(x-1)， E(x,y): x=y，
(2) 在美国留学的学生未必都是亚洲人。
(3)任何整数或者是正的或者是负的。
(4) 尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明。
(5) 苏格拉底三段论。 (6)天下乌鸦一般黑。 (7)没有最大的自然数。
谓词逻辑符号化（二）
例2.3 用谓词逻辑符号化下述语句. 解： (1)没有人登上过木星。 令H(x)：x是人；M(x)：x登上过木星，则符号化为： ┐x(H(x)∧M(x)) 或者 x(H(x)→┐M(x)) (2) 在美国留学的学生未必都是亚洲人。 令A(x)：x是亚洲人；H(x)：x是在美国留学的学生，则： ┐x(H(x)→A(x)) 或者 x(H(x)∧┐A(x))
x(M(x)∧C(x))∧ ┐x(M(x)→C(x))
谓词逻辑符号化（二）
例2.3 用谓词逻辑符号化下述语句. (5)苏格拉底三段论。 令M(x)：x是人； C(x)：x会死。a:苏格拉底 则此推论可符号化为： 前提： x(M(x)→C(x))， M(a)
结论：C(a)
谓词逻辑符号化（二）


谓词逻辑
符号体系？
谓词逻辑
推理演 算规则？
谓词逻辑
2.1 2.2
谓词逻辑基本概念（重点）
谓词公式及解释（难点） 2.3 谓词逻辑等值式 2.4 谓词逻辑推理理论（补充）
2.1 谓词逻辑基本概念

基本概念
个体词 谓词 量词

谓词逻辑符号化
基本概念
引例 分析下列命题：
青岛是一个宜居城市。
例2.3 用谓词逻辑将下列命题符号化。 (6)天下乌鸦一般黑。 令 F(x)：x是乌鸦；G(x, y)：x与y一般黑，则符号化为： xy(F(x)∧F(y)→G(x, y)) 或者 ┐xy(F(x)∧F(y)∧┐G(x, y)) (7)没有最大的自然数。 令N(x): x是自然数，G(x,y): x大于y，则可符号化为： (x)(N(x)(y)(N(y)G(y,x)))
谓词逻辑符号化（二）

特性谓词
所谓特性谓词，是指刻划个体域范围的谓词。

特性谓词的引入须遵循的规则
1.对于全称量词 x，刻画其对应个体域的特性谓词作为蕴涵
式之前件加入。
2.对于存在量词 x，刻画其对应个体域的特性谓词作为合取 式之合取项加入。
谓词逻辑符号化（二）
例2.3 用谓词逻辑符号化下述语句. (1) 没有人登上过木星。
数理逻辑回顾
数理逻辑 用数学方法研究推理的一门数学学科
-------- 一套符号体系 + 一组规则
数理逻辑回顾
符号体系 命题p，q， r…… 联结词 ┐,∧,∨, → …… 推理演 算规则
命题逻辑
数理逻辑回顾
例 若明天是星期一或星期三，我就有课。 若有课， 今天必备课。 我今天下午没备课。 所以， 明天不 是星期一和星期三。 例？ 每个大学生不是文科学生就是理工科学生。小张 不是理工科学生。因此如果小张是学生，则他就是 文科生。 无法用命题逻辑 进行推理证明！
或 x(N(x) ∧y(N(y)G(x,y)))
谓词逻辑符号化（二）
例2.4 用谓词逻辑符号化下面的语句。 只要是需要室外活动的课，郝亮都喜欢。所有的
公共体育课都是需要室外活动的课。篮球是一门公共
体育课。所以，郝亮喜欢篮球这门课。
谓词逻辑符号化（二）
解： 令 A(x)：x是需要室外活动的课。 L (x, y)：x喜欢y。 B(x)：x是一门公共体育课。 a：郝亮；b：篮球课。 则上述句子可符号化为： x(A(x)→L(a, x)) x(B(x)→A(x)) B(b) → L(a, b)
谓词逻辑符号化（一）
练习 将下列命题谓词逻辑符号化。 1. 大红箱子装着旧书。 2. 如果我有一个足够长的杠杆，我就能翘起整个地 球。
基本概念


n元谓词——谓词中含有n个个体变元 例 A(a) : 0元谓词 A(x): 一元谓词 B(x, y): 二元谓词 C(x, y, z): 三元谓词 思考： n元谓词与命题的关系？
则该命题可表示成： x(I(x)E( f(x), g(x)))
谓词逻辑符号化总结
一般说来，符号化的步骤如下： ①正确理解给定命题。必要时把命题改叙（换句话说） ，使其中每个简单命题、简单命题之间的关系能明显 表达出来。 ②把每个简单命题分解成个体词、谓词和量词；在全总 论域讨论时，要给出特性谓词。 ③找出恰当量词。应注意全称量词(x)后的特性谓词是 蕴含式的前件，存在量词(x)后的特性谓词是合取式 的合取项。 ④用恰当的联结词把给定命题表示出来。
小结

谓词逻辑最本质的特点是能够通过提取命题中描述性 质及关系的词（即谓词）来刻画命题，从而能够深层 次体现命题中个体的相关特性。

在谓词逻辑符号化过程中，一定要注意论域的影响，
包括对命题真值的影响及符号化形式的影响。 为了解决不同命题所涉及的论域不同的问题，特别引 入特性谓词。

小结

根据问题的要求，在进行谓词逻辑符号化时，谓词刻画 的深浅层次可以不同，即符号化的形式可以不唯一。 关于两种量词，很多时候是可以相互转换的，即命题符 号化的形式可以不唯一。
基本概念

量词
xP(x)
在个体域中所有个体都满足性质P
x P(x)
在个体域中存在着个体满足性质P

个体域（或论域）——个体变元的取值范围

全总个体域——宇宙间的一切事物构成的集合
谓词逻辑符号化（二）
例2.2 将上述命题谓词逻辑符号化。 注：在符号化之前必须明确个体域！ 1.计算机专业的学生都很辛苦。 解 (1)若考虑个体域为计算机专业的学生集合，则符号化为： F(x): x很辛苦。 xF(x):计算机专业的学生都很辛苦。 (2)若考虑个体域是全总个体域，则符号化为： M(x): x是计算机专业的学生。 F(x): x很辛苦。 x( M(x) F(x) ):计算机专业的学生都很辛苦。


在命题符号化时，有些量词没有明确给出，要仔细分析
并写出这些隐含量词。
作业
一.符号化下列命题。 1. 任何两个不同的人都性格不相同。 2. 尽管有些人爱吃西瓜，但并不是所有人都爱吃西瓜。 二.符号化下列推论。 1.每个大学生不是文科学生就是理工科学生，小张不是理工 科学生，因此如果小张是学生，则他就是文科生。 2. 乌鸦是黑色的，天鹅不是黑色的；所以，天鹅不是乌鸦。
谓词逻辑符号化（二）
例2.3 用谓词逻辑符号化下述语句. (3)任何整数或者是正的或者是负的。 令I(x): x是整数。 P(x): x是正的。N(x): x是负的。则 符号化为 x(I(x)(P(x)∨N(x))) 或者┐x（I(x) ∧┐ P(x) ∧ ┐N(x)) (4) 尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明。 令M(x)：x是人；C(x)：x很聪明，则符号化为：