2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-1课件：2-2-2 双曲线的简单几何性质

3．学习双曲线中应注意的几个问题： (1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线； (2)双曲线只有两个顶点，离心率 e>1； (3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为 2， 实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直； (4)注意双曲线中 a、b、c、e 的等量关系与椭圆中 a、b、c、 e 的不同．
第二章
2.2
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求双曲线 16x2－9y2＝144 的实轴长和虚轴长、 顶点坐标、 焦点坐标及渐近线方程．
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综上知双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少相同 或类似之处， 要注意它们的区别与联系， 不能混淆， 列表如下：
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椭圆 方程 x2 y2 a2＋b2＝1(a>b>0)
双曲线 x2 y2 a2－b2＝1(a>0，b>0)
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课程目标解读
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1．类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，讨论它 的几何性质． 2．能运用双曲线的性质解决一些简单的问题．
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[解析]
x2 y2 y2 x2 (1)设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1 或 2－ 2 ＝ a b a b
1(a>0，b>0)，2a＝8. c 5 由题意知 ＝ 且 c2＝a2＋b2， a 4 ∴a＝4，c＝5，b＝3， x2 y2 y2 x2 ∴标准方程为16－ 9 ＝1 或16－ 9 ＝1.
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(5)渐近线是刻画双曲线的一个重要概念， 根据双曲线的渐 n 近线方程可设出双曲线方程． 渐近线为 y＝ x 的双曲线方程可 m x2 y2 设为：m2－n2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为 Ax± By＝0， x2 那么双曲线的方程可设为 A2x2－B2y2＝m(m≠0)；与双曲线a2－ y2 x2 y2 ＝1 共渐近线的双曲线方程可设为 2－ 2＝λ(λ≠0)． b2 a b
(0，－b)、(0，b) 长轴长 2a，短轴长 2b
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离心率
c e＝a，(0<e<1) 无
c e＝a，(e>1) 有两条，其方程为
渐近线
b y＝± x a
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第二章 2.2 第2课时
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作草图如图：
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[点评]
由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质的步骤
x2 y2 y2 x2 是：先将双曲线方程化为标准形式 2－ 2＝1(或 2－ 2＝1)，再 a b a b 根据它确定 a，b 的值(注意它们的分母分别为 a2，b2，而不是 a，b)，进而求出 c，再对照双曲线的几何性质得到相应的答 案．画几何图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以 2a、2b 为 两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋 势，就可画出双曲线的草图.
[解析]
x2 y2 把双曲线方程化为标准方程 － ＝1. 9 16
由此可知，实半轴长 a＝3，虚半轴长 b＝4. 半焦距 c＝ a2＋b2＝ 9＋16＝5. 因此，实轴长 2a＝6，虚轴长 2b＝8； 顶点的坐标是(3,0)，(－3,0)； 焦点的坐标是(－5,0)，(5,0)； 4 渐近线方程是 y＝± x. 3
实轴 它的长等于____.同时在另一条 2a 间的线段叫做双曲线的______，
对称轴上作点 B1(0，－b)，B2(0，b)，线段 B1B2 叫做双曲线的
虚轴 2b 实半轴长 ______，它的长等于____，a、b 分别是双曲线的___________ 虚半轴长 和____________．
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重点难点展示
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本节重点：双曲线的几何性质． 本节难点：双曲线性质的应用，渐近线的理解．
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命题方向
利用几何性质求标准方程
[例 2]
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5 (1)实轴长为 8，离心率为 ； 4 (2)已知双曲线的中心在原点，焦点 F1、F2 在坐标轴上， 实轴长和虚轴长相等，且过点 P(4，－ 10)．
课堂典例讲练
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思路方法技巧
命题方向
[例 1]
已知双曲线的方程，研究其几何性质
求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、
实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图． [分析] 将双曲线方程化成标准方程，求出 a、b、c 的值， 然后依据各几何量的定义作答．
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人教A版 ·选修1-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第二章
圆锥曲线与方程
第二章 圆锥曲线与方程
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课前自主预习
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1．在双曲线方程中，以－x、－y 代替 x、y 方程不变，因
轴对称 此双曲线是以 x 轴、y 轴为对称轴的________图形；也是以原 中心对称 点为对称中心的___________图形，这个对称中心叫做
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(2)由 2a＝2b 得 a＝b，∴e＝ 线方程为 x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点 P(Βιβλιοθήκη Baidu，－ 10)， ∴16－10＝λ，即 λ＝6. ∴双曲线方程为 x2－y2＝6.
b2 1＋ 2＝ 2，所以可设双曲 a
图形
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范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≥a，y∈R
对称性
对称轴：x 轴、y 轴 对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：原点 (－a,0)、(a,0) 对称中心：原点
顶点 轴长
(－a,0)、(a,0) 实轴长 2a 虚轴长 2b
x2 y2 [答案] 4 － 3 ＝1
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(2)焦点 F、过 F 作渐近线的垂线，垂足为 D，则|OF|＝c， |FD|＝b，|OD|＝a，△OFD 亦是直角三角形，满足|OF|2＝|FD|2 ＋|OD|2，也称为双曲线的特征三角形．
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[解析]
x2 y2 将 9y2－4x2＝－36 变形为 9 － 4 ＝1，
x2 y2 即32－22＝1，∴a＝3，b＝2，c＝ 13， 因此顶点为 A1(－3,0)，A2(3,0)， 焦点坐标为 F1(－ 13，0)，F2( 13，0)， 实轴长是 2a＝6，虚轴长是 2b＝4， c 13 离心率 e＝ ＝ ， a 3 b 2 渐近线方程 y＝± x＝± x. a 3
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x2 y2 3． P(x， 设 y)是双曲线a2－b2＝1(a>0， b>0)上一点， x≥a 则 或 x≤－a，y∈R. 4．双曲线的半焦距 c 与实半轴长 a 的比叫做双曲线的
离心率 (1，＋∞) _________，其取值范围是____________．
双曲线的中心 _____________．
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2．双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的______， 顶点 x2 y2 (± a,0) 双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的顶点是_______，这两个顶点之 a b
x2 y2 ∴双曲线的标准方程为 6 － 6 ＝1.
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x2 y2 x2 y2 已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)和椭圆16＋ 9 ＝1 有相同 的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的 方程为________．
2．2 双曲线
第二章 圆锥曲线与方程
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第二章
第 2 课时 双曲线的简单几何性质
第二章 圆锥曲线与方程
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学习要点点拨 课堂巩固练习 课前自主预习 课后强化作业 课堂典例讲练
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(4)根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法： 把标 x2 y2 准方程中“1”用“0”替换得出的两条直线方程，即双曲线 2－ 2 a b x2 y2 b y2 ＝1(a>0， b>0)的渐近线方程为 2－ 2＝0 即 y＝± x； 双曲线 2－ a b a a x2 y2 x2 a b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为a2－b2＝0，即 y＝± x. b
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学习要点点拨
第二章
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1．双曲线的渐近线 (1)对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，画双曲 线时应先画出它的渐近线． (2)要明确双曲线的渐近线是哪两条直线， 过双曲线实轴的 两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成 一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线． (3)“渐近”两字的含义：当双曲线的各支向外延伸时，与 这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的．
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2．双曲线上两个重要的三角形 (1)实轴端点、虚轴端点及对称中心构成一个直角三角形， 边长满足 c2＝a2＋b2，称为双曲线的特征三角形．
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