带根号的数未必是无理数

带根号的数未必是无理数

鹿泉市获鹿镇第三中学

崔怀平

在新教材七年级数学下册第十章第三节讲到：“很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数。”接着引出定义：“无限不循环小数又叫无理数。”例如：

2，3，是无理数，π=3.14159265......,也是无理数。时间一长，

有的学生把无理数和带根号的数混淆起来，误认为带根号的数就是无理数。其实带根号的数不一定是无理数，无理数也不一定都是带根号的数得来的。

无理数的定义是：“无限不循环小数叫无理数”。最本质特征是无限不循环。

我们知道，开方开不尽的数，开方后可以得到无限不循环小数，既无理

数。但是无限不循环小数不一定非得由开方得来，例如圆周率

=3.14159265．．．．．．，它不是开放得来的，它是圆的周长除以直径得到的，它

是一个比值。还有自然对数的底数e=2.718……也是无理数；它是通过求极限

的方法得到的。还有我们也可以有意识地构造一些无理数，如：

0.101001000…..，（构成的规律是1后面0的个数逐次增加一个），显然这个数

是无限不循环的小数，也是一个无理数。就是说无理数并不都是开方开不尽而

得来，还有其他方式可以形成无理数。

另一方面，虽然很多带根号的数都是无理数，例如：2、45、33等，但不是带根号的数就一定是无理数。例如：35

2++35

2-，从感觉上看，这个数很像无理数，但是他确实是一个有理数。现在证明一下：设x= 35

2++35

2-

两边3次方得：3x=

3

3

35

2

5

2⎪

⎭

⎫

⎝

⎛-

+

+

=

3

35

2⎪

⎭

⎫

⎝

⎛++3•

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛+

•

2

35

235

2-+3•

+

•35

2

2

35

2⎪

⎭

⎫

⎝

⎛-+

3

352⎪⎭⎫ ⎝⎛- =2+5+33352()52)(52(+•-+•+)523-+25- =4x •-•+3543

=4x 3-

即 x x 343-=

0433=-+x x

分解因式：0443=-+-x x x

()

()01412=-+-x x x ()()()01411=-++-x x x x

()()()0411=++-x x x

()()0412=++-x x x

042=++x x 在实数内无解

所以，x=1

也就是说 352++352-=1 ，它是一个有理数。

当然，让我们去判断一个较复杂的数是不是无理数是困难的，就是圆周率 也是经过很多数学家的努力，才用微分学证明了它是一个无理数。现在新课标，新教材对根式运算降低了要求，不必去运算和判断，但是我们要知道 ：一是无理数不是开方才能得到，其他方式也可能产生无理数；二是很多带根号的数或式子是无理数，但是有些带根号的数却是有理数。