一元二次方程的解法(公式法)
一元二次方程的解法(公式法)
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.由配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，若 b2-4ac≥0，得求根公式：
x b b2 4ac 2a
2.会熟练应用公式法解一元二次方程．
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0).当a，b，c
满足什么条件时，方程的两根互为相反数？
一元二次方程的解法
————公式法
回顾复习：
解法一：直接开平方法：x2+6x+9=0
解法二：因式分解法：
1.x2 (5 2)x 5 2 0
2. 3x2 5x 0
3.x2 12x 27 0
1.x1 5; x 2 2.
15
2.x1 0;x2
. 3
3.x1 3;x2 9.
回顾复习：
解法三：配方法：
2x2 4x 1 0
用配方法解一元二次方程的步骤： （1）二次项系数化为1：x2+px+q=0 （2）移项，整理得 x2+px=-q ；
（3）配方： （4）开平方法解方程.
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
【解析】把方程两边都除以a, 移项，得 x2 + x= ba
【解析】设方程的两个根为x1,x2，依题意，得
x1 +x2 b
b 2+ 4ac
2a
b
0
a
b b2 4ac 2a
因为a≠0, 所以b=0.
所以当a≠0, b=0， ac≤0时，方程的两根为互为相反数.
2.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广
解一元二次方程公式法
公式法是这样生产的
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解 : a 2 ,b 9 ,c 8 .1.变形:化已知方程为一般形式;
b 2 4 a c 9 2 4 2 8 1 7 0 .
x b b 2 4 ac 2a
9 17
22 9 17 .
4
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
九年级数学(上)第二章 一 元二次方程
3.公式法(1) 一元二次方程解法
配方法
回顾与复习 1
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元 二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为 配方法(solving by completing the square)
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义:
公式法将从这里诞生
你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解:x29x40.
2
x2 9 x 4.
x29x292924.
x
2 9
2417
.
4
4 16
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值 一半的平方;
4.变形:方程左分解因式,右边合并 同类;
8.x1909..xx2714x;3;xx139 .43.273. 16x2+8x=3 ；
1
1 参 考 答 案 ：2 12
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
12
1
2
解:设这三个 一个连 直角续 三角偶 的 形三数 一 边的中 个 长x为间 ,为 根 三个据 连续题 偶 意得
x2 x 数 ,求2 这2 个三x角 形2 的2 .三边长.
一元二次方程的五种解法
一元二次方程的五种解法一元二次方程是数学中常见的方程类型，解一元二次方程有多种方法。
下面将介绍五种解一元二次方程的方法。
一、因式分解法通过因式分解的方法，将一元二次方程化简为两个一次方程，进而求解方程的解。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以通过因式分解得到(x + 2)(x + 3) = 0，进而得到x = -2或x = -3。
二、配方法通过配方法，将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，然后求解方程的解。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以通过配方法将其转化为(x + 3)^2 = 0，进而得到x = -3。
三、求根公式法一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c分别为方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。
通过代入系数，计算出方程的解。
例如，对于方程x^2 + 2x - 3 = 0，我们可以代入a = 1，b = 2，c = -3，然后利用求根公式计算出x的值。
四、完成平方法通过将一元二次方程的两边进行平方，化简为一个完全平方的形式，然后求解方程的解。
例如，对于方程x^2 + 4x + 4 = 0，我们可以通过将其两边进行平方得到(x + 2)^2 = 0，进而得到x = -2。
五、图像法通过绘制一元二次方程的图像，观察图像与x轴的交点来求解方程的解。
例如，对于方程x^2 - 4 = 0，我们可以绘制出抛物线的图像，观察到抛物线与x轴的交点为x = 2和x = -2，因此方程的解为x = 2和x = -2。
解一元二次方程有多种方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法、完成平方法和图像法。
不同的方法适用于不同的方程，选择合适的解法可以更快地求解一元二次方程的解。
在实际应用中，根据方程的形式和已知条件，选择合适的解法可以简化计算，提高效率。
用公式法求解一元二次方程。
用公式法求解一元二次方程。
一、一元二次方程的定义及公式
一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。
一般形式为：ax + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a ≠ 0。
二、求解一元二次方程的步骤
1.整理方程
将一元二次方程化为标准形式，即ax + bx + c = 0。
2.计算判别式
判别式的公式为：Δ= b - 4ac。
3.判断方程根的情况
根据判别式的值，可以判断方程的根的情况：
- Δ > 0：方程有两个不相等的实根；
- Δ = 0：方程有两个相等的实根；
- Δ < 0：方程无实根。
4.求解方程根
根据判别式的值和方程的根的情况，使用公式求解方程的根。
公式如下：x, x = (-b ± √Δ) / (2a)
三、实例演示
已知一元二次方程：x - 3x + 2 = 0
1.整理方程：x - 3x + 2 = 0
2.计算判别式：Δ = (-3) - 4 × 1 × 2 = 1
3.判断方程根的情况：Δ > 0，方程有两个不相等的实根。
4.求解方程根：x, x = (3 ± √1) / 2 = 1, 2
四、总结与拓展
求解一元二次方程的方法不仅限于公式法，还可以使用因式分解、配方法等。
在实际应用中，应根据方程的特点和自己的需求选择合适的解法。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程是数学中常见的形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解一元二次方程的方法有两种常用的方式，分别是因式分解法和求根公式法。
一、因式分解法因式分解法是一种基于因式分解思想的解法，用于解决特定类型的一元二次方程。
1. 随机方程形式：ax²+bx+c=0要使用因式分解法解决一元二次方程，首先要确保方程可被因式分解。
具体步骤如下：Step 1: 将方程左侧的二次项进行因式分解。
对于二次项ax²，可以进行因式分解为(ax+m)(ax+n)，其中m和n为常数。
Step 2: 确定常数m和n的值。
将因式分解得到的形式(ax+m)(ax+n)与方程的形式ax²+bx+c进行比较，从而确定常数m和n的值。
Step 3: 通过求解常数m和n的值，得到一元二次方程的解。
将(ax+m)(ax+n)=0，根据乘法零因子法则，可将方程转化为两个一次方程，即ax+m=0和ax+n=0。
然后分别求解这两个一次方程，得到x的值。
2. 示例：例如，解方程x²+5x+6=0。
Step 1: 将方程左侧的二次项进行因式分解。
方程的左侧二次项x²可因式分解为(x+2)(x+3)。
Step 2: 确定常数m和n的值。
由比较可知，m=2，n=3。
Step 3: 通过求解常数m和n的值，得到一元二次方程的解。
将(x+2)(x+3)=0转化为两个一次方程，即x+2=0和x+3=0。
分别解得x=-2和x=-3，因此方程x²+5x+6=0的解为x=-2和x=-3。
二、求根公式法求根公式法是解决一元二次方程的另一种常用方法，可以适用于一切一元二次方程。
1. 一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0对于一元二次方程ax²+bx+c=0，可以使用求根公式法进行解答。
求根公式为x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。
一元二次方程的解法(公式法)
你来总结：
通过今天的学习你有什么收获和困惑？
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当b2-4ac≥0时，它的根是：
x
b b 2 4 ac 2a
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△=0时， 方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程没有实数根；
根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示。
牛刀小试：
不解方程，判断下列方程的根的情况：
( 1)2x2+5=7x ;
( 2)4x(x-1)+3=0 ; (3)4(y2+0.09)=2.4y
牛刀小试：
用公式法解下列方程：
( 1) 2x2-9x+8=0 ;
( 2) 9x2+6x+1=0 ; ( 3) x(x-3)+5=0 .
即 x1 9,x2 2.
即 x1 x2
1 2
归纳总结
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当b2-4ac=0时， 方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac＜0时，方程没有实数根；
Hale Waihona Puke 把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的
作业：
P43习题2.5第1、2题 。
谢谢各位老师！ 欢迎批评指导！！
2.3 一元二次方程的解法 ——公式法
温故知新
解一元二次方程的一般步骤：
化1 配方 移项 求解
温故知新
问题： 这就是说，对于一元二次方程
你会用配方法解下列一元二次方程吗？ ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，它 2 的根是： ax +bx+c=0(a≠0)
一元二次方程的解法-公式法
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标 对称轴
b 2a
,4ac 4a
b2
直线x b 2a
开口方向 增减性ห้องสมุดไป่ตู้
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
最值
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b 2a
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
b b2 4ac x
2a
例 2 解方程： x2 3 2 3 x
解： 化简为一般式：x2 2 3 x 3 0 这里 a 1、 b= - 2 3、 c= 3
49 96 - 47 0
方程没有实数解。
随堂 练习 用公式法解下列方程：
2x2-4x+1=0;
二次函数y= 2x2-4x+1的图像是怎样的？
提示：a=2 b=-4 c=1
基础知识补充
质素：一个只能分解成1与它本身相乘的数 如17只能是1*17，但18可以1*18；2*9；3*6，所以18不是质数
b2 4ac （ 2 3）2 41 3 0
（- 2 3） x
02
3
3
21
2
即 ： x1 x2 3
b b2 4ac x
2a
例 3 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化简为一般式：
3x2 7x 8 0
一元二次方程6种解法
一元二次方程6种解法
一元二次方程没有6种解法，一元二次方程4种解法：
一、直接开平方法。
形如（x+a)^2=b，当b大于或等于0时，x+a=正负根号b，x=-a加减根号b；当b小于0时。
方程无实数根。
二、配方法。
1、二次项系数化为1。
2、移项，左边为二次项和一次项，右边为常数项。
3、配方，两边都加上一次项系数一半的平方，化成
（x=a)^2=b的形式。
4、利用直接开平方法求出方程的解。
三、公式法。
现将方程整理成：ax^2+bx+c=0的一般形式。
再将abc 代入公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a，(b^2-4ac大于或等于0）即可。
四、因式分解法。
如果一元二次方程ax^2+bx+c=0中等号左边的代数式容易分解，那么优先选用因式分解法。
一元二次方程成立必须同时满足三个条件：
①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是
一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。
②只含有一个未知数。
③未知数项的最高次数是2。
17.2一元二次方程的解法--公式法
1.用公式法解下列方程：
(4)4x2-6x=0 解:
(5)6t2 -5 =13t
解 : 6t 2 13t 5 0 a 6, b 13, c 5 b 4ac 169 120 289 0
2
a 4, b 6, c 0 b 4ac 36 0 36 0
2
6 36 6 6 x 2 4 8
3 x1 , x2 0. 2
13 289 13 17 t 2 6 12 5 1 t1 , t2 . 2 3
一、由配方法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 若 b2-4ac≥0 得
求根公式 : X=
（1）公式叫做一元二次方程的求根公式；
（2）利用求根公式解一元二次方程的方 法叫求根公式法；
b b 4ac x 2a
2
(a≠0, b2-4ac≥0)
（3）当 b2-4ac=0 那么方程有两个相等 的实数根，即 x x b
1 2
2a
解 : a 5, b 4, c 12 2 2 b 4ac 4 4 5 (12) 256 0.
2
4 56 4 2 14 x 2 2 4
1 25 1 5 x 23 6
2 14 2 14 x1 , x2 . 2 2
2 x1 1, x2 . 3
随堂 练习 (1)2x2-x-1=0 解:
2.用公式法解下列方程： (2)x2+1.5=-3x
1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
b b 4ac 2 x .b 4ac 0 . 2a
一元二次方程的解法公式法
解：原方程中 a = 1, b = − 1, c = − 3 b − 4 ac = ( − 1) − 4 × 1 × ( − 3) = 13
2 2
− b ± b − 4 ac − 1 ± 13 x= = 2a 2 − 1 + 13 − 1 − 13 ∴ x1 = , x2 = 2 2
2
辨 析
2、解方程：2 x + x − 2 = 0
2
2
当b − 4ac ≥ 0时，它有两个实数根：
+ bx + c = 0(a ≠ 0)
− b + b2 − 4ac − b − b2 − 4ac x1 = , x2 = 2a 2a
这就是一元二次方程 ax +bx+c = 0(a ≠ 0)
2
的求根公式.
在解一元二次方程时，只要把方程化为一般式
ax + bx + c = 0(a ≠ 0)
辨 析
小马虎在学完用公式法解一元二次方程 觉得非常简单,也非常高兴, 后,觉得非常简单,也非常高兴,很快就做好 了作业,可是他马虎的毛病到底改了没有呢? 了作业,可是他马虎的毛病到底改了没有呢? 1、解方程： x − x − 3 = 0
2
解：原方程中 a = 1, b = − 1, c = − 3 b − 4 ac = ( − 1) − 4 × 1 × ( − 3) = 13
2
b − 4ac = (−4) − 4 ×1× 4 = 0
2 2
− b ± b − 4ac 4 ± 0 x= = =2 2a 2 ∴x = 2
2
辨 析
2 4、解方程： x + x + 2 = 0
2
解：原方程中 a = 2, b = 1, c = 2 b − 4 ac = 1 − 4 × 2 × 2 = −15
一元二次方程三种解法
一元二次方程三种解法
一元二次方程是高中数学中比较重要的一个概念，它的解法也有很多种。
在本文中，将介绍三种解一元二次方程的方法。
第一种方法是配方法。
这种方法是将一元二次方程进行配方，将其化为完全平方形式，然后再进行求解。
例如，对于方程 x^2+4x+4=0，我们可以将其配方，得到 (x+2)^2=0，进而解得 x=-2。
第二种方法是公式法。
这种方法是利用一元二次方程的求根公式，直接求得方程的解。
对于方程 ax^2+bx+c=0，求根公式可以表示为：x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。
例如，对于方程 x^2-2x-3=0，我们可以
利用求根公式，得到 x=3 或 x=-1。
第三种方法是图像法。
这种方法是通过一元二次函数的图像来判断方程的解。
当一元二次函数的图像与 x 轴交于两个点时，方程有
两个实数解；当一元二次函数的图像与 x 轴交于一个点时，方程有
一个实数解；当一元二次函数的图像与 x 轴没有交点时，方程无解。
例如，对于方程 x^2-4x+3=0，我们可以画出其函数图像，发现其与 x 轴交于两个点，因此方程有两个实数解。
以上就是三种解一元二次方程的方法，它们各自有其适用的场合，需要根据实际情况选择合适的方法。
- 1 -。
一元二次方程的解法(公式法)
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0,
∴原方程没有实数根.
我最棒
解下列方程:
,解题大师——规范正确!
参考答案:
(1). x2-2x－8＝0；
(2). 9x2＋6x＝8；
1.x1 2; x2 4.
2.x1 2 ; x2 4 .
例3：
x 3 2 3x
2
解：化简为一般式：x2
2 3x 3 0
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3. ∵b2 - 4ac=( 2 3)2 - 4×1×3=0,
2 3 0 2 3 x 21 2
即：x1= x2=
3,
3
想一想
例 4 解方程：（x-2)(1-3x)=6 解：去括号：x-2-3x2+6x=6 化简为一般式：-3x2+7x-8=0 3x2-7x+8=0 这里 a=3, b= -7, c= 8.
一元二次方程的解法
回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 (solving by completing the square) 用配方法解一元二次方程的方法的
助手:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a. 完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
(1)直接开平方法
ax2=b(b≥0)
1、提取公因式法
适应于没有一次项的 一元二次方程
一 元 二 次 方 程 的 解 法
(2)因式分解法
2、平方差公式 3、完全平方公式
求一元二次方程解的公式
求一元二次方程解的公式
一元二次方程的解法有开平方法、配方法、因式分解法，求根公式等，接下来看一下具体内容。
一元二次方程的解法公式
（一）开平方法
形如(X-m)²=n (n≥0)一元二次方程可以直接开平方法求得解为X=m±√n。
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
③方法是根据平方根的意义开平方。
（二）配方法
用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为一般形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
（三）因式分解法
是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：
①移项,将方程右边化为（0）；
②再把左边运用因式分解法化为两个（一）次因式的积；
③分别令每个因式等于零,得到（一元一次方程组）；
④分别解这两个（一元一次方程）,得到方程的解。
（四）求根公式法
用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式aX²+bX+c=0，确定a,b,c的值（注意符号）；
②求出判别式△=b²-4ac的值，判断根的情况.
若△<0原方程无实根;若△>0，X=((-b)±√(△))/(2a)。
一元二次方程全部解法
一元二次方程全部解法一元二次方程是高中数学中常见的一个概念，它由形如ax^2+bx+c=0的方程组成，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解一元二次方程的方法有多种，包括公式法、配方法、因式分解法等。
本文将以一元二次方程的全部解法为题，详细介绍这些解法的原理和步骤。
一、公式法解一元二次方程公式法是解一元二次方程最常用的方法之一。
对于方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数，可以使用以下公式求解：x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)该公式中的±表示两个解，分别对应方程的两个根。
当b^2-4ac大于0时，方程有两个不相等的实数根；当b^2-4ac等于0时，方程有两个相等的实数根；当b^2-4ac小于0时，方程没有实数根，但可以有两个共轭复数根。
解一元二次方程的步骤如下：1. 根据方程的系数a、b、c，计算出b^2-4ac的值；2. 判断b^2-4ac的正负情况，确定方程的解的性质；3. 使用上述公式计算方程的解。
二、配方法解一元二次方程配方法也是解一元二次方程常用的方法之一。
对于方程ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数，可以通过配方法将方程转化为完全平方的形式，从而求解方程。
配方法的步骤如下：1. 将方程的常数项c拆分成两个数的乘积，使得这两个数的和等于方程的一次项系数b；2. 将方程的二次项系数a移到方程的一边，并在另一边配方；3. 将配方后的表达式转化为完全平方；4. 对方程两边同时开根号，得到方程的解。
三、因式分解法解一元二次方程对于一些特殊的一元二次方程，可以通过因式分解的方法来求解。
这种方法适用于方程的二次项系数为1的情况。
因式分解法的步骤如下：1. 将方程移项，使方程等于0；2. 将方程分解为两个一次因式的乘积；3. 令每个一次因式等于0，解出方程的根。
四、其他方法解一元二次方程除了公式法、配方法和因式分解法外，还有一些其他的方法可以用来解一元二次方程。
一元二次方程的解法
一元二次方程的解法一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0（其中a、b和c为已知常数，且a ≠ 0）的方程。
解一元二次方程的方法有两种，分别是因式分解法和求根公式法。
解法一：因式分解法因式分解法是一种基于“乘法因式分解”的思想来解一元二次方程的方法。
步骤一：将方程进行因式分解对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们需要将其进行因式分解。
因式分解后，方程可表示为（mx + n）（px + q） = 0。
步骤二：求解因式根据因式分解的结果，我们可以得到两个因式(mx + n) = 0和(px + q) = 0。
根据零乘法，我们可以得到两个等式中的x的取值。
步骤三：求解方程的解根据步骤二的结果，我们可以得到两个方程mx + n = 0和px + q = 0。
通过解这两个一次方程，我们可以得到一元二次方程的解。
解法二：求根公式法求根公式法是一种通过求解一元二次方程的根的公式来解方程的方法。
一元二次方程的求根公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个解，√表示平方根。
步骤一：计算判别式判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来判断一元二次方程的解的性质。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程没有实数根。
步骤二：代入求解根据求根公式，将方程的系数代入公式中计算，可以得到方程的解。
总结：一元二次方程的解法有因式分解法和求根公式法两种常见方法。
根据具体情况选择哪种方法来解方程。
在使用因式分解法时，首先要将方程进行因式分解，然后求解因式，最后求解方程的解。
而在使用求根公式法时，首先计算方程的判别式，然后代入求解公式，得到方程的解。
通过掌握这两种解法，我们可以解决一元二次方程的问题，并且在实际应用中可以运用到更多的数学问题中，帮助我们更好地理解和掌握数学知识。
公式法解一元二次方程
公式法的局限性
对字母敏感
公式法中的参数都是字母，因此对字母的取值和性质比较敏 感，需要注意使用条件。
计算复杂
由于公式法需要进行开方和分母有理化等复杂的计算，因此 使用起来比较繁琐。
公式法的证明
• 数学归纳法：可以通过数学归纳法来证明公式法的正确性，证明过程比较复杂，需要一定的数学基础。
04
公式法的证明方法
THANKS
谢谢您的观看
解方程
解方程是找出能使方程左右两边相等的未知数的值的过程。 对于一元二次方程，常用的解法有直接开平方法和公式法。
背景知识
一元二次方程的应用广泛，如几何作图、物理模型、经济学 模型等。
直接开平方法和公式法是解一元二次方程的两种基本方法。 直接开平方法是通过将方程化简为一元一次方程来求解，而 公式法则通过将方程化为一元一次方程再求解。
一元二次方程的公式法解 法
xx年xx月xx日
目 录
• 公式法的定义和背景 • 一元二次方程的一般形式和系数 • 公式法的解法及应用 • 公式法的证明方法 • 公式法的拓展 • 公式法的误差分析 • 应用实例和数学建模
01
公式法的定义和背景
数学概念
方程
方程是用来表示两个量相等的数学式子，其中含有未知数。 一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次
一元二次方程的一般形式
• ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0
一元二次方程的系数
一次项系数b：表示 x的线性影响
常数项c：表示常数 项
二次项系数a：表示 x²的二次影响
03
公式法的解法及应用
公式法的推导
推导过程
根据一元二次方程的定义，将方程进行配方并化简，得到公式法的推导过程 。
一元二次方程的解法—公式法ppt课件
k≠0
k≠0
归纳 当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项 系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围.
【变式题】删除限制条件“二次”
若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是
( A)
A. k≥ −1
B. k≥ −1且 k≠0
C. k < 1
D. k < 1 且 k≠0
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
学习目标
1. 了解求根公式的推导过程；（难点） 2. 掌握用公式法解一元二次方程；(重点） 3. 会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
知识回顾
用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？
一“化”：将方程化为一般形式，且把二次项系数化为1； 二“移”：将常数项移到方程的右边； 三“配”：方程方左程边两配边成同完时全加平上方一的次形项式系；数一半的平方，将
练一练
不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+x－1=0；
（2）2x2+6=3x;
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
将方程整理 为一般形式 ax2+bx+c=0
Δ= b2 − 4ac > 0 Δ= b2 − 4ac = 0 Δ= b2 − 4ac < 0
有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
Δ= b2－4ac = (− )2－4×2×1 = 0. 方程有两个相等的实数根
x1 = x2
(3) 5x2－3x = x + 1； 解：方程化为 5x2－4x－1 = 0.
±-
a = 5，b = －4，c = －1. Δ= b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一元二次方程的解法(公式法)教案
——小店一中潘卫生
教学内容
1．一元二次方程求根公式的推导过程；
2．公式法的概念；
3．利用公式法解一元二次方程．
教学目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
重难点关键
1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．
2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
（老师点评）（1）移项，得：6x2-7x=-1
二次项系数化为1，得：x2-7
6
x=-
1
6
配方，得：x2-7
6
x+（
7
12
）2=-
1
6
+（
7
12
）2
（x-
7
12
）2=
25
144
x-
7
12
=±
5
12
x1=
5
12
+
7
12
=
75
12
+
=1
x2=-
5
12
+
7
12
=
75
12
-
=
1
6
（2）略
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
二、探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式a x 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根
x 1=2b a -+x 2=2b a
-- 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
解：移项，得：a x 2+bx=-c
二次项系数化为1，得x 2+
b a x=-
c a
配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a
）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0
∴2244b ac a
-≥0
直接开平方，得：x+2b a
=
即x=2b a
-±
∴x 1=2b a -，x 2=2b a
- 由上可知，一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，
•将a 、b 、c 代入式子x=2b a
-就得到方程的根． （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x
2
（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1
b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0
==
∴x 1x 2 （2）将方程化为一般形式
3x 2-5x-2=0
a=3，b=-5，c=-2
b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0
576
±= x 1=2，x 2=-13
（3）将方程化为一般形式
3x 2-11x+9=0
a=3，b=-11，c=9
b 2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0
∴x=(11)11236
--±=⨯
∴x 1x 2 （3）a=4，b=-3，c=1
b 2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0
因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根．
三、巩固练习
教材P 42 练习1．（1）、（3）、（5）
四、应用拓展
例2．某数学兴趣小组对关于x 的方程（m+1）22m x ++（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出．
你能解决这个问题吗？
分析：能．（1）要使它为一元二次方程，必须满足m 2+1=2，同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程，必须满足:
①211(1)(2)0m m m ⎧+=⎨++-≠⎩或②21020
m m ⎧+=⎨-≠⎩或③1020m m +=⎧⎨-≠⎩
解：（1）存在．根据题意，得：m 2+1=2
m 2=1 m=±1
当m=1时，m+1=1+1=2≠0
当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）
∴当m=1时，方程为2x 2-1-x=0
a=2，b=-1，c=-1
b 2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x=(1)13224
--±=⨯ x 1=，x 2=-12
因此，该方程是一元二次方程时，m=1，两根x 1=1，x 2=-
12． （2）存在．根据题意，得：①m 2+1=1，m 2=0，m=0
因为当m=0时，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意．
②当m 2+1=0，m 不存在．
③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意．
当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0，
解得：x=-1
当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-13
因此，当m=0或-1时，该方程是一元一次方程，并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-•1时，其一元一次方程的根为x=-
13． 五、归纳小结
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程；
（4）初步了解一元二次方程根的情况．
六、布置作业
1．教材P 45 复习巩固4．
2．选用作业设计:
一、选择题
1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．
A ．．
C ．x=
32-± D ．x=32±
2x 2+4=0的根是（ ）．
A ．x 1，x 2．x 1=6，x 2
C ．x 1，x 2
D ．x 1=x 2
3．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）．
A ．4
B ．-2
C ．4或-2
D ．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________．
2．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．
3．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．
三、综合提高题
1．用公式法解关于x 的方程：x 2-2ax-b 2+a 2=0．
2．设x 1，x 2是一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a
；（2）•求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值．
3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，•那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10•元用电费外超过部分还要按每千瓦时100
A 元收费． （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（•用A 表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
答案:
一、1．D 2．D 3．C
二、1．x=2b a
-±，b 2-4ac ≥0 2．4 3．-3
三、1．=a ±│b │ 2．（1）∵x 1、x 2是a x 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，
∴x 1=2b a -，x 2=2b a
-
∴x 1+x 2=2b b a -=-b a
，
x 1·x 2c a
（2）∵x 1，x 2是ax 2+bx+c=0的两根，∴ax 12+bx 1+c=0，ax 22+bx 2+c=0 原式=ax 13+bx 12+c 1x 1+ax 23+bx 22+cx 2
=x 1（ax 12+bx 1+c ）+x 2（ax 22+bx 2+c ） =0
3．（1）超过部分电费=（90-A ）·
100A =-1100A 2+910A （2）依题意，得：（80-A ）·
100
A =15，A 1=30（舍去），A 2=50。