专题03 导数及其应用 解析版

专题03 导数及其应用（原创）

【2020年】

1.（2020·新课标Ⅰ）函数43()2f x x x =-的图像在点(1

(1))f ，处的切线方程为（ ） A. 21y x =-- B. 21y x =-+ C. 23y x =- D. 21y x =+

【答案】B 【解析】

()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，

因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 2.（2020·新课标Ⅲ）若直线l 与曲线y

x 2+y 2=1

5

都相切，则l 的方程为（ ） A. y =2x +1 B. y =2x +

12 C. y =

1

2

x +1 D. y =

12x +12

【答案】D

【解析】设直线l

在曲线y =

(0x ，则00x >，

函数y =

y '=

，则直线l

的斜率k =

， 设直线l

的方程为)0y x x =

-

，即00x x -+=， 由于直线l 与圆22

15x y +=

= 两边平方并整理得2

005410x x --=，解得01x =，01

5

x =-

（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122

y x =+. 【2019年】

1．（2019·全国Ⅲ卷】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，

D ．1e a -=，1b =-

【答案】D

【解析】∵e ln 1,x

y a x '=++

∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．

2．（2019·天津卷）已知a ∈R ，设函数222,1,

()ln ,

1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R

上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]

0,1 B ．[]0,2 C ．[]

0,e

D ．[]

1,e

【答案】C

【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；

当1x <时，2

2

()22021

x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，

令2

()1

x g x x =-，

则222(11)(1)2(1)1

()111x x x x g x x x x -----+=-=-=-

---

112201x x ⎛⎫⎛⎫

=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

， 当1

11x x

-=

-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.

当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln x

a x

≤

恒成立， 令()ln x

h x x

=

，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，

当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =，

∴min ()e a h x ≤=，

综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C.

3．（2019浙江卷）已知,a b ∈R ，函数32

,0()11(1),03

2x x f x x a x ax x <⎧⎪

=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0

【答案】C

【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ，

则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；

当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3（a +1）x 2﹣b ，

2(1)y x a x =+-'，

当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；

当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.

根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：

∴0且，

解得b ＜0，1﹣a ＞0，b （a +1）3，

则a >–1，b <0. 故选C ．

4．（2019·全国Ⅰ卷）曲线23()e x

y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=

【解析】2

2

3(21)e 3()e 3(31)e ,x

x

x

y x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，

则曲线2

3()e x

y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 5．（2019·江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4

(0)y x x x

=+

>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ .

【答案】4 【解析】由4(0)y x x x =+

>，得241y x

'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4

(0)y x x x

=+

>切于0004(,)x x x +，

由20

4

11x -

=-得02x =02x =-