组合数学
组合数学例题和知识点总结
组合数学例题和知识点总结组合数学是一门研究离散对象的组合结构及其性质的数学分支。
它在计算机科学、统计学、物理学等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些例题来深入理解组合数学中的重要知识点。
一、排列组合排列是指从给定的元素集合中取出若干个元素按照一定的顺序进行排列。
组合则是指从给定的元素集合中取出若干个元素组成一组，不考虑其顺序。
例题 1：从 5 个不同的元素中取出 3 个进行排列，有多少种不同的排列方式？解：根据排列的公式，＼（A_{5}＾3 ＝ 5×4×3 ＝ 60\）（种）例题 2：从 5 个不同的元素中取出 3 个进行组合，有多少种不同的组合方式？解：根据组合的公式，＼（C_{5}＾3 ＝＼frac{5×4×3}｛3×2×1} ＝10\）（种）知识点总结：1、排列数公式：＼（A_{n}＾m ＝ n×（n 1)×（n 2)××（n m ＋ 1)＼）2、组合数公式：＼（C_{n}＾m ＝＼frac{n!｝｛m!（n m)！｝＼）二、容斥原理容斥原理用于计算多个集合的并集的元素个数。
例题 3：在一个班级中，有 20 人喜欢数学，15 人喜欢语文，10 人既喜欢数学又喜欢语文，求喜欢数学或语文的人数。
解：设喜欢数学的集合为 A，喜欢语文的集合为 B，则喜欢数学或语文的人数为＼（｜A ∪ B| ＝｜A| ＋｜B| ｜A ∩ B| ＝ 20 ＋ 15 10＝ 25\）（人）知识点总结：容斥原理的一般形式：＼（｜＼cup_{i=1}＾｛n} A_i| ＝＼sum_{i=1}＾｛n} ｜A_i| ＼sum_{1\leq i ＜ j\leq n} ｜A_i ∩ A_j| ＋＼sum_{1\leq i ＜ j ＜ k\leq n} ｜A_i ∩ A_j∩ A_k| ＋（－1)＾｛n 1} ｜A_1 ∩ A_2 ∩ ∩ A_n|＼）三、鸽巢原理鸽巢原理也叫抽屉原理，如果有 n ＋ 1 个物体放入 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中会放有两个或更多的物体。
组合数学的基本概念和计算
组合数学的基本概念和计算组合数学是数学中的一个重要分支，研究的是离散的、可数的对象的组合方式和性质。
其主要研究对象有排列、组合、二项式系数等。
在各个领域中都有广泛的应用，尤其在图论、密码学、统计学等方面起着重要作用。
本文将介绍组合数学的基本概念和计算方法。
一、排列排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行排列组合的方式。
排列的顺序是有意义的，即不同的顺序对应不同的排列方式。
排列数的计算可以使用阶乘的方式，即P(n,m)=n!/(n-m)!二、组合组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行组合的方式。
组合的顺序是无意义的，即不同的顺序对应同一种组合方式。
组合数的计算可以使用阶乘的方式，即C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]三、二项式系数二项式系数是组合数学中的一个重要概念，表示的是二项式展开后每一项的系数。
在代数学中，二项式系数是根据二项式定理得到的，其公式为C(n,m)。
二项式系数在代数、组合、概率等领域中都有广泛的应用。
四、计算方法在组合数学中，计算组合数或者排列数有多种方法，包括直接计算法、递推法和使用公式法等。
1. 直接计算法直接计算法是最简单的方法，即根据组合数和排列数的定义，进行相应的计算。
例如，要计算C(5,2)，即从5个元素中取出2个元素进行组合的方式，可以按照公式C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]进行计算。
2. 递推法递推法是一种常用的计算方法，尤其适用于大规模计算。
递推法的基本思想是通过计算已知的组合数或排列数，推导出未知的组合数或排列数。
例如，要计算C(5,2)，可以利用递推公式C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)进行计算。
3. 公式法公式法是一种通过使用组合数学中的公式进行计算的方法。
例如，要计算C(5,2)，可以使用二项式系数的公式C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]进行计算。
五、应用领域组合数学在各个领域都有广泛的应用，下面介绍其中几个主要应用领域：1. 图论在图论中，组合数学的方法被广泛应用于图的着色、匹配、路径等问题的求解。
组合数学的基本概念与应用
组合数学的基本概念与应用组合数学是一门研究离散对象的排列、组合和计数等问题的数学分支。
它在许多领域都有着广泛的应用，从计算机科学到物理学，从生物学到经济学，几乎无处不在。
组合数学的基本概念包括排列、组合、二项式定理、容斥原理等。
排列是指从给定的元素集合中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
例如，从 5 个不同的数字中选取 3 个进行排列，计算方法为5×4×3 ＝ 60 种。
组合则是从给定的元素集合中，不考虑顺序地选取若干个元素。
比如，从 5 个不同的数字中选取 3 个的组合数，计算方法为 5×4×3÷（3×2×1) ＝ 10 种。
二项式定理在组合数学中也占据重要地位。
对于任意的正整数 n，有\（（a ＋ b)＾n ＝＼sum_{k=0}＾n C(n, k) a^｛n k} b^k\），其中\（C(n, k)＼）表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数。
容斥原理用于计算多个集合的并集的元素个数。
例如，有三个集合A、B、C，要计算它们并集的元素个数，需要先分别计算 A、B、C 的元素个数，然后减去两两交集的元素个数，再加上三个集合交集的元素个数。
组合数学在现实生活中的应用十分广泛。
在计算机科学中，组合数学的作用不可小觑。
在算法设计中，经常需要考虑各种可能性的数量和排列组合方式。
比如，在搜索算法中，需要计算搜索空间的大小，以评估算法的效率和复杂度。
在密码学中，组合数学的原理被用于生成和破解密码。
通过对密钥空间的组合分析，可以评估密码系统的安全性。
组合数学在生物学中也有应用。
在基因测序中，需要分析基因片段的排列组合，以确定基因的结构和功能。
在生物进化的研究中，组合数学可以帮助分析物种的遗传变异和多样性。
在经济学领域，组合数学被用于投资组合的优化。
投资者需要从众多的投资项目中选择一组，以在风险和收益之间达到最佳平衡。
这就涉及到对不同投资项目组合的可能性和收益风险的计算。
组合数学pdf
组合数学
组合数学是数学中的一个分支，研究如何选出一些元素组成某种集合的数学问题。
组合数学是运用较为广泛的数学分支之一，它涉及面不仅局限于数学领域，还涉及计算机科学，物理学，统计学，生物学等领域。
在日常生活中，组合数学也有很多应用，例如密码学、图论、排列组合等方面。
组合数学主要涉及组合、排列、集合这些数学概念，下面将对这些概念逐一进行介绍。
组合数：组合数是指从n个不同元素中取r个元素（r≤n）不重不漏的所有情况的个数。
组合数可以简单地表示成C(n,r)，其计算公式为：C(n,r)=n!/(r!(n-r)!)。
排列数：排列数是指从n个不同元素中取出r个元素进行排列，不放回地选取，可以表示为A(n,r)，排列数的计算公式为
A(n,r)=n!/(n-r)!。
排列数也可以分为有放回排列和无放回排列。
集合：集合是由若干个元素组成的一个整体，集合内的元素没有重复且无序。
例如，{1,2,3}和{3,2,1}都代表同一个集合。
在实际应用中，组合数学的应用十分广泛。
例如在密码学中，组合数学可以用来生成密码，用来保护数据的安全性。
在图论中，组合数学可以用来研究图的结构，处理图的中间点，连通性等问题。
在排列组合中，组合问题是许多具有不同性质的排列问题的基础。
生物学中，组合数学也可以通过研究遗传物质的组合和排列等问题，来推断人类或动物的遗传基因情况。
总之，组合数学是一门综合性极强的数学学科，在实际中的应用和研究都有非常重要的地位。
组合数公式大全
组合数公式大全组合数公式是组合数学中重要的概念，它们在概率论、统计学、离散数学等领域都有广泛的应用。
组合数公式可以用来计算从n个不同元素中取出r个元素的组合数，它们的计算方法多种多样，其中包括排列组合公式、二项式定理、组合数的递推关系等。
接下来，我们将详细介绍组合数公式的各种计算方法，让我们一起来深入探讨。
一、排列组合公式排列组合公式是组合数学中最基本的概念之一，它用于计算从n个不同元素中取出r个元素的组合数。
排列组合公式的计算公式如下：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)C(n, r)表示从n个不同元素中取出r个元素的组合数，n!代表n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*1，r!代表r的阶乘，(n-r)!代表n-r的阶乘。
二、二项式定理二项式定理是组合数学中的一个重要定理，它用于计算二项式展开式中各项的系数。
二项式定理的公式如下：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + ... + C(n,r)*a^(n-r)*b^r + ... + C(n,n)*a^0*b^n(a+b)^n表示(a+b)的n次幂展开式，C(n,r)表示从n个不同元素中取出r个元素的组合数。
从上述公式可以看出，二项式定理可以用来计算二项式展开式中各项的系数，因此它在代数学和离散数学中有着广泛的应用。
三、组合数的递推关系组合数的递推关系是一种用来计算组合数的方法，它可以在一定程度上简化计算过程。
组合数的递推关系公式如下：C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)C(n, r)表示从n个不同元素中取出r个元素的组合数，根据递推关系可以得到不同组合数之间的关系，从而简化计算过程。
以上介绍了排列组合公式、二项式定理和组合数的递推关系，它们是组合数学中常用的计算方法，对于理解和应用组合数具有重要的意义。
通过深入学习这些公式和定理，我们可以更好地理解组合数的概念，并且在实际问题中灵活运用。
组合数学课件-第一章：排列与组合
积分性质
若G(x)是母函数，则它的不定积分∫G(x)dx （其中C为常数）也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)（k1和k2是 常数）也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数，则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数，求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数（1至6）中取4个数的组合数，即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中，各位数字之和等于10的三位数有 多少个？
解析
此问题可转化为从9个数字（1至9）中取3个数字的组合 数，即C(9,3)，然后考虑三个数字的全排列，即3!，因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘，即C(n，m)=A(n，m)/m!。 因此，在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
THANKS
隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r)，其中C表示组合数。
组合数学基础知识
组合数学基础知识组合数学是一门研究离散对象的计数、排列、组合和优化等问题的数学分支。
它在计算机科学、密码学、统计学、物理学等众多领域都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起走进组合数学的世界，了解一些它的基础知识。
首先，我们来谈谈排列与组合。
排列是指从给定的元素集合中按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
比如说，从 5 个不同的数字中选取 3 个进行排列，那么排列的方式就有 5×4×3 ＝ 60 种。
而组合则是指从给定的元素集合中选取若干个元素，不考虑它们的顺序。
还是刚才的例子，从 5 个不同的数字中选取 3 个的组合方式，就有 5×4×3÷（3×2×1) ＝ 10 种。
我们再来看一下加法原理和乘法原理。
加法原理说的是，如果完成一件事情有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。
比如，要从 A 地到 C 地，可以先从 A 地到 B 地有 3 条路，再从 B 地到 C 地有 4 条路，那么从 A 地到 C 地就一共有 3 ＋ 4 ＝ 7 条路。
乘法原理则是，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有m1×m2×…×mn 种不同的方法。
比如，一个密码由三位数字组成，第一位可以是 0 到 9 中的任意一个数字，第二位和第三位也是如此，那么总共的密码组合就有 10×10×10 ＝ 1000 种。
在组合数学中，还有一个重要的概念是容斥原理。
容斥原理用于计算多个集合的并集中元素的个数。
假设我们有三个集合 A、B、C，那么它们的并集中元素的个数可以通过以下公式计算：｜A∪B∪C| ＝｜A| ＋｜B| ＋｜C| ｜A∩B| ｜A∩C| ｜B∩C| ＋｜A∩B∩C|。
组合数学知识点总结
组合数学知识点总结组合数学是一门研究离散对象的计数、排列、组合和优化等问题的数学分支。
它在计算机科学、统计学、物理学、化学等众多领域都有着广泛的应用。
下面我们来详细总结一下组合数学的一些重要知识点。
一、基本计数原理1、加法原理如果完成一件事情有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn种不同的方法。
2、乘法原理如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。
这两个原理是组合数学中最基本的原理，许多计数问题都可以通过这两个原理来解决。
二、排列与组合1、排列从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的排列数，记为 A(n, m)，其计算公式为：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！例如，从 5 个不同的元素中取出 3 个元素进行排列，排列数为 A(5, 3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 602、组合从 n 个不同元素中取出 m（m ≤ n）个元素的组合数，记为 C(n, m)，其计算公式为：C(n, m) ＝ n! ／ m! （n m)！例如，从 5 个不同的元素中取出 3 个元素的组合数为 C(5, 3) ＝ 5!／ 3! （5 3)！＝ 10组合与排列的区别在于，排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
三、容斥原理容斥原理用于计算多个集合的并集中元素的个数。
设A1, A2, …， An 是有限集合，其元素个数分别为｜A1|，｜A2|，…，｜An|，则它们的并集的元素个数为：｜A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An| ＝∑｜Ai| ∑｜Ai ∩ Aj| ＋∑｜Ai ∩ Aj ∩Ak| … ＋（－1)＾（n 1) ｜A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An|容斥原理在解决包含与排除问题时非常有用。
组合数学的应用与计算
组合数学在密码学 中用于设计加密算 法，如RSA算法
组合数学在密码学 中用于研究密码破 解的难度，如哈希 函数
组合数学在密码学 中用于设计数字签 名方案，如DSA算 法
组合数学在密码学 中用于研究公钥基 础设施（PKI）的 可靠性，如数字证 书
数据压缩中的应用
组合数学用于数据压缩算法的 设计和优化
靠。
统计学与组合数学的结合， 为解决实际问题提供了强 有力的支持，推动了各领
域的发展和进步。
物理学
量子计算：组合数学在量 子计算中用于描述量子态
的演化
计算机科学：组合数学在 计算机科学中用于设计和
分析算法
统计力学：组合数学在统 计力学中用于描述大量粒
子的行为
物理学其他领域：组合 数学还应用于物理学中 的其他领域，如量子信
息、量子通信等
经济学
组合数学在经济学中用于研究资源的优化配置问题。 组合数学为经济学中的决策问题提供了数学模型和算法支持。 组合数学在金融领域中用于风险评估和投资组合优化。 组合数学在经济学中还用于研究市场结构和供需关系等问题。
Part Three
组合数学的计算方 法
排列的计算
定义：从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的
利用组合数学解决数据压缩中 的编码和解码问题
组合数学在图像和视频压缩中 的应用
组合数学在音频压缩中的应用
计算机图形学中的应用
图像编码与解码： 利用组合数学中 的排列组合原理， 对图像进行高效 的编码与解码， 提高图像传输效 率。
0 1
几何变换：通过 组合数学中的矩 阵运算，实现图 像的旋转、缩放 和平移等几何变 换。
组合数学的应用与计算
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组合数学解析
组合数学解析在数学领域中，组合数学是研究离散结构的一门学科，它主要关注于物体的集合以及它们之间的排列、组合和选择方式。
组合数学广泛应用于计算机科学、信息技术、统计学、天文学等多个领域，在许多实际问题的建模和解决中都起到了重要的作用。
一、组合数学的基本概念1. 排列与组合在组合数学中，排列和组合是两个基本的概念。
排列是指一组对象按照一定顺序进行排列的方式，而组合则是指从一组对象中选取一部分对象进行组合的方式。
排列和组合的计算公式为：排列公式：P(n,m) = n!/(n-m)!组合公式：C(n,m) = n!/[(n-m)! * m!]其中，n表示对象的总数，m表示要排列或组合的对象的数量，n!表示n的阶乘。
2. 二项式系数在组合数学中，二项式系数表示的是两个数的二项式展开系数，它也是组合数学中的重要概念。
二项式系数的计算公式为：C(n,m) = n!/[(n-m)! * m!]二项式系数在组合数学中起到了非常重要的作用，它们具有许多重要的性质和应用。
二、组合数学的应用领域1. 组合数学在计算机科学中的应用在计算机科学中，组合数学是一门非常重要的学科。
组合数学的许多概念和方法被广泛应用于算法设计、图论、密码学、数据压缩等领域。
例如，在算法设计中，对于排列和组合的问题，组合数学可以提供有效的算法和优化策略。
在密码学中，组合数学的概念被用于设计和分析密码算法的安全性。
2. 组合数学在信息技术中的应用在信息技术领域中，组合数学也扮演着重要的角色。
例如，编码理论中的纠错码和压缩码的设计就依赖于组合数学的概念和方法。
另外，在网络优化、通信网络设计等问题中，组合数学的知识也能够提供宝贵的解决思路。
3. 组合数学在统计学中的应用在统计学中，组合数学可以用于描述和统计样本空间以及事件的可能性。
组合数学中的概率论和统计学概念有紧密的联系，例如样本空间的总数、事件的发生概率等都可以通过组合数学的方法进行计算和分析。
此外，组合数学还在实验设计、随机模型等方面发挥着重要作用。
组合数学 常见结论
组合数学常见结论
组合数学是数学的一个分支，主要研究从给定的元素中抽取若干元素的组合方式，以及这些组合的性质和规律。
以下是一些常见的组合数学结论：
1. 组合恒等式：从n个元素抽取r个元素的组合数C(n,r)等于从n-1个元素抽取r-1个元素的组合数C(n-1,r-1)加上从n-1个元素抽取r个元素的组合数C(n-1,r)。
2. 组合计数公式：从n个元素中抽取r个元素的组合数C(n,r)等于
n!/(r!(n-r)!)，其中"!"表示阶乘。
3. 乘法原理：如果有多个无放回的抽取过程，那么总的组合数等于各个过程中组合数的乘积。
4. 加法原理：如果有两个或多个独立的选取过程，那么总的组合数等于各个过程中组合数的和。
5. 二项式定理：对于任意实数x和q，(x+q)^n的展开式中，除首项和末项外，其余每一项都大于或等于0。
以上只是一些基本的组合数学结论，组合数学的研究还包括许多其他的问题，如排列组合、组合计数、组合设计等。
组合数学知识点总结
组合数学知识点总结组合数学是数学的一个重要分支，它研究的是集合、排列和组合等离散的数学结构。
在现代科学和工程中，组合数学经常被应用于计算机科学、密码学和操作研究等领域。
本文将对组合数学的一些重要知识点进行总结。
一、集合论基础在组合数学中，集合是一个基本概念。
集合由元素组成，元素可以是具体的对象或者抽象的个体。
在集合论中，常用的符号有∈表示“属于”，∉表示“不属于”，∪表示“并集”，∩表示“交集”，∖表示“差集”，等等。
二、排列与组合1. 排列排列是从集合中选择一部分元素按照一定的顺序排列，其重要性质有：- 有序性：排列的元素是有顺序的。
- 可重复性：元素可以重复使用。
2. 组合组合是从集合中选择一部分元素不考虑顺序的组成一个组合，其重要性质有：- 无序性：组合的元素无顺序要求。
- 不可重复性：元素不可重复使用。
三、二项式定理与多项式定理1. 二项式定理二项式定理是组合数学中一个基本且重要的定理，它用于展开二次幂或高次幂的多项式。
二项式定理的公式为：(a + b)^n = C(n, 0)a^n * b^0 + C(n, 1)a^(n-1) * b^1 + ... + C(n, n)a^0 *b^n其中，C(n, k)为组合数，表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
2. 多项式定理多项式定理是二项式定理的推广，用于展开更高次幂的多项式。
多项式定理的公式为：(a1 + a2 + ... + ak)^n = Σ C(n, k1, k2, ..., km)a1^k1 * a2^k2 * ... *ak^km其中，Σ表示对所有组合进行求和，C(n, k1, k2, ..., km)为多重组合数，表示从n个元素中选择k1个元素作为第一项，k2个元素作为第二项，以此类推。
四、图论基础图论是组合数学的一个重要分支，研究的是图及其性质。
图是由节点和边组成的一种数学结构，用于描述事物之间的关系。
图论中的一些基本概念和算法包括：- 图的表示方法：邻接矩阵、邻接表等。
组合数学中常见的计数方法
组合数学中常见的计数方法组合数学是数学中研究选择、排列和组合等问题的一个分支，它涉及了许多计数方法。
以下是一些常见的组合数学计数方法。
1.乘法原理：乘法原理用于计算多步操作的总数。
它指出，如果一个操作可以被分解为多个独立的步骤，那么整个操作的总数等于每个步骤的选择数的乘积。
2.加法原理：加法原理用于计算多个事件集合的并集的总数。
它指出，如果两个事件之间没有重叠，那么它们的并集的总数等于每个事件的数量的总和。
3.排列：排列是指从一组事物中按一定顺序选择若干个事物的方式。
n个物体的排列数可以表示为P(n)=n!，其中n!表示n的阶乘。
4.组合：组合是指从一组事物中选择若干个事物的方式，与排列不同的是，组合不考虑顺序。
n个物体中选择r个的组合数可以表示为C(n,r)=n!/((n-r)!r!)。
5.重复组合：重复组合是指从一组事物中重复选择若干个事物的方式。
n个物体中重复选择r个的重复组合数可以表示为C(n+r-1,r)。
6.二项式系数：二项式系数是指二项展开式中各项的系数。
对于非负整数n和k，二项式系数表示为C(n,k)，它可以表示为C(n,k)=n!/((n-k)!k!)。
7.错位排列：错位排列是指一组元素的全排列，要求不能有任何元素处于其原始位置上。
对于n个物体的错位排列数可以表示为D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))。
8.允许重复的排列：允许重复的排列是指从一组事物中按一定顺序重复选择若干个事物的方式。
n个物体中允许重复选择r个的排列数可以表示为n^r。
9.允许重复的组合：允许重复的组合是指从一组事物中重复选择若干个事物的方式。
n个物体中允许重复选择r个的组合数可以表示为C(n+r-1,r)。
10.斯特林数：斯特林数是一组与置换相关的整数，用于表示将n个对象划分为k个循环的方式数。
第二类斯特林数可以表示为S(n,k)。
除了上述常见的计数方法外，组合数学还涉及到一些高级的计数技术，如生成函数、容斥原理、鸽巢原理、推导公式等。
组合数学
组合数学（combinatorial mathematics）有人认为广义的组合数学就是离散数学，也有人认为离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑等的总称。
但这只是不同学者在叫法上的区别。
总之，组合数学是一门研究离散对象的科学。
随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。
狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。
组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化等。
一些有趣的组合数学问题①地图着色问题：对世界地图着色，每一种国家使用一种颜色。
如果要求相邻国家的颜色相异，是否总共只需四种颜色？②船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。
只要船夫不在场，羊就会吃白菜、狼就会吃羊。
船夫的船每次只能运送一种东西。
怎样把所有东西都运过河？③中国邮差问题：由中国组合数学家管梅谷教授提出。
邮递员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这是一个NP完全问题。
④任务分配问题（也称婚配问题）：有一些员工要完成一些任务。
各个员工完成不同任务所花费的时间都不同。
每个员工只分配一项任务。
每项任务只被分配给一个员工。
怎样分配员工与任务以使所花费的时间最少？更详细的解释：1. 组合数学概述组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。
组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。
计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。
组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。
现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。
组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。
组合数学知识点归纳总结
组合数学知识点归纳总结组合数学是数学中的一个分支学科，它涉及离散数学的一部分内容。
组合数学与集合论、图论和逻辑学等相关，它主要研究的是有限集合的组合和排列问题。
在实际应用中，组合数学在密码学、计算机科学、经济学等领域有着广泛的应用。
本文将对组合数学中一些重要的知识点进行归纳总结。
一、排列组合排列是指将若干个不同元素按照一定的顺序进行排列，组合是指从若干个元素中取出一部分元素进行组合。
组合数学的基础知识就是排列组合。
其中，排列的计算公式为：$P(n,m) = n!/(n-m)!$组合的计算公式为：$C(n,m) = n!/((n-m)! * m!)$二、二项式系数二项式系数是组合数学中一个重要的概念。
在代数表达式$(a +b)^n$中，展开后的每一项的系数称为二项式系数。
根据二项式定理，二项式系数可以通过组合数的形式进行计算。
具体来说，二项式系数可以表示为：$C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)$三、抽屉原理抽屉原理是组合数学中的一个基本原理。
简单来说，抽屉原理指的是当将若干个物体放入较少的抽屉中时，至少存在一个抽屉中放置了多个物体。
抽屉原理在组合数学中有着广泛的应用，它可以帮助我们解决一些排列组合问题。
四、容斥原理容斥原理是组合数学中的另一个重要原理。
容斥原理用于计算两个集合的交集、并集和补集之间的关系。
具体来说，对于两个集合A和B，容斥原理可以表示为：$|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|$五、生成函数生成函数是组合数学中的一种重要工具。
生成函数用于将一个数列转化为一个多项式函数，从而方便求解数列的性质。
通过生成函数，我们可以迅速得到数列的递推关系式和通项公式。
在组合数学中，生成函数的应用非常广泛，它可以帮助我们解决各种组合问题。
六、图论中的组合数学组合数学在图论中也有着广泛的应用。
例如，图的着色问题、图的哈密顿回路问题、图的连通性等都可以通过组合数学的方法得到解决。
组合数学知识点总结
组合数学知识点总结组合数学是数学的一个分支,主要研究离散对象的组合和排列,包括组合数、排列数、计数原理、概率论和统计学等内容。
以下是一些组合数学的知识点总结:1. 计数原理:研究有多少个不同的元素有n个不同的排列,就有(n choose k) = n! / (k! * (n - k)) 种不同的组合。
其中,n choose k 表示从n个元素中选择k个元素的方案数,n! 表示n个元素的元素的全排列,k! 表示k个元素的元素的全排列。
2. 组合数:组合数是描述离散对象组合性质的数学量,包括完全组合数、部分组合数、排列组合和计数组合等。
完全组合数表示从n 个元素中选出k个元素的方案数,包括从1到n的所有可能取值;部分组合数表示从n个元素中选出k个元素的组合数,即 n选k 的系数;排列组合指的是从n个元素中选出k个元素的组合数,即n! / (k! * (n - k));计数组合指的是从n个元素中选出k个元素的组合数,仅考虑k个元素中前面的n-k个元素。
3. 排列与组合:排列是指从n个元素中选取任意一个元素进行排列,即p(n,k)表示从n个元素中选取k个元素进行排列的方案数;组合是指从n个元素中选取任意一个元素进行组合,即c(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
排列与组合的综合运用可以计算组合数和计数组合。
4. 概率论:概率论主要研究随机事件的可能性和随机变量的分布,其中概率分布是描述随机变量可能性大小的情况。
常见的概率分布包括泊松分布、正态分布、伽马分布等。
5. 离散概率空间:离散概率空间是指由离散事件和离散概率构成的数学空间。
离散概率空间可以分为连续概率空间和离散概率空间,其中连续概率空间是指可以用连续变量描述的数学空间,离散概率空间是指由离散事件和离散概率构成的数学空间。
离散概率空间中的随机变量的分布可以用概率分布理论解释。
组合数学的基本概念与方法
组合数学的基本概念与方法组合数学是数学领域中独立的一个分支，它研究的对象是集合和元素的组合方式，包括组合、排列、选择和分配等问题。
组合数学的方法和概念在各个学科领域中都有广泛的应用，特别是在计算机科学、统计学、集合论和图论等领域。
1.组合数学的基本概念1.1 组合组合是指从给定的集合中选择出若干元素形成一个子集的过程。
组合不考虑元素的顺序，只关心元素的选择和数量。
组合数学中的组合C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的方案数，计算公式为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中！表示阶乘运算。
1.2 排列排列是指从给定的集合中选择出若干元素，并按照一定的顺序排列的过程。
与组合不同，排列考虑元素的顺序，不同的元素排列顺序不同即为不同的排列。
排列数学中的排列A(n, k)表示从n个元素中选择k个元素，并按照一定顺序排列的方案数，计算公式为A(n, k) = n! / (n-k)!。
1.3 分配分配是指将一定数量的物品分配给一定数量的容器或者对象的过程。
在组合数学中，一般将分配问题称为离散分配问题，其中每个物品只能分配给一个容器或者对象，并且每个容器或者对象所接受的数量限制也要考虑在内。
离散分配问题的求解方法包括生成函数、递推关系和矩阵方法等。
2.组合数学的方法2.1 生成函数生成函数是组合数学中常用的一种分析工具，它可以将一个数列或者一个集合映射成一个函数，从而利用函数的性质求解数学问题。
在组合数学中，生成函数常用于求解排列、组合和分配等问题。
生成函数的求解过程涉及到级数的展开和函数的运算，具体方法包括幂级数展开、泰勒展开和拉普拉斯变换等。
2.2 递推关系递推关系是一种通过已知项和递推关系式来求解未知项的方法。
在组合数学中，递推关系常用于求解排列、组合和分配等问题的递推公式。
通过观察已知项的特点和递推关系，可以得到递推公式，从而求解未知项。
递推关系的求解过程涉及到数学归纳法和递推公式的推导。
组合数学考研专业课资料
组合数学考研专业课资料组合数学是数学的一个分支，研究的是集合中元素的选择、排列和组合方式。
它在理论计算机科学、统计学、运筹学等领域有着广泛的应用。
对于考研的学生来说，组合数学是其中的一门专业课程，掌握了组合数学的基本概念和方法，对于考试取得好成绩非常重要。
一、组合数学的基本概念1.1 集合和元素集合是由元素组成的一个整体，可以表示为一对大括号{}中包含一个或多个元素的形式。
元素是集合中的个体，可以是数字、字母、符号等。
1.2 子集和幂集集合A的全部元素都是集合B的元素时，称A是B的子集，用A⊆B表示。
集合A中除去一个或多个元素后所得到的集合称为A的真子集。
集合A的所有可能子集的集合称为A的幂集。
1.3 排列和组合排列是指从集合中选取一定数量的元素按照一定的顺序排列，用数学符号表示为n!，其中n表示元素的个数。
排列与元素的顺序相关。
组合是指从集合中选取一定数量的元素不考虑顺序，用数学符号表示为C(n, m)，其中n表示元素的个数，m表示选取的元素个数。
1.4 二项式系数二项式系数是组合数学中常见的系数，表示组合的可能性。
二项式系数C(n, m)用来计算从n个元素中选取m个元素的组合方式。
二、组合数学的应用领域2.1 图论图论是组合数学的一个重要分支，研究的是图的性质和图中的关系。
图论在计算机网络、电路设计、交通规划等领域有着广泛的应用。
2.2 正整数划分正整数划分是将一个正整数拆分成若干个正整数的和的问题。
组合数学中的划分数理论可以用来解决正整数划分问题，对于组合数学的研究具有重要意义。
2.3 编码理论编码理论是研究如何将信息转换为特定的编码形式以便传输或存储的学科。
组合数学中的排列和组合等概念在编码理论中有着重要的应用。
2.4 概率论概率论是研究随机事件发生的规律的数学学科。
组合数学中的概率论可以用来计算组合的可能性，对于统计学、金融学等领域有着重要的应用。
三、组合数学考研专业课资料推荐3.1 《组合数学导引》《组合数学导引》是一本介绍组合数学基本概念和方法的教材，适合初学者阅读。
组合数学经典书籍
组合数学经典书籍
组合数学是数学的一个重要分支，主要研究有限集合的元素间各种组合的可能性。
以下是一些经典的组合数学书籍：
1. 《组合数学》（Combinatorics）：作者是R.P. Stanley，这本书是组合数学领域的经典教材，内容涵盖了组合计数、排列组合、二项式系数、生成函数、图论等多个方面，深入浅出，理论与实例结合。
2. 《组合数学引论》（An Introduction to Combinatorics）：作者是J.H. van Lint和R.M. Wilson，该书系统介绍了组合数学的基本概念、方法和理论，适合初学者入门。
3. 《组合数学基础》（A Course in Combinatorics）：作者是J. vanLint和D. J. A. Welsh，此书对组合数学进行了全面且详细的阐述，包括组合设计、编码理论等内容，有一定深度。
4. 《应用组合数学》（Applied Combinatorics）：作者是Alan Tucker，这本书在介绍组合数学基本理论的同时，强调了其在实际问题中的应用，对于希望了解并运用组合数学解决实际问题的读者非常有帮助。
5. 《组合数学导引》（Enumerative Combinatorics, Volumes 1 and 2）：作者同样是Richard P. Stanley，这两卷本著作被誉为组合数学领域的权威巨著，内容丰富且深入，适合具有一定基础的研究者阅读。
以上这些书籍都是组合数学领域中深受好评的经典之作，不同书籍侧重点和难易程度有所不同，您可以根据自己的需求选择合适的书籍进行学习。
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第1章 排列、组合、二项式定理内容提要：本章主要介绍加法原理、乘法原理、排列与组合、多重集合的排列与组合、二项式系数以及一些常见的组合恒等式、集合的分划与第2类Stirling数、正整数的分拆（无序分拆和有序分拆）与分配问题等．排列和组合是人们普遍遇到的、并已被广泛使用的基本概念，只是人们没有从理论上研究它．例如，学生集合站队问题、买水果问题等．如果考虑的对象与秩序有关，则称之为排列问题；如果考虑的对象与秩序无关，则称之为组合问题．除了这种具有普遍意义的排列和组合之外，还有可重复元素的排列和组合问题．为了能深入研究这些问题，下面首先介绍两个最基本最常用的原理．1.1 加法原理（原则）与乘法原理（原则）例如，每周在E校区上4节课，在W校区上8节课，除此之外没有别的课，则每周上4 + 8 = 12节课．这里事件A指的是在E校区上4节课，事件B指的是在W校区上8节课，而每周的课不是在E校区就是在W校区，即属于A或B．如果用集合论的语言描述，则描述如下：证明：当A，B中有一个是空集，定理的结论是平凡的．设A ≠Φ，B ≠Φ，记A = {a1, a 2,L, a m}B = {b1, b 2,L, b n}并做映射Ψ：a i →i（1 ≤i ≤m）b j→m+j（1 ≤j ≤n）因为a i≠b j (1 ≤i ≤m, 1 ≤j ≤n)组合理论及其应用所以 是从A U B 到集合{1，2，L ，m +n }上的一一映射，因而定理成立．【例1】 在所有6位二进制数中，至少有连续4位是1的有多少个？解：把所有满足要求的二进制数分成如下3类：（1）恰有4位连续的1．它们可能是 01111，011110，11110×，其中，“ ”取0或1．故在此种情况下，共有5个不同的6位二进制数．（2）恰有5位连续的1．它们可能是011111和111110，共有2个．（3）恰有6位连续的1．即111111，只有1种可能．综合以上分析，由加法原理知共有5+2+1=8个满足题意要求的6位二进制数．用集合论的语言可叙述如下：证明：若m = 0或n = 0，则等式两边均为0，故等式成立．设m > 0，n > 0，并且记A = {a 1, a 2,L , a m }，B = {b 1, b 2,L , b n }，定义映射Ψ：(a i , b j ) →（i – 1）n + j (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n )，则 是A ×B 到集合{1, 2,L , mn –1, mn }上的一一映射，所以等式成立．【例2】 比5400大的4位数中，数字2，9不出现，且各位数字不同的数有多少个？解：比5400大的4位数可以分为4类：（1）千位比5大的符合题意的整数有3 × 7 × 6 × 5个．（2）千位是5，百位比4大的符合题意的整数有3 × 6 × 5个．（3）前2位是54，十位不为0且符合题意的整数有5 × 5个．（4）前3位是540，个位不为0且符合题意的整数有5个．故共有3 × 7 × 6 × 5 + 3 × 6 × 5 + 5 × 5 + 5 = 750个符合条件的整数．【例3】 在1000到9999之间有多少个各位数字不同的奇数？2第1章 排列、组合、二项式定理解：方法1 如图1.1所示，第4位必须是奇数，可取1，3，5，7，9，共5种选择．第1位不能取0，也不能取第4位已选定的数字，所以在第4位选定后第1位有8种选择．类似地，第2位有8种选择，第3位有7种选择．从而，满足题意的数字共有5 × 8 × 8 × 7 = 2240个．方法2 把满足题意的数分为两类：（1）4位数中没有0出现．类似方法1的分析，第4位有5种选择，第3位有8种选择，第2位有7种选择，第1位有6种选择，此类数共有6 × 7 × 8 × 5 = 1680个．（2）4位数中有0出现，这里，0只能出现在第2位或第3位上．假设0在第2位上，则第4位有5种选择，第3位有8种选择，第1位有7种选择，共有7 × 8 × 5 = 280个数．同理，若0出现在第3位上，也有280个数．由加法原则知，合乎题意的数共有1680 + 280 × 2 = 2240个．1.2 排列与组合本节将探讨一些基本的排列与组合问题．同时，也会做一些延伸，比如圆排列问题．1.2.1 集合的排列n 元集合S 的一个r 排列是指先从S 中选出r 个元素，然后将其按次序排列．一般用 P （n , r ）或r n P 表示n 元集合S 的r 排列数．例如，设S ={a ,b ,c }，则ab , ac , ba , bc , ca , cb是S 的所有6个2排列，所以P (3, 2) = 6．当r = n 时，称n 元集合S 的n 排列为S 的全排列，即P (n , n ) = n !，相应的数称为n 元集合S 的全排列数，如S = {a , b , c }，则abc , acb , bac , bca , cab , cba是S 的所有6个全排列，所以P (3, 3) = 6．显然，有（1）P (n , r ) = 0(r > n )；（2）P (n , 1) = n (n ≥ 1)．证明：要构造n 元集合的一个r 排列，可以在n 元集合中任取一个作为第1项，有n 种取法；在取定第1项后，第2项可以从剩下的n –1 个元素中任选一个作为第2项，有 n – 1种取法；同理，在前r – 1项取定后，第r 项有n – r + 1种取法．由乘法原理知：P (n , r ) = n (n – 1)L (n – r + 1) = n ! / (n – r )!由定理1.2.1，n 元集合的全排列数P (n , n )= n !. 规定：0! = 1．【例4】 有4盏颜色不同的灯：3第1位第2位第3位第4位图 1.14组合理论及其应用（1）把它们按不同的次序全部挂在灯杆上表示信号，共有多少种不同的信号？（2）每次使用1盏、2盏、3盏或4盏灯按一定的次序挂在灯杆上表示信号，共有多少种不同的信号？解：（1）P (4, 4) = 24.（2）P (4, 1) + P (4, 2) +P (4, 3) + P (4, 4) = 64.【例5】 将a, b, c, d, e, f进行排列．问：（1）使得字母b正好在字母e的左邻的排列有多少种？（2）使得字母b在字母e的左边的排列有多少种？解：（1）b正好是e的左邻，那么把be看作一个字母E，则原问题就变成求集合{a, c, E, d, f }的全排列数，共有5！种排列．（2）将{a, b, c, d, e, f }的所有全排列分成如下两类：A = {××L× | 其中b在e的左边}，B = {××L× | 其中b在e的右边}．显然有A I B = Φ，A U B = {a, b, c, d, e, f }的全体全排列，| A U B | = 6!．定义映射f：A→B，使f（L b L e L）=（L e L b L）.即f将A中的任一排列的b与e的位置互换，保持其余字母位置不变，得到B中的一个排列．显然，f是一一映射，所以 |A| = |B| = 1/2×6!.【例6】 现在把例5改一下．从a, b, c, d, e, f中选出3个字母进行排列，且b与e不相邻的排法有多少种？解：方法1从6个字母选出3个的排列共有P(6,3)个，将其分为以下3类：（1）b和e挨在一起，且b是e的左邻．（2）b和e挨在一起，且b是e的右邻．（3）b和e不挨在一起（包括不出现b和e）．从例5的第2问知道，第1类和第2类的排法是同样多的．现在分析第1种情况．选定了b，e，那么只需从a，c，d，f中再选出1个，与代表b是e的左邻的E进行排列；所以第1种情况共P(4, 1) ×P (2, 2)种排法．第2种情况也有P(4, 1) ×P (2, 2)种排法．显然，这里没有其他的可能情况．因此，要求的第3类排法的个数为P (6, 3) – 2 ×P (4, 1) ×P (2, 2) = 104．方法2直接计算．满足题意的排列可分为如下4类：（1）排列中b，e均不出现，即为4元集合{a, c, d, f }的3排列，共有P(4, 3)种．（2）排列中只出现b，不出现e．那么先从4元集合{a, c, d, f }中选出2个进行排列，然后把b放在它们之间或两端，故此类排法共有3 ×P (4, 2)种．（3）排列中只出现e，不出现b．同（2），此类排法共有3×P (4, 2)种．（4）排列中出现e和b，但不相邻．显然，需要从集合{a, c, d, f }中选出1个，然后把b和e放在它两边．那么此类排法有2×P (4, 1)种．所以，共可以得到P (4, 3) + 3×P (4, 2) + 3×P(4, 2) + 2×P (4, 1) = 104种符合题意的排法．第1章 排列、组合、二项式定理前面考虑的排列是在直线上进行的，或者更恰当地说，是线性排列—— r 线排列．若在圆周上进行排列，结果又如何呢？例如，由R ，W ，L ，G ，Y 五色扇形组成的圆盘，只要各种颜色间相对位置不变，就是同一个圆盘．有一种可能是下面这样的排列：RW LG Y 而线性排列RWGYL ，WGYLR ，GYLRW ，YLRWG ，LRWGY 代表的都是这个圆盘．这样可以看出，这五色的循环排列数等于5!/5 = 4!．现在推广到r 圆排列．在1个r 圆排列的任意2个相邻元素之间都有一个位置，共有r 个位置．从这r 个位置处将该圆排列断开，并拉直成线排列，可以得到r 个不同的r 线排列．也就是说，将r 个r 线排列121231121r r r r r r a a a a a a a a a a a a −−− L L L L 的首尾相连围成圆排列，得到的是同一个r 圆排列．因此，下面的定理成立：特别地，n 个元素S 的n 圆排列数为(n – 1)!．1.2.2 集合的组合n 元集合S 的r 组合是指从S 中取出r 个元素的一种无序选择，其组合数记为n r或r n C ．显然，有证明：设S 是一个n 元集合，任取S 的一个r 组合，将该r 组合中的r 个元素进行排列，便可得到P (r , r ) = r !个S 中的r 排列．而且S 中的任一r 排列都可恰好通过将S 中的某一r 组合排列而得到．所以有(, )!P n r r =⋅n r，即5r 个线性排列组合理论及其应用(, )!!!()!n P n r n r r r n r == −.特别的，（1）1, 1.0n n n ==（2）0().n r n r =>【例7】 12个人围坐在圆桌旁，其中一个拒绝与另一个相邻，问有多少种安排方法？解：（1）如果这两个人是确定的：先把其他11个人安排在圆桌旁，共有11!/11种；固定这11人后再把剩下的那个人加以安排，他的位置共9个，所以总的排法为11!/11 × 9 = 9 × 10! 种．（2）如果这两个人是任意的：先选出这两个人来，有122种选法；确定这两个人后，排法有11!/11 × 9种．故总的排法有12211!/11 × 9 = 54 × 11!种．【例8】 现有100件产品，其中有两件是次品．如果从中任意抽出3件，抽出的产品中至少有1件次品的概率是多少？解：从100件产品中任意抽出3件，共有1003种方案；抽出的产品中至少有1件次品，有两种情况：只有1件和有两件，分别有98221 种和98212 种方案．所以，所要求的概率为9822982121100% 5.94%1003 + ×=．【例9】 把q 个负号和p 个正号排在一条直线上，使得没有两个负号相邻，证明不同的排法有1+p q 种．证明：如果p + 1 ≥ q ，题目相当于把p 个正号排列在一起，然后把q 个负号插入( p +1)个空隙里，每个空隙插一个．现在这样的排列共有1+ p q 种，故而共有1+p q 种排法．如果p +1< q ，显然不可能没有两个负号相邻，记排法为0种．由于此时1+p q = 0，故可以统一地记为1+p q ．得证．【例10】 取定空间中的25个点，其中任意4个点均不共面，问它们能决定多少个三6第1章 排列、组合、二项式定理角形？多少个四面体？解：既然任意4个点均不共面，那么任意3点也不共线（若有3点共线，则这条线与另外任一点共面）．故任意3点可以组成一个三角形，任意4点可以组成一个四面体．因而这25个点可以组成的三角形个数为2523003 = ，四面体个数为25126504 =．下面给出两个组合恒等式．证明：由定理1.2.3中关于n r的显式表达式很容易得出结论．推论1.2.1的组合意义解释：n r 是n 元集合S 的r 元子集的个数，n n r −是n 元集合S 的n – r 元子集的个数，设A 是S 的r 元子集，则S – A 是S 的n – r 元子集，而且这种对应关系是一一对应的．所以S 的r 元子集的个数等于S 的(n – r )元子集的个数．证明：从两个不同的方面计算n 元集合S 的所有子集的个数，说明等式左，右两端均等于S 的子集数，从而证明其成立．一方面，S 的r 元子集的个数为n r，而r 可取0，1，2，L ，n ，由加法原则，S 的所有子集的个数为012n n n n n ++++L 另一方面，S 有n 个元素，在构成S 的一个子集的时候，S 的每个元素都有在该子集中或不在该子集中两种可能，由乘法原则知，共有2n 种方式构造S 的一个子集，即S 的子集有2n 个．综上分析，得知定理成立．【例11】 单射函数f ：X →Y 的个数等于P (m , n )，其中，n = | X |, m = | Y |( m ≥ n )．证明：设X = {x 1, x 2,L , x n }，则f (x i ) ∈ Y (i = 1, 2,L , n ).因f 是单射，所以f (x 1), f (x 2),L , f (x n )互不相同，故f (x 1) f (x 2) L f (x n )是Y 的一个n 排列．由此易知单射函数f ：X →Y 与Y 的n 排列构成一一对应，其个数为 P (m , n ).由例11知，若| X | = | Y | = n ，则一一映射f ：X →Y 的个数等于n !．7组合理论及其应用【例12】 从整数1，2，L ，1000中选取3个数，使它们的和正好被4整除，有多少种选法？解：1～1000中被4整除余1、余2、余3、余0（即被4整除）的数各有250个．3个数如果都能被4整除，其和自然也能被4整除；同样，一个余0的、一个余1的、一个余3的数之和，或一个余0的、两个余2的数之和，或两个余1的、一个余2的数之和，或两个余3的、一个余2的数之和，都可以被4整除．除此之外没有别的情况可以使题设成立了．故而共有250250250250250250250250250250 33 760 5003111122121 ++++＝种选法．【例13】 某车站有6个入口，每个入口每次只能进一个人，则9人小组共有多少种进站方案？解：方法1 将6个入口依次排好序，分别为第1，第2，L ，第6个入口．因9人进站时在每个入口都是有序的，我们如下构造9人的进站方案：先构造9人的全排列，共有9！个；然后选定9人的一个全排列．加入5个分隔符，将其分成6段，第i （i = 1，2，L，6）段对应着第i 个入口的进站方案．如图1.2所示，每个“*”代表一个人，“△”表示分隔符．故进站方案数为1414!9!9!726 485 760.59!5! ×=×= ×方法2 第1个人可以有6种进站方式，即可从6个入口中的任一个进站；第2个人也可以选择6个入口中的任一个进站，但当他选择与第1人相同的入口进站时，有在第1人前还是后两种方式，所以第2人有7种进站方案；同理，第3人有8种进站方案，……，第9人有14种进站方案．由乘法原则，总的进站方案数为6 ×7 ×L × 14 = 726 485 760．【例14】 有8个大小相同的棋子（5个红的、3个蓝的），放在8×8的棋盘上，每行、每列都只能放一个，有多少种放法？解：我们先放红色的．（1）在8行中任选5行放红色棋子，有85种选择．（2）选定行后，再选列．因为每行都不同，故有P (8, 5)种选择．现在再放蓝色的棋子．还剩3行、3列，而每个棋子都是相同的，故可把第1个棋子放在剩下的第1行，3列可选；第2个棋子放第2行，两列可选；第3个棋子则只剩下1行1列可选．于是，有3!种方案．根据乘法原理，共有85P (8, 5) × 3!种放法．如果把棋盘换成12 × 12的，而其他条件不变，结果会如何呢？读者自行思考．8* *△* △* **△* △* △* ↑↑ ↑ ↑↑3 5 9 11 13图 1.2第1章 排列、组合、二项式定理1.3 多重集合的排列与组合前面考虑的集合中，都没有重复的元素，即单重集合；现在考虑多重集合，即有重复元素的集合，例如：M = {a , a , a , b , c , c , d , d , d , d }就是一个10元素的多重集合，其中有3个a ，1个b ，2个c ，4个d ．通常，将M 表示为M = {3⋅a , 1⋅b , 2⋅c , 4⋅d }，一般来说，多重集合表示为M = {k 1⋅a 1, k 2⋅a 2,L , k n ⋅a n }，其中a i （i = 1, 2,L , n ）表示元素的种类，k i （i = 1, 2,L , n ）表示每类元素的个数．1.3.1 多重集合的排列证明：在构造M 的一个r 排列时，第1项有k 种选择，第2项有k 种选择，……，第r 项有k 种选择．由于M 中的每个元素都是无限重的，所以r 排列中的任一项都有k 种选择，且不依赖于前面已选择的项，故M 的r 排列数为k r ．注意：由上面的证明易知，M 中每个元素的重数至少为r ．证明：方法1 集合M 中共有k 1+ k 2+L + k n 个元素，a 1占集合M 的全排列中的k 1个位置，选取a 1所占位置的方法数为121n k k k k +++L ；在确定了k 1个a 1的位置后，还有 (k 2 + k 3 +L + k n )个位置，a 2占其中的k 2个位置，方法数为22n k k k ++L ．类似的，依次选择位置安排a 3, a 4 ,L , a n . 由乘法原则知，M 的全排列数为()()122312122312231212 !()!!!()!!()!!!.!!!n n n n n n n n n n n n k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=××⋅⋅⋅×+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅方法2 先把M 中所有的k 1+ k 2+…+ k n 个元素看成是互不相同的，则它的全排列数为(k 2 + k 3 +L + k n ) !．但这里k i 个a i 是相同的，所以在这(k 2 + k 3 +L + k n )!个排列中，k i ！个a i 的位置相同且同其他元素排列也相同的排列是同一个．故知M 的全排列数为9组合理论及其应用1212()!!!!++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅n n k k k k k k ．【例15】 求1.2节例13的9人小组的进站方案数．解：设9个人分别为a 1, a 2,L , a 9，分隔符为“△”，则集合M ={a 1, a 2,L , a 9，5*}△的每个全排列对应着9人的一种进站方式，共有14 !726 485 7601!1! 5 !=×⋅⋅⋅××种. 【例16】 将52张牌平均分给4个人，每人有一个5张牌的同花顺的概率是多少？解：首先分给4个人每人一个5张牌的同花顺的个数：（1）4个人每人的5张同花顺颜色均不同．每种花色均有9种不同的同花顺．故共有P （4, 4）94种可能．（2）4个人中有两人是同色的同花顺，另外两人是另外两种花色的．两个人是同色的同花顺的分发有10种，他们的花色有4种选择．故共有41P (4, 2)×10×P (3, 2)×92种.（3）4个人中每两人是一种同花顺．同上，共有P (4, 2) ×41 × 10 ×31× 10 × P (2, 2)种.其余32张牌平均分配给4个人的分法有328 248 168 88种．将52张牌平均分给4个人的分法有5213 3913 2613 1313种．因而所求的概率P (n )为42443(4, 4)9(4, 2)10(3, 2)9(4, 2)1010(2, 2)111()52392613131313133224168 0.0006 %.8888P P P P P P n ×+××××+××××× = ×××××××=【例17】 如图1.3所示，只可以沿水平和垂直道路向右或向上走，计算从(0, 0)点到(n , n )点的不穿过直线y = x 的路径数．在解答此题之前，首先考虑两个较简单的 问题．（1）图1.4中，从(0, 0)点开始，只可以沿水平和垂直道路向右或向上走，要走到(m ,n )点，共有多少种走法？（2）利用图1.5来说明等式01=+++ = ∑m i m n n i m i10图 1.3。