1-1线性代数_二元_三元一次方程组
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x y 35 2x 4 y 94 因为94-35-35=24，故兔子数量 y=24/2=12, 则鸡的数量x=35-12=23 (实际上，就是用方程②-方程①×2，消去x，求出y后，代回求得x)
4
含参二元一次方程组求解
用消元法解二元线性方程组
aa2111
x1 x1
线性代数——先修课 第一章 线性方程组
§1.1 二元、三元一次方程组的求解
1
内容提要
从鸡兔同笼问题谈起 某类二元、三元一次方程组的求解 2、3阶行列式的引入
2
从“鸡兔同笼”问题谈起
线性
一次函数 一次方程
一次方程组 线性方程组
3
例1. 《孙子算经》中著名的数学问题，其内容是：“今有雉（鸡）兔同笼， 上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何。” 解：设鸡和兔的数量分别为 x, y, 则
a13 x3 a 23 x3
b1 b2
a31x1 a32 x2 a33x3 b3
10
含参三元一次方程组求解
可得
x1
b1a22a33 a12a23b3 a13b2a32 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
b1a23a32 a12b2a33 a11a23a32 a12a21a33
副对角线
主对角线
称为：二阶行列式
7
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
,
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
.
分子由方程组的两个系数及两个常数项共同确定。
b1a22
x3
a11a22b3 a11a22a33
a12b2a31 b1a21a32 a12a23a31 a13a21a32
a11b2a32 a12a21b3 b1a22a31 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
11
三项的分母相同，均为
组的求解公式
方程个数 = 未知数个数 系数组成的行列式 D ≠ 0 所求出的解是唯一的
进一步思考：
四阶、五阶,…,n阶行列式的概念？
四元、五元,…,n元线性方程组有 无类似的求解公式？
当方程个数 ≠ 未知数个数时，怎 么办？
当系数组成的行列式 D = 0时，怎 么办？
线性方程组解数是多少？无解， 唯一解，很多解
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a11 a12 a13 a21 a22 a 23 D a31 a32 a33
1. 六项代数和，每一项都是三个元相乘； 2. 分析每项三个元素的下标，它们取自不同的行与列; 3. 行下标按升序排列后, 列下标恰好取遍1,2,3的所有全排列.
x2 x2
b1 b2
的解为：
x1
D1 D
,
x2
D2 D
.
其中
D a11 a21
a12 , a22
D1
b1 b2
a12 , a22
D2
a11 a21
b1 . b2
含参三元一次方程组求解
类似地, 用消元法求解如下三元一次方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
1 0 1 1 2 2
D3 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 111 5,
1 1 0
故方程组的解为:
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
14
本讲小结
引入二阶、三阶行列式的概念 给出一类二元、三元线性方程
D称为三阶行列式
12
三阶行列式中的符号
a11 a12 a13
D
a21
a22
a23
a31 a32 a33
对角线法
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
• 与主对角线平行的蓝线上三元素的乘积冠以正号， • 与副对角线平行的黄线上三元素的乘积冠以负号． • 对角线法则适用于二阶与三阶行列式．
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
,
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
.
两式分母相同，且由方程组的四个系数确定。
为了方便, 引入记号
a11 a12 a21 a22
a11a22 a12a21
13
例2
解线性方程组
2xx1 12xx22
x3 3x3
2, 1,
x1 x2 x3 0.
1 2 1
解： D 2 1 3 11 1 (2) (3) (1) 2 11
1 1 1
111 2 2 1 131 5 0,
2 2 1
D1 1 1 3 2 1 1 111 2 1 3 2 1 1 5,
0 1 1 1 2 1
D2 2 1 3 111 2 3 1 1 11 2 2 1 10,
a13a22b3 a13a22a31
x2
a11b2a33 b1a23a31 a13a21b3 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23b3 b1a21a33 a13b2a31 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
15
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
(1) (2)
1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , 2 a12 : a12a21x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去 x2, 得 a11a22 a12a21 x1 b1a22 a12b2;
类似地, 消去 x1, 得 a11a22 a12a21 x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时, 得
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12aБайду номын сангаас1
,
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
.
aa2111xx11
a12b2
b1 b2
a12 a22
a11b2
b1a21
a11 a21
b1 b2
将 a11 a12 的第一列换成 b1
a21 a22
b2
将 a11 a12 的第二列换成 b1
a21 a22
b2
含参二元一次方程组求解
当 D 0 时,
二元线性方程组
aa2111xx11
a12 a22
4
含参二元一次方程组求解
用消元法解二元线性方程组
aa2111
x1 x1
线性代数——先修课 第一章 线性方程组
§1.1 二元、三元一次方程组的求解
1
内容提要
从鸡兔同笼问题谈起 某类二元、三元一次方程组的求解 2、3阶行列式的引入
2
从“鸡兔同笼”问题谈起
线性
一次函数 一次方程
一次方程组 线性方程组
3
例1. 《孙子算经》中著名的数学问题，其内容是：“今有雉（鸡）兔同笼， 上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何。” 解：设鸡和兔的数量分别为 x, y, 则
a13 x3 a 23 x3
b1 b2
a31x1 a32 x2 a33x3 b3
10
含参三元一次方程组求解
可得
x1
b1a22a33 a12a23b3 a13b2a32 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
b1a23a32 a12b2a33 a11a23a32 a12a21a33
副对角线
主对角线
称为：二阶行列式
7
aa2111
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
,
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
.
分子由方程组的两个系数及两个常数项共同确定。
b1a22
x3
a11a22b3 a11a22a33
a12b2a31 b1a21a32 a12a23a31 a13a21a32
a11b2a32 a12a21b3 b1a22a31 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
11
三项的分母相同，均为
组的求解公式
方程个数 = 未知数个数 系数组成的行列式 D ≠ 0 所求出的解是唯一的
进一步思考：
四阶、五阶,…,n阶行列式的概念？
四元、五元,…,n元线性方程组有 无类似的求解公式？
当方程个数 ≠ 未知数个数时，怎 么办？
当系数组成的行列式 D = 0时，怎 么办？
线性方程组解数是多少？无解， 唯一解，很多解
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a11 a12 a13 a21 a22 a 23 D a31 a32 a33
1. 六项代数和，每一项都是三个元相乘； 2. 分析每项三个元素的下标，它们取自不同的行与列; 3. 行下标按升序排列后, 列下标恰好取遍1,2,3的所有全排列.
x2 x2
b1 b2
的解为：
x1
D1 D
,
x2
D2 D
.
其中
D a11 a21
a12 , a22
D1
b1 b2
a12 , a22
D2
a11 a21
b1 . b2
含参三元一次方程组求解
类似地, 用消元法求解如下三元一次方程组
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
1 0 1 1 2 2
D3 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 111 5,
1 1 0
故方程组的解为:
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
D3 D
1.
14
本讲小结
引入二阶、三阶行列式的概念 给出一类二元、三元线性方程
D称为三阶行列式
12
三阶行列式中的符号
a11 a12 a13
D
a21
a22
a23
a31 a32 a33
对角线法
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31.
• 与主对角线平行的蓝线上三元素的乘积冠以正号， • 与副对角线平行的黄线上三元素的乘积冠以负号． • 对角线法则适用于二阶与三阶行列式．
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
,
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
.
两式分母相同，且由方程组的四个系数确定。
为了方便, 引入记号
a11 a12 a21 a22
a11a22 a12a21
13
例2
解线性方程组
2xx1 12xx22
x3 3x3
2, 1,
x1 x2 x3 0.
1 2 1
解： D 2 1 3 11 1 (2) (3) (1) 2 11
1 1 1
111 2 2 1 131 5 0,
2 2 1
D1 1 1 3 2 1 1 111 2 1 3 2 1 1 5,
0 1 1 1 2 1
D2 2 1 3 111 2 3 1 1 11 2 2 1 10,
a13a22b3 a13a22a31
x2
a11b2a33 b1a23a31 a13a21b3 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23b3 b1a21a33 a13b2a31 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
15
a12 x2 a22 x2
b1 , b2 .
(1) (2)
1 a22 : a11a22 x1 a12a22 x2 b1a22 , 2 a12 : a12a21x1 a12a22 x2 b2a12 ,
两式相减消去 x2, 得 a11a22 a12a21 x1 b1a22 a12b2;
类似地, 消去 x1, 得 a11a22 a12a21 x2 a11b2 b1a21,
当 a11a22 a12a21 0 时, 得
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12aБайду номын сангаас1
,
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
.
aa2111xx11
a12b2
b1 b2
a12 a22
a11b2
b1a21
a11 a21
b1 b2
将 a11 a12 的第一列换成 b1
a21 a22
b2
将 a11 a12 的第二列换成 b1
a21 a22
b2
含参二元一次方程组求解
当 D 0 时,
二元线性方程组
aa2111xx11
a12 a22