量子力学第一章课外练习题

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量子力学教程课后习题答案

量子力学教程课后习题答案量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长与温度T成反比，即T=b（常量）；并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式，（1）以及，（2），（3）有这里的的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，取得极大值，因此，就得要求对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作。

但要注意的是，还需要验证对λ的二阶导数在处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的就是要求的，具体如下：如果令x= ，则上述方程为这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有把x以及三个物理常量代入到上式便知这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。

解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=h，如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（），那么如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有在这里，利用了以及最后，对作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

1．3 氦原子的动能是（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。

第一章量子力学基础例题与习题

第⼀章量⼦⼒学基础例题与习题第⼀章量⼦⼒学基础例题与习题⼀、练习题1．⽴⽅势箱中的粒⼦，具有的状态量⼦数，是A． 211 B． 231 C． 222 D． 213。

解：(C)。

2．处于状态的⼀维势箱中的粒⼦，出现在处的概率是多少？A．B．C．D．E．题⽬提法不妥，以上四个答案都不对。

解：(E)。

3．计算能量为100eV光⼦、⾃由电⼦、质量为300g⼩球的波长。

( )解：光⼦波长⾃由电⼦300g⼩球。

4．根据测不准关系说明束缚在0到a范围内活动的⼀维势箱中粒⼦的零点能效应。

解：。

5．链状共轭分⼦在波长⽅向460nm处出现第⼀个强吸收峰，试按⼀维势箱模型估计该分⼦的长度。

解：6．设体系处于状态中，⾓动量和有⽆定值。

其值是多少？若⽆，求其平均值。

解：⾓动量⾓动量平均值7．函数是不是⼀维势箱中粒⼦的⼀种可能的状态？如果是，其能量有没有确定值？如有，其值是多少？如果没有确定值，其平均值是多少？解：可能存在状态，能量没有确定值，8．求下列体系基态的多重性。

(2s+1) (1)⼆维⽅势箱中的9个电⼦。

(2)⼆维势箱中的10个电⼦。

(3)三维⽅势箱中的11个电⼦。

解：(1)2，(2)3，(3)4。

9．在0－a间运动的⼀维势箱中粒⼦，证明它在区域内出现的⼏率。

当，⼏率P怎样变？解：10．在长度l的⼀维势箱中运动的粒⼦，处于量⼦数n的状态。

求 (1)在箱的左端1/4区域内找到粒⼦的⼏率？(2)n为何值，上述的⼏率最⼤？(3)，此⼏率的极限是多少？(4)(3)中说明什么？解：11．⼀含K个碳原⼦的直链共轭烯烃，相邻两碳原⼦的距离为a，其中⼤π键上的电⼦可视为位于两端碳原⼦间的⼀维箱中运动。

取l＝(K－1)a，若处于基组态中⼀个π电⼦跃迁到⾼能级，求伴随这⼀跃迁所吸收到光⼦的最长波长是多少？解：12．写出⼀个被束缚在半径为a的圆周上运动的质量为m的粒⼦的薛定锷⽅程，求其解。

解：13．在什么条件下?解：14．已知⼀维运动的薛定锷⽅程为：。

《量子力学教程》周世勋_课后答案

量子力学课后习题详解第一章量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ，（1）以及 c v =λ，（2）λρρd dv v v -=，（3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

第一章量子力学基础习题

第一章量子力学基础一．选择题1. 已知某色光照射到一金属表面、产生了光电效应，若此金属的逸出电势是0U （使电子从金属逸出需做功0eU ）则此单色光的波长λ必须满足： A（A ）0/eU hc ≤λ （B ）()o hc eU λ≥（C ）()()0/eU hc λ≤ （D ）()()0/eU hc λ≥2. 用强度为I ，波长为λ的X 射线（伦琴射线）分别照射锂（Z=3）和铁（Z=26），若在同一散射角下测得康普顿散射的X 射线波长分别Li λ和()11,Fe L F λλλλ>，它们对应的强度分别为1L I 和Fe I ，则（A ）11,L Fe L Fe I I λλ>< （B ）11,L Fe L Fe I I λλ== （C ）11,l Fe L Fe I I λλ=>（D ）11,L Fe L Fe I I λλ<> [ C ]3. 根据玻尔氢原子理论，氢原子中的电子在第一和第三轨道上运动时速度大小之比21:v v 是：（A ）1；（B ）19；（C ）3；（D ）9 。

[ C ]4. 若外来单色光将氢原子激发至第三激发态，则当氢原子跃迁回低能态时，可发出的可见光光谱的条数是： C （A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ） 65. 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是0.40A ，则U 约为（A ）150V （B ）330V （C ）630V （D ）940V（普朗克常量34606310.h j s -=⨯） [ D ] 6. 若α粒子（电量为2e ）在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是（A ）()2h eRB （B ）()h eRB（C ）()12eRBh （D ）)1eRBh [ A ] 7. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：()32x x a πφ=（-a ≤x ≤a ）那么粒子在x=5a/6处出现的几率密度为：（A ）1/（2a ）（B ）1/a（C）（D） [ ]解答：()2222531516cos cos 242ax a a aπρϕπ====，故选（A ）。

量子力学第一章作业

量子力学第一章习题一、填空题1．普朗克（Planck ）常数h 的数值是，普朗克（Planck ）常数ħ和h 之间的关系是，普朗克（Planck ）常数ħ的数值是。

2．索末菲（Sommerfeld ）的量子化条件是。

3．德布罗意（de Broglie ）公式是。

二、问答题1．什么是黑体（或绝对黑体）？根据普朗克（Planck ）黑体辐射规律（教材第二页1.2.1式），试讨论辐射频率很高（趋于无穷大）和很低（趋于零）时的黑体辐射规律，并与维恩公式、瑞利——金斯公式相比较。

请给出波长在λ到λ+d λ之间的辐射能量密度规律。

2．什么是光电效应？光电效应的实验特点是什么？经典物理在解释光电效应时的困难是什么？采用爱因斯坦（Einstein ）的光量子假设后，光电效应是如何解释的？3．光子有什么特点？爱因斯坦关于光子能量、动量和光子频率、波长之间的关系是什么？这个关系反映出光子的什么特征？4．什么是康普顿效应？试由Einstein 的光量子说，利用能量动量守恒，解释Compton 效应。

康普顿效应说明了什么？和光电效应相比，入射光子能量哪个大，并说明理由。

5．玻尔的氢原子模型内容是什么？试根据玻尔的氢原子模型给出里德堡（Rydberg ）常数和氢原子第一玻尔半径的表达式和数值结果。

并说明为什么玻尔的量子论是半经典的半量子的？三、多项选择题1．说明微观粒子具有波动性的现象有说明电磁波具有粒子性的现象有(a)以太漂移说 (b)黑体辐射 (c)光电效应(d)康普顿（Compton ）效应 (e)原子结构和线性光谱 (f)电子的双缝衍射 (g)戴维逊（Davisson ）——革末（Germer ）实验(h)迈克尔逊（Michelson ）——莫雷（Monley ）实验四、计算题1．教材习题(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)2．设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

量子力学(第1-4章)考试试题

第一至四章例题一、单项选择题1、普朗克在解决黑体辐射时提出了【】A 、能量子假设B 、光量子假设C 、定态假设D 、自旋假设2、若nn n a A ψψ=ˆ，则常数n a 称为算符A ˆ的【】 A 、本征方程 B 、本征值 C 、本征函数 D 、守恒量3、证实电子具有波动性的实验是【】A 、戴维孙——革末实验B 、黑体辐射C 、光电效应D 、斯特恩—盖拉赫实验4、波函数应满足的标准条件是【】A 、单值、正交、连续B 、归一、正交、完全性C 、连续、有限、完全性D 、单值、连续、有限 5、已知波函数 )exp()()exp()(1Et ir Et i rϕϕψ+-=, )exp()()exp()(22112t E i r t E i rϕϕψ+-=,)exp()()exp()(213Et ir Et i r-+-=ϕϕψ,)exp()()exp()(22114t E ir t E i r-+-=ϕϕψ其中定态波函数是【】 A 、ψ2 B 、ψ1和ψ2 C 、ψ3 D 、3ψ和ψ46、在一维无限深势阱⎩⎨⎧≥∞<=a x ax x U ,,0)(中运动的质量为μ的粒子的能级为【】A. πμ22222 n a B. πμ22224 n a C. πμ22228 n a D. πμ222216 n a. 7、量子力学中用来表示力学量的算符是【】 A 、线性算符 B 、厄米算符 C 、幺正算符 D 、线性厄米算符8、]ˆ ,ˆ[x p x= 【】 A 、0 B 、 i C 、 i - D 、29、守恒量是【】A 、处于定态中的力学量B 、处于本征态中的力学量C 、与体系哈密顿量对易的力学量D 、其几率分布不随时间变化的力学量10、某体系的能量只有两个值1E 和2E ，则该体系的能量算符在能量表象中的表示为【】A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡1221E E E E B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2100E E C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡0021E E D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211E E E E 11、)(r nlmψ为氢原子归一化的能量本征函数，则=''⎰τψψd m l n nlm 【】A 、0B 、1C 、m m l l ''δδD 、m l lm ''δδ 二、填空题 1、19世纪末20世纪初，经典物理遇到的困难有（举三个例子）。

第1章量子力学基础-习题与答案

一、是非题1. “波函数平方有物理意义，但波函数本身是没有物理意义的”。

对否解：不对2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。

试用测不准关系判断该模型是否合理。

解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。

二、选择题1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。

正交性的数学表达式为 a ，归一性的表达式为 b 。

()0,()1i i i i a d i jb ψψτψψ**=≠=⎰⎰2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E )(A) dxd(B) ∇2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D )(A) xˆ 和 y ˆ (B) x∂∂和y ∂∂ (C) ˆx p和x ˆ (D) ˆx p 和y ˆ 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx(C) e -ikx(D) 2e kx -(1) 哪些是dxd的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C )(3) 哪些是22dx d 和dxd的共同本征函数。

------------------------------ (B, C )5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ）(A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）(A) de Bröglie (B) A.Einstein (C) W. Heisenberg (D) E. Schrödinger7. 首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：--------------（ C ）(A) 薛定谔 (B) 狄拉克 (C) 海森堡 (D) 波恩 8. 下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：---------------（ AB）(Ａ)电子自旋(保里原理) (Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征 (Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的 (Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理9. 描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：------------------------------（ D ） (A) 由经典的驻波方程推得 (B) 由光的电磁波方程推得(C) 由经典的弦振动方程导出 (D) 量子力学的一个基本假设三、填空题：1. 1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。

1量子力学练习1～5+解答

对于质量为角频率为的三维各向同性的谐振子其势能表达式为由于其势能表达式的特殊性所以求解三维各向同性的谐振子的本征值和本征函数可以在三种坐标中进行但是在不同坐标系中求解所选守恒量完全集不同在球坐标系中常为守恒量完全集在柱坐标系常选为守恒量完全集中在直角坐标系中常选为守恒量完全集
量子力学练习一
1．爱因斯坦在解释光电效应时，提出光量子(光子)概念；爱因斯坦光电效应方程为
解：（1）令，则由归一化条件可得
而，故
归一化的波函数为
（2）坐标几率密度取极值的条件
即x＝0时坐标几率密度取极大值，其值为
9．设粒子归一化波函数为，求在范围内找到粒子的几率。
解：波函数已归一化，故在范围内找到粒子的几率，应将x,z分量积分掉即
10．写出几率守恒的积分和微分形式以及几率密度、几率流密度的表达式；并计算：
4．对于质量为、角频率为的三维各向同性的谐振子，其势能表达式为，由于其势能表达式的特殊性，所以求解三维各向同性的谐振子的本征值和本征函数可以在三种坐标中进行，但是在不同坐标系中求解所选守恒量完全集不同，在球坐标系中常选为守恒量完全集，在柱坐标系常选为守恒量完全集中在直角坐标系中常选为守恒量完全集。
（2）粒子动量p的平均值、及动量不确定度（涨落）；
（3），并验证测不准关系；
解：一维无限深势阱中，粒子处于第一激发态的波函数为
（1）粒子坐标的平均值：
（2）动量的平均值：
（3），满足测不准关系
2．粒子被限制在如下势场中运动，试写出粒子所满足的Schrodinger方程（粒子能量），并确定其边界条件。（不需要具体计算，所写方程要最简（参数引人））
（C1，C2为常数）
同理
8．设粒子处于状态中，求和（提示：首先利用升降算符，证明

量子力学教程（二版）习题答案

第一章绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b bTm3109.2 ,×´==-l 。

证明：由普朗克黑体辐射公式：由普朗克黑体辐射公式：n n p nr n nd ec hd kTh 11833-=，及ln c=、l ln d c d 2-=得1185-=kThcehc l l l p r ，令kT hc x l =，再由0=l r l d d ，得l .所满足的超越方程为所满足的超越方程为15-=x x e xe用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kT hc m l ，将数据代入求得C m 109.2 ,03×´==-b b T ml 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ,求de Broglie 波长. 解：010A 7.09m 1009.72=´»==-mEh p h l # 1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。

波长。

解：010A 63.12m 1063.1232=´»===-mkT h mE h p h l其中kg 1066.1003.427-´´=m ，123K J 1038.1--×´=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：利用玻尔—索末菲量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量。

）一维谐振子的能量。

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。

）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。

已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--×´=B m ，求动能的量子化间隔E D ，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。

的热运动能量相比较。

解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E mw m +=可以化为()12222222=÷÷øöççèæ+mw m E q Ep的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2mw m Eb E a ==，相空间面积为，相空间面积为,2,1,0,2=====òn nh EE ab pdq nw pp 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E n方法2：一维谐振子的运动方程为02=+¢¢q q w ，其解为，其解为()j w +=t A q sin速度为速度为 ()j w w +=¢t A q c o s ，动量为()j w mw m +=¢=t A q p cos ，则相积分为，则相积分为 ()()nh T A dt t A dt t A pdq T T ==++=+=òòò2)cos 1(2cos 220220222mw j w mw j w mw ， ,2,1,0=n nmw nh T nh A E ===222， ,2,1,0=n （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。

量子力学第一次参考答案

量子力学第一次作业题目第一章绪论1.2 在0K 附近，Na 的价电子能量约3电子伏，求德布罗意波长。

1.3 氢原子的动能 E=3kT/2，求T=1K 时的德布罗意波长。

第二章波函数和薛定谔方程2.1 证明在定态中，几率流密度与时间无关。

2.3 一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=ax a x x x U 00)(0 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是aA 1=' 。

2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。

参考答案2.1 证明在定态中，几率流与时间无关。

证：对于定态，可令)]()()()([2 ])()()()([2 )(2 )( )()()(******r r r r mi e r e r e r e r mi m i J er t f r t r Et iEt i Et i Et i Etiψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=ψ∇ψ-ψ∇ψ===ψ-----）（）（，可见t J 与无关。

2.3 一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

解：t x U 与)(无关，是定态问题。

其定态S —方程)()()()(2222x E x x U x dx d m ψψψ=+-在各区域的具体形式为Ⅰ： )()()()(2 0111222x E x x U x dx d m x ψψψ=+-< ① Ⅱ： )()(2 0 22222x E x dx d m a x ψψ=-≤≤ ②Ⅲ： )()()()(2 333222x E x x U x dx d m a x ψψψ=+-> ③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须0)(1=x ψ 0)(2=x ψ 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

量子力学曾谨严第1章作业答案

教材P25 ~27：1、2、3、4(1)、7 1.解：(a)证明能量平均值公式()[]()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞∞⋅ψ∇ψ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ψψ+ψ∇⋅ψ∇=⎭⎬⎫⎩⎨⎧ψψ+ψ∇⋅ψ∇-ψ∇ψ⋅∇-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧ψψ+ψ∇ψ-=ψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∇-ψ=sd r r m r r V r r r m r d r r V r r r r r m r d r r V r r r m r d r r V m r r d E)()(2)()()()()(2)()()()()()()(2)()()()()(2)()(2)(*2**23***23*2*2322*3粒子在势场中运动的波函数平方可积()0)()(2*2=⋅ψ∇ψ⎰⎰∞s d r r m因此)()()()()()(23**23r w r d r r V r r r m r d E⎰⎰∞∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ψψ+ψ∇⋅ψ∇= 其中能量密度为)()()()()(2)(**2r r V r r r mr wψψ+ψ∇⋅ψ∇=(b)证明能量守恒公式S tr i t r t r i t r S r H t r r H t r S tr r V r r r V t r r t r r t r r t r r t r m tr r V r V t r t r r r t r m t w⋅-∇=∂ψ∂∂ψ∂-∂ψ∂∂ψ∂+⋅-∇=ψ∂ψ∂+ψ∂ψ∂+⋅-∇=∂ψ∂ψ+ψ∂ψ∂+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ψ∇∂ψ∂+ψ∇∂ψ∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ψ∇∂ψ∂+ψ∇∂ψ∂⋅∇=∂ψ∂ψ+ψ∂ψ∂+⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂ψ∂∇⋅ψ∇+ψ∇⋅∂ψ∂∇=∂∂)()()()()(ˆ)()(ˆ)()()()()()()()()()()()()()()(2)()()()()()()()(2*******22***2****2即0=⋅∇+∂∂S tw这表明能量守恒，其中能流密度为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ψ∇∂ψ∂+ψ∇∂ψ∂-=)()()()(2**2r t r r t r mS2.解：(a)证明概率不守恒{}{}()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+⋅∇-∇-=+∇-∇⋅∇-=+∇-∇-=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂+∂∂==τττττττττψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψρ2*3**2*3**32*3*22*3***3**3*33222222)ˆ(ˆ1)(V r dS d imV r dr d im V r dr d im H H r d i t t r d r d dtdr r d dt dS⎰⎰⎰⎰⎰ψψ+⋅∇-=ψψ+⋅-=τττ2*332*322V r dj r d V r d S d j S⎰=τρ)(3r r d dtd⎰⎰+⋅∇-ττψψ2*332V r dj r d即022*≠ψψ=⋅∇+∂∂V j tρ这表明概率不守恒。

第一章量子力学基础习题20111019

所以无确定值
E
0 a 0
a
Hdx
(4 E1 9 E 2 ) 1 (4 E1 9 E 2 ) 2 49 13 dx
1 h2 4h 2 (4 9 ) 2 2 13 8m a 8m a 5h 2 13m a2
习题
1.49-51 处于状态的一维箱中的粒子的动量和动量平方有无确定值，若有，求确定值；若没有，求平均值。
基本知识
5.态叠加原理
若Ψ1、 Ψ2、••• Ψi、••• Ψn为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合也是该体系的可能状态。
c1 1 c2 2 cn n ci i
i 1
n
式中Ci是任意常数，数值的大小反应了Ψi对Ψ的贡献的大小。
ˆ A i ai i a
基本知识
4.Schrodinger方程
在量子力学中，决定微观体系运动状态的是定态Schrodinger 方程:
ˆ H (r) E (r )
2 2 [ V (r )] (r ) E (r ) 2m
实质是能量算符的本征方程。解法：一维箱精确求解三维箱分离变量法平面刚性转子
Ci ai
2
C
2 i
ci ai
i 1
n
2
基本知识
三.简单应用
1.一维箱中粒子
n 2 x sin x x a a
h2 2 E nx 8m a2
2.三维箱中粒子三个方向一维箱的叠加。
n y nx 8 n ( xyz) sin x sin y sin z z abc a b c
n 解：＝ 83 sin n x x sin yx y sin nz z a a a a

周世勋量子力学习题答案(七章全)

第一章绪论1.1 由黑体辐射公式导出维思位移定律，能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即b T m =λ （常数），并近似计算b 的数值，准确到二位有效值。

[解]：由黑体辐射公式，频率在ν与ννd +之间的辐射能量密度为ννπνρννd ec hd kTh 11833-=由此可以求出波长在λ与λλd +之间的能量密度λλρd )( 由于 λν/c =, λλνd cd 2+=因而有：λλπλλρλd ehcd kT hc 118)(5-=令λkT hc x =所以有： 11)(5-=xe Ax λρ （44558c h T k A π=常数）由 0)(=λλρd d 有0)1(115)(254=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=λλλρd dxe e x e x A d d x x x于是，得： 1)51(=-x e x该方程的根为 965.4=x因此，可以给出，k hcxk hc T m 2014.0==λ即b T m =λ （常数）其中 k hcb 2014.0=2383410380546.110997925.21062559.62014.0--⨯⨯⨯⨯⨯=k m ⋅⨯=-310898.2[注]根据11833-=kTh ec h νννπρ 可求能量密度最大值的频率：令kT h x ν=113-=xe Ax νρ （23338h c T k A π=） 0]11[3=-=ννρνd dxe Ax dx d d d x因而可得 131=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x e x此方程的解 821.2=xh kTh kTx 821.2max ==νb T Tb '=⇒'=-1max max νν其中34231062559.610380546.1821.2821.2--⨯⨯=='h k b 1910878.5-⋅︒⨯=s k这里求得m ax ν与前面求得的m ax λ换算成的m ν的表示不一致。

量子力学答案课后习题答案详解(周世勋)

量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1。

解根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ，以及 c v =λ，（2）λρρd dv v v -=，（3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

量子力学习题集

量⼦⼒学习题集量⼦⼒学习题第⼀章绪论1.1 由⿊体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极⼤值所对应的波长λm 与温度T 成反⽐，即λm T=b (常量）；并近似计算b 的数值，准确到⼆位有效数字。

1.2 在0K 附近，钠的价电⼦能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

1.3 氦原⼦的动能是E=3kT/2（k 为玻⽿兹曼常数），求T=1K 时，氦原⼦的德布罗意波长。

1.4 利⽤玻尔－索末菲的量⼦化条件，求：（1）⼀维谐振⼦的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电⼦轨道的可能半径。

已知外磁场H =10特斯拉，玻尔磁⼦M B =9×10-24焦⽿/特斯拉，试计算动能的量⼦化间隔?E ，并与T =4K 及T =100K 的热运动能量相⽐较。

1.5 两个光⼦在⼀定条件下可以转化为正负电⼦对。

如果两光⼦的能量相等，问要实现这种转化，光⼦的波长最⼤是多少？第⼆章波函数和薛定谔⽅程2.1 由下列两定态波函数计算⼏率流密度： (1) ψ1=e ikr /r , (2) ψ2=e -ikr /r .从所得结果说明ψ1表⽰向外传播的球⾯波，ψ2表⽰向内（即向原点）传播的球⾯波。

2.2 ⼀粒⼦在⼀维势场ax a x x x U >≤≤∞∞=00,,0,)(中运动，求粒⼦的能级和对应的波函数。

2.3 求⼀维谐振⼦处在第⼀激发态时⼏率最⼤的位置。

2.4 ⼀粒⼦在⼀维势阱ax a x U x U ≤>??>=,0,0)(0中运动，求束缚态(02.5 对于⼀维⽆限深势阱(0x 和?x ，并与经典⼒学结果⽐较。

2.6 粒⼦在势场xa a x x V x V ≤<<≤??-∞=00,0,,)(0中运动，求存在束缚态(E <0)的条件( ，m ，a ，V 0关系)以及能级⽅程。

2.7 求⼆维各向同性谐振⼦[V =21k (x 2+y 2)]的能级，并讨论各能级的简并度。

2.8粒⼦束以动能E =mk222从左⽅⼊射，遇势垒00,,0)(0≥=x x V x V求反射系数、透射系数。

周世勋量子力学习题及解答

量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ，（1）以及 c v =λ，（2）λρρd dv v v -=，（3）有这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：如果令x=kThcλ ，则上述方程为这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有把x 以及三个物理常量代入到上式便知这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有在这里，利用了以及最后，对作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

第一章量子力学基础课后习题

第一章量子力学基础第八组：070601337刘婷婷 070601339黄丽英 070601340李丽芳070601341林丽云 070601350陈辉辉 070601351唐枋北【1．1】经典物理学在研究黑体辐射、光电效应与氢光谱时遇到了哪些困难？什么叫旧量子论？如何评价旧量子论？[解]：困难：（1）黑体辐射问题。

黑体就是理论上不反射任何电磁波的物体，黑体辐射是指这类物体的电磁波辐射，由于这类物体不反射,所以由它释放出来的电磁波都来自辐射，实验中在不同的能量区间对黑体辐射规律给出了不同的函数，然而这两个函数无法兼容，是完全不同的，而事实上黑体辐射本该遵循某个唯一的规律。

况且经典理论还无法说明这两个函数中的任意一个.这个问题研究的是辐射与周围物体处于平衡状态时的能量按波长（或频率）的分布。

实验得出的结论是：热平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。

这一结果用经典理论无法解释。

（2）光电效应。

光照射到金属上时，有电子从金属中逸出。

实验得出的光电效应的有关规律同样用经典理论无法解释。

（3）按照经典电动力学，由于核外电子作加速运动，原子必然坍缩。

经典物理学不能解释原子的稳定性问题。

原子光谱是线状结构的，而按照经典电动力学，作加速运动的电子所辐射的电磁波的频率是连续分布的，这与原子光谱的线状分布不符。

定义：从1900年普朗克提出振子能量量子化开始，人们力图以某些物理量必须量子化的假定来修正经典力学，用于解释某些宏观现象，并且给出其微观机制。

这种在量子力学建立以前形成的量子理论称为旧量子论。

评价：旧量子论冲破了经典物理学能量连续变化的框框。

对于黑体辐射、光电效应与氢光谱等现象的解释取得了成功。

但是，旧量子论是一个以连续为特征的经典力学加上以分立为特征的量子化条件的自相矛盾的体系，本质上还是属于经典力学的范畴。

由于把微观粒子当作经典粒子，并把经典力学的运动规律应用于微观粒子，因而必然遭到严重的困难。

量子力学第一章习题

第一章绪论1.1. 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即b T m =λ(常量)并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字.解: 能量密度公式 581hc kT hc d d e λλπλρλλ=-则可由0=λρλd d 解得 m λ 05111186=⎪⎭⎫⎝⎛---=λλλλλλπλρkT hc kT hc kT hc e e kT hc e hc d d , 亦即0511=--λλλkT hc kT hc e e kT hc 若令 x kT hcm =λ, 则 0511=--xx e xe 即 015=-+-x e x这是个超越方程,用计算机做出()51x f x e x -=+-的函数图,容易看出当0,5x =附近近似地满足上述方程(舍去0x =的解),用计算机编程求出其数值解为显然 238236.62610 2.991028971.3810 4.9651m hc T kx λ--⨯⨯⨯===⨯⨯⋅⋅米度微米度绘图程序: >>clear x=0:0.01:8; y=exp(-x)+x/5-1; plot(x,y,'-k' ,'LineWidth',2)title('\fontsize{18}\rmf(x)=e^-^x+x/5-1的图像', 'Color','k') xlabel ('\fontsize{14}\rmx', 'Color','k') ylabel ('\fontsize{14}\rmf(x)', 'Color','k') axis ([0 8 -0.8 0.8]) grid on %end 计算程序:1.在文件编辑区建立待求方程组文件并保存： function F = myfun(x)F = exp(-x)+x/5-1 % Compute function values at x 2. 在MATLAB 的命令窗口求解： >>clearx0=1 %建立初始量题1.1图fsolve(@myfun,x0, optimset('fsolve')) %解非线性方程 ans = 0 >>clearx0=5 %建立初始量 fsolve(@myfun,x0, optimset('fsolve')) %解非线性方程 ans = 4.96511.2. 在K 0附近,钠的价电子能量约为3电子伏特,求其德布罗意波长. 解: 因 Eh ph μλ2==而 12121084106133--⨯=⨯⨯==..eV E (尔格)故()272780206.626107.0827107.08279.3466610A cm λ----⨯===⨯=⨯ 1.3. 氦原子的动能是kT E 23=(k 为波尔茨曼常数),求K T 1=时,氦原子的德布罗意波长. 解: 在c v <<的情况下,E p μ2=,故 Ehp h μλ2==. 对于氦原子16103812323-⨯⨯==.kT E (尔格),242410686106714--⨯=⨯⨯=..μ(克), 1.4. 利用波尔-索莫菲的量子化条件,求: (1) 一维谐振子的能量;(2) 在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径.已知外磁场10=H 特斯拉,玻尔磁子24109-⨯=B M 焦耳/特斯拉,试计算动能的量子化间隔E ∆,并与K T 4=及K T 100=的热运动能量相比较.解: 波尔-索莫菲的量子化条件表示为 ⎰== 3210,,,n h n dq p i i i i(1) 求一维谐振子的能量一维谐振子的能量 222212q p E μωμ+= 整理为如下形式:这是椭圆方程,长短半轴b ,a 为E a μ2=, 22μωEb =.于是由最后一个等式,立即得到:(2) 求电子轨道的可能半径电子在垂直于磁场方向的平面里以某一确定的线速度v 作半径为R 的圆运动,则角动量就是广义动量对应的广义坐标为ϕ,则由上式得Rnhv πμ2=(1) 另一方面,电子在均匀磁场中作圆周运动的力Rv 2μ来源于电子所受到的罗仑兹力evB ,即亦即eBRv μ=(2)比较(1)和(2),消去v 便得到现在来研究电子的能量.先讨论电子的动能：222222221112222B e B R e B n eT v nB nBM eB μμμμμμ===== (2B e M μ=波尔磁子) 其次讨论电子的势能. 电子作圆周运动相当于有一个磁矩μ，取磁场方向B 为正方向. 则磁矩 2v Rπ代表电子作圆周运动的频率，i 是电流强度，2A R π=是电流环的面积. 综合上述结果得因此与磁场B 的作用能为所以带电粒子总能量为222B eBeE T V nnB nM B μμ=+===。

量子力学第一章课外练习题

第一章绪论一、填空题1、1923年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于质量为1克，速度为1米/秒的粒子，其德布洛意波长为0.123A〔保留三位有效数字〕。

2、自由粒子的质量为m,能量为E,其德布罗意波长为h/p=h/√2mE(不考虑相对论效应)。

3、写出一个证明光的粒子性的：康普顿效应的发现,从实验上证实了光具有粒子性。

4、爱因斯坦在解释光电效应时，提出光的频率决定光子的能量，光的强度只决定光子的数目概念。

5、德布罗意关系为p=h/λ n〔没有写为矢量也算正确〕。

7、微观粒子具有波粒二象性。

8、德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为E=hv9、德布罗意波长为λ，质量为m的电子，其动能为已知。

10、量子力学是反映微观粒子运动规律的理论。

11、历史上量子论的提出是为了解释的能量分布问题。

用来解释光电效应的爱因斯坦公式为已知。

12、设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为待定nm。

13、索末菲的量子化条件为在量子理论中，角动量必须是h的整数倍，E待定。

应用这个量子化条件可以求得一维谐振子的能级=n14、德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的电子衍射实验所证实，德布罗意关系〔公式〕为见P11。

15、1923年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性。

根据其理论，质量为，动量为p的粒子所对应的物质波的频率为，波长为若对于质量为1克，速度为1米/秒的粒子，其德布洛意波长为待定〔保留三位有效数字〕。

16、1923年，德布罗意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于经过电压为100伏加速的电子，其德布洛意波长为0.123A〔保留三位有效数字〕。

二、选择题1、利用爱因斯坦提出的光量子概念可以成功地解释光电效应。

A. 普朗克B. 爱因斯坦C. 玻尔D. 波恩2、1927年C和等人所做的电子衍射试验验证了德布洛意的物质波假设。

量子力学第一章课外练习题

量子力学教程课后习题答案

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