合并算法时间复杂度计算
mergesort算法复杂度递推公式
mergesort算法复杂度递推公式Mergesort算法的复杂度递推公式基于其分治策略。
Mergesort首先将数组分成两半，然后对每一半进行排序，最后将两个已排序的半部分合并成一个完整的排序数组。
假设T(n)表示对大小为n的数组进行排序所需的时间，那么我们可以得到以下的递推关系：
T(n) = T(n/2) + T(n/2) + n
其中T(n/2)表示对大小为n/2的两个子数组进行排序所需的时间，而最后的n表示合并两个已排序的子数组所需的时间。
这个递推关系可以进一步转化为：
T(n) = 2T(n/2) + n
然后利用等比数列求和公式，我们可以得到：
T(n) = 2^log2(n) T(1) + n log2(n)
其中T(1)表示对一个元素进行排序所需的时间，通常可以看作常数。
所以，最终我们得到：
T(n) = O(n log2(n))
这个结果表示Mergesort算法的时间复杂度是O(n log n)。
两数组合并排序算法
两数组合并排序算法数组是一种常见的数据结构，它可以存储一组相同类型的元素。
在编程中，合并和排序两个数组是一项常见的任务。
本文将介绍几种常见的数组合并排序算法，并对它们的优缺点进行比较。
1. 暴力法：最简单的方法是将两个数组合并为一个新数组，然后对新数组进行排序。
该方法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n是两个数组的长度之和。
实现代码：```def merge_sort(arr1, arr2):merged = arr1 + arr2merged.sortreturn merged```该方法的主要缺点是需要额外的空间来存储合并后的数组，并且排序的时间复杂度较高。
2. 归并排序：归并排序是一种分治算法，它将数组分成两个子数组，分别进行排序，然后将两个有序子数组合并为一个有序数组。
该方法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n是数组的长度。
实现代码：```def merge_sort(arr):if len(arr) <= 1:return arrmid = len(arr) // 2left = merge_sort(arr[:mid])right = merge_sort(arr[mid:])return merge(left, right)def merge(left, right):merged = []i,j=0,0while i < len(left) and j < len(right): if left[i] < right[j]:merged.append(left[i])i+=1else:merged.append(right[j])j+=1while i < len(left):merged.append(left[i])i+=1while j < len(right):merged.append(right[j])j+=1return merged```归并排序的主要优点是稳定性，它保持相等元素的相对顺序。
算法时间复杂度的计算公式
算法时间复杂度的计算公式算法时间复杂度是算法效率的一种度量方式，通常用大O符号来表示，例如O(1)、O(n)、O(n^2)等。
在计算算法时间复杂度时，需要考虑算法中各种操作的时间复杂度，并将它们合并为总时间复杂度。
以下是常见的算法操作时间复杂度：1. 常数级别：O(1)2. 对数级别：O(logn)3. 线性级别：O(n)4. 线性对数级别：O(nlogn)5. 平方级别：O(n^2)6. 立方级别：O(n^3)7. 指数级别：O(2^n)计算总时间复杂度的公式如下：1. 顺序执行的操作，时间复杂度直接相加。
例如，若有操作A、B、C，它们的时间复杂度分别为O(a)、O(b)、O(c)，则总时间复杂度为O(a + b + c)。
2. 嵌套执行的操作，时间复杂度取最大值。
例如，若有操作A、B，操作A执行了n次，每次的时间复杂度为O(n)，操作B的时间复杂度为O(nlogn)，则总时间复杂度为O(n*nlogn)，即O(n^2logn)。
3. 分支语句的时间复杂度为其中时间复杂度最大的分支的时间复杂度。
例如，若有分支语句，分别包含操作A和操作B，它们的时间复杂度分别为O(a)、O(b)，则分支语句的时间复杂度为O(max(a,b))。
4. 循环结构的时间复杂度为循环次数乘以循环体的时间复杂度。
例如，若有循环结构，循环次数为n，循环体包含操作A和操作B，它们的时间复杂度分别为O(a)、O(b)，则循环结构的时间复杂度为O(n*max(a,b))。
综上所述，计算算法总时间复杂度需要考虑各个操作的时间复杂度以及它们的执行顺序、嵌套关系、分支和循环结构。
实现顺序表的各种基本运算的算法
实现顺序表的各种基本运算的算法1. 初始化顺序表算法实现：初始化操作就是将顺序表中所有元素的值设置为默认值，对于数值类型，可以将其设置为0，对于字符类型，可以将其设置为空格字符。
初始化的时间复杂度为O(n)，其中n为顺序表的长度。
2. 插入操作算法实现：顺序表的插入操作就是在指定位置上插入一个元素，需要将该位置后面的元素全部后移，在指定位置上插入新元素。
若顺序表已满，则需要进行扩容操作，将顺序表长度扩大一倍或者按一定的比例扩大。
插入操作的时间复杂度为O(n)，其中n为顺序表长度。
3. 删除操作算法实现：顺序表的删除操作需要将指定位置上的元素删除，并将该位置后面的元素全部前移。
删除操作后，如果顺序表的实际长度小于等于其总长度的1/4，则需要进行缩容操作，将顺序表长度缩小一倍或者按一定的比例缩小。
删除操作的时间复杂度为O(n)，其中n为顺序表长度。
4. 修改操作算法实现：顺序表的修改操作就是将指定位置上的元素赋予新的值。
修改操作的时间复杂度为O(1)。
5. 查找操作算法实现：顺序表的查找操作就是在顺序表中找到指定位置的元素，并返回其值。
查找操作的时间复杂度为O(1)。
6. 遍历操作算法实现：顺序表的遍历操作就是依次访问顺序表中的每个元素，遍历操作的时间复杂度为O(n)，其中n为顺序表的长度。
7. 合并操作算法实现：顺序表的合并操作就是将两个顺序表合并成一个新的顺序表，新的顺序表的长度为两个顺序表的长度之和。
合并操作的时间复杂度为O(n)，其中n为两个顺序表的长度之和。
总结：顺序表是一种简单而高效的数据结构，其基本运算包括初始化、插入、删除、修改、查找、遍历和合并等操作。
其中，插入、删除、遍历和合并操作的时间复杂度比较高，需要进行相应的优化处理。
同时，在实际应用中，还需要注意顺序表的扩容和缩容操作，避免造成资源浪费或者性能下降。
二分归并排序的时间复杂度以及递推式
一、简介二分归并排序是一种常见的排序算法，它通过将问题分解为子问题，并将子问题的解合并来解决原始问题。
该算法的时间复杂度非常重要，因为它直接影响算法的效率和性能。
在本文中，我们将深入探讨二分归并排序的时间复杂度，并通过递推式来进一步分析算法的性能。
二、二分归并排序的时间复杂度1. 分析在二分归并排序中，时间复杂度可以通过以下三个步骤来分析：- 分解：将原始数组分解为较小的子数组。
- 解决：通过递归调用来对子数组进行排序。
- 合并：将排好序的子数组合并为一个整体有序的数组。
2. 时间复杂度在最坏情况下，二分归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。
这是因为在每一层递归中，都需要将数组分解为两个规模近似相等的子数组，并且在每一层递归的最后都需要将这两个子数组合并起来。
可以通过递推式来进一步证明算法的时间复杂度。
3. 递推式分析我们可以通过递推式来分析二分归并排序的时间复杂度。
假设对规模为n的数组进行排序所需的时间为T(n)，则可以得到以下递推式：T(n) = 2T(n/2) +其中，T(n/2)表示对规模为n/2的子数组进行排序所需的时间表示将两个子数组合并所需的时间。
根据递推式的定义，我们可以得到二分归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。
三、结论与个人观点通过以上分析，我们可以得出二分归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。
这意味着该算法在最坏情况下也能保持较好的性能，适用于大规模数据的排序。
我个人认为，二分归并排序作为一种经典的排序算法，其时间复杂度的分析对于理解算法的工作原理和性能至关重要。
通过深入研究递推式，可以更加直观地理解算法的性能表现，为进一步优化算法提供了重要的参考依据。
四、总结在本文中，我们探讨了二分归并排序的时间复杂度，通过分析和递推式的方式深入理解了该算法的性能表现。
通过对时间复杂度的分析，我们对算法的性能有了更深入的认识，并且能够更好地理解算法在实际应用中的表现。
相信通过本文的阅读，读者能够对二分归并排序有更全面、深刻和灵活的理解。
算法时间复杂度怎么算
算法时间复杂度怎么算一、概念时间复杂度是总运算次数表达式中受n的变化影响最大的那一项(不含系数)比如：一般总运算次数表达式类似于这样：a*2^n+b*n^3+c*n^2+d*n*lg(n)+e*n+fa ！=0时，时间复杂度就是O(2^n);a=0,b<>0 =>O(n^3);a,b=0,c<>0 =>O(n^2)依此类推eg:(1) for(i=1;i<=n;i++) //循环了n*n次，当然是O(n^2)for(j=1;j<=n;j++)s++;(2) for(i=1;i<=n;i++)//循环了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，因为时间复杂度是不考虑系数的，所以也是O(n^2)for(j=i;j<=n;j++)s++;(3) for(i=1;i<=n;i++)//循环了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,当然也是O(n^2) for(j=1;j<=i;j++)s++;(4) i=1;k=0;while(i<=n-1){k+=10*i; i++; }//循环了n-1≈n次，所以是O(n)(5) for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=i;j++)for(k=1;k<=j;k++)x=x+1;//循环了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(这个公式要记住哦)≈(n^3)/3，不考虑系数，自然是O(n^3)另外，在时间复杂度中，log(2,n)(以2为底)与lg(n)(以10为底)是等价的，因为对数换底公式：log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)所以，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉系数，二者当然是等价的二、计算方法1.一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
时间复杂度的计算方法
时间复杂度的计算方法
时间复杂度是算法执行时间的度量，通常使用“大O符号”（O）来
进行表示，即O(f(n))。
其中，f(n)是问题规模n的函数。
时间复杂度的计算方法通常可以通过以下步骤来实现：
1.确定算法的基本操作，通常是循环、判断、赋值等。
2.分析算法执行次数与问题规模n之间的关系，计算时间复杂度。
3.使用大O符号来表示时间复杂度，通常使用以下几种表示形式：
-O(1)：表示算法执行时间与问题规模n无关，即为常数时间复杂度，例如对数器等。
- O(logn)：表示算法执行时间随着问题规模 n 增大而增大，但增长
速度很慢，通常是二分法等。
-O(n)：表示算法执行时间与问题规模n成正比，即为线性时间复杂度，例如顺序搜索等。
- O(nlogn)：表示算法执行时间随着问题规模 n 增大而增大，但增
长速度比线性更快，例如快速排序等。
-O(n^2)：表示算法执行时间随着问题规模n增大而平方增大，即为
平方时间复杂度，例如冒泡排序等。
通常来说，时间复杂度的计算方法需要结合具体问题和算法来进行分析，需要不断进行实践和积累经验。
第2章 算法分析基础(《算法设计与分析(第3版)》C++版 王红梅 清华大学出版社)
3
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2.1.2 算法的渐近分析
常见的时间复杂度：
Ο(1)＜(log2n)＜(n)＜(nlog2n)＜(n2)＜(n3)＜…＜(2n)＜(n!)
多项式时间，易解问题
算
法
指数时间，难解问题
设 计 与
分
析
（
第
时间复杂度是在不同数量级的层面上比较算法
版 ）
清
华
大
学
时间复杂度是一种估算技术（信封背面的技术）
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2.1.2 算法的渐近分析
3
每条语句执行次数之和 = 算法的执行时间 ＝ 每条语句执行时间之和
基本语句的执行次数 for (i = 1; i <= n; i++)
单位时间
算
法
设
计
与
执行次数 × 执行一次的时间
分 析 （
第
for (j = 1; j <= n; j++)
版 ）
x++;
指令系统、编译的代码质量
算法设计：面对一个问题，如何设计一个有效的算法
算
法
设
检
指
验
导
评
计 与 分 析 （ 第 版
改
估
） 清
进
华 大
学
出
版
算法分析：对已设计的算法，如何评价或判断其优劣
社
3
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2.1.1 输入规模与基本语句
如何度量算法的效率呢？
事后统计：将算法实现，测算其时间和空间开销
缺点：（1）编写程序实现算法将花费较多的时间和精力 （2）所得实验结果依赖于计算机的软硬件等环境因素
高度重叠社区的社区合并优化算法
１２ 模 块化 函数 ．
个功 能组 织及一 个 单 词 可 以 属 于多 个 语 义 群 等 ． 虽 然对 网络 进行重 叠 社区 分析是 非 常有 意义 的 ， 但是 ， 由于到 目前仍然 没有 一个 学者 能够 给 出一 种严 格 的 问题定 义 与评价 标 准 ， 因此 这 ～任 务 仍 然 十 分 具有 一
络都有 一个共 同的特性 ， 即模 块性 或社 区性 ． 节点之 间的连接 在社 区 中相 对 紧密 ， 在 社 区之 问则 较 为 而 松散 ｌ ． 区能够 在 更 高 的层 面 反 映 系统 巾元 素之 ｌ社 Ｊ
问 的关 系 ， 并代表 一定 的功 能 单元 ， 如社会 网络 中 例
编号 ； Ａ ， 接矩 阵 中元素 ； 为邻 忌为节 点度 数 ． Ｑ 函数最重 要 的特性 有两 点 ： 当所 有节 点属 ①
于一 个社 区时 ， 函数 为 ０ 即整个 网络 中没 有社 区 Ｑ ，
具有独 立存 在价 值 的社 Ⅸ会 出现 在结 果 当 中 ， 且 并 他们 与其 他社 区 之 问存 在 人 面 积 的重 叠 现 象 ． 本 在 文 中， 们将 提 出一 种快 速 有 效 的社 区 合 并算 法 来 我
第 ３ ５卷 第 ３期
北
京
交
通
大学学报 Ｖ０．５Ｎ ． １ Ｏ３ ３
（ＵＲＮＡＩ ） ｏＦ ＢＥＩ Ｉ ． ＮＧ Ｉ Ｉ Ｊ Ａ０ ＯＮＧ Ｆ ＵＮＩ ＶＥＲＳ 、 Ｉ’ ｌ Ｙ
文 章 编 号 ：６ ３０ ９ （０ １０ —１６０ １７ —２ １２ １ ）３０ １—７
叠社 区的模 块性 ．
关 键词 ： 数据挖 掘 ； 图聚 类 ； 叠社 区； 区合并 ； 图 重 社 边
中图分 类号 ： １ １ ＴＰ ８ 文献标 志码 ： Ａ
几种常见算法的介绍及复杂度分析
几种常见算法的介绍及复杂度分析一、排序算法1.冒泡排序：通过反复交换相邻元素实现排序，每次遍历将最大元素放到最后。
时间复杂度为O(n^2)。
2.插入排序：将未排序元素插入已排序序列的适当位置，时间复杂度为O(n^2)。
3.选择排序：每次选择最小的元素放到已排序序列末尾，时间复杂度为O(n^2)。
4. 快速排序：通过递归将数组分段，并以一个基准元素为准将小于它的元素放在左边，大于它的元素放在右边，时间复杂度为O(nlogn)。
5. 归并排序：将数组递归拆分为多个子数组，对子数组进行排序并合并，时间复杂度为O(nlogn)。
二、查找算法1.顺序查找：从头到尾依次比较目标元素与数组中的元素，时间复杂度为O(n)。
2. 二分查找：依据已排序的数组特性，将目标元素与中间位置的元素比较，并根据大小取舍一半的数组进行查找，时间复杂度为O(logn)。
3.哈希查找：通过哈希函数将目标元素映射到数组的索引位置，时间复杂度为O(1)，但可能需要额外的空间。
三、图算法1.广度优先（BFS）：从起始节点开始，依次访问其邻居节点，再访问邻居的邻居，直到找到目标节点或遍历所有节点。
时间复杂度为O(V+E)，V为顶点数量，E为边的数量。
2.深度优先（DFS）：从起始节点开始一直遍历到没有未访问的邻居，再回溯到上一个节点继续遍历，直到找到目标节点或遍历所有节点。
时间复杂度为O(V+E)，V为顶点数量，E为边的数量。
3. 最短路径算法（如Dijkstra算法）：通过计算起始节点到每个节点的最短路径，找到起始节点到目标节点的最短路径。
时间复杂度为O(V^2)，V为顶点数量。
4. 最小生成树算法（如Prim算法）：通过贪心策略找到连通图的最小权重生成树，时间复杂度为O(V^2)，V为顶点数量。
四、动态规划算法1.背包问题：将问题拆解为若干子问题，并通过求解子问题的最优解推导出原问题的最优解。
时间复杂度为O(nW)，n为物品数量，W为背包容量。
霍夫曼编码的时间复杂度和空间复杂度
霍夫曼编码的时间复杂度和空间复杂度霍夫曼编码是一种用于数据压缩的算法，它可以将数据中出现频率较高的字符用较短的编码表示，而将出现频率较低的字符用较长的编码表示。
这种编码方式既可以减小文件的存储空间，又可以提高数据传输的速度。
在本篇文章中，我们将重点讨论霍夫曼编码的时间复杂度和空间复杂度。
首先，让我们来了解一下霍夫曼编码的时间复杂度。
霍夫曼编码的时间复杂度主要取决于两个因素：字符频率统计和编码生成。
在霍夫曼编码中，首先需要对待编码的数据进行字符频率的统计。
这一步需要遍历整个数据集，并计算每个字符的出现频率。
假设数据集的长度为n，字符集的大小为m，那么字符频率统计的时间复杂度为O(n+m)。
接下来，在已经得到字符的频率统计之后，我们需要按照频率来构建霍夫曼树。
构建霍夫曼树使用了一种被称为“最小堆”的数据结构，它可以高效地找到频率最低的字符。
构建最小堆需要遍历整个频率表，时间复杂度为O(mlogm)，其中m为字符集的大小。
构建完最小堆之后，我们需要逐步合并堆中的节点，构建出霍夫曼树。
节点的合并操作涉及查找和插入的过程，时间复杂度为O(logm)。
由于需要合并m次，所以整个构建树的时间复杂度为O(mlogm)。
最后，在已经构建好霍夫曼树的基础上，我们需要生成每个字符的编码。
这一步操作需要遍历整个霍夫曼树，时间复杂度为O(m)。
所以霍夫曼编码的时间复杂度为O(n+m)+O(mlogm)+O(m)=O(n+mlogm)。
接下来，我们讨论一下霍夫曼编码的空间复杂度。
霍夫曼编码的空间复杂度主要取决于两个因素：字符频率统计表和编码表。
首先是字符频率统计表，它用于记录各个字符的频率。
字符集的大小为m，所以字符频率统计表的空间复杂度为O(m)。
其次是编码表，它用于存储每个字符的编码。
对于每个字符来说，它的编码是一个二进制串，其长度取决于字符出现的频率。
所以编码表的总空间复杂度可以表示为∑(f_i * l_i)，其中f_i表示第i个字符的频率，l_i表示第i个字符的编码长度。
树上启发式合并 时间复杂度证明
树上启发式合并时间复杂度证明1. 引言1.1 背景介绍启发式合并算法是一种常用的优化方法，用于解决树结构问题中的合并操作。
在实际应用中，树结构经常出现在图数据结构、并查集等场景中，因此对于提高算法效率具有重要意义。
在传统的合并操作中，通常会通过遍历整棵树来找到需要合并的两个节点，然后进行合并操作。
这种方法的时间复杂度较高，在树结构较大时会导致效率低下。
为了提高效率，启发式合并算法应运而生。
启发式合并算法通过一些启发式方法来快速找到需要合并的节点，从而减少了不必要的遍历操作，提高了合并效率。
这种方法在实际应用中具有较高的实用价值，能够在一定程度上优化算法的时间复杂度，提高算法的效率。
通过深入研究启发式合并算法的原理和时间复杂度分析，可以更好地理解该算法的优势和局限性，为其在实际应用中的合理选择提供参考。
还可以探讨该算法在不同应用领域中的应用情况，并与其他相关研究进行比较和总结。
【完成】1.2 研究意义在实际应用中，启发式合并算法可以应用于社交网络分析、计算机网络路由优化、大规模数据处理等领域。
通过对启发式合并算法的优势与局限性进行研究和分析，可以更好地选择合适的算法应用在不同的场景中，从而提高算法的效率和性能。
通过与相关研究进展的比较和总结，可以及时掌握最新的研究动态，为进一步深入研究和应用启发式合并算法打下良好的基础。
2. 正文2.1 启发式合并算法原理启发式合并算法是一种常用于处理树结构的数据合并操作的有效算法。
在树上进行合并操作时，启发式合并算法可以通过合适的策略将树节点合并，从而降低整体复杂度并提高算法效率。
启发式合并算法的核心原理是根据节点的特性和树的结构，选择合适的节点进行合并，以达到最优的合并效果。
在实际应用中，启发式合并算法通常采用贪心的策略，即优先选择具有最优合并条件的节点进行合并，从而尽可能地减少合并的操作次数。
具体而言，启发式合并算法可以通过维护一个合并的优先队列或者使用路径压缩等技巧来实现。
线段合并算法
线段合并算法线段合并算法线段合并算法是一种常见的算法，用于合并重叠的线段，从而得到更简洁的线段表示。
这个算法在很多领域中被广泛应用，如计算几何、图像处理和数据压缩等。
它通过扫描线的方式，将重叠的线段逐个合并，从而得到完全不相交或部分重叠的线段集合。
在介绍线段合并算法之前，我们先来理解一下什么是线段重叠。
给定两个线段[a, b]和[c, d]，若满足a <= c <= b 或 c <= a <= d，则认为这两个线段重叠。
线段重叠可能出现在起点、终点和中间等位置。
线段合并算法的基本思想是：首先将所有线段按照起点的位置进行排序，然后逐个遍历排序后的线段，对于任意两个相邻的线段，判断它们是否重叠，如果重叠则合并成一个新的线段，否则保持原始线段不变。
重复这个过程直到所有线段都被处理完毕。
下面我们用一个简单的例子来说明线段合并算法的具体步骤。
假设给定以下6个线段：[1, 5]、[3, 7]、[4, 6]、[8, 10]、[9, 12]和[11, 13]。
按照起点的位置进行排序后，得到的线段顺序为：[1, 5]、[3, 7]、[4, 6]、[8, 10]、[9, 12]和[11, 13]。
然后开始遍历这些线段，对于任意两个相邻的线段，判断它们是否重叠。
首先，我们比较线段[1, 5]和[3, 7]，发现它们重叠，于是合并成一个新的线段[1, 7]。
然后，我们比较线段[1, 7]和[4, 6]，发现它们也重叠，于是合并成一个新的线段[1, 7]。
接下来，我们比较线段[1, 7]和[8, 10]，发现它们不重叠，所以我们保持原始线段不变。
继续这个过程，直到处理完所有线段。
在上述例子中，经过线段合并算法处理后，我们得到的线段集合为：[1, 7]、[8, 10]、[9, 12]和[11, 13]。
可以看出，原始的6个线段被合并成了4个线段，得到了更简洁的线段表示。
线段合并算法的时间复杂度主要取决于排序过程的复杂度，常见的排序算法如快速排序和归并排序都可以用来实现线段的排序。
三路合并算法
三路合并算法1. 简介三路合并算法是一种常用的排序算法，用于将三个有序序列合并成一个有序序列。
它是归并排序算法的一种变种，通过将问题分解为更小的子问题，并最终将其合并解决。
2. 算法思想三路合并算法的核心思想是将原始序列分成三个部分，分别进行排序，然后将三个有序部分合并成一个有序序列。
具体步骤如下：1.将原始序列分成三个部分，分别是左边部分、中间部分和右边部分。
2.对左边部分、中间部分和右边部分分别进行递归调用三路合并算法，直到每个部分只有一个元素。
3.将三个有序部分合并成一个有序序列，即将左边部分、中间部分和右边部分按照大小顺序依次放入新的序列中。
4.返回合并后的有序序列。
3. 算法实现三路合并算法可以使用递归来实现。
下面是一个示例的实现代码：def merge_sort(arr):if len(arr) <= 1:return arrmid = len(arr) // 2left = merge_sort(arr[:mid])right = merge_sort(arr[mid:])return merge(left, right)def merge(left, right):result = []i, j, k = 0, 0, 0while i < len(left) and j < len(right):if left[i] < right[j]:result.append(left[i])i += 1else:result.append(right[j])j += 1while i < len(left):result.append(left[i])i += 1while j < len(right):result.append(right[j])j += 1return result4. 算法分析三路合并算法的时间复杂度和空间复杂度都为O(nlogn)，其中n为序列的长度。
数据结构与算法（一）时间复杂度、空间复杂度计算
数据结构与算法（⼀）时间复杂度、空间复杂度计算⼀、时间复杂度计算1、时间复杂度的意义复杂度分析是整个算法学习的精髓，只要掌握了它，数据结构和算法的内容基本上就掌握了⼀半1. 测试结果⾮常依赖测试环境2. 测试结果受数据规模的影响很⼤所以，我们需要⼀个不⽤具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执⾏效率的⽅法，即时间、空间复杂度分析⽅法。
2、⼤ O 复杂度表⽰法1)、可以将计算时间复杂度的⽅式和计算代码执⾏次数来进⾏类别int cal(int n) {int sum = 0;int i = 1;for (; i <= n; ++i) {sum = sum + i;}return sum;}第 2、3 ⾏代码分别需要 1 个 unit_time 的执⾏时间，第 4、5 ⾏都运⾏了 n 遍，所以需要 2n * unit_time 的执⾏时间，所以这段代码总的执⾏时间就是(2n+2) * unit_time。
可以看出来，所有代码的执⾏时间 T(n) 与每⾏代码的执⾏次数成正⽐。
2)、复杂⼀点的计算int cal(int n) { ----1int sum = 0; ----2int i = 1; ----3int j = 1; ----4for (; i <= n; ++i) { ----5j = 1; ----6for (; j <= n; ++j) { ----7sum = sum + i * j; ----8} ----9} ----10} ----11T(n) = (2n^2+2n+3)unit_timeT(n)=O(f(n))⼤ O 时间复杂度实际上并不具体表⽰代码真正的执⾏时间，⽽是表⽰代码执⾏时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度2、时间复杂度计算法则1. 只关注循环执⾏次数最多的⼀段代码2. 加法法则：总复杂度等于量级最⼤的那段代码的复杂度如果 T1(n)=O(f(n))，T2(n)=O(g(n))；那么 T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)), O(g(n))) =O(max(f(n), g(n))).3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n2)3、常见的是时间复杂度复杂度量级（递增）排列公式常量阶O(1)对数阶O(logn)线性阶O(n)线性对数阶O(nlogn)平⽅阶、⽴⽅阶...K次⽅阶O(n2),O(n3),O(n^k)指数阶O(2^n)阶乘阶O(n!)①. O(1)：代码的执⾏时间和n没有关系，⼀般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万⾏的代码，其时间复杂度也是Ο(1)；②. O(logn)、O(nlogn)i=1;while (i <= n) {i = i * 2;}通过 2x=n 求解 x 这个问题我们想⾼中应该就学过了，我就不多说了。
时间复杂度的计算
时间复杂度计算学习数据结构时,觉得时间复杂度计算很复杂,怎么也看不懂,差不多三年之后,还是不懂,马上就要找工作了,赶紧恶补一下吧：首先了解一下几个概念;一个是时间复杂度,一个是渐近时间复杂度;前者是某个算法的时间耗费,它是该算法所求解问题规模n的函数,而后者是指当问题规模趋向无穷大时,该算法时间复杂度的数量级;当我们评价一个算法的时间性能时,主要标准就是算法的渐近时间复杂度,因此,在算法分析时,往往对两者不予区分,经常是将渐近时间复杂度Tn=Ofn简称为时间复杂度,其中的fn一般是算法中频度最大的语句频度;此外,算法中语句的频度不仅与问题规模有关,还与输入实例中各元素的取值相关;但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度;以保证算法的运行时间不会比它更长;常见的时间复杂度,按数量级递增排列依次为：常数阶O1、对数阶Olog2n、线性阶On、线性对数阶Onlog2n、平方阶On^2、立方阶On^3、k次方阶On^k、指数阶O2^n;1. 大O表示法定义设一个程序的时间复杂度用一个函数 Tn 来表示,对于一个查找算法,如下： int seqsearch int a, const int n, const int x { int i = 0; for ; ai = x && i < n ; i++ ; if i == n return -1; else return i; } 这个程序是将输入的数值顺序地与数组中地元素逐个比较,找出与之相等地元素; 在第一个元素就找到需要比较一次,在第二个元素找到需要比较2次,……,在第n个元素找到需要比较n次;对于有n个元素的数组,如果每个元素被找到的概率相等,那么查找成功的平均比较次数为: fn = 1/n n + n-1 + n-2 + ... + 1 = n+1/2 = On 这就是传说中的大O函数的原始定义;用大O来表述要全面分析一个算法,需要考虑算法在最坏和最好的情况下的时间代价,和在平均情况下的时间代价;对于最坏情况,采用大O表示法的一般提法注意,这里用的是“一般提法”是：当且仅当存在正整数c和n0,使得 Tn <= cfn 对于所有的n >= n0 都成立;则称该算法的渐进时间复杂度为Tn = Ofn;这个应该是高等数学里面的第一章极限里面的知识;这里fn = n+1/2, 那么c fn也就是一个一次函数;就是在图象上看就是如果这个函数在cfn的下面,就是复杂度为Tn = Ofn;对于对数级,我们用大O记法记为Olog2N就可以了;规则1 加法规则Tn,m = T1n + T2n = O max fn, gm2 乘法规则Tn,m = T1n T2m = O fn gm3一个特例在大O表示法里面有一个特例,如果T1n ＝ O, c是一个与n无关的任意常数,T2n = O fn 则有 Tn = T1n T2n = O cfn = O fn . 也就是说,在大O表示法中,任何非0正常数都属于同一数量级,记为O1; 4一个经验规则有如下复杂度关系c < log2N < n < n Log2N < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n 其中c是一个常量,如果一个算法的复杂度为c 、 log2N 、n 、 nlog2N ,那么这个算法时间效率比较高 ,如果是 2^n , 3^n ,n,那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了,居于中间的几个则差强人意.1基本知识点：没有循环的一段程序的复杂度是常数,一层循环的复杂度是On,两层循环的复杂度是On^2 我用^2表示平方,同理 ^3表示立方；2二维矩阵的标准差,残差,信息熵,fft2,dwt2,dct2的时间复杂度: 标准差和残差可能On,FFT2是Onlogn,DWT2可能也是Onlogn；信息熵要求概率,而dct的过程和jpeg一样;因为和jpeg一样,对二难矩阵处理了.Y=TXT',Z=Y.Mask,这样子,还有分成88子图像了;3example：1、设三个函数f,g,h分别为 fn=100n^3+n^2+1000 , gn=25n^3+5000n^2 ,hn=n^+5000nlgn请判断下列关系是否成立：1 fn=Ogn2 gn=Ofn3 hn=On^4 hn=Onlgn这里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法Tn=Ofn,这里的"O"是数学符号,它的严格定义是"若Tn和fn是定义在正整数集合上的两个函数,则Tn=Ofn表示存在正的常数C和n0 ,使得当n≥n0时都满足0≤Tn≤Cfn;"用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量n趋向于无穷大时,两者的比值是一个不等于0的常数;这么一来,就好计算了吧;◆1成立;题中由于两个函数的最高次项都是n^3,因此当n→∞时,两个函数的比值是一个常数,所以这个关系式是成立的;◆2成立;与上同理;◆3成立;与上同理;◆4不成立;由于当n→∞时n^比nlgn递增的快,所以hn与nlgn的比值不是常数,故不成立;2、设n为正整数,利用大"O"记号,将下列程序段的执行时间表示为n的函数;1 i=1; k=0whilei<n{ k=k+10i;i++;}解答：Tn=n-1, Tn=On, 这个函数是按线性阶递增的;2 x=n; .,k次方阶Onk,指数阶O2n;随着问题规模n的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低;2、空间复杂度与时间复杂度类似,空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量;记作:Sn=Ofn我们一般所讨论的是除正常占用内存开销外的辅助存储单元规模;讨论方法与时间复杂度类似,不再赘述;3渐进时间复杂度评价算法时间性能主要用算法时间复杂度的数量级即算法的渐近时间复杂度评价一个算法的时间性能;例3．7有两个算法A1和A2求解同一问题,时间复杂度分别是T1n=100n2,T2n=5n3;1当输入量n＜20时,有T1n＞T2n,后者花费的时间较少;2随着问题规模n的增大,两个算法的时间开销之比5n3/100n2=n/20亦随着增大;即当问题规模较大时,算法A1比算法A2要有效地多;它们的渐近时间复杂度On2和On3从宏观上评价了这两个算法在时间方面的质量;在算法分析时,往往对算法的时间复杂度和渐近时间复杂度不予区分,而经常是将渐近时间复杂度Tn=Ofn简称为时间复杂度,其中的fn一般是算法中频度最大的语句频度;例3．8算法MatrixMultiply的时间复杂度一般为Tn=On3,fn=n3是该算法中语句5的频度;下面再举例说明如何求算法的时间复杂度;例3．9交换i和j的内容;Temp=i;i=j;j=temp;以上三条单个语句的频度均为1,该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数;算法的时间复杂度为常数阶,记作Tn=O1;如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长,即使算法中有上千条语句,其执行时间也不过是一个较大的常数;此类算法的时间复杂度是O1;例3．10变量计数之一;1 x=0;y=0;2 fork-1;k<=n;k++3 x++;4 fori=1;i<=n;i++5 forj=1;j<=n;j++6 y++;一般情况下,对步进循环语句只需考虑循环体中语句的执行次数,忽略该语句中步长加1、终值判别、控制转移等成分;因此,以上程序段中频度最大的语句是6,其频度为fn=n2,所以该程序段的时间复杂度为Tn=On2;当有若干个循环语句时,算法的时间复杂度是由嵌套层数最多的循环语句中最内层语句的频度fn决定的;例3．11变量计数之二;1 x=1;2 fori=1;i<=n;i++3 forj=1;j<=i;j++4 fork=1;k<=j;k++5 x++;该程序段中频度最大的语句是5,内循环的执行次数虽然与问题规模n 没有直接关系,但是却与外层循环的变量取值有关,而最外层循环的次数直接与n有关,因此可以从内层循环向外层分析语句5的执行次数：则该程序段的时间复杂度为Tn=On3/6+低次项=On3;4算法的时间复杂度不仅仅依赖于问题的规模,还与输入实例的初始状态有关;例3．12在数值A0..n-1中查找给定值K的算法大致如下：1i=n-1;2whilei>=0&&Ai=k3 i--;4return i;此算法中的语句3的频度不仅与问题规模n有关,还与输入实例中A的各元素取值及K的取值有关:①若A中没有与K相等的元素,则语句3的频度fn=n；②若A的最后一个元素等于K,则语句3的频度fn是常数0;5最坏时间复杂度和平均时间复杂度最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度;一般不特别说明,讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度;这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的上界,这就保证了算法的运行时间不会比任何更长;例3．19查找算法例1·8在最坏情况下的时间复杂度为Tn=0n,它表示对于任何输入实例,该算法的运行时间不可能大于0n;平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下,算法的期望运行时间;常见的时间复杂度按数量级递增排列依次为：常数01、对数阶0log2n、线形阶0n、线形对数阶0nlog2n、平方阶0n2立方阶0n3、…、k次方阶0nk、指数阶02n;显然,时间复杂度为指数阶02n的算法效率极低,当n值稍大时就无法应用;类似于时间复杂度的讨论,一个算法的空间复杂度Space ComplexitySn定义为该算法所耗费的存储空间,它也是问题规模n的函数;渐近空间复杂度也常常简称为空间复杂度;算法的时间复杂度和空间复杂度合称为算法的复杂度;。
凝聚式层次聚类算法的原理和算法描述
凝聚式层次聚类算法的原理和算法描述
凝聚式层次聚类算法是一种基于距离的聚类算法，其主要思想是通过合并相邻的数据点来逐步形成聚类。
该算法从每个数据点开始，逐步向上将距离最近的数据点合并到一起，直到所有数据点都被合并为止。
算法描述：
1. 初始化：将每个数据点看作一个独立的聚类。
2. 计算距离：计算每个聚类之间的距离，可以使用不同的距离度量方法，如欧几里得距离、曼哈顿距离等。
3. 合并聚类：找出距离最近的两个聚类，并将它们合并为一个聚类。
4. 更新距离：根据合并后的聚类，重新计算每个聚类之间的距离。
5. 重复步骤3-4，直到所有数据点都被合并为止。
算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n为数据点的数量。
因此，该算法不适用于大规模数据集。
另外，由于该算法是自底向上的，因此可能会导致某些聚类被错误合并，从而影响聚类结果的准确性。
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2022年山东协和学院计算机科学与技术专业《数据结构与算法》科目期末试卷A(有答案)
2022年山东协和学院计算机科学与技术专业《数据结构与算法》科目期末试卷A（有答案）一、选择题1、已知广义表LS=（（a，b，c），（d，e，f）），用head和tail数取出LS中原子e 的运算是（）。
A.head（tail（LS））B.tail（head（LS））C.head（tail（head（tail（LS））））D.head（tail（tail（head（LS））））2、下述文件中适合于磁带存储的是（）。
A.顺序文件B.索引文件C.哈希文件D.多关键字文件3、连续存储设计时，存储单元的地址（）。
A.一定连续B.一定不连续C.不一定连续D.部分连续，部分不连续4、已知有向图G=(V，E)，其中V={V1，V2，V3，V4，V5，V6，V7}， E=｛<V1，V2>，<V1，V3>，<V1，V4>，<V2，V5>，<V3，V5>， <V3，V6>，<V4，V6>，<V5，V7>，<V6，V7>｝，G的拓扑序列是（）。
A.V1，V3，V4，V6，V2，V5，V7B.V1，V3，V2，V6，V4，V5，V7C.V1，V3，V5，V2，V6，V7D.V1，V2，V5，V3，V4，V6，V75、下列关于AOE网的叙述中，不正确的是（）。
A.关键活动不按期完成就会影响整个工程的完成时间B.任何一个关键活动提前完成，那么整个工程将会提前完成C.所有的关键活动提前完成，那么整个工程将会提前完成D.某些关键活动若提前完成，那么整个工程将会提前完成6、若一棵二叉树的前序遍历序列为a，e，b，d，c，后序遍历序列为b， c，d，e，a，则根结点的孩子结点（）。
A．只有e B．有e、b C．有e、c D．无法确定7、下列关于无向连通图特性的叙述中，正确的是（）。
Ⅰ．所有的顶点的度之和为偶数Ⅱ．边数大于顶点个数减1 Ⅲ．至少有一个顶点的度为1A．只有Ⅰ B．只有Ⅱ C．Ⅰ和Ⅱ D．Ⅰ和Ⅲ8、一棵哈夫曼树共有215个结点，对其进行哈夫曼编码，共能得到（）个不同的码字。
常见排序算法及它们的时间的时间复杂度，空间复杂度
常见排序算法及它们的时间的时间复杂度，空间复杂度⼀、概念扩展------有序度----1、有序元素对：a[i] <= a[j], 如果i < j; 逆序元素对：a[i] > a[j], 如果 i < j。
2、⼀组数据中有/逆序元素对的个数即为有/逆序度3、2,3,1,6这组数据的有序度为4（因为其有有序元素对为4个，分别是(2,3)、(2,6)、(3,6)和(1,6)）逆序度为2（因为其有逆序元素对为2个，分别是(2,3)和(2,1)）4、1,2,3,6这样完全有序的数组叫作满有序度；满有序度的计算公式为 n*(n-1)/2；5、逆序度 = 满有序度 - 有序度-----原地排序算法---空间复杂度是 O(1) 的排序算法，如：冒泡排序，插⼊排序----稳定排序算法---如果待排序的序列中存在值相等的元素，经过排序之后，相等元素之间原有的先后顺序不变⼆、冒泡排序1、冒泡排序只会操作相邻的两个数据。
每次冒泡操作都会对相邻的两个元素进⾏⽐较，看是否满⾜⼤⼩关系要求。
如果不满⾜就让它俩互换。
⼀次冒泡会让⾄少⼀个元素移动到它应该在的位置，重复 n 次，就完成了 n 个数据的排序⼯作2、冒泡的过程只涉及相邻数据的交换操作，只需要常量级的临时空间，所以它的空间复杂度为 O(1)，是⼀个原地排序算法3、当有相邻的两个元素⼤⼩相等的时候，我们不做交换，此时冒泡排序是稳定的排序算法。
4、冒泡排序每交换⼀次，有序度就加 1，直到满有序度；5、冒泡排序最坏情况下，初始状态的有序度是 0，所以要进⾏ n*(n-1)/2 次交换，最好情况下，初始状态的有序度是 n*(n-1)/2，就不需要进⾏交换。
我们可以取个中间值 n*(n-1)/4，换句话说，平均情况下，需要 n*(n-1)/4 次交换操作，所以平均时间复杂度就是 O(n^2)三、插⼊排序1、插⼊排序是将数据分为两个区间，已排序区间和未排序区间。
时间戳合并算法
时间戳合并算法摘要：1.时间戳合并算法的概述2.时间戳合并算法的原理3.时间戳合并算法的具体应用4.时间戳合并算法的优缺点5.时间戳合并算法的未来发展正文：1.时间戳合并算法的概述时间戳合并算法是一种将多个时间戳合并为一个时间戳的算法，它能够将分散的时间戳信息整合为一个统一的时间戳，从而方便数据的管理和分析。
在众多领域中，时间戳合并算法都发挥着重要作用，例如数据库系统、日志分析和数据融合等。
2.时间戳合并算法的原理时间戳合并算法的核心思想是将多个时间戳按照一定的规则进行排序，然后选取一个具有代表性的时间戳作为合并后的时间戳。
具体的算法实现可以分为以下几个步骤：（1）收集时间戳：首先从不同的数据源中收集多个时间戳。
（2）排序：将收集到的时间戳进行排序，可以采用升序或降序排列，具体根据应用场景的需求来确定。
（3）选取代表性时间戳：在排序后的时间戳序列中选取一个具有代表性的时间戳，作为合并后的时间戳。
通常采用中间值、平均值或最小值等方法来选取代表性时间戳。
3.时间戳合并算法的具体应用时间戳合并算法在实际应用中具有广泛的应用价值，以下是几个典型的应用场景：（1）数据库系统：在数据库系统中，时间戳合并算法可以用于将多个事务的时间戳合并为一个统一的时间戳，方便事务的并发控制和数据一致性检查。
（2）日志分析：在日志分析中，时间戳合并算法可以用于将多个日志事件的时间戳合并为一个统一的时间戳，便于日志的整理和分析。
（3）数据融合：在数据融合领域，时间戳合并算法可以用于将多个数据源的时间戳合并为一个统一的时间戳，从而实现数据的整合和统一管理。
4.时间戳合并算法的优缺点时间戳合并算法具有以下优缺点：优点：（1）简化数据管理：时间戳合并算法可以简化数据的管理，提高数据处理的效率。
（2）便于分析：时间戳合并算法便于对数据进行统一的分析和处理。
缺点：（1）可能丢失细节信息：由于时间戳合并算法将多个时间戳合并为一个时间戳，可能会丢失部分细节信息。
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<= 2T(n/2) + O(n), （当 n > 2时，T(2) <= c）
T(n) <= 2T(n/2) + cn
从这个关系式中并不能明显看出 T(n) 是什么类型的函数， 所以我们需要想办法解出这个关系式，也就是递归求解。
方法求解有两种基本的方法：
1、最自然的方法是展开关系式，通过分 析最初几级的运行时间来得到一个通式， 或者说是规律，然后把每一级的运行时 间相加，即求得总的运行时间。 2、第二种方法是先猜出一个觉得合理的 解，然后代入原来的关系式中验证。
现在问题变成了求 当a>1, b>1时 所以 。这里用上对数的换底公式， 。
最终得到
从结果看得出，运行时间是大于线性的因为 q=4时运行时间是O(n2)。 。
q=1的情况:
•分析：第0级时，只有一个大小为n的问题，需要cn时 间。第1级时，问题大小为n/2，需要cn/2时间。第2级 时，问题大小为n/4，需要cn/4时间。 •规律：我们看到在任意级j都只有一个问题，大小为 n/2j，需要cn/2j时间来完成。
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q>2的情况：
还是采用基本的步骤展开：
•分析：这里我们假设 q=3。在第0级时，只有一个 大小为n的问题，需要cn时间。在第1级，我们有q个 子问题，每个大小n/2，需要cn/2时间，所以总的时 间为(q/2)cn。在第2级，有q2个字问题，每个大小 n/4，需要cn/4时间，总的时间为(q2/4)cn。
计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数， 它定量描述了该算法的运行时间。这是一个关于 代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复 杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶 项和首项系数。使用这种方式时，时间复杂度可 被称为是渐近的，它考察当输入值大小趋近无穷 时的情况。
用 T(n) 表示输入大小为 n 的数组时合并排序最坏 的运行时间。假设 n 是偶数。排序需要 O(n) 时间 把输入分成两个大小为 n/2 的子数组，然后对每个 子数组排序需要 T(n/2)。最后需要 O(n) 把结果合 并起来。所以我们得到这个关系式：
•得出规律：在任意一级j，有qj个字问题，每个大 小为n/2j，所以总的时间为qj(cn/2j) = (q/2)jcn。 求和：对于大小为n的问题，总的层数还是不变，所 以
令 r = q/2，则上式变成了
这里用到了几何级数的一个公式。如果我们有
等式两边同时乘以r得到
两式相减得到
所以
回到T(n)上来。因为r=q/2是常数，所以
展开递归式基本的步骤：
1、分析最初的几级：在第0级时，我们只有一个大 小为 n 的数组，这里需要最多 cn 时间。在第1级， 我们有两个子数组，每个大小为 n/2，分别需cn/2 时间，所以总的时间是 2*(cn/2) = cn。在第2级， 我们有四个子数组，每个大小为 n/4，分别需要 cn/4 时间，所以总的时间还是 4*(cn/4) = cn。
•求和：总的层数还是logn。
还是用几何级数可以得出它最终收敛于2。所以
通过对上面三种情况，q = 1, q = 2, q > 2的分析我们得出三种不同的运行时间。 q = 1时，运行时间是线性的。q = 2时是 O(nlogn)。q > 2 时是多项式级数。造成这 种差别的原因主要在于在递归时大部分的工 作完成的阶段。q = 1时，第0级就已经完成 了一半的工作，而当q > 2时，大部分工作却 是在递归底层完成。所以 q = 2可以说是介 于两者之间的分水岭 – 每一层完成工作的 总量是相同的，给了我们较优的O(nlogn)的 运行时间。
2、得出规律：可以看到在第 j 级时，我们有2j个 子数组，每个大小为 cn/2j，分别需要cn/2j时间， 所以这级总的运行时间为2j(cn/2j) = cn. 3、求和：我们已经求得每一级需要的运行时间。对 于一个大小为 n 的数组，递归最多有logn层，所以 总的运行时间为 O(nlogn)。
合并排序的时间复杂度计算
通信1304班：鲁信金、易浩宇、刘子雄
目录 CONTENT
01 合并排序 02
03 时间复杂度
方法及计算
04
如何学习
合并排序是建立在归并操作上的一种有效的排 序算法。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。合并排序法 是将两个（或两个以上）有序表合并成一个新 的有序表，即把待排序序列分为若干个子序列， 每个子序列是有序的。然后再把有序子序列合 并为整体有序序列。将已有序的子序列合并， 得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序， 再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成 一个有序表，称为2-路归并。合并排序也叫归 并排序。
更通用的递归式：
上面的分析都是基于每个问题被分成2个子问题。如果现在我们把 每个问题分成 q 个大小为 n/2 的子问题，我们得到一个更通用的递 归式
T(n) <= qT(n/2) + cn 当 n>2时，T(2) <= c
当 q=2时就是我们 上面分析的情况。 接下来我们分析 q>2 和 q=1的情况。
三放三拿来上课， 知识、方法双收获。 算法具有四性质：
输入、输出、确定、有限。 算法分析话时空， 大O大Ω最常用。
勤学勤练勤思考，
登高自卑千古理！