福州大学高等数学第七章重积分习题

4
;
y
y 2 x 2 2ax

O 2a x
二.计算题p.37
p.37.二.计算题
1.计算 ln(1 x 2 y 2 )dxdy , 其中D : x 2 y 2 1,
D
x 0, y 0.
解 I d ln(1 r 2 )rdr
2 0 0

1
y 1
9 4 I 25 4 , 即 36 I 100 .
2. D : 0 x ,0 y , I sin 2 x sin 2 yd .
D
解 0 sin 2 x sin 2 y 1, ( x , y ) D,
0 I 2.
D
1


4
[(1 r )ln(1 r ) 2rdr ]
2 2 1 0 0
1
O
1x


4
(2ln 2 1)

2
ln 2

4
.
1 x2 y2 2 2 p.37.2.计算 dxdy , 其中D : x y 1, 2 2 1 x y D x 0, y 0. 解 I 2 d



2 0
d
f ( r cos , r sin )rdr ; O

1
x
p.37.一.3.将下列二次积分化成极坐标形式, 并计算其值.

2a
0
dx
1 x 2
0
( x 2 y 2 )dy
2 a cos 0



2 0
d
r dr 4a
3
4


2 0
3 4 cos d a . 4
1
y 1
D O
1 1x
1 3 1 1 1 1 e e e e 2 2 2 2
1
e e 1 .
2.计算 ( x 2 y 2 x )dxdy , 其中D是由直线y 2, y x
D
y 2 x所围成的闭区域.
解 I dy y ( x y x )dx
i 1
n
其中, i为Di ( k 1,2,, n)的面积,

kf ( x, y )d lim kf ( , )
D 0 i 1 i i n
n
i
k lim f ( i ,i ) i k f ( x , y )d .
0
i 1 D
§7.2 二重积分计算法(一)p.35
一.填空p35
1.设f ( x , y )在D上连续,将二重积分I f ( x , y )dxdy
D
化为二次积分(两种积分次序) :
(1)当D由y 4 x与y x围成时, I
2

4
0
dx
4x x
f ( x , y )dy
(4,4)
D


4 0
dy y 2 f ( x , y )dx
D 0 k 1
n
k
lim .
0
p.34.三.2. kf ( x , y )d k f ( x , y )d ( k 0为常数).
D D
证明 对D的任一分割:D1 , D2 ,, Dn ,皆有
kf ( , )
i 1 i i
n
i
k f ( i , i ) i ,
积分的值:
1. D : x 2 y 2 4, I ( x 2 4 y 2 9)d ;
D
解 f ( x , y ) x 2 4 y 2 9 ( x 2 y 2 ) 3 y 2 9,
在D上, fmin f (0,0) 9, fmax f (0, 2) 25,
4
y
y
;
O 4 x (2)当D是由y x , x 2及xy 1( x 0)围成时, y (2,2) 2 x D 1 1 dx 1x f ( x , y )dy I O 1 2 x 1 2 2 2 12 dy 1y f ( x , y )dx 1 dy y f ( x , y )dx ;
第七章 重积分p33—p50
§7.1二重积分的概念与性质 p.33
一.填空p33
p.33.一.填空题
1.设D1 {( x , y ) | x | 1,| y | 2}, D2 {( x , y ) 0 x 1,
0 y 2}, 则由二重积分的几何意义可知:
( x 2 y 2 ) 3 d
1.计算 e x y d , 其中D是由 | x | | y | 1所确定的闭区域.
D
解 原式 dx
1
0
1 x x 1
e
x y
dy dx
0 1 0
1
1 x x 1
e
x y
dy
(e
1
0
2 x 1
e )dx (e 1 e 2 x 1 )dx
D
t
dt
a
b a
b
b
t
f ( t )dx
a
f ( t )(b t )dt
b a
O
a
b
x
(b x ) f ( x )dx 右边 .
§7.2 二重积分计算法(二)p.37
一.填空p.37
1.设f ( x , y )在D上连续,将二重积分I f ( x , y )dxdy
1 lim 2 f ( x , y )d t 0 t D
f (0,0)
;
p.33.一.5.设D {( x , y ) x 2 y 2 4, y 0}, 则
x(1 x 2 y 2 )dxdy
D
0
.
二.计算题p33
p.33.二.计算题:利用二重积分的性质,估计下列各二重
1 y 1 3
1 2 y dy (3 y y 2 )dy 0 2 0
1 1
O
1
2
3
x
4 . 3
p.36.4.计算四个平面x 0, y 0, x 1, y 1所围成
柱体被平面z 0及2 x 3 y z 6截得的立体的体积.
z
解 V dx (6 2 x 3 y )dy
1 lim 3 r 0 r
x2 y2 z2 r 2
x( x y )dxdy
D

3 3
dx x ( x y )dy 36
1
1
;
4.更换积分次序计算积分:

1 0
dx e
x
1
y
2
dy

1
0
dy e
0
y
y2
dx ye
0
1
y2
1 dy (1 e 1 ); ; 2
二.计算题p35
p.35.三.计算题
0 0
1
1
3 (6 2 x )dx 0 2 7 . 2
1
O
1
1
y
x
(1,1)
三.证明题p36
p.36.三.计算题 若f ( x )为连续函数, 求证 :

b a
dx f ( t )dt (b x ) f ( x )dx .
a a
x
b
证明 左边 f ( t )dxdt
D1
4
( x 2 y 2 )3 d .
D2
2.设D是以O(0,0), A(1,0), B(0,1)为顶点的三角形域, 则
由二重积分的几何意义知 : (1 x y )d 表示
底为D的三棱锥
1 的体积, 其值为 6 .
D
p.33.一.3.比较下列各题中两个积分值的大小:
(1)设 D : ( x 2) ( y 1) 2, 则
D

arctan k
0
d
R
0
R 2 r 2 rdr
3 R 2 2 0
O
R

R
y
1 2 arctan k ( R r ) 3
x arctan k
1 3 R arctan k . 3
p.38.5.设平面薄片所占的闭区域D是由螺线r 2 上
2 2 ( x , y ) x 2 y 2 , 求这薄片的质量.
100 I 2. 51
三.证明题p34
p.34.三.利用定义证明:
(1) d ,(其中, 为D的面积).
证明 对D的任一分割:D1 , D2 , , Dn ,皆有 k ,
k 1
D
n
其中, k为Dk ( k 1,2,, n)的面积,

d lim
0

1 0
1 r2 1 r
2
rdr



2
1
1 r2 1 r4
0
rdr
e 1 r

4 1
y 1
D
1

4
(arcsin r
(
2 1 0
)
0
O
1x


4 2
1)
2
8

4
.
x2 y2 p.38.3.设D : x 2 y 2 9, f ( x , y ) 4
3. D : 0 x 1,0 y 2, I ( x y 1)d .