偶函数的定义与性质
函数的性质之奇偶性
函数的奇偶性知识体系一函数的奇偶性的定义1．偶函数:一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．2．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．二具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．三奇偶函数的性质：1定义域关于原点对称；2()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=3若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =4判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；5牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；6判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-7设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇题型体系一判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性（1）()42+=x x f （2）()5x x f =（3）()x xx f +=1总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数．说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．例2已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，（1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用a 表示(12)f 二利用函数的奇偶性补全函数的图象例1已知函数y＝f(x)是偶函数，且知道x≥0时的图像，请作出另一半图像.三．函数的奇偶性与单调性的关系例1．已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．例2定义在)1,1(-上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若0)21()1(<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。
偶数函数知识点总结归纳
偶数函数知识点总结归纳一、偶数函数的定义偶数函数是指对于任意实数x，都有f(-x) = f(x)的函数。
也就是说，当自变量x取相反数时，函数值不变。
通俗地讲，偶数函数在关于y轴对称，其图像可以通过y轴对称的方式得到。
偶数函数的数学定义可以表示为：f(x) = f(-x)二、偶函数的图像特点1. 关于y轴对称偶数函数的图像是关于y轴对称的，也就是说，如果函数上有一点(x, y)，那么在y轴的另一侧也会有对称点(-x, y)。
2. 零点特点由于偶数函数的图像关于y轴对称，所以如果存在一个零点（函数值为0的点）x0，那么它的相反数-x0也将是该函数的零点。
3. 偶函数的一般形状偶函数的一般形状通常是关于y轴对称、具有对称轴，并且在对称轴上有至少一个极值点或拐点。
三、偶函数的性质1. 偶函数的积性质如果f(x)是偶数函数，g(x)是任意函数，那么f(x)g(x)也是偶数函数。
2. 偶函数的和差性质如果f(x)和g(x)都是偶数函数，那么f(x) + g(x)和f(x) - g(x)都是偶数函数。
3. 偶函数的乘积性质如果f(x)和g(x)都是偶数函数，那么f(x) * g(x)也是偶数函数。
4. 偶函数的复合性质如果f(x)是偶数函数，g(x)是任意函数，那么f[g(x)]也是偶数函数。
5. 偶函数的导数性质偶函数的导数可能是奇函数，也可能是偶函数。
6. 偶函数的定积分性质偶函数在对称区间上的定积分等于其所围成的图形关于x轴的定积分的两倍，即∫[-a, a] f(x)dx = 2∫[0, a] f(x)dx四、常见的偶函数1. 幂函数幂函数f(x) = x^n，当n为偶数时，为偶数函数。
2. 三角函数余弦函数cos(x)和正弦函数sin(x)都是偶函数。
3. 指数函数指数函数f(x) = a^x，其中a>0且不等于1，当x为偶数时，为偶函数。
五、偶函数的应用1. 对称性问题在几何问题中，偶函数的对称性可以帮助我们简化一些计算。
新高考A版讲义：第三章函数 第3节 函数的基本性质奇偶性
第3节 函数的基本性质:奇偶性知识点一 函数奇偶性 1.奇偶性的几何特征一般地，图象关于y 轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数． 2.函数奇偶性的定义（1）偶函数：函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数．（2）奇函数：函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．3.奇(偶)函数的定义域特征：奇(偶)函数的定义域关于原点对称．题型一、函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝1x ；(2)f (x )＝x 2(x 2＋2)；(3)f (x )＝xx －1；(4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2.解 (1)f (x )＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f (－x )＝1－x＝－1x ＝－f (x )，∴f (x )＝1x 是奇函数．(2)f (x )＝x 2(x 2＋2)的定义域为R .∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2(x 2＋2)是偶函数． (3)f (x )＝xx －1的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， ∵定义域不关于原点对称，∴f (x )＝xx －1既不是奇函数，也不是偶函数．(4)f (x )＝x 2－1＋1－x 2的定义域为{－1,1}．∵f (－x )＝f (x )＝－f (x )＝0，∴f (x )＝x 2－1＋1－x 2既为奇函数，又为偶函数． 反思感悟 判断函数奇偶性的方法(1)定义法：①定义域关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系． (2)图象法．跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x ；(2)f (x )＝1－x 2x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解(1)函数f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)＝x是非奇非偶函数．(2)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．f(－x)＝1－x2－x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－(－x)＝x2＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．题型二、奇、偶函数图象的应用例2定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上的图象如图所示．(1)画出f(x)的图象；(2)解不等式xf(x)>0.解(1)先描出(1,1)，(2,0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2,0)，连线可得f(x)的图象如图．(2)xf(x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf(x)>0的解集是(－2,0)∪(0,2)．延伸探究把本例中的“奇函数”改为“偶函数”，重做该题．解(1)f(x)的图象如图所示：(2)xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．反思感悟可以用奇(偶)函数图象关于原点(y轴)对称这一特性去画图，求值，解不等式等．跟踪训练2已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．解(1)如图，在[0,5]上的图象上选取5个关键点O，A，B，C，D.分别描出它们关于原点的对称点O ′，A ′，B ′，C ′，D ′， 再用光滑曲线连接即得．(2)由(1)图可知，当且仅当x ∈(－2,0)∪(2,5)时，f (x )<0. ∴使f (x )<0的x 的取值集合为{x |－2<x <0或2<x <5}． 题型三、利用函数的奇偶性求参数值例3 (1)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a －1＝－2a ，解得a ＝13.又函数f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b ＝0.(2)已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则实数a ＝________.解析 由奇函数定义有f (－x )＋f (x )＝0，得a (－x )2＋2(－x )＋ax 2＋2x ＝2ax 2＝0，故a ＝0. 反思感悟 利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数：奇偶函数f (x )的定义域为[a ，b ]，根据定义域关于原点对称，利用a ＋b ＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )列式，比较系数利用待定系数法求解． 跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 解析 方法一 显然x ∈R ，由已知得f (－x )＝(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x －a |. 又f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )，即x 2－|x ＋a |＝x 2－|x －a |， 即|x ＋a |＝|x －a |.又x ∈R ，所以a ＝0.方法二 由题意知f (－1)＝f (1)，则|a －1|＝|a ＋1|，解得a ＝0.(2)已知函数f (x )是奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2＋mx .若f (2)＝－3，则m 的值为________． 解析 ∵f (－2)＝－f (2)＝3，∴f (－2)＝(－2)2－2m ＝3，∴m ＝12.知识点二 奇偶性与单调性若函数f (x )为奇函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相同的单调性；若函数f (x )为偶函数，则f (x )在关于原点对称的两个区间[a ，b ]和[－b ，－a ]上具有相反的单调性．题型一、利用奇偶性求解析式 命题角度1 求对称区间上的解析式例1 函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，求当x <0时，f (x )的解析式． 解 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1，又∵函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－x －1.反思感悟 求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x ，此时－x 成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．跟踪训练1已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋x )，求f (x )的解析式． 解 因为x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－x [1＋(－x )]＝x (x －1)． 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x (x －1)，x ∈(－∞，0)．f (0)＝0.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1＋x )，x ≥0，－x (x －1)，x <0.命题角度2 构造方程组求解析式例2 设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式．解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝1x －1.①，用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1，∴f (x )－g (x )＝1－x －1，② (①＋②)÷2，得f (x )＝1x 2－1；(①－②)÷2，得g (x )＝xx 2－1.反思感悟 f (x )＋g (x )＝1x －1对定义域内任意x 都成立，所以可以对x 任意赋值，如x ＝－x .利用f (x )，g (x )一奇一偶，把－x 的负号或提或消，最终得到关于f (x )，g (x )的二元方程组，从中解出f (x )和g (x )．跟踪训练2设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋2x ，求函数f (x )，g (x )的解析式． 解 ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， 由f (x )＋g (x )＝2x ＋x 2.①用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝－2x ＋(－x )2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.题型二、利用函数的奇偶性与单调性比较大小例3设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3)解析因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．反思感悟利用函数的奇偶性与单调性比较大小(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．跟踪训练3(1)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(1)和f(－10)的大小关系为() A．f(1)>f(－10) B．f(1)<f(－10)C．f(1)＝f(－10) D．f(1)和f(－10)关系不定答案A解析∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴f(－10)＝f(10)<f(1)．(2)定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0，＋∞)上的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，下列不等式中成立的有________．(填序号)①f(a)>f(－b)；②f(－a)>f(b)；③g(a)>g(－b)；④g(－a)<g(b)；⑤g(－a)>f(－a)．解析f(x)为R上奇函数，增函数，且a>b>0，∴f(a)>f(b)>f(0)＝0，又－a<－b<0，∴f(－a)<f(－b)<f(0)＝0，∴f(a)>f(b)>0>f(－b)>f(－a)，∴①正确，②错误．x∈[0，＋∞)时，g(x)＝f(x)，∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴g(－a)＝g(a)>g(b)＝g(－b)，∴③正确，④错误．又g(－a)＝g(a)＝f(a)>f(－a)，∴⑤正确．题型三、利用函数的奇偶性与单调性解不等式例4(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则f(x)x<0的解集为________．解析∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；当x<0时，由f(x)>0，解得－3<x<0.故所求解集为{x |－3<x <0或x >3}．(2)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23 解析 由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13， 即－13<2x －1<13，解得13<x <23.反思感悟 利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类 (1)利用图象解不等式； (2)转化为简单不等式求解．①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x 1)<f (x 2)或f (x 1)>f (x 2)的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f ”转化为简单不等式(组)求解．跟踪训练4 设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上是减函数，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解 因为f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是减函数，f (x )在[－2,2]上是减函数． 所以不等式f (1－m )<f (m )等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－m >m ，－2≤m ≤2，－2≤1－m ≤2，解得－1≤m <12.1．下列函数中奇函数的个数为( ) ①f (x )＝x 3； ②f (x )＝x 5； ③f (x )＝x ＋1x；④f (x )＝1x2.A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点中一定在函数f (x )的图象上的是( )A ．(3，－2)B ．(3,2)C ．(－3，－2)D ．(2，－3) 答案 A解析 f (－3)＝2即点(－3,2)在奇函数的图象上， ∴(－3,2)关于原点的对称点(3，－2)必在f (x )的图象上．3．设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 答案 A解析 F (－x )＝f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－F (x )． ∴F (x )为奇函数4．若f (x )＝3x 3＋5x ＋a －1为奇函数，则a 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 C解析 ∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (0)＝0得a ＝1.5.如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0答案 A解析 f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1) ＝－32－12＝－2.6．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. 答案 4解析 f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a 是偶函数，∴a ＝4.7．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为________． 答案 5解析 因为f (x )是奇函数， 所以f (－3)＝－f (3)＝－6，所以(－3)2＋a (－3)＝－6，解得a ＝5.8．若f (x )为R 上的奇函数，给出下列四个说法： ①f (x )＋f (－x )＝0； ②f (x )－f (－x )＝2f (x )；③f(x)·f(－x)<0；④f(x)f(－x)＝－1.其中一定正确的为________．(填序号)答案①②解析∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确．f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②正确．当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故③不正确．当x＝0时，f(x)f(－x)分母为0，无意义，故④不正确．9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝2x2＋2x x＋1.考点函数的奇偶性判定与证明题点判断简单函数的奇偶性解(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．解(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象，图③为补充后的图象．易知f(3)＝－2.(2)由偶函数的性质可作出它在y 轴右侧的图象，图④为补充后的图象，易知f (1)>f (3)．11．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝－2x答案 B解析 对于函数y ＝|x |＋1，f (－x )＝|－x |＋1＝|x |＋1＝f (x )， 所以y ＝|x |＋1是偶函数，当x >0时，y ＝x ＋1， 所以在(0，＋∞)上单调递增．另外，函数y ＝x 3不是偶函数，y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上单调递减，y ＝－2x 不是偶函数．故选B.12．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 D ．|f (x )|－g (x )是奇函数 考点 函数的奇偶性判定与证明 题点 判断抽象函数的奇偶性 答案 A解析 由f (x )是偶函数，可得f (－x )＝f (x )， 由g (x )是奇函数可得g (－x )＝－g (x )， 故|g (x )|为偶函数， ∴f (x )＋|g (x )|为偶函数．13．函数f (x )＝4－x 22－|x ＋2|的定义域为________，为______函数(填“奇”或“偶”)．答案 [－2,0)∪(0,2] 奇解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，2－|x ＋2|≠0，解得－2≤x ≤2且x ≠0， ∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]．∵f (x )＝4－x 22－|x ＋2|＝4－x 2－x＝－4－x 2x ，定义域关于原点对称，∴f (－x )＝4－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．14．函数f (x )＝ax 3＋bx ＋cx ＋5满足f (－3)＝2，则f (3)的值为________．答案 8解析 设g (x )＝f (x )－5＝ax 3＋bx ＋cx (x ≠0)，∵g (－x )＝－ax 3－bx －cx ＝－g (x )，∴g (x )是奇函数，∴g (3)＝－g (－3)＝－[f (－3)－5] ＝－f (－3)＋5＝－2＋5＝3， 又g (3)＝f (3)－5＝3， ∴f (3)＝8.15．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________.考点 函数图象的对称性 题点 中心对称问题 答案 43解析 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.16．设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c 是奇函数(a ，b ，c ∈Z )，且f (1)＝2，f (2)<3，求a ，b ，c 的值．解 由条件知f (－x )＋f (x )＝0， ∴ax 2＋1bx ＋c ＋ax 2＋1c －bx ＝0，∴c ＝0. 又f (1)＝2，∴a ＋1＝2b .∵f (2)<3，∴4a ＋12b <3，∴4a ＋1a ＋1<3，解得－1<a <2，∴a ＝0或1. ∴b ＝12或1，由于b ∈Z ，∴a ＝1，b ＝1，c ＝0.1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，g (x )，x <0，且f (x )为偶函数，则g (－2)等于( ) A ．6 B ．－6 C ．2 D ．－2考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 A解析 g (－2)＝f (－2)＝f (2)＝22＋2＝6.2．如果奇函数f (x )在区间[－3，－1]上是增函数且有最大值5，那么函数f (x )在区间[1,3]上是( )A ．增函数且最小值为－5B ．增函数且最大值为－5C ．减函数且最小值为－5D ．减函数且最大值为－5答案 A解析 f (x )为奇函数，∴f (x )在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f (1)为最小值， 又已知f (－1)＝5，∴f (－1)＝－f (1)＝5，∴f (1)＝－5，故选A.3．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是减函数，若f (a )≥f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．a ≥2C ．a ≤－2或a ≥2D ．－2≤a ≤2答案 D解析 由f (a )≥f (－2)得f (|a |)≥f (2)，∴|a |≤2，∴－2≤a ≤2.4．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有4个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是( )A ．4B ．2C ．1D ．0答案 D解析 y ＝f (x )是偶函数，所以y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )＝0的所有实根之和为0.5．设f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x 1<0且x 1＋x 2>0，则( )A ．f (－x 1)>f (－x 2)B ．f (－x 1)＝f (－x 2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案A解析∵x1<0，x1＋x2>0，∴x2>－x1>0，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x2)<f(－x1)，∵f(x)是偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.答案－5解析由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.7．已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是________．考点抽象函数单调性与奇偶性题点抽象函数单调性与不等式结合问题答案(－∞，1)解析由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，f(x)<f(1)等价于x<1.8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．答案f(－2)<f(1)<f(0)解析∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0)．9．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.(1)试求f(x)在R上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 求奇偶函数的单调区间解 (1)因为函数f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数，则f (0)＝0.设x <0，则－x >0，因为当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3.所以当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3.于是有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.(2)先画出函数在y 轴右侧的图象，再根据对称性画出y 轴左侧的图象，如图．由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]，[1，＋∞)，单调递减区间是(－1,0)，(0,1)．10．已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数，且满足f (1)＝52，f (2)＝174. (1)求a ，b ，c 的值；(2)试判断函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上的单调性并证明． 考点 单调性与奇偶性的综合应用题点 判断或证明奇偶函数在某区间上的单调性解 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－ax －b x ＋c ＝－ax －b x－c ， ∴c ＝0，∴f (x )＝ax ＋b x. 又∵f (1)＝52，f (2)＝174， ∴⎩⎨⎧ a ＋b ＝52，2a ＋b 2＝174.∴a ＝2，b ＝12.综上，a ＝2，b ＝12，c ＝0.(2)由(1)可知f (x )＝2x ＋12x .函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数．证明如下：任取0<x 1<x 2<12，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋12x 1－2x 2－12x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－12x 1x 2＝(x 1－x 2)4x 1x 2－12x 1x 2.∵0<x 1<x 2<12，∴x 1－x 2<0,2x 1x 2>0,4x 1x 2－1<0.∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上为减函数．11．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x <0的解集为() A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)答案 C解析 ∵f (x )为奇函数，f (x )－f (－x )x <0，即f (x )x <0，∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数且f (1)＝0，∴当x >1时，f (x )<0.∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f (x )为减函数且f (－1)＝0，即x <－1时，f (x )>0.综上使f (x )x<0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 12．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )对任意实数x ，y 都成立，则函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数，也是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数答案 A解析 令x ＝y ＝0，所以f (0)＝f (0)＋f (0)，所以f (0)＝0.又因为f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝0，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，故选A.13．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数值答案 －1解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，∴f (－x )＋(－x )2＝－[f (x )＋x 2]，∴f (x )＋f (－x )＋2x 2＝0，∴f (1)＋f (－1)＋2＝0.∵f (1)＝1，∴f (－1)＝－3.∵g (x )＝f (x )＋2，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－3＋2＝－1.14．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1－x )＝f (1＋x )，且f (x )在[1，＋∞)上为单调减函数，则当x ＝________时，f (x )取得最大值；若不等式f (0)<f (m )成立，则m 的取值范围是________． 答案 1 (0,2)解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知，f (x )的图象关于直线x ＝1对称，又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，则f (x )在(－∞，1]上单调递增，所以当x ＝1时f (x )取到最大值．由对称性可知f (0)＝f (2)，所以f (0)<f (m )，得0<m <2，即m 的取值范围为(0,2)．15．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3考点 函数奇偶性的应用题点 利用奇偶性求函数的解析式答案 C解析 ∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1.∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1.∴f (1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1.16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ∈R ，当a ＋b ≠0时，都有f (a )＋f (b )a ＋b>0. (1)若a >b ，试比较f (a )与f (b )的大小关系；(2)若f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，求实数m 的取值范围．解 (1)因为a >b ，所以a －b >0，由题意得f (a )＋f (－b )a －b>0， 所以f (a )＋f (－b )>0.又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－b )＝－f (b )，所以f (a )－f (b )>0，即f (a )>f (b )．(2)由(1)知f (x )为R 上的单调递增函数，因为f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，所以f (1＋m )≥－f (3－2m )，即f (1＋m )≥f (2m －3)，所以1＋m ≥2m －3，所以m ≤4.所以实数m 的取值范围为(－∞，4]．。
偶函数的定义与性质PPT课件
x
P' (2,4) 2
P'( x , x2)
4
P2 (2,4)
x2
P(x , x2)
f (x) x
f x x2
特征 1.定义域关于原点对称；
： 2. f x f x
一、偶函数
1、偶函数的定义：
一般地，如果对于函数f(x)的定
任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶
函数（even function）。
注意：定义域关于原点对称
2、偶函数的性质 A、偶函数图象关于y轴对称，反之亦然； B、偶函数在关于原点对称的两个区间上，单调性相反。
二、例题剖析
例1. 判断函数下列函数是否为偶函数？
(1) f x 2x2 1; x [2,2); (2) f x x3 x2.
解：(1)由于f x 2x2 1的定义域为 2,2
§1.3.2 偶函数的定义与性质
• 观察下列函数的图象，从图象对称的角度把这些函数图象分 类：
y f (x) x2
y f (x) | x |
y f (x) 1
| x|
x O
(1) y f (x) x x
(4)
x O
(2)
y f (x) x3 x
O (5)
x O
(3)
y f x x 1
x O
P1 (1,1)
1
x
P' (2,4) 2
P'( x , x2)
4
P2 (2,4)
x2
P(x , x2)
y
P'(x, x )
P' 2
2,2
P' 1
1,1
x
高一数学必修一偶函数知识点梳理
高一数学必修一偶函数知识点梳理在高一数学必修一中，我们学习了很多数学概念和知识，其中包括了偶函数的概念和相关的性质。
本文将对偶函数的定义、图像、性质以及应用进行详细梳理，旨在帮助同学们更好地理解和掌握偶函数的相关知识。
一、偶函数的定义偶函数是指满足函数关系f(-x)=f(x)的函数。
简单来说，如果一个函数中的任意一个自变量x和它的相反数-x对应的函数值相等，那么这个函数就是偶函数。
二、偶函数的图像1. 对称轴：偶函数的图像关于y轴对称。
2. 特点：偶函数在对称轴上的任意两个点关于对称轴上的某一点的函数值相等。
3. 图像：偶函数的图像通常对称于y轴，且在对称轴上呈现对称分布。
三、偶函数的性质1. 偶函数关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。
2. 偶函数的定义域为所有使函数有意义的实数。
3. 偶函数的值域为所有使函数有意义的实数。
4. 偶函数的奇偶性与函数的图像关于y轴的对称性一致。
5. 偶函数和偶函数的和、差仍然是偶函数。
四、偶函数的应用1. 函数的奇偶性判断：通过判断函数关系f(-x)=f(x)是否成立，可以确定函数的奇偶性。
2. 图像的绘制：根据偶函数的对称性，我们只需要计算并绘制函数在对称轴上的一部分即可，从而简化了图像的绘制过程。
3. 数学建模：偶函数常常在数学建模中用来描述具有对称性的问题，比如对称振动问题等。
综上所述，偶函数是满足关系f(-x)=f(x)的函数，其图像关于y 轴对称。
我们可以通过判断函数关系的对称性来确定函数的奇偶性，并利用偶函数的对称性来简化图像的绘制过程。
偶函数在数学中有着广泛的应用，对于同学们的学习和理解数学概念和问题是非常有帮助的。
在高一数学必修一中，偶函数只是数学知识的冰山一角。
希望同学们在学习偶函数的同时，能够对其他数学知识也有更深入的了解和掌握，为将来的学习打下坚实的数学基础。
函数奇偶性及单调性的综合应用课件
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) < f(x_2)$，则 称$f(x)$为增函数。
性质
增函数的图像是上升的，即随着$x$的 增大，$y$的值也增大。
单调减函数的定义与性质
定义
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
奇偶性与单调性在数学问题中的应用实例
函数图像分析
通过分析函数的奇偶性和 单调性，可以更好地理解 函数的图像和性质，进而 解决相关的数学问题。
数值计算优化
在数值计算中，利用函数 的奇偶性和单调性，可以 更高效地求解数学问题和 优化算法。
数学建模应用
在数学建模中，结合奇偶 性和单调性，可以建立更 精确的数学模型，解决实 际问题。
THANKS
感谢观看
性质
减函数的图像是下降的，即随着$x$的增大，$y$的值减小。
单调性在函数图像中的应用
1 2 3
判断函数图像的单调性
通过观察函数图像的走势，可以判断函数的单调 性。
利用单调性判断函数值大小
在单调增函数中，如果$x_1 < x_2$，则有 $f(x_1) < f(x_2)$；在单调减函数中，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) > f(x_2)$。
对于函数$f(x) = x^{2}$，其在区间 $(-infty, 0)$上单调递减，在区间$(0, +infty)$上单调递增。对于函数$f(x) = frac{1}{x}$，其在区间$(-infty, 0)$ 和$(0, +infty)$上均为单调递减。
函数的性质综合应用
②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数
③一个奇函数，一个偶函数和积函数是奇函数 4、若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0
5、奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称
（三）奇偶性式子的变形 f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) 0 f ( x) 1( f ( x) 0) f ( x)
5、f ( x) a x a x (a 0, 且a 1)在定义域上是奇函数 6、f ( x y ) f ( x) f ( y )(a 0, 且a 1)在定义域上是奇函数
周期性
（1）定义 设函数y f ( x), x D如果存在非零常数T ,使得对任何x D都有f ( x T ) f ( x)， 则称函数y f ( x)为周期函数 T 为的一个周期，所有周期中最小的正数，称为最小正周期，简称周期。
变式：设函数f ( x)对任意实数满足f (2 x) f (2 x)，f (7 x) f (7－x)且f (0) 0, 判断函数f ( x)图象在区间上 －30， 30 与x轴至少有多少个交点.
解：由题设知函数f ( x)图象关于直线x 2和x 7对称，又由函数的性质得 是以10为周期的函数.在一个周期区间 0， 10 内 f (0) 0, f (4) f (2 2) f (2 2) f (0) 0且f ( x)不能恒为零, 故图象与x轴至少有2个交点 而区间 30,30 上有6个周期，故在闭区间－30， 30 上f ( x)图象与x轴至少有13个交点.
C. f ( x) x cos x D . f ( x) x( x
例3．已知函数f ( x)
2
2019新版高中数学人教A版必修一第三章 函数的概念与性质 第6节 函数的奇偶性(1)
例 2：若 f(x)＝ax2＋bx＋3x＋b 是偶函数，其定义域为[a－3,2a]，则 a＝________， b＝________.
解析：∵f(x)是偶函数，故定义域关于原点对称，即有 2a＋a－3＝0，∴a＝1. 又∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立， 故有 b＝－3.答案：1 －3
解：令 g（x）=ax3﹣bx，则由奇函数的定义可得函数 g（x）为 R 上的奇函数， ∴由 f（﹣3）=g（﹣3）+1=1 得，g（﹣3）=0， ∴f（3）=g（3）+1=﹣g（﹣3）+1=1．
4.已知函数
是奇函数，则 a= ．
解：∵y=f（x）=
的定义域为（﹣1，1），且函数为奇函数,∴f（0）=|2+0|+a=0，解
A．﹣3
B．﹣1
C．1
D．3
解：因为 f（x）为定义在 R 上的奇函数，所以 f（0）=20+2×0+b=0， 解得 b=﹣1，所以当 x≥0 时，f（x）=2x+2x﹣1，又因为 f（x）为定义在 R 上的 奇函数，所以 f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故选 A．
例 6：已知函数 f(x)(x∈R)是奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝2x－1，求函数 f(x) 的解析式．
8.定义域为 R 的函数 f(x)满足：对于任意的实数 x、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) 成立，且当 x＞0 时，f(x)＜0 恒成立，判断函数 f(x)的奇偶性。
解：f(x)为奇函数，
偶函数关于原点对称。
偶函数关于原点对称。
偶函数是一种具有关于原点对称性质的函数。
具体来说，如果函数f(x)满足对于任意的x，都有f(x) = f(-x)，那么我们称该函数为偶函数。
以下是对偶函数的相关内容进行详细阐述：一、定义和性质：偶函数是一种具有关于原点对称性质的函数。
对于任意的x，都有f(x) = f(-x)。
这意味着函数图像关于y轴对称。
例如，f(x) = x^2就是一个典型的偶函数，因为f(x) = f(-x) = x^2。
1. 对称性质：偶函数的特点就是关于原点对称，即函数图像关于y轴对称。
这意味着如果(x, y)在图像上，则(-x, y)也在图像上。
例如，当x=2时，f(2)=4，而当x=-2时，f(-2)=4，这两个点在函数图像上对称。
2. 奇偶关系：偶函数和奇函数是互补的概念。
如果一个函数既是偶函数又是奇函数，那么它必须是常值函数，即f(x) = 0。
因为偶函数要求f(x) = f(-x)，而奇函数要求f(x) = -f(-x)，两者同时满足只能是0。
3. 基本偶函数：一些常见的偶函数包括指数函数、幂函数、三角函数等。
例如，f(x) = e^x，f(x) = x^2，f(x) = cos(x)等都是偶函数。
这些函数的特点就是对于任意的x，都有f(x) = f(-x)。
二、偶函数的图像和性质：1. 对称性：偶函数的图像关于y轴对称。
例如，对于函数f(x) = x^2，当x>0时，y=x^2是一个上升的抛物线，而当x<0时，y=(-x)^2也是一个上升的抛物线，它们的图像关于y轴对称。
2. 奇偶点：偶函数的图像上的任意两个对称点的函数值相等。
例如，对于f(x) = x^2的图像，当x=2时，y=4；而当x=-2时，y=(-2)^2 = 4，这两个点在图像上是对称的，它们的函数值相等。
3. 零点：偶函数图像上的零点一定是对称的。
如果f(a) = 0，那么f(-a) = 0。
例如，对于函数f(x) = x^2，当x=0时，f(0) = 0，而当x=-0时，f(-0) = 0，这两个点在图像上是对称的。
偶函数的原理
偶函数的原理偶函数是指具有对称性质的函数，即对于函数f(x)，如果满足f(x) = f(-x)，那么它就被称为偶函数。
换句话说，偶函数具有对称轴为y轴的特点，即关于y轴对称。
偶函数在数学中具有重要的意义，它们在图形的对称性、定积分计算、傅里叶级数展开等方面都有广泛的应用。
偶函数的性质可以通过数学的方法来进行证明。
假设函数f(x)是一个偶函数，那么根据偶函数的定义有f(x) = f(-x)。
我们可以进行如下的推导来证明偶函数的性质：1. 对称轴对称性：偶函数在y轴上具有对称性，即函数图像关于y轴对称。
这可以通过将f(x)和f(-x)画在同一张坐标轴上来得到证明。
由于f(x) = f(-x)，所以它们的图像关于y轴对称。
2. 偶函数的图像：偶函数的图像是关于y轴对称的。
这也可以通过将f(x)和f(-x)画在同一张坐标轴上来得到证明。
由于f(x) = f(-x)，所以它们的图像是关于y 轴对称的。
3. 偶函数的性质：对于偶函数f(x)，有f(x) = f(-x)，那么对于任意的x，都有f(-x) = f(x)。
这意味着偶函数在自变量取相反数时，函数值不变。
这也是偶函数的一个重要性质。
偶函数在数学中有着广泛的应用。
首先，在图形的对称性方面，偶函数具有独特的特点。
当我们研究函数的图像时，可以通过判断函数是否为偶函数来判断其图像是否具有对称性。
这对于数学建模和分析问题时非常有用。
例如，在物理学中，往往可以通过函数的对称性来简化问题的分析。
偶函数的对称性也在几何学中有着重要的应用，它可以帮助我们更好地理解图形的几何性质。
其次，在积分计算方面，偶函数也具有一些特殊的性质。
对于偶函数f(x)，在对称区间[-a, a]上的定积分满足如下性质：∫[-a, a] f(x) dx = 2∫[0, a] f(x) dx这意味着对于偶函数，我们可以通过对称性质来简化定积分的计算。
这种特性在实际应用中也非常有用，可以帮助我们简化复杂函数的积分计算。
常见奇偶函数
常见奇偶函数奇偶函数是数学中的一类特殊函数，经常被用来求解微积分、线性系统和电路相关的科学问题。
这类函数在数学上有着重要的地位，也是学习数学的基础内容之一。
本文将介绍一些常见的奇偶函数，并分析其定义、性质及用途。
一、定义奇偶函数的定义是指：函数f(x)在定义域内对给定的任意值x满足类似于$f(-x)=f(x)$的对称性质，则称$f(x)$为奇偶函数。
具体而言，只要满足下面条件之一就可以称为奇偶函数：1.于任意x，有$f(-x)=f(x)$；2.于任意x，有$f(-x)=-f(x)$；3.于任意x，有$f(-x)=f(x)+c$，其中c为常数。
二、性质奇偶函数的一个重要的性质是它的积分性质，即对于任意给定的定义域，$f(x)$的积分$int^{b}_{a}f(x)dx=0$，其中a,b为定义域的上下界，$f(x)$满足奇偶函数定义。
也就是说，它将定义域上每一条直线的积分结果都抵消掉，这是利用其对称性质而得出的一个结论。
此外，奇偶函数的对称性质还可以表示为：对于任意x，$f(x+0.5)=f(-x+0.5)$，其中0.5为一个常数。
这表明，对于任意x，我们可以将$f(x)$的值沿着x轴向右移动半个长度，改变得到的函数值仍然是原来的函数值，这就是奇偶函数的另一种特性。
三、常见的奇偶函数1.函数$y=x^n$：对于任意x，有$f(-x)=(-x)^n= (-1)^nx^n=f(x)$，因此可以说它是一个奇偶函数；2.方函数$y=x^2$：对于任意x，有$f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$，因此可以说它是一个奇偶函数；3.曲正弦函数$y=sinh x$：对于任意x，有$f(-x)=sinh(-x)=sinh x=f(x)$，因此可以说它是一个奇偶函数；4.曲余弦函数$y=cosh x$：对于任意x，有$f(-x)=cosh(-x)=cosh x=f(x)$，因此可以说它是一个奇偶函数；5.曲正切函数$y=tanh x$：对于任意x，有$f(-x)=tanh(-x)=-tanh x=-f(x)$，因此可以说它是一个奇偶函数；6.数函数$y=a^x$：对于任意x，有$f(-x)=a^{-x}=frac{1}{a^x}=frac{1}{f(x)}$，因此可以说它是一个奇偶函数。
偶函数知识点总结
偶函数知识点总结在数学中，偶函数是指满足以下性质的函数：对于函数中的任意x，如果f(-x) = f(x)，即函数在x = -x处的函数值相等，那么该函数就被称为偶函数。
简单来说，偶函数的图像以y轴为对称轴，即关于y轴对称。
在本篇文章中，我将总结偶函数的性质、图像特点以及相关的数学公式等知识点，以便帮助学生更好地理解和掌握偶函数的概念。
一、偶函数的性质1. 偶函数满足f(-x) = f(x)，即对于函数中的任意x，如果函数在x = -x处的函数值相等，则该函数为偶函数。
2. 偶函数的定义域可以是任意实数，但其值域通常是非负实数。
3. 偶函数的图像关于y轴对称。
4. 偶函数的奇次幂项系数为0，即偶函数中只包含偶次幂项。
5. 偶函数在原点处是对称的，即f(0) = 0。
二、偶函数的图像特点1. 偶函数的图像以y轴为对称轴，即关于y轴对称。
2. 当x > 0时，偶函数的图像在第一象限和第四象限上均为正值；当x < 0时，偶函数的图像在第二象限和第三象限上均为正值。
3. 偶函数的图像通常是光滑的曲线，对称轴上的对称性使得图像具有特定的几何形状。
4. 一些常见的偶函数的图像特点如正弦函数、余弦函数以及二次函数等。
三、偶函数的数学公式1. 偶函数的一般表示形式为f(x) = a0 + a2x^2 + a4x^4 + ... + a2nx^2n，其中n为正整数，a0、a2、a4、...、a2n为常数项。
2. 正弦函数是一个经典的例子，其数学公式为f(x) = sin(x)，满足f(-x) = sin(-x) = -sin(x)，即为偶函数。
3. 余弦函数是另一个经典的例子，其数学公式为f(x) = cos(x)，满足f(-x) = cos(-x) = cos(x)，也是偶函数。
4. 二次函数f(x) = ax^2 + bx + c也是一个常见的偶函数，其中a为非零常数。
四、偶函数的性质运用1. 利用偶函数的对称性，可以简化一些函数的求导和积分运算。
函数的性质(奇偶性、解析式)(补课)
函数的性质（奇偶性、单调性）一、函数的奇偶性1.偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．2.奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有f(－ x)= — f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．3.判断函数奇偶性的方法：（1）图像法：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（2）定义法：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．4.奇偶函数的简单性质：（1）奇函数：奇函数的图象关于原点对称，其单调性在对称区间内相同，如在[a,b ]上为增函数，则在[-b ，-a ]上也为增函数.（2）偶函数：奇函数的图象关于y 轴对称，其单调性在对称区间内相反，如在[a,b ]上为增函数，则在[-b ，-a ]上为减函数.二、函数的解析式（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要 求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）求函数的解析式的主要方法有：凑配法、换元法、待定系数法、消参法.相关习题一、 选择题1. 若定义在区间[]5,a 上的函数()x f 为偶函数，则a 的值为（ ）A ．0B ．-5C ．5D ．不确定2. y f x x R =∈()()是奇函数，下列坐标表示的点一定在函数y f x =()图象上（ ）A ． (())a f a ，-B ． (())--a f a ，C ． (())---a f a ，D ．(())a f a ，-3. 如果奇函数)(x f 在[]7,3上是增函数，且最小值是5，那么)(x f 在[]3,7--上是（ ） A ．增函数，最小值是-5 B ．增函数，最大值是-5C ．减函数，最小值是-5D ．减函数，最大值是-54. 已知函数)(1222)(R x a a x f x x ∈+-+⋅=是奇函数，则a 的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．25. f(x)是定义在区间[-5，5]上的偶函数，且f (1) < f (3),下列各式一定成立的是（ ）A.f(0)>f(5)B.f(3)<f(2)C.f(-1)>f(3)D.f(-3)>f(1)6.)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <则（ ）A ．)()(21x f x f <B ．)()(21x f x f >C ．)()(21x f x f =D ．无法确定7. 下列函数为偶函数的是（ ）A.()x x x f +=B.()x x x f 12+=C.()x x x f +=2D.()2xx x f = 8.已知函数())0(2≠++=a c bx ax x f 为偶函数，那么()cx bx ax x g ++=23是（ ）A. 奇函数B. 偶函数C. 即奇又偶函数D.非奇非偶函数9.如果奇函数）（x f 在],[b a 具有最大值）（a f ，那么该函数在],[a b --有 （ ）A .最大值）（a -fB .最小值）（a -fC .最大值）（b -fD .最小值）（b -f10.()f x 是定义在R 上的偶函数,且在)0,(-∞上是增函数,则()2f -与()223f a a -+, （a R ∈）的大小关系是（ ）A ．()2f -<()223f a a -+ B ．()2f -≥()223f a a -+ C ．()2f ->()223f aa -+ D ．与a 的取值无关若函数 二、填空题11. 若函数f ( x )=ax 73++bx ,有f ( 5 )= 3则f(－5)= ；12. 设奇函数 f ( x ) 的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时,f(x)的图象如右图，则不等式()0<x f 的解是 ；13. 已知)(x f 是定义在[)2,0-⋃(]0,2上的奇函数， （12题） （13题）当0>x 时，)(x f 的图象如右图所示，那么f (x ) 的值域是 ；14. 62)23()(2-++-=k x k k x f 在R 上是增函数且为奇函数, K 的范围为 .三、 解答题15.判断下列各函数是否具有奇偶性（1）x x x f 2)(3+= ； （2）2432)(x x x f +=； （3）1)(23--=x x x x f ； （4）2)(x x f = []2,1-∈x ； （5）x x x f -+-=22)( ； （6）2211)(x x x f -+-=；（7）2211(0)2()11(0)2x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩16. 根据要求求函数解析式（1）已知()x x x f 312+=+，求()x f ；（2）已知3311xx x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f ； （3）已知○1()()23+=--x x f x f ， ○2()112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x f x f ，分别求()x f ；（4）求一个一次函数()x f ，使得()78]}[{+=x x f f f .（5）已知：()10=f ,对于任意实数y x ,，等式())12()(+--=-y x y x f y x f 恒成 立，求()x f 的表达式.17.（1）()x f 为R 上奇函数，当0>x 时，()()x x x f -=1，求()x f 在R 上解析式；（2）()x f 为R 上偶函数，当0<x 时，()132+-=x x x f ，求()x f 在R 上解析式．（3）())(,x g x f 都是定义在R 上的函数，且()x f 为偶函数，()x g 为奇函数，且有 ()2-x x x g x f 2+=+)(，试求())(,x g x f 的解析式.18.（1）)(x f 在(－2，2)上为减函数，且0)24()1(>-+-m f m f ，求m 的取值范围；（2）)(x f 在]3,3[-上为偶函数，且在]0,3[-上是减函数0)3()12(>---a f a f ，求a 的取值范围.19. 函数)(x f y =与)(x g y =的图像如图所示，设)()()(x g x f x F =,求)(x F 取得最大值时相应的x 的值.。
函数的奇偶性与周期性知识点总结
函数的奇偶性与周期性知识点总结函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。
在学习函数的过程中，我们会遇到一些特殊的函数类型，包括奇函数、偶函数和周期函数。
本文将对这些函数类型的特点进行总结，并介绍函数的奇偶性和周期性的相关知识点。
一、奇函数和偶函数1. 奇函数：奇函数是指满足以下性质的函数：对于任意实数x，若f(-x) = -f(x)，则函数f(x)为奇函数。
奇函数以原点对称，图像在坐标系的左右两侧关于原点对称。
例如，f(x) = x^3 和 f(x) = sin(x) 都是奇函数。
2. 偶函数：偶函数是指满足以下性质的函数：对于任意实数x，若f(-x) = f(x)，则函数f(x)为偶函数。
偶函数以y轴对称，图像在坐标系的左右两侧关于y轴对称。
例如，f(x) = x^2 和 f(x) = cos(x) 都是偶函数。
二、奇偶性的性质1. 奇函数的性质：（1）奇函数的图像关于原点对称，即若点（x, y）在图像上，则点（-x, -y）也在图像上。
（2）奇函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
（3）奇函数的一个性质是：奇函数与偶函数的乘积仍为奇函数。
2. 偶函数的性质：（1）偶函数的图像关于y轴对称，即若点（x, y）在图像上，则点（-x, y）也在图像上。
（2）偶函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
（3）偶函数的一个性质是：奇函数与偶函数的乘积仍为偶函数。
三、周期函数周期函数是指在一定范围内，函数值呈现重复的规律性变化。
具体来说，对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意实数x，有f(x+T) = f(x)。
T称为函数的周期，一个周期内的函数值是相同的。
例如，f(x) = sin(x) 和 f(x) = cos(x) 都是周期函数。
周期函数的性质：1. 周期函数的图像以某个区间为一个完整的重复单位。
2. 周期函数的定义域可以是全体实数，也可以是一部分实数。
3. 周期函数的一个重要性质是：周期函数与周期函数的乘积仍为周期函数。
函数的奇偶性怎么判断函数的周期性奇函数与偶函数性质
一、判断函数奇偶性的方法1.先分解函数为常见的一般函数，比如多项式x^n，三角函数，判断奇偶性2.根据分解的函数之间的运算法则判断，一般只有三种种f(x)g(x)、f(x)+g(x），f(g(x))（除法或减法可以变成相应的乘法和加法）3.若f（x）、g(x）其中一个为奇函数，另一个为偶函数，则f(x)g(x)奇、f(x)+g(x）非奇非偶函数，f(g(x))奇4.若f（x）、g(x）都是偶函数，则f(x)g(x)偶、f(x)+g(x）偶，f(g(x))偶5.若f（x）、g(x）都是奇函数，则f(x)g(x)偶、f(x)+g(x）奇，f(g(x))奇二、函数的奇偶性定义：1.偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
2.奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）＝f（x），那么函数f（x）是奇函数。
三、函数的周期性：（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。
一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
四、函数的奇偶性：（1）定义：偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）＝f（x），那么函数f（x）是奇函数。
（2）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
定义在r上的偶函数
定义在r上的偶函数偶函数作为数学中重要的函数形式，在许多应用中发挥着重要的作用。
而定义在R上的偶函数更是如此，它是一种特殊的函数类型，它可以提供有关函数的特定信息。
本文将详细介绍R上的偶函数的定义、性质和应用。
定义在数学上，偶函数是指函数满足自反性，即：f(-x)=f(x) 。
即如果定义：f:R->R，则满足以下性质：f(-x)=f(x), x∈R定义在R上的偶函数：f（x），则必须对任意的x∈ R有f（-x）= f（x），如果一个函数满足此性质，则称这个函数为定义在R上的偶函数，也可以称为R上的反函数。
性质定义在R上的偶函数的性质有：1.昂：如果函数f（x）满足f（-x）=f（x），则称f（x）具有偶性。
2.称性：如果定义在R上的偶函数f（x）是具有对称性的，则f （-x）= -f（x）。
3.加性：如果定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），则f（x）具有可加性。
4.乘性：如果定义在R上的偶函数f（x）满足f（xy）=f（x）f （y），则f（x）具有可乘性。
另外，定义在R上的偶函数还具有有限性、可积性和可导性性质。
应用定义在R上的偶函数具有重要的应用。
1.几何图形建模中，定义在R上的偶函数可以用来描述物体的变形。
2.量子力学中，定义在R上的偶函数可以用来描述原子的结构和性质，从而实现对量子系统的模拟和控制。
3.信号处理中，定义在R上的偶函数可以用来表示信号的频域特征，并进行有效的信号处理。
4.概率论和统计学中，定义在R上的偶函数可以用来描述某一随机变量的概率分布，从而求解问题。
结论定义在R上的偶函数作为一种重要的数学函数形式，具有重要的应用价值。
它具有偶性、对称性、可加性和可乘性等性质，可以应用于几何图形建模、量子力学、信号处理和概率论等领域。
以上介绍了定义在R上的偶函数的定义、性质和应用，相信在今后的应用中，定义在R上的偶函数会发挥更大的作用。
函数的性质-奇偶性
对于奇函数在对称区间上的定积分为0，而偶函数在对称区间上的定积分为两倍于 半个区间的定积分，利用这一性质可以简化计算。
周期性问题中的奇偶性应用
判断周期性
如果一个函数具有周期性，且周期为T， 则f(x+T)=f(x)。对于奇函数和偶函数， 其周期性判断可以转化为判断f(x+T) 与f(x)的关系。
03
2. 偶函数与偶函数相加或相减
仍为偶函数。
04
3. 偶函数与奇函数相乘得到奇 函数。
05
4. 若一个函数的导数是偶函数， 则原函数是奇函数加上一个常数。
06
奇偶性判断方法
代数法
图像法
通过代入$-x$，比较$f(-x)$与$f(x)$或$f(x)$的关系来判断。
观察函数的图像是否关于原点或y轴对称来 判断。
拓展：复变函数中的奇偶性
01
复变函数的奇偶性定义
类似于实函数，复变函数也有奇偶性的概念。若复变函数f(z)满 足f(-z)=-f(z)，则称其为奇函数；若满足f(-z)=f(z)，则称其为 偶函数。
02 03
奇偶性与共轭复数
在复变函数中，共轭复数与奇偶性密切相关。若f(z)为奇函数， 则其共轭复数函数f*(z)也为奇函数；若f(z)为偶函数，则f*(z) 也为偶函数。
拓展应用
复变函数的奇偶性在复数域的分析和计算中具有广泛应用，如求 解复变函数的积分、判断复变函数的解析性等。
THANKS
感谢观看
指数函数$y = a^x$（$a > 0$，$a neq 1$）既不是奇函数也不是偶函数，因为$a^{-x} neq a^x$且 $a^{-x} neq -a^x$。
其他典型函数的奇偶性
偶函数的概念试讲十分钟
偶函数的概念试讲十分钟偶函数是数学中一类重要的函数，它们在许多领域都有广泛的应用。
本文将从偶函数的概念、性质以及应用等方面对其进行详细介绍，旨在让读者更加了解偶函数，以便更好地利用它们解决实际问题。
一、偶函数的概念偶函数是一类特殊的函数，它的特征是它的函数图像存在轴对称，即函数图像以y轴为轴心进行左右对称，且函数图像的坐标原点(0,0)也在函数图像的中心。
换句话说，当函数图像上的一点(x, y)进行X 轴的对称变换后得到其对称点(-x, y)，这两点上函数的值相同。
例如，x^2 + y^2 = 9是一个偶函数，将向量(x, y)旋转π/2，得到(-y, x)，易知(-y, x)也在x^2 + y^2 = 9上，且f(-y, x) = f (x, y)，即这两点在函数上的值相同。
二、偶函数的性质1.昂：由偶函数的定义可知，偶函数存在左右对称。
即函数f (x)的图像和-f (-x)的图像完全相同，且f (-x) = f (x)。
2.续性：偶函数具有连续性，即无论x值取任何值，函数值处处都连续。
3.数法：由偶函数的定义可知，偶函数余弦函数，余弦函数有极值，且极值存在x=π/2和x=3π/2，故可以通过导数法求知余弦函数的极值。
三、偶函数的应用1.性代数：偶函数在线性代数中有广泛的应用，可以用偶函数解决众多线性代数问题，例如：矩阵的运算、方程的求解、极限的求解等等。
2.学分析：偶函数在数学分析中也有广泛的应用，它可以用来求解若干平面上的积分、椭圆积分以及积分变换等等。
3.文学：偶函数也被广泛应用在天文学中，即在求解月相和日食等问题上。
四、结论本文谈到了偶函数的概念、性质以及应用，偶函数是一类特殊的函数，它存在左右对称，连续性好，且在线性代数与数学分析以及天文学等多领域都有广泛的应用。
最后，希望本文能够帮助读者更加了解偶函数，并能够更好地利用它解决实际问题。
偶函数的性质
偶函数的性质介绍在数学中，偶函数是一类具有特殊性质的函数。
一个函数被称为偶函数，如果它满足函数关系f(x) = f(-x)。
也就是说，对于一个偶函数而言，当自变量取相反数时，函数值保持不变。
偶函数的定义一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于所有的实数x，都有f(x) = f(-x)。
这意味着函数的图像以y轴为对称轴，具有镜像对称性。
偶函数的示例下面是一些常见的偶函数的例子：1.幂函数：例如，f(x) = x^2 是一个偶函数。
当x取任意实数时，都有f(x) = f(-x)。
2.余弦函数：f(x) = cos(x) 是一个偶函数。
余弦函数的图像以y轴为对称轴。
3.绝对值函数：f(x) = |x| 对于正数和负数有不同的定义，但是在x轴左右两侧的图像是对称的。
偶函数的性质偶函数具有以下几个重要的性质：1.对于任意的实数x，有f(x) = f(-x)。
这是偶函数定义的直接结论。
2.偶函数的图像以y轴为对称轴。
因此，如果知道一个函数在y轴右侧的图像，就可以得知在y轴左侧的图像是如何变化的。
3.偶函数和偶函数的乘积还是偶函数。
换句话说，如果f(x)和g(x)都是偶函数，那么它们的乘积h(x) = f(x) * g(x)仍然是偶函数。
4.偶函数和奇函数的乘积是奇函数。
换句话说，如果f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，那么它们的乘积h(x) = f(x) * g(x)是奇函数。
判断一个函数是否为偶函数要判断一个函数是否为偶函数，可以使用以下方法：1.直接验证函数的定义。
对于所有实数x，计算函数值f(x)和f(-x)，如果它们相等，则函数是偶函数。
2.判断函数的图像是否以y轴为对称轴。
画出函数的图像，观察是否关于y轴对称。
3.利用函数的性质进行推导。
如果已知函数是其他偶函数的乘积或者其他偶函数的和，那么可以推断这个函数也是偶函数。
总结偶函数是具有特殊性质的函数，满足f(x) = f(-x)。
它的图像以y轴为对称轴，具有镜像对称性。
偶函数知识点总结图片
偶函数知识点总结什么是偶函数？偶函数是指在整个定义域内满足下列条件的函数：对于定义域内的任意一个实数x，都有f(x)=f(−x)。
换句话说，偶函数对称于y轴。
性质与图像特点1.偶函数的图像在y轴对称。
2.偶函数的定义域可以是整个实数集ℝ，也可以是定义在某个特定区间上的函数。
3.在奇点（函数在该点处不连续）附近，偶函数的图像通常呈现出对称性。
4.如果f(x)是偶函数，那么对于任意常数c，函数f(x)+c也是偶函数。
常见的偶函数1.二次函数中的偶函数：–平方函数：f(x)=x2–绝对值函数的平方：f(x)=|x|2–二次多项式的对称项：f(x)=ax2+ax42.三角函数中的偶函数：–余弦函数：f(x)=cos(x)–双曲余弦函数：f(x)=cosh(x)如何判断一个函数是否是偶函数？要判断一个函数是否是偶函数，我们可以使用以下方法：1.对于给定的函数f(x)，判断是否存在一个实数c，使得对于定义域内的任意x，都有f(x)=f(−x)。
如果存在这样的c，那么函数f(x)就是偶函数。
2.另一种方法是通过观察函数的图像来判断。
如果函数的图像关于y轴对称，那么它是一个偶函数。
怎样利用偶函数性质简化计算？由于偶函数的对称性，我们可以利用其性质来简化计算过程。
以下是一些常见的利用偶函数性质简化计算的方法：1.简化积分：如果被积函数是一个偶函数且积分区间是关于原点对称的，那么只需要计算积分区间的一半即可。
因为对于一个偶函数来说，积分区间的两半部分的积分结果是相等的。
2.简化求导：如果函数是一个偶函数，那么它的导函数也是一个偶函数。
这意味着我们只需要计算导数在非负区间上的值即可。
偶函数在实际应用中的意义偶函数在数学和工程领域中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.对称性分析：偶函数的对称性使得我们能够更容易地研究函数图像的对称性和性质。
2.信号处理：偶函数在信号处理中经常用于描述关于时间轴对称的信号。
3.物理学中的偶函数：在物理学中，很多物理量与偶函数有关，例如对称的电场分布、对称的力场和对称的电荷分布等。
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五、布置作业
书上第36页
练习 1、2
§1.3.2 偶函数的定义与性质
• 观察下列函数的图象，从图象对称的角度把这些函数图象分 类：
y f (x) x2
y f (x) | x |
y f (x) 1
| x|
x O
(1) y f (x) x x
(4)x O(2) Nhomakorabeay f (x) x3 x
O (5)
x O
(3)
y f x x 1
x O
一看
二找
三判断
看定义域
找关系
下结论
是否关于 原点对称
f x是否等 于f x
f x是否是
偶函数
注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关 于y轴对称。
四、课时小结：
奇偶性 定义
偶函数
设函数y f x的定义域内任意一个x,都有 f x f x成立
图像性质
关于y轴对称
判断步骤
一看；二找；三下结论
注意：定义域关于原点对称
2、偶函数的性质 A、偶函数图象关于y轴对称，反之亦然；
B、偶函数在关于原点对称的两个区间上，单调性相反。
二、例题剖析
例1. 判断函数下列函数是否为偶函数？
(1) f x 2x2 1; x [2,2); (2) f x x3 x2.
解：(1)由于f x 2x2 1的定义域为 2,2
P'( x , x2)
4
P2 (2,4)
x2
P(x , x2)
f (x) x
f x x2
特征：1.定义域关于原点对称；
2. f x f x
一、偶函数
1、偶函数的定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内 任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶 函数（even function）。
1
x
P' (2,4) 2
P'( x , x2)
4
P2 (2,4)
x2
P(x , x2)
y
P'(x, x )
P' 2
2,2
P' 1
1,1
x
P(x, x ) 2
1
P2 2,2
P11,1
-x -2 -1 O 1 2 x
x
y
-x -2 -1 O 1 2 x
P' (1,1) 1
P1 (1,1)
1
x
P' (2,4) 2
x
当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
作出函数 f x x2的图像，再观察表格， 你看出了什么？
x 2 1 0
f x x2
4 1 0
1 2 1 4
y
f 1 1 f 1
f 2 4 f 2
f x x2 f x
-x -2 -1 O 1 2 x
P' (1,1) 1
P1 (1,1)
因为函数定义域不关于原点对称
所以函数f x 2x2 1在x 2,2上不是
偶函数.
(2)由于f x x3 x2的定义域为 R
所以函数f x的定义域关于原点对称 因为f x x3 x2 x3 x2 所以f x f x
所以函数 f x x3 x2不是偶函数
判断或证明函数是否为偶函数的基本步骤：
(6)
作出函数f (x) x的图像，再观察表格，你看出了什么？
x 2 1 0 1 2
f (x) x
2
10
1
2
f 1 1 f 1
f 2 2 f 2
f x x f x
y
P'(x, x )
P' 2
2,2
P' 1
1,1
x
P(x, x ) 2
1
P2 2,2
P11,1
-x -2 -1 O 1 2 x