2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案(5、26)

正方形角含半角模型提升

例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．

例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？

例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？

例 4. 如图，在正方形ABCD 的BC 、CD 边上取E 、F 两点，使

45EAF ∠=o ，AG EF ⊥于G . 求证：AG AB =

例5.(1) 如图1,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,CD 上,AE ,BF 交于点O ,90AOF ︒

∠=. 求证：BE CF =.

(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点

O ,90FOH ︒∠=,4EF =.求GH 的长.

【双基训练】

1. 如图6，点A 在线段BG 上，四边形ABCD 与DEFG 都是正方形，•其边长分别为3cm 和5cm ，则CDE ∆的

面积为________2

cm ．

(6) (7)

2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．•如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，•那么正方形⑤的面积为________．

3.如图9，已知正方形ABCD 的面积为35平方厘米，E 、F 分别为边AB 、BC 上的点．AF 、CE 相交于G ，并且ABF ∆的面积为14平方厘米，BCE ∆的面积为5平方厘米，•那么四边形BEGF 的面积是________．

4. 如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，2AB BC =。分别以

AB 、BC 为边作正方形ABEF 和正方形BCMN ，连接FN ， EC 。

求证：FN EC =。

图

2

A

B

C

D

E

F

12G

5.如图 ，ABCD 是正方形．G 是BC 上的一点，DE AG ⊥于 E ，BF AG ⊥于 F ． （1）求证：ABF DAE △≌△；

（2）求证：DE EF FB =+．

【纵向应用】

6. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．求证：BE OF 2

1

=

7. 在正方形ABCD 中，12∠=∠．AE DF ⊥,求证：CE OG 21

=

8. 如图13，点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点, EF BC ⊥, EG CD ⊥ 求证：AE FG ⊥

A B

C D

F O E

G

H 12D G

A E

B

C F 13

A D E F

C G

B

E B

9.已知：点E 、F 分别正方形ABCD 中AB 和BC 的中点，连接AF 和DE 相交于点G , GH AD ⊥于点H .

（1）求证：AF DE ⊥ ；

（2）如果2AB =,求GH 的长；

（3）求证：CG CD =

例1. 已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，15PAD PDA ︒

∠=∠=．

求证：PBC ∆是正三角形．

例2. 如图，分别以ABC ∆的AC 和BC 为一边，在ABC ∆的外侧作正方形

的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．

例4. 如图，四边形ABCD 为正方形，DE AC ∥，AE AC =，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE CF =．

A P C D

B F

例6. 设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF AP ⊥，CF 平分DCE ∠． 求证：PA PF =．

例7. 已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA PB PC ++的最小值．

例8. P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA a =，2PB a =，3PC a =，求正方形的边长．

【双基训练】

1.如图，四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于O ，四边形BEFD 是菱形，若正方形的边长为6

，则菱形的面积为________．

2.如图，ABCD 是正方形，E 为BF 上一点，四边形AFEC •恰是一个菱形，•则EAB ∠=________．

D F

E

P C B

A A C

B

P

D

A

C

B

P

D

【纵向应用】

3.如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点G ，E 分别是边AB ，BC 的中点，90AEF ︒

∠=，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ． （1）证明：BAE FEC ∠=∠； （2）证明：AGE ECF ∆≅∆； （3）求AEF ∆的面积．

【横向拓展】

4.如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒

得到BN ，连接EN 、AM 、CM . ⑴ 求证：AMB ENB ∆≅∆；

⑵ ①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；

②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM BM CM ++的最小值为13+时，求正方形的边长.

E

A D

B C

N

M