《棱柱棱锥棱台和球的表面积体积》.ppt
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棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 PPT课件 人教课标版
2．正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积
与底面积之和.
三. 正棱台的表面积 1中．上正底棱面台的的周侧长面为积c’是，S下= 底12 (面c+的c’)周·h长’，为其c， 斜高为h’.
a'
h h'
a
三. 正棱台的表面积 1中．上正底棱面台的的周侧长面为积c’是，S下= 底12 (面c+的c’)周·h长’，为其c， 斜高为h’.
•
80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
如果斜棱柱的侧棱长为l，直截面的周长 为c’，则其侧面积的计算公式就是
S侧=c’·l.
二.正棱锥的表面积 1. 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜 高a为乘底积面的正一多半边，形即的S边正棱长锥，侧=底12 面n周a·h长’.为其c中， 斜高为h’，
h h'
a
二.正棱锥的表面积
h h' a
二.正棱锥的表面积 1. 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜 高a为乘底积面的正一多半边，形即的S边正棱长锥，侧=底12 面n周a·h长’.为其c中， 斜高为h’，
解：正棱锥的高PO，斜 高PE，底面边心距OE 组成直角三角形。
D
因为OE=2， ∠OPE=30°， A
P
C
O
E
B
所以斜高 PE OE 2 4
sin30 0.5
因此S侧=
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
ch’=32(cm2)
P
S全=S侧+S底=48(cm2)
D
C
O
E
A
B
例3. 如图所示是一个容器的盖子，它是用 一个正四棱台和一个球焊接而成的。球的 半径为R，正四棱台的两底面边长分别为 3R和2.5R，斜高为0.6R；
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件(人教版)
(1) 共得到多少个棱长为1cm的小立方体？ (2) 三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (3) 两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (4) 一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？ (5) 六面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它 们占有多少立方厘米的空间？
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
－ － － － － － － － － － 教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A
解：(3) 两面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2. (4) 一面是红色的小立方体有24个, 表面积之和是144cm2.
(5) 六面均没有颜色的小立方体有8个, 表面积之和是 32cm2，它们占有的空间是8cm3.
练习
－ － － － － － － － － － 教材116页
4. 求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
3
课堂小结
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是多面体，表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱
棱锥
棱台
底面积为 S ，高为 h V棱柱 Sh
底面积为 S ，高为 h
V棱锥
1 3
Sh
上底面积为 S ，下底面积
为 S ，高为 h
V棱台
1 3
h(S
SS S)
如图已知棱长为a的正四面体P-ABC，求它的体积．
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱 台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和. 例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
1 SPBC 2 a a sin 60
3 a2. 4
A
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积课件(人教版)
（
）
2.几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和.
（
）
3.棱锥的体积等于底面面积与高之积.
（
）
4.等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
（
）
答案：√，√，×，√.
练习
题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1.已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上
底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积.
解：由题意知， 长方体−’ ’ ’’ = 1 × 1 × 0.5 = 0.5(3 ) ，
1
1
棱锥− = × 1 × 1 × 0.5 = (3 ).
3
6
所以这个漏斗的容积 =
1
2
1
+
6
2
3
= ≈ 0.67(3 ).
新知探索
辨析1：判断正误.
1.几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和.
解：(2)设三棱锥 − 1 的高为ℎ，则
三棱锥−
1
1
1 1
3
3 2
2
= ∙ ∆1 ∙ ℎ = × ×
× ( 2) ℎ =
ℎ.
3
3 2 2
6
1
∵三棱锥− = 三棱锥 − = 3 ，
6
1
1
= 3 ，解得ℎ =
3
.
3
∴三棱锥 − 1 的高为
’ =
= ℎ
上底缩小
1 ’
= ( + ’ + )ℎ
3
’ = 0
1
= ℎ
3
例析
例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部
高一数学(人教A版)棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-2ppt课件
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
高一年级 数学
空间 几何
体
一、复习回顾
多面体
棱柱、棱锥、棱台
旋转体
圆柱、圆锥、圆台、球
1．棱柱的结构特征
有两个面互相平行，其余各面都 是四边形，并且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行，由这些 面所围成的几何体叫做棱柱．
2．棱锥的结构特征
有一个面是多边形，而其余 各面都是有一个公共顶点的 三角形，由这些面围成的几 何体叫做棱锥．
= 4
3 a2 = 4
3a2．
总结：通过例题我们可得：求几何体的表面积首先是要弄
清楚几何体的结构特征，它的每个面是哪个平面图形，然 后我们再根据平面图形的求面积公式来求它的面积．最后 再将各个面的面积相加就是几何体的表面积．其中侧面的 展开图是关键，我们要弄清楚它的形状以及各几何量的大 小．将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几 何问题最基本的、常用的方法．
棱柱侧面展开图是由若干个平行四边形组成的平面图形． 棱柱的表面积等于上、下底面面积和侧面面积的和．
思考2：棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
三棱锥的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是由若干个三角形组成的平面图形． 棱锥的表面积等于底面面积和侧面面积的和．
思考3：棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
总结：求棱台的表面积首先是要弄清楚棱台的结构 特征，它的上、下底面是哪个平面图形，侧面梯形 的高怎么计算，然后我们再根据平面图形的面积公 式来求它的面积．最后再将各个面的面积相加就是 几何体的表面积．
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
1．体积的定义： 体积是几何体所占空间的大小．
思考：
同一摞书，当改变摆放书的形式时，这摞书的总体积是否 会改变？由此能得到有关体积的什么结论？
高一年级 数学
空间 几何
体
一、复习回顾
多面体
棱柱、棱锥、棱台
旋转体
圆柱、圆锥、圆台、球
1．棱柱的结构特征
有两个面互相平行，其余各面都 是四边形，并且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行，由这些 面所围成的几何体叫做棱柱．
2．棱锥的结构特征
有一个面是多边形，而其余 各面都是有一个公共顶点的 三角形，由这些面围成的几 何体叫做棱锥．
= 4
3 a2 = 4
3a2．
总结：通过例题我们可得：求几何体的表面积首先是要弄
清楚几何体的结构特征，它的每个面是哪个平面图形，然 后我们再根据平面图形的求面积公式来求它的面积．最后 再将各个面的面积相加就是几何体的表面积．其中侧面的 展开图是关键，我们要弄清楚它的形状以及各几何量的大 小．将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几 何问题最基本的、常用的方法．
棱柱侧面展开图是由若干个平行四边形组成的平面图形． 棱柱的表面积等于上、下底面面积和侧面面积的和．
思考2：棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
三棱锥的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是由若干个三角形组成的平面图形． 棱锥的表面积等于底面面积和侧面面积的和．
思考3：棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
总结：求棱台的表面积首先是要弄清楚棱台的结构 特征，它的上、下底面是哪个平面图形，侧面梯形 的高怎么计算，然后我们再根据平面图形的面积公 式来求它的面积．最后再将各个面的面积相加就是 几何体的表面积．
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
1．体积的定义： 体积是几何体所占空间的大小．
思考：
同一摞书，当改变摆放书的形式时，这摞书的总体积是否 会改变？由此能得到有关体积的什么结论？
棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 课件(共21张PPT)-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形
例1 四面体P-ABC的各棱长均为a，求它的表面积 ．
正方体、长方体，以及正棱柱的体积公式可以统一为：
V = Sh（S为底面面积，h为高）
解：由题意知
所以个漏斗的容积
A
D
解：
3.正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，求它的表面积.
教材：P116 练习2、3
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台 的表面积和体积
普通高中教科书 数学 必修 第二册
第八章 立体几何初步
问题：取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，高度、书中每页纸面积和顺序不变，观察改变前后的体积是否发生变化？
1．掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式．2．运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．
一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。
h
s
柱 体
(其中S为底面面积，h为高)
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。
锥 体
由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到棱台的体积公式(过程略)．
面积:平面图形所占平面的大小
什么是面积？
S=ab
a
b
A
a
h
B
C
a
b
h
棱锥的侧面展开图是由三角形组成的平面图形
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱台的侧面展开图是由梯形组成的平面图形
例1 四面体P-ABC的各棱长均为a，求它的表面积 ．
正方体、长方体，以及正棱柱的体积公式可以统一为：
V = Sh（S为底面面积，h为高）
解：由题意知
所以个漏斗的容积
A
D
解：
3.正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，求它的表面积.
教材：P116 练习2、3
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台 的表面积和体积
普通高中教科书 数学 必修 第二册
第八章 立体几何初步
问题：取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，高度、书中每页纸面积和顺序不变，观察改变前后的体积是否发生变化？
1．掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式．2．运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．
一般棱柱的体积公式也是V = Sh，其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。
h
s
柱 体
(其中S为底面面积，h为高)
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。
锥 体
由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到棱台的体积公式(过程略)．
面积:平面图形所占平面的大小
什么是面积？
S=ab
a
b
A
a
h
B
C
a
b
h
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件ppt
连接 AC,BD,交于 O,连接 PO,则 PO⊥底面
1
1
ABCD,OC=2AC=2×3 2 ×
2=3(cm),
又棱长 PC=5 cm,∴OP= 52 -32 =4(cm),
1
∴VP-ABCD=3×18×4=24(cm3).
取 BC 边的中点 E,连接 PE,则 PE 为等腰三角形 PBC 的高,在 Rt△PBE
所以 A1B1=A1O1= 42 -22 =2 3(m),
取 A1B1 的中点为 Q,连接 O1Q,PQ,易得 PQ⊥A1B1.
1
所以 A1Q=2O1A1= 3,PQ= 12 -1 2 =
13(m),
设帐篷上部的侧面积为 S1,下部的侧面积为 S2,
1
所以 S1=6× A1B1·PQ=6 39(m2),
(
27
A． 4
9
B．4
27 3
C． 4
9 3
D． 4
)
【答案】D
1
3 2
【解析】
由题意可得底面正三角形的边长为 3，
所以 V＝3× 4 ×3 ×3
9 3
＝ 4 .故选 D．
3.已知正四棱锥棱长为5,底面边长为6,则此正四棱锥的表面积是(
A.48
B.12 7
C.84
D.36+12 7
)
答案 C
2
6
解析 正四棱锥的底面积为 6×6=36,侧面等腰三角形的高为 52 - 2 =4,则
2
2
所以 A1H= 1
2 - 2
=
1
1
其面积 S1= BD·A1H= ×
2
2ห้องสมุดไป่ตู้
2
( 2) -
1
1
ABCD,OC=2AC=2×3 2 ×
2=3(cm),
又棱长 PC=5 cm,∴OP= 52 -32 =4(cm),
1
∴VP-ABCD=3×18×4=24(cm3).
取 BC 边的中点 E,连接 PE,则 PE 为等腰三角形 PBC 的高,在 Rt△PBE
所以 A1B1=A1O1= 42 -22 =2 3(m),
取 A1B1 的中点为 Q,连接 O1Q,PQ,易得 PQ⊥A1B1.
1
所以 A1Q=2O1A1= 3,PQ= 12 -1 2 =
13(m),
设帐篷上部的侧面积为 S1,下部的侧面积为 S2,
1
所以 S1=6× A1B1·PQ=6 39(m2),
(
27
A． 4
9
B．4
27 3
C． 4
9 3
D． 4
)
【答案】D
1
3 2
【解析】
由题意可得底面正三角形的边长为 3，
所以 V＝3× 4 ×3 ×3
9 3
＝ 4 .故选 D．
3.已知正四棱锥棱长为5,底面边长为6,则此正四棱锥的表面积是(
A.48
B.12 7
C.84
D.36+12 7
)
答案 C
2
6
解析 正四棱锥的底面积为 6×6=36,侧面等腰三角形的高为 52 - 2 =4,则
2
2
所以 A1H= 1
2 - 2
=
1
1
其面积 S1= BD·A1H= ×
2
2ห้องสมุดไป่ตู้
2
( 2) -
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
因为V三棱锥A1－ABD＝V三棱锥A－A1BD，
所以13×12a2·a＝13×12× 2a× 23· 2ad.
所以d＝
3 3 a.
所以点A到平面A1BD的距离为
3 3 a.
[题后总结] 利用等体积法求点到面的距离，一般是先选择适当的顶点求出锥体的体
积，再改变顶点，求题目给出平面的面积，再用等体积法求点到面的距离．
[解析] V正方体＝23＝8，VS－ABCD＝13×22×(5－2)＝4. V＝V正方体＋VS－ABCD＝12.
2 棱柱、棱锥、棱台的体积
[巧归纳] 求几何体体积的常用方法
2 棱柱、棱锥、棱台的体积
练习 1．在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，截下一个棱锥 C－A1DD1，求棱锥 C－A1DD1 的体积与剩余部分的体积之比．
＝56.
∴AB2 =(
AC BD 2 )2＋( 2 )2 ＝
a2＋b2 4 =64,
∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.
1 棱柱、棱锥、棱台的表面积
练习1侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a 时，该三棱锥的表面积是( )
A．3＋ 3a2 4
B．3a2 4
C．3＋ 3a2 2
或V长方体=Sh (S,h分别表示长方体的底面积和高)
2 棱柱、棱锥、棱台的体积 取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，观察改变前后的
体积是否发生变化？
高度、书中每页纸面积和顺序不变
2 棱柱、棱锥、棱台的体积
祖暅原理 书本121-122
两等高的几何体,若在所有等高处的水平截面 的面积相等，则这两个几何体的体积相等．
D．6＋ 3a2 4
C
P
B
侧棱长为
所以13×12a2·a＝13×12× 2a× 23· 2ad.
所以d＝
3 3 a.
所以点A到平面A1BD的距离为
3 3 a.
[题后总结] 利用等体积法求点到面的距离，一般是先选择适当的顶点求出锥体的体
积，再改变顶点，求题目给出平面的面积，再用等体积法求点到面的距离．
[解析] V正方体＝23＝8，VS－ABCD＝13×22×(5－2)＝4. V＝V正方体＋VS－ABCD＝12.
2 棱柱、棱锥、棱台的体积
[巧归纳] 求几何体体积的常用方法
2 棱柱、棱锥、棱台的体积
练习 1．在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，截下一个棱锥 C－A1DD1，求棱锥 C－A1DD1 的体积与剩余部分的体积之比．
＝56.
∴AB2 =(
AC BD 2 )2＋( 2 )2 ＝
a2＋b2 4 =64,
∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.
1 棱柱、棱锥、棱台的表面积
练习1侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a 时，该三棱锥的表面积是( )
A．3＋ 3a2 4
B．3a2 4
C．3＋ 3a2 2
或V长方体=Sh (S,h分别表示长方体的底面积和高)
2 棱柱、棱锥、棱台的体积 取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，观察改变前后的
体积是否发生变化？
高度、书中每页纸面积和顺序不变
2 棱柱、棱锥、棱台的体积
祖暅原理 书本121-122
两等高的几何体,若在所有等高处的水平截面 的面积相等，则这两个几何体的体积相等．
D．6＋ 3a2 4
C
P
B
侧棱长为
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积PPT课件(人教版)
解 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O， 对角线A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝A2C2＋B2D2＝a2＋4 b2＝200＋ 4 56＝64， ∴AB＝8. ∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.
S侧＝2S底＝2×12＝24， ∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36.
题型二 求棱柱、棱锥、棱台的体积
【例2】 正四棱台的底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，求其 体积.
解 正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取 A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.设O1，O分别是上、下底面的 中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.
1.思考辨析，判断正误 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积.( × ) (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.( × ) (3)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等.( × ) 提示 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的31. (2)棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形. (3)由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不相同.但是，不 论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的.
16Sh∶56Sh＝1∶5.
课堂小结
1.空间几何体的表面积问题一般是先分解、转化为各个面的面积之和，注意利 用侧面展开图，将空间问题平面化，有时候“还台为锥”也是不错的想法.
2.多面体的表面积为围成多面体各个面的面积之和. 3.对棱柱、棱锥、棱台体积公式及应用的说明：
(1)求台体的体积转化为求锥体的体积，根据台体的定义进行“补形”，还 原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积. (2)求三棱锥的体积可以通过转换底面的方法求解，即“等积法”.
S侧＝2S底＝2×12＝24， ∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36.
题型二 求棱柱、棱锥、棱台的体积
【例2】 正四棱台的底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，求其 体积.
解 正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取 A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.设O1，O分别是上、下底面的 中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.
1.思考辨析，判断正误 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积.( × ) (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.( × ) (3)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等.( × ) 提示 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的31. (2)棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形. (3)由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不相同.但是，不 论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的.
16Sh∶56Sh＝1∶5.
课堂小结
1.空间几何体的表面积问题一般是先分解、转化为各个面的面积之和，注意利 用侧面展开图，将空间问题平面化，有时候“还台为锥”也是不错的想法.
2.多面体的表面积为围成多面体各个面的面积之和. 3.对棱柱、棱锥、棱台体积公式及应用的说明：
(1)求台体的体积转化为求锥体的体积，根据台体的定义进行“补形”，还 原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积. (2)求三棱锥的体积可以通过转换底面的方法求解，即“等积法”.
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件-高中数学人教A版必修第二册
由题意可得 V2
1 3
S△BCD
CE
1 3
1 2
S
1 3
CC1
1S 18
CC1
V 18
，
则V1 V
V2
17V 18
，故 V1 V2
17 .故选 D.
8.将一个棱长为 a 的正方体，切成 27 个全等的小正方体，则表面积增加了( )
A. 6a2
B. 12a 2
C.18a2
D. 24a2
答案：B
答案：12
解析：设六棱锥的高为 h ，侧面的斜高为 h ，
由题意得 1 6 1 2 3 h 2 3 ，h 1 ， 32
斜高 h'
12 (
3)2
2 ，S侧
6
1 2
2
2
12
.
14.如图，在上、下底面对应边的比为1: 2 的三棱台中，过上底面一边 A1B1 作一个平行 于棱 C1C 的平面 A1B1EF ，记平面分三棱台两部分的体积为V1 (三棱柱 A1B1C1 FEC )， V2 两部分，那么V1 :V2 __________.
解析：原来正方体的表面积为 S1 6a2 ，切割成 27 个全等的小正方体后，
每个小正方体的棱长为
1a 3
，表面积为
6
1 3
a
2
2 3
a2
，
总表面积为
S2
27
2 3
a2
18a2
，
所以增加的表面积为 S2 S1 12a2 .故选 B.
9.将一个正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是
所以 S PBC
3 a2 . 4
因此四面体 P ABC 的表面积 SPABC 4
棱锥台的表面积和体积的计算公式ppt课件
即 即 即 aaa＝ ＝ ＝222RRR333， ， ，该 该 该正 正 正方 方 方体 体 体的 的 的表 表 表面 面 面积 积 积为 为 为 SSS222＝ ＝ ＝666× × ×222RRR333222＝ ＝ ＝888RRR222， ， ，体 体 体积 积 积为 为 为 VVV222＝ ＝ ＝∴ ∴ ∴222RRR333SSS111333∶ ∶ ∶＝ ＝ ＝SSS333222888＝ ＝ ＝333333RRR∶ ∶ ∶333... 111， ， ，VVV111∶ ∶ ∶VVV222＝ ＝ ＝333 333∶ ∶ ∶111...
变式探究
1．(2012·厦门市期末)已知体
积为 3 的正三棱柱(底面是正三
角形且侧棱垂直底面)的三视图如 图所示，则此三棱柱的的高为 ()
1 A.3
2 B.3
C．1
4 D.3
解析：由俯视图的高等于侧视图的宽，正三棱柱的底面三角 形高为 3，故边长为 2.设正三棱柱的高为 h，则由正三棱柱的体 积公式，有 3＝12×2× 3×h，解得 h＝1.故选 C.
思路点拨：分析四棱锥 P-BCC1B1 与三棱柱 ABC-A1B1C1 的关系，找出它们的体积之间的内在联系．
解析：设三棱柱 ABC-A1B1C1 的高为 h，体积为 V′，则 VP-ABC＋VP-A1B1C1＝13S△ABC·h＝13×V′，从而四棱锥 P-BCC1B1 的体积 V＝23V′，所以 V′＝32V.故选 D.
S侧＝_12_(_C_＋__C__′)_h_′__(C′，C为上、下底面周长，
h′是斜高)，S表＝_______S_侧_＋__S_上__底_＋_.S下底
4．圆柱：S侧＝_C_l＝__2_π__rl_ (C为底面周长，r是底面圆的半径，
变式探究
1．(2012·厦门市期末)已知体
积为 3 的正三棱柱(底面是正三
角形且侧棱垂直底面)的三视图如 图所示，则此三棱柱的的高为 ()
1 A.3
2 B.3
C．1
4 D.3
解析：由俯视图的高等于侧视图的宽，正三棱柱的底面三角 形高为 3，故边长为 2.设正三棱柱的高为 h，则由正三棱柱的体 积公式，有 3＝12×2× 3×h，解得 h＝1.故选 C.
思路点拨：分析四棱锥 P-BCC1B1 与三棱柱 ABC-A1B1C1 的关系，找出它们的体积之间的内在联系．
解析：设三棱柱 ABC-A1B1C1 的高为 h，体积为 V′，则 VP-ABC＋VP-A1B1C1＝13S△ABC·h＝13×V′，从而四棱锥 P-BCC1B1 的体积 V＝23V′，所以 V′＝32V.故选 D.
S侧＝_12_(_C_＋__C__′)_h_′__(C′，C为上、下底面周长，
h′是斜高)，S表＝_______S_侧_＋__S_上__底_＋_.S下底
4．圆柱：S侧＝_C_l＝__2_π__rl_ (C为底面周长，r是底面圆的半径，
柱体、锥体、台体的表面积和体积 课件
柱体、锥体、台体的表面积与体积
[知识提炼Байду номын сангаас梳理]
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面 体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是 展开图的面积．
2．圆柱、圆锥、圆台的表面积
底面积：S 底＝πr2 圆
侧面积：S 侧＝2πrl 柱
表面积：S＝2πrl＋2πr2 底面积：S 底＝πr2 圆 侧面积：S 侧＝2πrl 锥 表面积：S＝πrl＋πr2
所以 r＝4.则 h＝4. 故圆锥的体积 V 圆锥＝13πr2h＝634π. 答案：A
[迁移探究 1] (变换条件，改变问法) 将典例 2 中 第(2)题的条件“侧面积是 16 2π”改为“若其体积为 3 π”，求该圆锥的侧面积．
解：设圆锥的底面半径为 r，则高 h＝r，母线 l＝PB
＝ 2r.
[变式训练] 圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180°，求圆 台的表面积．
解：如图所示，设圆台的上底面周长为 c cm，由于 扇环的圆心角是 180°，则 c＝π·SA＝2π×10，解得 SA＝ 20(cm)．
同理可得 SB＝40(cm)， 所以 AB＝SB－SA＝20(cm)． 所以 S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝ π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝ 1 100π(cm2)．
2＋5 则 S 底＝ 2 ×4＝14，高 h＝4. 所以 V 四棱柱＝S 底·h＝56.
归纳升华 1．求解柱体体积的关键是根据条件找出相应的底面 积和高，对于旋转体要充分利用旋转体的轴截面，将待求 的量转化到轴截面内求． 2．求解锥体体积的关键是明确锥体的底面是什么图 形，特别是三棱锥，哪个三角形作为底面是解题的关键点．
[知识提炼Байду номын сангаас梳理]
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面 体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是 展开图的面积．
2．圆柱、圆锥、圆台的表面积
底面积：S 底＝πr2 圆
侧面积：S 侧＝2πrl 柱
表面积：S＝2πrl＋2πr2 底面积：S 底＝πr2 圆 侧面积：S 侧＝2πrl 锥 表面积：S＝πrl＋πr2
所以 r＝4.则 h＝4. 故圆锥的体积 V 圆锥＝13πr2h＝634π. 答案：A
[迁移探究 1] (变换条件，改变问法) 将典例 2 中 第(2)题的条件“侧面积是 16 2π”改为“若其体积为 3 π”，求该圆锥的侧面积．
解：设圆锥的底面半径为 r，则高 h＝r，母线 l＝PB
＝ 2r.
[变式训练] 圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180°，求圆 台的表面积．
解：如图所示，设圆台的上底面周长为 c cm，由于 扇环的圆心角是 180°，则 c＝π·SA＝2π×10，解得 SA＝ 20(cm)．
同理可得 SB＝40(cm)， 所以 AB＝SB－SA＝20(cm)． 所以 S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝ π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝ 1 100π(cm2)．
2＋5 则 S 底＝ 2 ×4＝14，高 h＝4. 所以 V 四棱柱＝S 底·h＝56.
归纳升华 1．求解柱体体积的关键是根据条件找出相应的底面 积和高，对于旋转体要充分利用旋转体的轴截面，将待求 的量转化到轴截面内求． 2．求解锥体体积的关键是明确锥体的底面是什么图 形，特别是三棱锥，哪个三角形作为底面是解题的关键点．
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件
在直角梯形EOO1E1中，
O1E1＝12A1B1＝3
cm，OE＝1AB＝5 2
cm，
∴O1O＝ 142 -5-32 ＝8 3 (cm).
故该正四棱台的体积为 V＝1×8 3
1568
3 ×(62＋102＋6×10)＝ 3
3
(cm3).
例题讲解 LOGO
1.等积变换法
如图,已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点，F为CC1上一点,求三棱锥A1－D1EF的体积.
故侧棱长即为直棱柱的高.
探究新知 LOGO
问题5 取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，高度、书中每页纸面积和 顺序不变，观察改变前后的体积是否发生变化？
探究新知 LOGO
课本P 121-122
祖暅[gèng]原理 “幂势既同，则积不容异”
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这 两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的 面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．
我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周率等问题方面有光辉的 成就.祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出贡献.祖暅在实践的基础 上，于5世纪末提出了这个体积计算原理.
祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年.在欧 洲只到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri .B，1598 年--1647年）提出上述结论.
(Sh
(S
S'
)h1
)
S' h S S'
1 (Sh (S S' ) S' h) 1 h(S (S S ' ) S'( S S')) 1 (S
3
S S' 3
S S'
棱柱棱锥棱台和球的表面积ppt课件
其中 S， S分别为上、下底面面积，h为圆台
（棱台）的高．
2021精选ppt
23
三、概念形成
概念4.球的体积
Hh
2021精选ppt
24
三、概念形成
概念4.球的体积
R
r
l
R
l l
Sr2(R 2l2)
R
定 理 ： 12 V 球 R 半 的径 球 R2R是 的 13R体 2V R 积 4R 为 3 ：
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的 表面积
2021精选ppt
1
一．直棱柱的表面积
1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c 和高h的乘积，即S直棱柱侧=c·h.
2021精选ppt
2
一．直棱柱的表面积
1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c 和高h的乘积，即S直棱柱侧=c·h.
2021精选ppt
3
二.正棱锥的表面积
2021精选ppt
10
五.球的表面积 球面面积（也就是球的表面积）等于它
的大圆面积的4倍， 即S球=4πR2，
其中R为球的半径.
2021精选ppt
11
例1. 一个长方体的长、宽、高分别为5、 4、3，求它的表面积。
解：长方体的表面积 S=2(5×4+4×3+5×3)=94.
2021精选ppt
12
6
三. 正棱台的表面积 1上．底正面棱的台周的长侧为面c’积，是下S底= 面12 (的c+周c’)长·h为’，c，其斜中 高为h’.
a'
h h'
a
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7
圆柱、圆锥、圆台的侧面积
O` O
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（棱台）的高．
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23
三、概念形成
概念4.球的体积
Hh
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24
三、概念形成
概念4.球的体积
R
r
l
R
l l
Sr2(R 2l2)
R
定 理 ： 12 V 球 R 半 的径 球 R2R是 的 13R体 2V R 积 4R 为 3 ：
1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的 表面积
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1
一．直棱柱的表面积
1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c 和高h的乘积，即S直棱柱侧=c·h.
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2
一．直棱柱的表面积
1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c 和高h的乘积，即S直棱柱侧=c·h.
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3
二.正棱锥的表面积
2021精选ppt
10
五.球的表面积 球面面积（也就是球的表面积）等于它
的大圆面积的4倍， 即S球=4πR2，
其中R为球的半径.
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11
例1. 一个长方体的长、宽、高分别为5、 4、3，求它的表面积。
解：长方体的表面积 S=2(5×4+4×3+5×3)=94.
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12
6
三. 正棱台的表面积 1上．底正面棱的台周的长侧为面c’积，是下S底= 面12 (的c+周c’)长·h为’，c，其斜中 高为h’.
a'
h h'
a
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7
圆柱、圆锥、圆台的侧面积
O` O
2021精选ppt
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(5)若两球表面积之差为48 ,它们大圆周长之和为12 ,
4 则两球的直径之差为（ ）
练习5:
1、一个四面体的所有的棱都ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2 ，四个顶点在同 一球面上，则此球的表面积（ ）
A 3л
B 4л C 3 3 D 6л
2、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相 切。求球的表面积。
小结：
1、多面体的侧面积公式及球的表面 积公式 2、公式的应用 3、数学思想方法——转化、类比、 归纳猜想
七.小结:
1.记住常见几何体的体积公式.
V柱体=sh
V锥体=
1 sh 3
V台体=
1 3
h(s
+
ss'+ s')
V球
=
4 3
πR3
1 4 R2
3
R
2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算
柱，锥，台，球等常见的几何体的体积。
谢 谢 大 家！
V正方体= a3
二：柱体的体积
定理1： 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它
的底面积 s 和高 h 的积。
V柱体= sh
推论 ： 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面
积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：
推论：Ｖ如果锥圆体＝锥的13Ｓ底面ｈ半径是ｒ，高是ｈ，
所以圆的半径R=25(cm).
O2
B
所以S球=4πR2=2500π(cm2) O1
A
O
练习：
1. 将一个边长为a的正方体，切成27个全 等的小正方体，则表面积增加了（ B ） （A）6a2 （B）12a2 （C）18a2 （D）24a2
3. 侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面 边长为a，该三棱锥的全面积是（ A ）
S c1 c2
r O1 l
R O2
三、球的表面积
球面面积（也就是球的表面积）等于 它的大圆面积的4倍，即
S球=4πR2， 其中R为球的半径.
公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。
V长方体= abc 推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。
V长方体= sh 推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。
S圆柱侧=2πrl.
O`
O
（2）将圆锥沿一条母线剪开，展开在一 个平面上，其展开图是一个扇形，扇形的 半径为圆锥的母线，扇形的弧是圆锥底面 圆的圆周
S圆锥侧= πrl，其中l为圆锥母线长，r为底 面圆半径。
S
l
c=2r
Or
A
（3）圆台可以看成是用一个平行底面的 平面截圆锥所得，因此圆台的侧面展开图 是一个扇环，设圆台上、下底半径为r、R， 母线长为l， 则S圆台侧=π(r+R)l= 12(c1+c2)l，其中r，R 分别为上、下底面圆半径，c1，c2分别为 上、下底面圆周长，l为圆台的母线。
（A）2：π （B）3：π （C）4：π （D）6：π
练习4:
2 (1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的（ ）倍。
4 (2)若球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的（ ）倍。
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是（1: 2 2 ）。 (4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是（1: 3 4）。
D
C
O
E
A
B
例2. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截 面，它们的面积分别为49πcm2和400π cm2, 求球的表面积.
解：由截面圆的面积分别 是49πcm2和400π cm2, 解得AO1=20cm，
BO2=7cm. 设OO1=x, 则OO2=x+9.
O2
B
O1
A
O
所以R2=x2+202=(x+9)2+72. 解得x=15(cm).
探究 2:
正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积 公式之间的关系：
c’=c
上底扩大
c’=0
上底缩小
S柱侧 ch '
S台侧
1 2
c '
ch'
S锥侧
1 2
ch '
四. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积 （1）将圆柱沿一条母线剪开后，展开图 是一个矩形，这个矩形的一边为母线， 另一边为圆柱底面圆的圆周长，设圆柱 底面半径为r，母线长为l，则侧面积
1 6
a3
O D
C1 B1
C B
四.台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
x
s/
s/
h
s
s
六.球的体积
V球
=
4 3
πR3
例1. 已知正四棱锥底面正方形 长为4cm，高与斜高的夹角为 30°，求正四棱锥的侧面积及 P 全面积.（单位：cm2 ）
（A）3 + 3 a2
4
（B） 3 a2
4
（C）3 + 3 a2
2
（D）
3 2
+
3 4
a2
S
A
C
B
5. 侧面都是直角三角形的正三棱锥，
底面边长为a，该三棱锥的全面积是
（A ）
（A）3
4
3 a2
（C）3 3 a2
2
（B）
3 4
a2
（D）( 3 3 )a2
24
6. 球内接正方体的表面积与球的表面积 的比为（ A ）
那么它的体积是：
Ｖ圆锥＝
1 3
πｒ２ｈ
h
h
S
S
S
例3: 已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
求：(1）棱锥B1-A1BC1的体积。 D1
V V 解:
棱锥B1 A1BC1
A1
棱锥B A1B1C1
1 3 SA1B1C1 BB1
1 1 a2 a
3 2
1 a3
A
6
所以棱锥B1-A1BC1的体积为
4 则两球的直径之差为（ ）
练习5:
1、一个四面体的所有的棱都ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2 ，四个顶点在同 一球面上，则此球的表面积（ ）
A 3л
B 4л C 3 3 D 6л
2、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相 切。求球的表面积。
小结：
1、多面体的侧面积公式及球的表面 积公式 2、公式的应用 3、数学思想方法——转化、类比、 归纳猜想
七.小结:
1.记住常见几何体的体积公式.
V柱体=sh
V锥体=
1 sh 3
V台体=
1 3
h(s
+
ss'+ s')
V球
=
4 3
πR3
1 4 R2
3
R
2.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算
柱，锥，台，球等常见的几何体的体积。
谢 谢 大 家！
V正方体= a3
二：柱体的体积
定理1： 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它
的底面积 s 和高 h 的积。
V柱体= sh
推论 ： 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面
积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：
推论：Ｖ如果锥圆体＝锥的13Ｓ底面ｈ半径是ｒ，高是ｈ，
所以圆的半径R=25(cm).
O2
B
所以S球=4πR2=2500π(cm2) O1
A
O
练习：
1. 将一个边长为a的正方体，切成27个全 等的小正方体，则表面积增加了（ B ） （A）6a2 （B）12a2 （C）18a2 （D）24a2
3. 侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面 边长为a，该三棱锥的全面积是（ A ）
S c1 c2
r O1 l
R O2
三、球的表面积
球面面积（也就是球的表面积）等于 它的大圆面积的4倍，即
S球=4πR2， 其中R为球的半径.
公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。
V长方体= abc 推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。
V长方体= sh 推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。
S圆柱侧=2πrl.
O`
O
（2）将圆锥沿一条母线剪开，展开在一 个平面上，其展开图是一个扇形，扇形的 半径为圆锥的母线，扇形的弧是圆锥底面 圆的圆周
S圆锥侧= πrl，其中l为圆锥母线长，r为底 面圆半径。
S
l
c=2r
Or
A
（3）圆台可以看成是用一个平行底面的 平面截圆锥所得，因此圆台的侧面展开图 是一个扇环，设圆台上、下底半径为r、R， 母线长为l， 则S圆台侧=π(r+R)l= 12(c1+c2)l，其中r，R 分别为上、下底面圆半径，c1，c2分别为 上、下底面圆周长，l为圆台的母线。
（A）2：π （B）3：π （C）4：π （D）6：π
练习4:
2 (1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的（ ）倍。
4 (2)若球的半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的（ ）倍。
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是（1: 2 2 ）。 (4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是（1: 3 4）。
D
C
O
E
A
B
例2. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截 面，它们的面积分别为49πcm2和400π cm2, 求球的表面积.
解：由截面圆的面积分别 是49πcm2和400π cm2, 解得AO1=20cm，
BO2=7cm. 设OO1=x, 则OO2=x+9.
O2
B
O1
A
O
所以R2=x2+202=(x+9)2+72. 解得x=15(cm).
探究 2:
正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积 公式之间的关系：
c’=c
上底扩大
c’=0
上底缩小
S柱侧 ch '
S台侧
1 2
c '
ch'
S锥侧
1 2
ch '
四. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积 （1）将圆柱沿一条母线剪开后，展开图 是一个矩形，这个矩形的一边为母线， 另一边为圆柱底面圆的圆周长，设圆柱 底面半径为r，母线长为l，则侧面积
1 6
a3
O D
C1 B1
C B
四.台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则
V台体=
1 h(s + 3
ss' + s')
x
s/
s/
h
s
s
六.球的体积
V球
=
4 3
πR3
例1. 已知正四棱锥底面正方形 长为4cm，高与斜高的夹角为 30°，求正四棱锥的侧面积及 P 全面积.（单位：cm2 ）
（A）3 + 3 a2
4
（B） 3 a2
4
（C）3 + 3 a2
2
（D）
3 2
+
3 4
a2
S
A
C
B
5. 侧面都是直角三角形的正三棱锥，
底面边长为a，该三棱锥的全面积是
（A ）
（A）3
4
3 a2
（C）3 3 a2
2
（B）
3 4
a2
（D）( 3 3 )a2
24
6. 球内接正方体的表面积与球的表面积 的比为（ A ）
那么它的体积是：
Ｖ圆锥＝
1 3
πｒ２ｈ
h
h
S
S
S
例3: 已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1.
求：(1）棱锥B1-A1BC1的体积。 D1
V V 解:
棱锥B1 A1BC1
A1
棱锥B A1B1C1
1 3 SA1B1C1 BB1
1 1 a2 a
3 2
1 a3
A
6
所以棱锥B1-A1BC1的体积为