两角和与差公式的应用
两角和与差的正弦、正切公式及其应用高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
2．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin105°等于( )
A．0
1 B.2
3 C. 2
D．1
解析：sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75° ＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1.
答案：D
3．已知 tan α＝4，tan β＝3，则 tan(α＋β)＝( )
∴原式＝sin c3o0s°c1o7s°17°＝sin 30°＝12.
(4)原式＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝sin
10°cos 60°－cos 10°sin cos 10°cos 60°
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
[教材答疑]
[教材 P146 思考交流] 在例 3 中，sinπ4－α＝cosπ4＋α，是一个必然现象． 因为：π4－α＋π4＋α＝π2. 所以π4－α＝π2－π4＋α， ∴sinπ4－α＝sinπ2－4π＋α＝cosπ4＋α， cosπ4－α＝cosπ2－π4＋α＝sinπ4＋α.
解析：(1)∵1t－ant1an2°1＋2°ttaann3333°°＝tan(12°＋33°)＝tan 45°＝1.
∴tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°，
∴tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1.
(2)原式＝sin xcosπ3＋cos xsin3π＋2sin xcosπ3－2cos xsinπ3－ 3cos23πcos x
两角和与差的余弦公式及其应用高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
同学们能否根据公式Cα−β 得出cos(α + β)的公式呢？请大家进行小组讨论，
并把小组讨论的结果写下来.
解：
cos α + β = cos[α − −β ]
= cosαcos −β + sinαsin −β
= cosαcosβ − sinαsinβ
故 cos α + β = cosαcosβ − sinαsinβ
= cos45°cos30° + sin45°sin30°
= cos60°cos45° + sin60°sin45°
2
3
2 1
=
×
+
×
2
2
2 2
1
2
3
2
= ×
+
×
2 2
2
2
6+ 2
=
4
6+ 2
=
4
π
5
4
已知 < β < α < π, sin α − β = ， cosβ = − ，求cosα的值.
65
2
12
=
13
3
π
π
sin
α
=
−
，α
∈
−
，0
已知ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，求 cos ( − α) 的值.
5
2
4
π
解： ∵ α ∈ − ，0
2
∴ cos α > 0
2
3
4
cos α = 1 − −
=
5
5
π
π
π
cos − α = cos cosα + sin sinα
两角和与差的三角公式应用版
6
5
的值是_________
3
4
A. 5
B. 3
5
C. 3
2
D. 3
5
2.已知函数 f (x) 3 sin2 x sin x cos x 3 (x R)
（1）若
x
0,
2
求 f (x) 的最大值。
2
1
（2）在△ABC中，A<B，
f (A)
f (B) 2
求A，B，C的值。
x已∈知函4数，f2(x).=求2sfi(nx2)的4最 大x 值 和3最c小os值2x．，
考点二、两角和与差公式的应用
1.已知 tan( ) 2, tan 1
4
2
（1）求tan 2的值；
（2）求sin( ) 2sin cos 的值。 2sin sin cos( )
1
且(a3、)已b均知为ta锐n 角a=，7求a+，2btan b=
1 3
，并
1.已知sin( ) cos 4 3 则 sin( )
-7
3.
(教材改编题)已知cos
，则sin a的值为(
2a=
)
1 2
，其中a∈
4
0
A. 1
2
B. - 1
2
C. 3
2
D. - 3
2
4. f(x)=2sin x-2cos x的值域是________．
本节收获：
二、二倍角公式
sin2α＝ 2sinαcosα ；
cos2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝
；
tan2α＝
2tanα 1－tan2α .
其公式变形为：
两角和与差的正余弦公式应用辅助角公式
举例说明：利用两角和与差的正余 弦公式和辅助角公式，可以化简复 杂的三角函数式，进而求出最值。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
结合应用举例：求三角函数的最值、 化简三角函数式等。
结合应用举例：在物理、工程等领域 中，可以利用两角和与差的正余弦公 式与辅助角公式的结合应用，解决一 些实际问题。
感谢您的观看
汇报人：XX
公式推导：通过两角和与差的正余弦公式推导出辅助角公式 角度范围：确定两角和与差的正余弦公式和辅助角公式的适用角度范围 实例解析：结合具体实例，展示如何应用两角和与差的正余弦公式与辅助角公式解决实际问题 注意事项：强调在应用过程中需要注意的事项，如公式的适用条件、计算精度等
两角和与差的正余弦公式与辅助角 公式的结合应用，可以解决一些三 角函数问题。
注意事项：使用公 式时需要注意角度 的范围和特殊情况 的处理
公式形式：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny 应用场景：解决三角函数问题，如求角度、求长度等
辅助角公式：将两角和与差的正弦公式中的x和y视为辅助角，可以简化计算过程
证明方法：利用三角函数的加法定理进行证明
三角函数图像的变换 求解最值问题 解决周期和对称性问题处理切线问题
公式形式：asinx+bcosx=sqrt(a^2+b^2)sin(x+φ)，其中φ为辅助角 应用举例：求函数y=sinx+cosx的值域 应用举例：求函数y=sin2x+cos2x的最小正周期 应用举例：求函数y=sin(x+π/4)+cos(x-π/4)的最大值
两角和与差的正余 弦公式与辅助角公 式的结合应用
两角和与差的三角函数公式知识点
两角和与差的三角函数公式知识点两角和与差的三角函数公式属于高中数学的重要内容，主要通过利用三角函数的性质，研究两个角的和与差的三角函数值之间的关系。
在解决三角方程、证明恒等式等问题时，这些公式的应用非常广泛。
本文将从公式的定义、推导及应用方面进行详细解析。
一、两角和的三角函数公式1.余弦和公式：cos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
我们知道，其对应的三条直角边分别是x、x'、x"和y、y'、y"，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个内角之和应该等于180°，即有：∠POR+∠POQ+∠QOR=180°∠A+∠B+∠(A+B)=180°2A+B=180°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：cos(A+B) = x" = x'x - y'y = cosAcosB - sinAsinB2.正弦和公式：sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A+B。
同样，根据三角函数的定义，我们可以得到如下关系：x = cosA，y = sinAx' = cosB，y' = sinBx" = cos(A+B)，y" = sin(A+B)那么，点P、Q和R的连线所对应的三角形的三个边长之和应该等于2，即有：PR+PQ+QR=2∠POR+∠POQ+∠QOR=360°∠A+∠B+∠(A+B)=360°2A+B=360°将以上结果代入三角函数的定义中，我们可以得到：sin(A+B) = y" = xy' + yx' = sinAcosB + cosAsinB二、两角差的三角函数公式1.余弦差公式：cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB推导过程：设点P(x,y)在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A，点Q(x',y')在单位圆上与x轴正半轴的夹角为B，点R(x",y")在单位圆上与x轴正半轴的夹角为A-B。
两角和与差及二倍角公式
计算cos(π/3 - α)的值。
例题2
计算sin2α的值。
解
利用两角和与差公式，cos(π/3 - α) = cosπ/3cosα + sinπ/3sinα = 1/2cosα + √3/2sinα。
解
利用二倍角公式，sin2α = 2sinαcosα。
THANKS
谢谢
二倍角公式的应用
计算三角函数值
利用二倍角公式，可以计算一些三角函数值，例如计算sin2α、 cos2α等。
证明三角恒等式
通过二倍角公式，可以证明一些三角恒等式，例如 sin2α=2sinαcosα等。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如角度的调整、测量等，可以利用二倍角 公式进行计算。
例题解析与解答
公式应用与例题解析
两角和与差公式的应用
计算角度的和与差
利用两角和与差公式，可以方便 地计算两个角的和或差，例如计 算两个角的和或差的角度。
简化三角函数式
通过两角和与差公式，可以将复 杂的三角函数式进行简化，从而 便于计算或化简。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如角度 的调整、测量等，可以利用两角 和与差公式进行计算。
04
角的乘法性质是三角函数中一个重要的性质，它可以用于推导其他的 三角函数公式和定理。
03
CHAPTER
公式推导与证明
两角和与差公式的推导
两角和公式推导
利用三角函数的加法公式，将两角视 为不同象限的角，通过三角函数的性 质推导出两角和的三角函数公式。
两角差公式推导
利用三角函数的减法公式，将两角视 为同象限的角，通过三角函数的性质 推导出两角差的三角函数公式。
两角和与差及二倍角公式
两角的和差公式[考例一(两角和与差公式的应用)]
![两角的和差公式[考例一(两角和与差公式的应用)]](https://img.taocdn.com/s3/m/b27bc9bc9b6648d7c0c74686.png)
两角的和差公式[考例一(两角和与差公式的应用)]考例分类详析题型一二角和与差公式简便的理解和简单应用考题解密：两角和与差的公式在化简、求值中起到很重要的作用。
考查公式的熟记以及选择合适的公式并灵活的应用。
sin 470-sin 170cos 300=（）【例1】（2012年重庆）0cos 17A . -32B . -12C . 12D . 3 2【题源变式】1. （2012年广东珠海）计算：(1) cos 15cos 105+sin 15sin 105;(2) sin x sin(x +y ) +cos x cos(x +y ); 0000α-35) cos(25+α) +sin(α-35) sin(25+α). (3) cos(0000题型二利用两角和与差公式化简函数式考题解密：公式化简就是充分利用公式和公式的变形，通过计算角和函数的种类，考查公式的综合应用和变形能力。
【例2】化简下列各式：(1) sin(x +0π3) +2sin(x -π2π) --x ); 33cos 100(2)(tan10-3) ?. sin 500【题源变式】2. （2012年山东烟台联考）化简：sin(α+β) cos α-1[sin(2α+β) -sin β]. 2题型三谋运用和与差公式求三角函数的数值考题解密：求三角函数值的问题包含如下几种：一是给角求值，它可以通过诱导公式求解；二是给多个非特殊角求值，一般可以通过和差角公式化简求值；还有就是给一个三角函数式的旧式值，求另一个与之相关的三角函数式的值，其解法也是通过首鱼变换，找到二者之间的关系，尤其是角度之间的关系，从而求解。
不论是哪一种形式，都是考查诱导公式、和借助于差角公式的变换和灵活运用。
【例3】（1）不查表，求下列各式的值：cos 150-sin 1501). ; cos 150+sin 1502). tan 150+tan 300+tan 150tan 300;3). tan 180+tan 420+tan 180tan 420.(2) 若的值。
两角和与差公式的应用
两角和与差公式的应用1.角的平分问题在三角函数的学习中，我们经常会遇到需要求解平分角的问题。
假设有一个未知角度为θ，我们需要求解它的正弦值sin(θ/2)和余弦值cos(θ/2)。
根据两角和与差公式，可以利用已知角的三角函数值来求解。
首先，我们设一个已知角α（α≠0），令θ=2α。
根据两角和与差公式，可以得到sin(2α) = 2sinαcosαcos(2α) = cos²α - sin²α由此推导出sinα和cosα的表达式：sinα = √[(1 - cos(2α))/2]cosα =√[(1 + cos(2α))/2]通过求解已知角α的三角函数值，我们可以得到未知角θ的平分角（θ/2）的三角函数值。
2.图形的旋转问题在几何学中，我们经常需要对图形进行旋转，而旋转角度往往是未知的。
在这种情况下，可以利用两角和与差公式来计算旋转后的图形的坐标。
以坐标平面上的点P(x,y)为例，如果我们对该点进行逆时针旋转一个角度θ，顺时针旋转一个角度-θ，分别记为P'(x',y')和P''(x'',y'')，则有如下公式：x' = xcosθ - ysinθy' = xsinθ + ycosθx'' = xcos(-θ) - ysin(-θ) = xcosθ + ysinθy'' = xsin(-θ) + ycos(-θ) = -xsinθ + ycosθ通过这种旋转变换，我们可以简化对图形的分析和计算。
3.三角函数的递推关系sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβcos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ通过这些递推公式，可以快速计算出任意两个角度之和的正弦和余弦值，从而简化复杂的计算过程。
总结起来，两角和与差公式是三角函数中的重要工具，广泛应用于数学和物理的各个领域。
两角和差化积公式
两角和差化积公式两角和差化积公式是高中数学中常用的公式之一，它可以将两个角的和或差转化为它们的乘积，便于计算和推导。
该公式的推导过程相对简单，但应用范围广泛，常用于解题和证明中。
两角和差化积公式可以分为两种情况，即和角的化积和差角的化积。
下面我将分别介绍这两种情况的推导和应用。
一、和角的化积假设有两个角A和B，它们的和为C。
根据三角函数的定义，我们知道：sin(C) = sin(A + B)cos(C) = cos(A + B)要将右边的和角化为积角，我们可以利用三角函数的和差化积公式。
根据三角函数的和差化积公式，我们可以得到如下推导过程：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)将这两个等式代入前面的等式中，我们可以得到：sin(C) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)cos(C) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)这就是和角的化积公式。
通过这个公式，我们可以计算和角的正弦值和余弦值，进而求解各种与和角相关的问题。
二、差角的化积与和角的化积类似，我们可以将两个角A和B的差C化为积。
同样地，根据三角函数的定义，我们有：sin(C) = sin(A - B)cos(C) = cos(A - B)利用三角函数的和差化积公式，我们可以得到如下推导过程：sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)将这两个等式代入前面的等式中，我们可以得到：sin(C) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)cos(C) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)这就是差角的化积公式。
通过这个公式，我们可以计算差角的正弦值和余弦值，解决各种与差角相关的问题。
两角和与差的正切公式的应用
tan( ) tan( ) 0 1 tan( ) tan( )
例题1
例题2
例题3
退出
§4.6 两角和与差的正切公式的应用
学习目标 朝花夕拾 基础应用 变形应用 基础应用 小结 达标测试 作业
2 1 例题2、（3）已知 tan , tan( ) , 求 tan( ). 5 4 4 4 解：
例题1 例题2 例题3
退出
§4.6 两角和与差的正切公式的应用
学习目标 朝花夕拾 基础应用 变形应用 基础应用 小结 达标测试 作业
例题3、计算
1 tan15 tan 45 tan15 （1） （ tan 45 15 ） tan 60 3. 1 tan15 1 tan 45 tan15 1 cot15 1 tan 75 （2） = tan 45 75） tan120 3. （ 1 tan 75 1 tan 75 1 tan （3）已知 ，化简 4 1 tan
学习目标 朝花夕拾 基础应用 变形应用 变形应用 小结 达标测试 作业
变形公式
tan tan tan 1 tan tan
tan tan tan 1 tan tan 例题3、在非直角三角形中， 求证： A tan B tan C tan A tan B tan C. tan 证明：由题意A B C 左边 tan A B 1 tan A tan B tan C
北师大版数学高一-3.2素材 两角和与差公式的应用技巧
两角和与差公式的应用技巧两角和与差的三角函数公式是高中数学三角函数部分的重要公式之一,能够让学生在学习和应用公式的过程中,加深对三角函数部分整体知识的把握.掌握两角和与差公式的应用技巧有利于学生分析问题和解决问题能力的培养.由于公式的设计巧妙,知识点覆盖较广,转化关系较为复杂,学生在应用起来往往有所难度.笔者从实际教学经验出发,谈一谈两角和与差公式的应用技巧.一、正用公式当一个角能够表示成两个特殊角的和或差时，常常正用两角和与差的三角函数公式来解题。
例1、求值007515tan tan +.分析：由于非特殊角015与075可以转化为045和030这两个特殊角的和与差的形式，从而可以正用三角函数的和与差公式来求解。
解：)tan()tan(tan tan 000000304530457515++-=+ 0000301301301301tan tan tan tan -+++-= 331331331331-+++-= 13131313-+++-= 21321322)()(++-= 3232++-=＝4。
二、逆用公式在逆用公式时有好多的技巧与方法，大体上来说，可以分为三类：（一） 构造逆用如果能通过诱导公式的转化，构造和与差公式的结构特征，就可以逆用公式解题。
例2、求值ππππ92992187sin sin cos sin-。
解法一：原式＝πππππ929292187sin )cos(cos sin -- ＝ππππ9218792187sin cos cos sin -＝)sin(ππ92187- ＝6πsin＝21。
解法二：原式＝πππππ9299292sin sin cos )sin(-- ＝ππππ929929sin sin cos cos - ＝)cos(ππ929+ ＝3πcos＝21。
（二） 特殊逆用形如x b x a cos sin +（其中0≠ab ）的三角函数均可利用特殊值与特殊角的对应关系逆用和与差的三角函数公式化简成一个角的三角函数形式。
两角和与差公式应用
两角和与差公式应用一、两角和公式：sin(A+B) = sinA*cosB + cosA*sinBcos(A+B) = cosA*cosB - sinA*sinBtan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA*tanB)二、两角差公式：sin(A-B) = sinA*cosB - cosA*sinBcos(A-B) = cosA*cosB + sinA*sinBtan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA*tanB)首先，我们来看两角和与差公式的应用举例：1. 例题1：已知sinA = 1/3，cosB = 4/5，且A和B都是第一象限的角，求sin(A+B)和cos(A-B)的值。
解：根据两角和公式sin(A+B) = sinA*cosB + cosA*sinB代入已知条件，得sin(A+B)= (1/3)(4/5) + √(1-(1/3)²)√(1-(4/5)²)=4/15+√(1-1/9)√(1-16/25)=4/15+√(8/9)√(9-16)/5=4/15+(2√2/3)(3/5)=4/15+2√2/5所以，sin(A+B) = (4 + 6√2)/15再考虑cos(A-B)：根据两角差公式cos(A-B) = cosA*cosB +sinA*sinB代入已知条件，得cos(A-B) = (4/5)(4/5) + √(1-(1/3)²)√(1-(4/5)²)=16/25+√(1-1/9)√(1-16/25)=16/25+√(8/9)√(9-16)/5=16/25+(2√2/3)(-3/5)=16/25-2√2/5所以，cos(A-B) = (16 - 10√2)/252. 例题2：已知tanA = 3/4，tanB = 1/6，且A和B都是第二象限的角，求tan(A+B)和tan(A-B)的值。
两角和与差的正切公式及应用
两角和与差的正切公式及应用
一、两角和与差的正切公式
首先，我将介绍两角和的正切公式：
tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A * tan B)
其中A和B表示两个角。
这个公式表示了两个角的正切之和与差之间的关系。
接下来，我将介绍两角差的正切公式：
tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A * tan B)
同样，A和B表示两个角。
这个公式表示了两个角的正切之差与和之间的关系。
这两个公式在解决复杂的三角函数问题时非常有用。
二、两角和与差的正切公式的应用
1.确定特定角度的正切值：
通过两角和与差的正切公式，我们可以确定一些特定角度的正切值，从而解决各种问题。
例如，如果我们知道tanA和tanB的值，以及A和B 的关系，我们就可以使用公式来计算tan(A + B)或tan(A - B)的值。
2.化简复杂的三角函数表达式：
3.解决三角方程：
4.几何问题的解决：
5.物理学问题的求解：
总结：
两角和与差的正切公式是三角函数的重要性质之一，它广泛应用于各种三角函数问题的解决中。
通过这个公式，我们可以确定一个特定角度的正切值，化简复杂的三角函数表达式，解决三角方程，解决几何问题，以及求解物理学问题。
所以，掌握两角和与差的正切公式对于解决各种三角函数问题非常重要。
两角和与差的三角公式应用剖析
两角和与差的三角公式应用剖析胡贵平(甘肃省白银市第一中学ꎬ甘肃白银７３０９００)摘㊀要:两角和与差的三角公式是三角变换的基础ꎬ在三角函数求值㊁化简㊁逆向或变形㊁辅助角公式及三角形中有广泛的应用.关键词:两角和与差ꎻ三角公式ꎻ应用剖析中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３４－００２５－０４收稿日期:２０２３－０９－０５作者简介:胡贵平(１９７８－)ꎬ男ꎬ甘肃省天水人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀两角和与差的三角公式ꎬ是高考中的重要知识点之一ꎬ主要涉及的是和与差的正弦㊁余弦㊁正切公式ꎬ同时与之相关的是能应用公式进行给角求值㊁三角函数化简㊁三角恒等式的证明及三角问题的综合应用.１三角求值中的应用三角函数求值问题是常见的题型ꎬ主要是能寻求角与角之间的关系ꎬ利用变角㊁拆角㊁拼角等技巧结合和角公式和差角公式ꎬ将未知化为已知ꎬ则可以达到求解的目的.例１㊀已知π２<β<α<３π４ꎬｃｏｓα－β()＝５１３ꎬｓｉｎα＋β()＝－４５ꎬ求ｓｉｎ２α的值.分析㊀本题中将２α化为(α＋β)＋(α－β)ꎬ则可将问题转化为求α＋β和α－β的正弦ꎬ然后利用同角三角函数关系求出所需要的三角函数即可.㊀㊀解析㊀由于π２<β<α<３π４ꎬ则β<α.而ｃｏｓα－β()＝５１３ꎬｓｉｎ(α＋β)＝－４５ꎬ可知道０<α－β<π４ꎬπ<α＋β<３π２.所以ｓｉｎα－β()＝１－ｃｏｓ２α－β()＝１２１３ꎬｃｏｓα＋β()＝－１－ｓｉｎ２α＋β()＝－３５ꎬ所以ｓｉｎ２α＝ｓｉｎα＋β()＋α－β()[]＝ｓｉｎα＋β()ｃｏｓα－β()＋ｃｏｓα＋β()ｓｉｎα－β()＝(－４５)ˑ５１３＋(－４５)ˑ１２１３＝－５６６５.评注㊀观察题设中角之间的内在联系ꎬ充分利用条件和结论中的三角函数名称的变化规律ꎬ则可寻找出变换的切入点ꎬ同时需要注意角的范围ꎬ才能正确确定出三角函数值[１].２三角化简中的应用三角函数式化简的主要思路有:(１)观察角的特点ꎬ充分利用角之间的关系ꎬ利用已知角构建待求角ꎻ(２)观察函数的特点ꎬ如同名转化㊁弦切互化等ꎻ㊀(３)利用辅助角公式ａｓｉｎθ＋ｂｃｏｓθ＝ａ２＋ｂ２ｓｉｎθ＋φ()ｔａｎφ＝ｂａæèçöø÷转化为复角三角函数ꎻ(４)同时还可以观察角的特点ꎬ从整体出发ꎬ利用公式的变形则可以做到正用㊁逆用㊁转化使用的方式求解问题.例２㊀(２０２０年４月苏北七市高三调研测试)在平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ已知向量ａ＝(ｃｏｓαꎬｓｉｎα)ꎬｂ＝ｃｏｓα＋π４æèçöø÷ꎬｓｉｎα＋π４æèçöø÷æèçöø÷ꎬ其中０<α<π２ꎬ(１)求ｂ－ａ() ａ的值ꎻ(２)若ｃ＝１ꎬ１()ꎬ且ｂ＋ｃ()ʊａꎬ求ａ的值.分析㊀本题中结合向量的加法㊁减法和数量积运算ꎬ将问题转化为两角差的正弦和余弦公式进行计算[２].解析㊀(１)由于ａ＝ｃｏｓαꎬｓｉｎα()ꎬｂ＝ｃｏｓα＋π４æèçöø÷ꎬｓｉｎα＋π４æèçöø÷æèçöø÷ꎬ则ｂ－ａ() ａ＝ｃｏｓαｃｏｓα＋π４æèçöø÷＋ｓｉｎαｓｉｎ α＋π４æèçöø÷－ｃｏｓ２α＋ｓｉｎ２α()＝ｃｏｓα＋π４－αæèçöø÷－１＝ｃｏｓπ４－１＝２２－１.(２)因为ｃ＝１ꎬ１()ꎬ所以ｂ＋ｃ＝ｃｏｓα＋π４æèçöø÷＋１[]ｓｉｎα－ｓｉｎα＋π４æèçöø÷＋１[]ｃｏｓα＝０.则ｓｉｎα＋π４æèçöø÷ｃｏｓα－ｃｏｓα＋π４æèçöø÷ｓｉｎα＝ｓｉｎα－ｃｏｓα.因此ｓｉｎπ４＝２１２ｓｉｎα－１２ｃｏｓαæèçöø÷.得到２２＝２ｓｉｎα－π４æèçöø÷.又因为０<α<π２ꎬ则－π４<α－π４<π４.于是α－π４＝π６.即α＝５π１２.评注㊀灵活应用公式是解决本题的关键ꎬ特别是第(２)问中的ｓｉｎα－ｃｏｓα可转化为２１２ｓｉｎα－１２ｃｏｓαæèçöø÷ꎬ结合辅助角公式进行解决.３公式逆向或变形的应用对于和角公式和差角公式ꎬ不仅仅要能正向应用ꎬ还要会逆向和变形应用ꎬ如ｓｉｎαｃｏｓβ－ｃｏｓαｓｉｎβ＝ｓｉｎα－β()ꎬｔａｎα＋ｔａｎβ＝ｔａｎα＋β()１－ｔａｎαｔａｎβ().例３㊀(１)求值:ｓｉｎ３２ʎｃｏｓ２８ʎ＋ｓｉｎ５８ʎｃｏｓ６２ʎꎻ(２)求值:ｔａｎ１０ʎ＋ｔａｎ５０ʎ＋３ｔａｎ１０ʎｔａｎ５０ʎ.分析㊀本题是逆向应用两角和的正弦公式和变形应用两角和的正切公式ꎬ需要注意角度要化成一致.解析㊀(１)原式＝ｓｉｎ３２ʎｃｏｓ２８ʎ＋ｃｏｓ３２ʎｓｉｎ２８ʎ＝ｓｉｎ３２ʎ＋２８ʎ()＝ｓｉｎ６０ʎ＝３２.(２)由于ｔａｎ１０ʎ＋ｔａｎ５０ʎ＝ｔａｎ６０ʎ(１－ｔａｎ１０ʎｔａｎ５０ʎ)ꎬ则ｔａｎ１０ʎ＋ｔａｎ５０ʎ＋３ｔａｎ１０ʎｔａｎ５０ʎ＝ｔａｎ６０ʎ１－ｔａｎ１０ʎｔａｎ５０ʎ()＋３ｔａｎ１０ʎｔａｎ５０ʎ＝３－３ｔａｎ１０ʎｔａｎ５０ʎ＋３ｔａｎ１０ʎｔａｎ５０ʎ＝３.评注㊀第(１)小题要从整体出发ꎬ对局部进行三角变换ꎬ利用特殊的三角函数值进行求值ꎻ第(２)小题对于两角和的正切公式ꎬ在平时的学习中不仅仅要学会正用ꎬ还要学会逆用.４辅助角公式的应用对于形如ｙ＝ａｓｉｎωｘ＋ｂｃｏｓωｘꎬ可把该函数通过三角函数变换化为ａ２＋ｂ２(ａａ２＋ｂ２ｓｉｎωｘ＋ｂａ２＋ｂ２ｃｏｓωｘ)＝ａ２＋ｂ２ｓｉｎωｘ＋φ()ꎬ然后转化为正弦型函数来研究其性质.例４㊀已知函数ｆｘ()＝ｃｏｓｘａｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ()－３ａɪＲ()ꎬ且ｆπ３æèçöø÷＝－３ꎬ(１)求实数ａ的值ꎻ(２)求ｆｘ()的单调增区间ꎻ(３)求函数ｆｘ()在０ꎬπ２[]上的最小值及对应ｘ的取值.分析㊀本题要先结合特殊角的三角函数值求出实数ａ的值ꎬ第(２)问中需要利用辅助角公式化为正弦型函数ꎬ则可确定出单调区间ꎻ第(３)问结合正弦函数的性质进行解决.解析㊀(１)因为ｆｘ()＝ｃｏｓｘａｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ()－３ａɪＲ()ꎬ且ｆπ３æèçöø÷＝－３ꎬ则ｆπ３æèçöø÷＝ｃｏｓπ３ａｃｏｓπ３－ｓｉｎπ３æèçöø÷－３＝－３.解得ａ＝３.(２)由(１)可以知道ｆｘ()＝ｃｏｓｘ３ｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ()－３＝３ｃｏｓ２ｘ－ｓｉｎｘｃｏｓｘ－３＝３ １＋ｃｏｓ２ｘ２－１２ｓｉｎ２ｘ－３＝ｃｏｓ２ｘ＋π６æèçöø÷－３２ꎬ则可令２ｋπ＋πɤ２ｘ＋π６ɤ２ｋπ＋２πꎬ得到函数ｆｘ()的单调增区间ｋπ＋５π１２ꎬｋπ＋１１π１２[]ꎬｋɪＺ.(３)又ｘɪ０ꎬπ２[]ꎬ则可得到２ｘ＋π６ɪπ６ꎬ７π６[].则当２ｘ＋π６＝πꎬ即ｘ＝５π１２时ꎬｆｘ()＝ｃｏｓ２ｘ＋π６æèçöø÷－３２取得最小值为－３２－１.评注㊀研究三角函数的性质时ꎬ常常是先对函数运用三角函数两角和差的公式和二倍角公式来进行变形ꎬ从而研究出函数的性质.５三角形中的应用对于三角形中的三角函数问题ꎬ其主要涉及的知识点是正弦定理㊁余弦定理㊁三角形的面积公式[３].一般来说ꎬ与面积有关的问题则要利用到边角之间的互化ꎬ正弦定理和余弦定理则比较多地应用边角互化.例５㊀(２０１９全国Ⅲ卷理科第１８题)әＡＢＣ的内角ＡꎬＢꎬＣ的对边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ已知ａｓｉｎＡ＋Ｃ２＝ｂｓｉｎＡ.(１)求Ｂꎻ(２)若әＡＢＣ为锐角三角形ꎬ且ｃ＝１ꎬ求әＡＢＣ面积的取值范围.分析㊀(１)利用正弦定理化简题中等式ꎬ得到关于Ｂ的三角方程ꎬ最后根据ＡꎬＢꎬＣ均为三角形内角解得Ｂ＝π３ꎻ(２)根据三角形面积公式ＳәＡＢＣ＝１２ａｃｓｉｎＢꎬ又根据正弦定理得到ＳәＡＢＣ关于Ｃ的函数ꎬ由于әＡＢＣ是锐角三角形ꎬ所以利用三个内角都小于π２来计算Ｃ的定义域ꎬ最后求解әＡＢＣ面积的取值范围.解析㊀(１)根据题意ａｓｉｎＡ＋Ｃ２＝ｂｓｉｎＡ.由正弦定理ꎬ得ｓｉｎＡｓｉｎＡ＋Ｃ２＝ｓｉｎＢｓｉｎＡ.因为０<Ａ<πꎬ故ｓｉｎＡ>０.消去ｓｉｎＡꎬ得ｓｉｎＡ＋Ｃ２＝ｓｉｎＢ.因为０<Ｂꎬ０<Ａ＋Ｃ２<πꎬ故Ａ＋Ｃ２＝Ｂ或者Ａ＋Ｃ２＋Ｂ＝π.根据题意Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝πꎬ故Ａ＋Ｃ２＋Ｂ＝π不成立.所以Ａ＋Ｃ２＝Ｂ.又因为Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝πꎬ代入得３Ｂ＝π.所以Ｂ＝π３.(２)因为әＡＢＣ是锐角三角形ꎬ又由前问Ｂ＝π３ꎬπ６<ＡꎬＣ<π２ꎬＡ＋Ｂ＋Ｃ＝π得到Ａ＋Ｃ＝２３π.故π６<Ｃ<π２.又应用正弦定理ａｓｉｎＡ＝ｃｓｉｎＣꎬ得ａｃ＝ｓｉｎＡｓｉｎＣ.由三角形面积公式有ＳәＡＢＣ＝１２ａｃｓｉｎＢ＝１２ｃ２ ａｃｓｉｎＢ＝１２ｃ２ｓｉｎＡｓｉｎＣｓｉｎＢ＝３４ ｓｉｎ２π/３－Ｃ()ｓｉｎＣ＝３４ ｓｉｎ(２π/３)ｃｏｓＣ－ｃｏｓ(２π/３)ｓｉｎＣｓｉｎＣ＝３４ (ｓｉｎ２π３ｃｏｔＣ－ｃｏｓ２π３)＝３８ｃｏｔＣ＋３８.又因为π６<Ｃ<π２ꎬ则３８＝３８ｃｏｔπ２＋３８<ＳәＡＢＣ<３８ｃｏｔπ６＋３８＝３２.㊀因此３８<ＳәＡＢＣ<３２.故ＳәＡＢＣ的取值范围是(３８ꎬ３２).评注㊀本题研究了三角函数的基础知识ꎬ以及对正弦定理或者余弦定理的充分使用(本题也可以用余弦定理求解).三角函数是特殊的函数ꎬ对于和角公式与差角公式要把握变换技巧㊁角的变换特点㊁三角函数的求值等ꎬ选择适合的方法ꎬ则一定能打开和差角公式的大门.参考文献:[１]刘红昌.两角和与差三角公式的应用技巧[Ｊ].中学生数理化(高一数学)ꎬ２０１０(０６):１４－１５.[２]张晓东ꎬ王志和.两角和与差的三角函数[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０１９(Ｚ１):８５－８８.[３]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]。
两角和与差的三角函数公式应用
两角和与差的三角函数公式应用首先，我们来介绍两角和的公式：1. 正弦两角和公式：sin(x + y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的正弦的和。
例如，求解sin(π/6 + π/4)的值。
根据公式，sin(π/6 + π/4) = sin(π/6) * cos(π/4) +cos(π/6) * sin(π/4) = (1/2) * (√2/2) + (√3/2) * (√2/2) = (√2 + √6)/42. 余弦两角和公式：cos(x + y) = cos(x) * cos(y) - sin(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的余弦的和。
例如，求解cos(π/3 + π/6)的值。
根据公式，cos(π/3 + π/6) = cos(π/3) * cos(π/6) -sin(π/3) * sin(π/6) = (√3/2) * (√3/2) - (1/2) * (1/2) = 3/43. 正切两角和公式：tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y))这个公式可以用来求解两个角的正切的和。
例如，求解tan(π/4 + π/6)的值。
根据公式，tan(π/4 + π/6) = (tan(π/4) + tan(π/6)) / (1 - tan(π/4) * tan(π/6)) = (1 + (1/√3)) / (1 - 1/√3) = (√3 + 1) / (√3 - 1)接下来，我们来介绍两角差的公式：1. 正弦两角差公式：sin(x - y) = sin(x) * cos(y) - cos(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的正弦的差。
例如，求解sin(π/3 - π/6)的值。
根据公式，sin(π/3 - π/6) = sin(π/3) * cos(π/6) -cos(π/3) * sin(π/6) = (√3/2) * (√3/2) - (1/2) * (1/2) = (√3 - 1) / 22. 余弦两角差公式：cos(x - y) = cos(x) * cos(y) + sin(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的余弦的差。
sin两角和差公式
sin两角和差公式辬两角和差公式是初中数学中的重要内容，是解决三角函数计算问题的基础。
它是通过正弦函数的性质推导出来的，可以用来计算任意两个角的正弦值之和或差。
本文将详细介绍sin两角和差公式的推导方法和应用场景。
一、sin两角和差公式的推导方法sin两角和差公式的推导方法是通过正弦函数的性质来实现的。
正弦函数的定义是：对于任意实数x，sinx等于对边与斜边的比值，即sinx=opposite/hypotenuse。
根据正弦函数的定义，我们可以得到以下公式：sin(A+B)=opposite/hypotenusesin(A-B)=opposite/hypotenuse其中，A和B为两个角，opposite为A+B或A-B的对边，hypotenuse 为A+B或A-B的斜边。
我们可以将这两个公式相加或相减，得到sin(A+B)+sin(A-B)或sin(A+B)-sin(A-B)的值。
然后，我们可以将这些值化简成更简单的形式，得到sin两角和差公式。
具体来说，我们可以将sin(A+B)+sin(A-B)的值化简成2sinAcosB的形式，将sin(A+B)-sin(A-B)的值化简成2cosAsinB的形式。
这样，我们就得到了sin两角和差公式的两种形式：sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB其中，sin(A+B)和sin(A-B)分别表示两个角的正弦值之和和差，sinA和cosA分别表示第一个角的正弦值和余弦值，sinB和cosB分别表示第二个角的正弦值和余弦值。
二、sin两角和差公式的应用场景sin两角和差公式的应用场景非常广泛，可以用于解决各种三角函数计算问题。
以下是几个常见的应用场景：1. 计算正弦函数的值sin两角和差公式可以用来计算任意两个角的正弦值之和或差。
例如，如果已知sin30°和cos60°的值，可以使用sin(A+B)和sin(A-B)的公式来计算sin(30°+60°)和sin(60°-30°)的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
两角和与差公式的应用
【导航练习】
1．已知A 、B 均锐角，且满足tan A ·tan B=tan A ＋tan B ＋1 ，则cos （A ＋B ）= .
2. sin x =2
2是tan x =1成立的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
3．在（0，2π）内，使0＜sin x ＋cos x ＜1成立的x 的取值范畴是 （ ）
A ．（0，π2 ）
B ．（π4 ,3π4
） C ．（π2 ,3π4 ）∪（7π4 ,2π） D ．（3π4 ,π）∪（3π2 ,7π4
） 4．已知α＋β=π4
＋2k π （k ∈Z ），求证：（1＋tan α）（1＋tan β）= 2
5．已知cos x ＋cos y = 12 ,sin x －sin y = 14
,求cos （x ＋y ）的值.
【巩固练习】
1．已知θ是锐角，那么下列各值中，sin θ＋cos θ能取到的值是 （ ）
A ．43
B ．34
C ．53
D ．12
2．已知tan x = － 2 ,π<x <2π,求cos （π3 －x ）＋sin （π6
＋x ）的值。
3．在△ABC 中，sin A = 35 ,cos B = 513
,求sin C 的值。
4．求cos55°cos65°＋sin 25°的值。
5．求
42
sin 18cos 318sin 的值。
6. 化简：sin （x ＋17°）cos （x －28°）＋cos （x ＋17°）sin （28°－x ）
7．求证：在△ABC 中，sin A cos B cos C ＋sin B cos C cos A ＋sin C cos B cos A = sin A sin B sin C
8. 在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋ 3 tan B tan C = 3 ,又 3 tan A ＋ 3 tan B ＋1 = tan A tan B ,试
判定△ABC 的形状。
9．已知π2 ＜β＜α＜3π4 ，cos （α－β）= 1213 ,sin （α＋β）= － 35
，求sin2α的值。
10．已知tan α、tan β是关于x 的方程mx 2＋（2m －3）x ＋m －2 = 0的两个根，求tan （α
＋β）的取值范畴。
11. 在△ABC 中，若tan A , tan B , tan C 成等差数列，且tan A ＋tan B ＋tan C = 3 3 。
求证A 、
B 、
C 也成等差数列。
12．是否存在锐角α、β，使得下列两式：
（1）α＋2β= 2π
3；（2）tan
α
2tan
β= 2－ 3
同时成立？若存在，求出α和β；若不存在，说明理由。