考点17 平面向量的应用(教师版) 新课标
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3.(2 012年高考江西卷理科20)（本题满分13分）
已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（ x，y）满足 .
（1）求曲线C的方程；
（2）动点Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D,E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值。若不存在，说明理由。
(4)考综合，体现三角的工具作用：由于近几年高考试题突出能力立意，加强对知识性和应用性的考查，故常常在知识交汇点处命题，而三角知识是基础中的基础，故考查与立体几何、解析几何、导数等综合性问题时突出三角与向量的工具性作用．
三．规律总结
一个手段
实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．
4.(2012年高考陕西卷理科19)（本小题满分12分）
已知椭圆 ，椭圆 以 的长轴为短轴，且与 有相同的离心率．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆 和 上， ，求直线 的方程．
【考点剖析】
一．明确要求
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题．
2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
【答案】
【解析】由题可知 ， ， ，所以 ， ，所求面积为 。
13.【2012三明市普通高中高最小正周期 ;
（Ⅱ）已知 、 、 分别为 内角 、 、 的对边,其中 为锐角, ,且 ,求 和 的面积 ．
【解析】本题主要考查了向量及其数量积、二倍角公式、周期公式，余弦定理和面积公式.属于容易 题。考查了基础知识、基本运算、基本变换能力.
11.【2012 深圳中学期末理13】给出下列命题中
①向量 满足 ，则 的夹角为 ；
② ＞0，是 的夹角为锐角的充要条件；
③将函数y= 的图象按向量 =(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y= ；
④若 ，则 为等腰三角形；
以上命题正确的是（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
12.【2012 山东青岛市期末文】设 、 是平面直角坐标系（坐标原点为 ）内分别与 轴、 轴正方向相同的两个单位向量，且 ， ，则 的面积等于.
已知向量 ， ，设函数 的图象关于直线 对称，其中 ， 为常数，且 .
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图像经过点 ,求函数f（x）在区间 上的取值范围.
【方法总结】平面向量和三角函数的图象和性质相结合的题目，是高考最近几年出现的热点题型.此类题目要求在熟练掌握平面向量和三角函数图象的基础上要对平面向量和三角函数的性质灵活运用.
热点二向量与解析几何相联系
1．(2012年高考上海卷理科4)若 是直线 的一个法向量，则 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为 ，则 .
【考点定位】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.
（Ⅱ）若 且 ， ，求 的取值范围.
19.(2012北京海淀区高三年级第二学期期末练习理)（本小题满分13分）
已知椭圆 : 的右焦点为 ，且点 在椭圆 上.
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）已知动直线 过点 ，且与椭圆 交于 ， 两点.试问 轴上是否存在定点 ，使得 恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
（A） （B） （C） （D）
16.【山东省微山一中2012届高三10月月考理】9．若 ， 恒成立，则△ABC的形状一定是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
17.【山东省微山一中2012届高三10月月考数学（文）】在四边形ABCD中， ，则四边形ABCD的面积为。
（Ⅰ）若 ， ， ，求 、 的值；
A．4,0 B．16,0
C．2,0 D．16,4
4．在△ABC中，已知向量与满足 ·＝0且·＝，则
△ABC为()．
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形
5．(2012·武汉联考)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是______________________________________．
二．命题方向
新课标高考涉及三角函数与平面向量的考题可以说是精彩纷呈，奇花斗艳，其特点如下：
(1)考小题，重基础：有关三角函数的小题其考查重点在于基础知识：解析式；图象与图象变换；两域(定义域、值域)；四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)；简单的三角变换(求值、化简及比较大小)．有关向量的考查主要是向量的线性运算以及向量的数量积等知识．
20.(2012年长春市高中毕业班第二次调研测试理)（本小题满分12分）
已知抛物线的顶点是坐标原点 ，焦点 在 轴正半轴上，过 的直线 与抛物线交于 、 两点，且满足 .
⑴求抛物线的方程；
⑵在 轴负半轴上一点 ，使得 是锐角，求 的取值范围；
⑶若 在抛物线准线上运动，其纵坐标的取值范围是 ，且 ，点 是以 为直径的圆与准线的一个公共点，求点 的纵坐标的取值范围.
2.(2012年高考上海卷理科22)在平面直角坐标系 中，已知双曲线 ： ．
（1）过 的左顶点引 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及 轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线 交 于 、 两点，若 与圆 相切，求证： ；
（3）设椭圆 ： ，若 、 分别是 、 上的动点，且 ，求证： 到直线 的距离是定值.
8.(河南省郑州市2012届高三第一次质量预测文8)在△ABC中，若 则△ABC是
A．等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形
9.若 ，则 必定是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角 形
10.（长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学2012届第三次模拟理）一质点受到平面上的三个力 （单位：牛顿）的作用 而处于平衡状态．已知 成 角，且 大小为2和4，则 的大小为．
三．提升自我
14.(2012年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理)在平行四边形ABCD中， ，AD=2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足 ( )，则当点P在以A为圆心， 为半径的圆上时，实数 应满足关系式为 ( )
A． B．
C． D．
15．(2012北京海淀区高三年级第二学期期末练习理)已知点 是椭圆 的两个焦点，点 是该椭圆上的一个动点，那么 的最小值是
解析 由·＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，
即x＋2y＝4.
答案x＋2y－4＝0
【名校模拟】
一．基础扎实
1.(浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试文科9)在边长为6的正 中，点 满足 则 等于（）
【答案】D
【解析】本题主要考查平面向量的运算及数量积计算。
= .
2.(2012年长春市高中毕业班第二次调研测试文)已知圆 的半径为3，直径 上一点 使 ， 为另一直径的两个端点，则
2013年新课标数学40个考点总动员考点17平面向量的应用（教师版）
【高考再现】
热点一向量与三角相联系
1.(2012年高考安徽卷理科8)在平面直角坐标系中， ，将向量 按逆时针旋转 后，得向量 ,则点 的坐标是（）
2.(2012年高考湖南卷理科7)在△ABC中，AB=2，AC=3， = 1则 （）]
【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.
21.(河北唐山市2012届高三第三次模拟理)（本小题满分12分）
抛物线 在点P处的切线l分别交x轴、y轴于不同的两点A、B， 。当点P在C上移动时，点M的轨迹为D。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
.故选C.
3.(2012年长春市高中毕业班第二次调研测试文)以 为中心， 为两个焦点的椭圆上存在一点 ，满足 ,则该椭圆的离心率为
A. B. C. D.
4.(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中 学2012届高三联考9)在 中，已知 ， ，则 ＝.
5.【2012河南郑州市质检文】在△ABC中，已知a,b,c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，S为△ABC的面积.若向量p= q= 满足p∥q,则∠C= .
A. B. C. D.
3．(2012年高考浙江卷理科15)在 ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则 ＝______________．
4.（2012年高考江苏卷15）（本小题满分14分）
在 中，已知 ．
（1）求证： ；
（2）若 求A的值．
5.(2012年高考湖北卷理科17)（本小题满分12分）
(2)考大题，难度明显降低：有关三角函数的大题即解答题，通过公式变形转换来考查思维能力的题目已经很少，而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加．大题中的向量，主要是作为工具来考查的，多与三角、圆锥曲线相结合．
(3)考应用，融入三角形与解析几何之中：既能考查解三角形、圆锥曲线的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，深受命题者的青睐．主要解法是充分利用三角形内角和定理、正、余弦定理、面积公式、向量夹角公式、向量平行与垂直的充要条件，向量的数量积等．
【答案】 ；
【解析】由题p∥q，则 ,即 ， 。
二．能力拔高
6.(2012云南省第一次高中毕业生统一检测复习文)已知椭圆 : 的长轴的两个端点分别为 、 ，点 在椭圆 上，如果 的面积等于 ，那么 ( )
（A） （B） （C） （D）
7.(湖北省武汉市2012届高中毕业生五月供题训练（二）理)
如右图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若 ，则
A．向东南走3km B．向东北走3km
C．向东南走3km D．向东北走3km
2．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状是()．
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形D．无法确定
3．(2012·银川模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值，最小值分别是()．
两条主线
(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．
(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．
【基础练习】
1．(人教A版教材习题改编)某人先位移向量a：“向东走3 km”，接着再位移向量b：“向北走3 km”，则a＋b表示()．
（1）求曲线D的方程：
（2）设直线l与曲线D的另一个交点为N，曲线D在点M、N处的切线分别为m、n直线m、n相交 于点Q，证明：P Q平行于x轴。
已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（ x，y）满足 .
（1）求曲线C的方程；
（2）动点Q（x0，y0）（-2＜x0＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D,E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值。若不存在，说明理由。
(4)考综合，体现三角的工具作用：由于近几年高考试题突出能力立意，加强对知识性和应用性的考查，故常常在知识交汇点处命题，而三角知识是基础中的基础，故考查与立体几何、解析几何、导数等综合性问题时突出三角与向量的工具性作用．
三．规律总结
一个手段
实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．
4.(2012年高考陕西卷理科19)（本小题满分12分）
已知椭圆 ，椭圆 以 的长轴为短轴，且与 有相同的离心率．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆 和 上， ，求直线 的方程．
【考点剖析】
一．明确要求
1.会用向量方法解决简单的平面几何问题．
2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
【答案】
【解析】由题可知 ， ， ，所以 ， ，所求面积为 。
13.【2012三明市普通高中高最小正周期 ;
（Ⅱ）已知 、 、 分别为 内角 、 、 的对边,其中 为锐角, ,且 ,求 和 的面积 ．
【解析】本题主要考查了向量及其数量积、二倍角公式、周期公式，余弦定理和面积公式.属于容易 题。考查了基础知识、基本运算、基本变换能力.
11.【2012 深圳中学期末理13】给出下列命题中
①向量 满足 ，则 的夹角为 ；
② ＞0，是 的夹角为锐角的充要条件；
③将函数y= 的图象按向量 =(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y= ；
④若 ，则 为等腰三角形；
以上命题正确的是（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
12.【2012 山东青岛市期末文】设 、 是平面直角坐标系（坐标原点为 ）内分别与 轴、 轴正方向相同的两个单位向量，且 ， ，则 的面积等于.
已知向量 ， ，设函数 的图象关于直线 对称，其中 ， 为常数，且 .
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图像经过点 ,求函数f（x）在区间 上的取值范围.
【方法总结】平面向量和三角函数的图象和性质相结合的题目，是高考最近几年出现的热点题型.此类题目要求在熟练掌握平面向量和三角函数图象的基础上要对平面向量和三角函数的性质灵活运用.
热点二向量与解析几何相联系
1．(2012年高考上海卷理科4)若 是直线 的一个法向量，则 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）.
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为 ，则 .
【考点定位】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小.
（Ⅱ）若 且 ， ，求 的取值范围.
19.(2012北京海淀区高三年级第二学期期末练习理)（本小题满分13分）
已知椭圆 : 的右焦点为 ，且点 在椭圆 上.
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）已知动直线 过点 ，且与椭圆 交于 ， 两点.试问 轴上是否存在定点 ，使得 恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
（A） （B） （C） （D）
16.【山东省微山一中2012届高三10月月考理】9．若 ， 恒成立，则△ABC的形状一定是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定
17.【山东省微山一中2012届高三10月月考数学（文）】在四边形ABCD中， ，则四边形ABCD的面积为。
（Ⅰ）若 ， ， ，求 、 的值；
A．4,0 B．16,0
C．2,0 D．16,4
4．在△ABC中，已知向量与满足 ·＝0且·＝，则
△ABC为()．
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形
5．(2012·武汉联考)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是______________________________________．
二．命题方向
新课标高考涉及三角函数与平面向量的考题可以说是精彩纷呈，奇花斗艳，其特点如下：
(1)考小题，重基础：有关三角函数的小题其考查重点在于基础知识：解析式；图象与图象变换；两域(定义域、值域)；四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)；简单的三角变换(求值、化简及比较大小)．有关向量的考查主要是向量的线性运算以及向量的数量积等知识．
20.(2012年长春市高中毕业班第二次调研测试理)（本小题满分12分）
已知抛物线的顶点是坐标原点 ，焦点 在 轴正半轴上，过 的直线 与抛物线交于 、 两点，且满足 .
⑴求抛物线的方程；
⑵在 轴负半轴上一点 ，使得 是锐角，求 的取值范围；
⑶若 在抛物线准线上运动，其纵坐标的取值范围是 ，且 ，点 是以 为直径的圆与准线的一个公共点，求点 的纵坐标的取值范围.
2.(2012年高考上海卷理科22)在平面直角坐标系 中，已知双曲线 ： ．
（1）过 的左顶点引 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及 轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线 交 于 、 两点，若 与圆 相切，求证： ；
（3）设椭圆 ： ，若 、 分别是 、 上的动点，且 ，求证： 到直线 的距离是定值.
8.(河南省郑州市2012届高三第一次质量预测文8)在△ABC中，若 则△ABC是
A．等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形
9.若 ，则 必定是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角 形
10.（长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学2012届第三次模拟理）一质点受到平面上的三个力 （单位：牛顿）的作用 而处于平衡状态．已知 成 角，且 大小为2和4，则 的大小为．
三．提升自我
14.(2012年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理)在平行四边形ABCD中， ，AD=2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足 ( )，则当点P在以A为圆心， 为半径的圆上时，实数 应满足关系式为 ( )
A． B．
C． D．
15．(2012北京海淀区高三年级第二学期期末练习理)已知点 是椭圆 的两个焦点，点 是该椭圆上的一个动点，那么 的最小值是
解析 由·＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，
即x＋2y＝4.
答案x＋2y－4＝0
【名校模拟】
一．基础扎实
1.(浙江省宁波市鄞州区2012年3月高考适应性考试文科9)在边长为6的正 中，点 满足 则 等于（）
【答案】D
【解析】本题主要考查平面向量的运算及数量积计算。
= .
2.(2012年长春市高中毕业班第二次调研测试文)已知圆 的半径为3，直径 上一点 使 ， 为另一直径的两个端点，则
2013年新课标数学40个考点总动员考点17平面向量的应用（教师版）
【高考再现】
热点一向量与三角相联系
1.(2012年高考安徽卷理科8)在平面直角坐标系中， ，将向量 按逆时针旋转 后，得向量 ,则点 的坐标是（）
2.(2012年高考湖南卷理科7)在△ABC中，AB=2，AC=3， = 1则 （）]
【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识.
21.(河北唐山市2012届高三第三次模拟理)（本小题满分12分）
抛物线 在点P处的切线l分别交x轴、y轴于不同的两点A、B， 。当点P在C上移动时，点M的轨迹为D。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
.故选C.
3.(2012年长春市高中毕业班第二次调研测试文)以 为中心， 为两个焦点的椭圆上存在一点 ，满足 ,则该椭圆的离心率为
A. B. C. D.
4.(江苏省淮阴中学、海门中学、天一中 学2012届高三联考9)在 中，已知 ， ，则 ＝.
5.【2012河南郑州市质检文】在△ABC中，已知a,b,c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，S为△ABC的面积.若向量p= q= 满足p∥q,则∠C= .
A. B. C. D.
3．(2012年高考浙江卷理科15)在 ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则 ＝______________．
4.（2012年高考江苏卷15）（本小题满分14分）
在 中，已知 ．
（1）求证： ；
（2）若 求A的值．
5.(2012年高考湖北卷理科17)（本小题满分12分）
(2)考大题，难度明显降低：有关三角函数的大题即解答题，通过公式变形转换来考查思维能力的题目已经很少，而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加．大题中的向量，主要是作为工具来考查的，多与三角、圆锥曲线相结合．
(3)考应用，融入三角形与解析几何之中：既能考查解三角形、圆锥曲线的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，深受命题者的青睐．主要解法是充分利用三角形内角和定理、正、余弦定理、面积公式、向量夹角公式、向量平行与垂直的充要条件，向量的数量积等．
【答案】 ；
【解析】由题p∥q，则 ,即 ， 。
二．能力拔高
6.(2012云南省第一次高中毕业生统一检测复习文)已知椭圆 : 的长轴的两个端点分别为 、 ，点 在椭圆 上，如果 的面积等于 ，那么 ( )
（A） （B） （C） （D）
7.(湖北省武汉市2012届高中毕业生五月供题训练（二）理)
如右图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，若 ，则
A．向东南走3km B．向东北走3km
C．向东南走3km D．向东北走3km
2．平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状是()．
A．直角三角形B．等腰直角三角形
C．等腰三角形D．无法确定
3．(2012·银川模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值，最小值分别是()．
两条主线
(1)向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．
(2)要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．
【基础练习】
1．(人教A版教材习题改编)某人先位移向量a：“向东走3 km”，接着再位移向量b：“向北走3 km”，则a＋b表示()．
（1）求曲线D的方程：
（2）设直线l与曲线D的另一个交点为N，曲线D在点M、N处的切线分别为m、n直线m、n相交 于点Q，证明：P Q平行于x轴。