小学数学不定方程与不定方程组的解法
小学五年级逻辑思维学习—方程解法综合
小学五年级逻辑思维学习— 方程解法综合知识定位本讲是小学数学的一个拔高，学会解方程并学以致用是本讲的主要目的，小学阶段孩子接触过最简单的一元一次方程，在这里从一元一次方程拓展到方程组和不定方程等.知识梳理一、解一元一次方程组的一般步骤(1)去括号；(2)移项；(3)未知数系数化为1，即求解。
二、解二元一次方程组的一般方法(1)代入消元法；(2)加减消元法。
三、解不定方程的一般步骤(1)用一个未知数把另一个未知数表示出来；(2)欧拉分离表示式，并求解。
注意：1. 掌握移项2. 学会使用加减消元法解方程组3. 巧妙使用欧拉分离简化求不定方程解的过程4. 方程在浓度、经济等应用题上的应用5. 不定方程在数论和周期上的应用例题精讲【试题来源】【题目】12(3)7x x +-=+213148y y --=- 【题目】【题目】102.002.003.01.06.03.0-+=-x x【题目】【题目】22240(40)56555x x x x ++--⨯+=【题目】1375x x +=+100100255060x x ---=+⎩⎨⎧=+=-82573y x y x 321275x +=-92203410u v u v +=⎧⎨+=⎩【题目】【题目】51x y x y +=⎧⎨-=⎩【题目】【题目】【题目】⎩⎨⎧=+=-172305y x y x【题目】2(150)5(350) 0.10.060.085800x yx y-=+⎧⎨+=⨯⎩【题目】3434192241x yx y⎧+=⎪--⎪⎨⎪-=⎪--⎩【题目】347 239 5978 x zx y zx y z-=⎧⎪+-=⎨⎪--=⎩【题目】272829 x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩1531003100x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩【题目】4092=+y x （其中x,y 均为正整数）【题目】7489x y +=，（其中x 、y 均为正整数）【题目】180012008001600015a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩ （ 其中a 、b 、c 均为正整数 ）【题目】 (其中x 、y 、z 均为正整数)习题演练【题目】132(23)5(2)x x --=--【题目】321432=++x x【题目】⎩⎨⎧=+=--1734033y x y x【题目】9(1)614x xy -+=+,（其中x 、y 均为正整数 ）【题目】12527x y z y z u z u v u v x v x y -+=⎧⎪-+=⎪⎪-+=⎨⎪-+=⎪-+=⎪⎩。
不定方程的解法
二元一次不定方程的解法求a * x + b * y = n的整数解。
1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = n'，此时Gcd(a',b')=1;2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解；3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为：x = n' * x0 + b' * ty = n' * y0 - a' * t(t为整数)上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。
我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程 x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．我们先看一个例子．例小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程3x+11y=50．这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组．但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意．所以，这个方程有两组正整数解，即也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明．例求不定方程x-y=2的正整数解．解我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中n可以取一切自然数．因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理．定理如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为其中t=0，±1，±2，±3，…．证因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足ax0+by0=c，②因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．设x＇，y＇是方程①的任一整数解，则有ax＇+bx＇=c. ③③-②得a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)．④由于(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整数．将y＇=y0+at 代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇， y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．例1求11x+15y=7的整数解．解法1将方程变形得因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法2先考察11x+15y=1，通过观察易得11×(-4)+15×(3)=1，所以11×(-4×7)+15×(3×7)=7，可取x0=-28，y0=21．从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．例2求方程6x+22y=90的非负整数解．解因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得3x+11y=45．①由观察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是例3求方程7x+19y=213的所有正整数解．分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．解用方程7x+19y=213 ①的最小系数7除方程①的各项，并移项得因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．Ｔ儆*5除此式的两边得2u+5v=3．④由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整数解为当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．例4求方程37x+107y=25的整数解．解 107=2×37+33，37=1×33+4，33=8×4+1．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×(37-33)=9×33-8×37＝9×(107-2×37)8×37＝9×107-26×37=37×(-26)+107×9．由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225是方程37x+107y=25的一组整数解．所以原方程的一切整数解为例5某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142. ①所以由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5｜2(x-1)．因为(5，2)=1，所以5｜x-1，从而x=1，6，11，16，①的非负整数解为所以，共有4种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．例6求方程9x+24y-5z=1000的整数解．解设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为用前面的方法可以求得①的解为②的解为消去t，得大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组①化简得 15x+9y+z=300．③③-②得 14x+8y=200，即 7x+4y=100．解7x+4y=1得于是7x+4y=100的一个特解为由定理知7x+4y=100的所有整数解为由题意知，0＜x，y，z＜100，所以由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足x+y+z=100．t x y z26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．。
六年级数学上册知识点归纳总结
六年级数学上册知识点归纳总结6年级毕业考试数学重难知识点：不定方程一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不，所以也叫做二元一次不定方程;常规方法：观察法、试验法、枚举法;多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较解不定方程的步骤：1、列方程;2、消元;3、写出表达式;4、确定范围;5、确定特征;6、确定答案技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数B、消元技巧：消掉范围大的未知数。
六年级数学知识点什么是百分数?表示一个数是另一个数百分之几的数叫百分数，百分数也叫百分率或百分比。
比例(1)什么是比例?表示两个比相等的式子叫比例。
(2)什么是比例的项?组成比例的四个数叫比例的项。
(3)什么是比例外项?两端的两项叫比例外项。
(4)什么是比例内项?中间的两项叫比例内项。
(5)什么是比例的基本性质?在比例中两个外项的积等于两个内项的积。
(6)什么是解比例?求比例中的未知项叫解比例。
(7)什么是正比例关系?两种相关的量，一种变化，另一种量也变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量叫正比例的量，它们的关系叫正比例关系。
(8)什么是反比例关系?两种相关的量，一种变化，另一种也随着变化，如果这两种量中相对应的积一定，这两种量叫反比例的量，它们的关系成反比例关系。
圆柱(1)什么是圆柱底面?圆柱的上下两个面叫圆柱的底面。
(2)什么是圆柱的侧面?圆柱的曲面叫圆柱的侧面。
(3)什么是圆柱的高?圆柱两个底面的距离叫圆柱的高。
小学六年级数学总复习知识点1十进制计数法：一(个)、十、百、千、万……都叫做计数单位.其中“一”是计数的基本单位.10个1是10，10个10是100……每相邻两个计数单位之间的进率都是十.这种计数方法叫做十进制计数法。
小学奥数六年级上第7讲《不定方程》教学课件
巩固提升
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作业3：一张纸上写有25个1.21和25个1.3，现在要划去其中的一些数，使留下来的数的总 和为20.08，那么应划去多少个1.3? 答案：17个
巩固提升
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作业4：樱木同学特别喜欢吃包子，每天早上都到学一食堂买包子吃. (1)第一天早上，樱木同学花了6元买了一些冬菜包和豆香包，两种包子他都买了；已知冬菜 包每个7角，豆香包每个5角，那么樱木同学一共买了多少个包子? (2)第二天早上，樱木同学去学一食堂的路上遇到了晴子，于是樱木邀请晴子一起去吃包子 到学一食堂后，两人除了吃冬菜包和豆香包以外还点了几串羊肉串，已知羊肉串每串12元， 最后一共花了18元，所点包子与羊肉串数量总和是25；那么两人最多吃了多少串羊肉串? 答案：10；7
巩固提升
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作业5：甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其 余都各捐11册；乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人 各捐7册，其余各捐9册，已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，且每个班 捐赠的册数都在400与600之间；各班各有多少人? 答案：甲班51人，乙班53人，丙班49人
六年级上第7讲
不定方程
• Culture
知识树
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知识树
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知识树
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数学知识点
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• Culture
1.知识精讲 3.极限挑战
2.例题讲解 4.巩固提升
数学知识点
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六年级奥数专题培优讲义不定方程及解析全国通用
六年级奥数专题培优讲义——不定方程及解析知识点梳理：在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个方程。
当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。
【例1】★求方程2725=+y x 的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==15,63,111y x y x y x【小试牛刀】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 典型例题的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3，x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1，x ＝11时，17－2x ＝17 －22，无解所以方程有两组整数解为：16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 【例2】★ 设A ，B 都是正整数，并且满足3317311=+B A ，求B A +的值。
不定方程和解不定方程应用题经典
不定方程和解不定方程应用题经典———研究其解法方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。
然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。
一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。
二、不定方程的解法1、筛选试验法根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。
如：方程某﹢y﹢z=100共有几组正整数解？解：当某=1时y﹢z=99，这时共有98个解：(y，z)为(1，98)(2，97)(98，1)。
当某=2时y﹢z=98，这时共有97个解：(y，z)为(1，97)(2，96)(97，1)。
当某=98时，y﹢z=2，这时有一个解。
∵98﹢97﹢96﹢﹢1=9899=48512∴方程某﹢y﹢z=100共有4851个正整数解。
2、表格记数法如：方程式4某﹢7y=55共有哪些正整数解。
解：某y123455121517477437397某某某某√√∴方程4某﹢7y=55的正整数解有某=5某=12y=5y=13、分离系数法如：求7某﹢2y=38的整数解解：y=387某1=19-3某-某2212令t=1某23872t=19-7t2某=2t则y=2t＞019-7t＞0（t为整）→25＞t＞07t=2，1当t=2时，某=2某2=4某=4y=19-7某2=5y=5当t=1时，某=2某1=2某=2y=19-7某1=12y=12第四十周不定方程专题简析：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5某－3y＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5某－3y＝9的解有：某＝2.4某＝2.7某＝3.06某＝3.6………y＝1y＝1.5y＝2.1y＝3如果限定某、y的解是小于5的整数，那么解就只有某＝3，Y＝2这一组了。
小学数学不定方程与不定方程组的解法
不定方程与不定方程组知识框架一、知识点说明历史概括不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元 3 世纪就开始研究不定方程，所以常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元 5 世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标记着中国对不定方程理论有了系统研究．宋朝数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各种比赛考试中，不定方程常常以应用题的形式出现，除此之外，不定方程还常常作为解题的重要方法贯串内行程问题、数论问题等压轴大题之中．在此后初高中数学的进一步学习中，不定方程也相同有侧重要的地位，所以本讲的侧重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在此后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义（ 1）定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
（2）不定方程的解：使不定方程等号两头相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不独一。
（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确立解的个数；③求出全部的解三、不定方程的试值技巧（1）奇偶性（2）整除的特色（能被 2、 3、 5 等数字整除的特征）（3）余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）重难点（1） b 利用整除及奇偶性解不定方程（2）不定方程的试值技巧（ 3）学会解不定方程的经典例题例题精讲一、利用整除性质解不定方程【例 1 】求方程2x－ 3y＝ 8 的整数解【考点】不定方程【分析】方法一：由原方程，易得2x＝8＋ 3y，x＝ 4＋3y，所以，对 y 的随意一个值，都有一个x 与之对2应，而且，此时x 与 y 的值必然知足原方程，故这样的x 与 y 是原方程的一组解，即原方程的解x 4 3 k，此中 k 为随意数．说明可表为： 2 由 y 取值的随意性，可知上述不定方程有无量多y k组解．方法二：依据奇偶性知道2x 是偶数， 8 为偶数，所以若想 2x－3y＝ 8 建立， y 必为偶数，当 y＝ 0， x＝4；当 y＝ 2，x＝ 7；当 y＝4， x＝ 10，本题有无量多个解。
不定方程的所有解法
不定方程的所有解法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：不定方程是指含有未知数的方程，且未知数的值不受限制，可以是整数、分数、无理数等。
解不定方程的方法有很多种，根据方程的形式和要求选择不同的解法。
本文将介绍不定方程的所有解法，包括质因数分解法、辗转相除法、模运算法、裴蜀定理、试错法等各种方法。
1. 质因数分解法对于形如ax+by=c的不定方程，可以通过质因数分解的方法来求解。
首先分别对a和b进行质因数分解，得到a=p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an，b=q1^b1 * q2^b2 * ... * qm^bm。
然后利用质因数分解的特性，可知如果c不能被a和b的所有质因数整除，那么方程就无整数解；如果c能被a和b的所有质因数整除，那么方程就有整数解。
这个方法在求解一些简单的不定方程时很有效。
2. 辗转相除法辗转相除法又称为欧几里德算法，用于求两个整数的最大公约数。
对于形如ax+by=c的不定方程，可以先利用辗转相除法求出a和b的最大公约数d，然后如果c能被d整除，就存在整数解；如果不能被d整除，那么方程就无解。
这个方法比较简单，但只适用于求解一次不定方程。
3. 模运算法模运算法是一种基于模运算的解法，对于形如ax≡b(mod m)的不定方程，可以通过求解同余方程得到解。
将方程转化为标准形式ax-my=b，然后求解同余方程ax≡b(mod m)，如果方程有解，则可以通过一些变换得到原方程的解。
这个方法适用于求解模运算的不定方程。
4. 裴蜀定理裴蜀定理也称为贝祖定理，是解一元不定方程的重要方法。
对于形如ax+by=c的不定方程，根据裴蜀定理，当且仅当c是a和b的最大公约数的倍数时，方程有整数解。
此时可以通过扩展欧几里德算法求出一组解，然后通过变换得到所有解。
这个方法适用于求解一元不定方程的情况。
5. 试错法试错法是一种通过列举所有可能解，然后逐一验证的方法。
对于一些简单的不定方程，可以通过试错法找到所有整数解。
小学奥数 不定方程与不定方程组 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
不定方程与不定方程组教学目标1.利用整除及奇偶性解不定方程2.不定方程的试值技巧3.学会解不定方程的经典例题知识精讲一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。
3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）例题精讲模块一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解【考点】不定方程 【难度】2星 【题型】解答【解析】 方法一：由原方程，易得 2x ＝8＋3y ，x ＝4＋32y ，因此，对y 的任意一个值，都有一个x 与之对应，并且，此时x 与y 的值必定满足原方程，故这样的x 与y 是原方程的一组解，即原方程的解可表为：342x ky k⎧=+⎪⎨⎪=⎩，其中k 为任意数．说明 由y 取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解． 方法二：根据奇偶性知道2x 是偶数，8为偶数，所以若想2x －3y ＝8成立，y 必为偶数，当y ＝0，x ＝4；当y ＝2，x ＝7；当y ＝4，x ＝10……，本题有无穷多个解。
不定方程的解法
数论的方法和技巧之一不定方程的解法一． 几种特殊的不定方程1. 二元一次不定方程c by ax =+ ，形如c by ax =+（b a Z c b a ,,,,∈不同时为零）的方程称为二元一次不定方程．有以下结论：(1)不定方程c by ax =+有整数解的充要条件是.|),(c b a(2)若,1),(=b a 设),(00y x 是方程c by ax =+的一组整数解，则此方程的一切整数解可表示为⎩⎨⎧-=+=,,00at y y bt x x .Z t ∈例l 将属于[0，1]之间分母不超过99的最简分数从小到大排列，求与7617相邻的两个数．解：设,1),(*,,=∈y x N y x 且y x 是上述排列中7617左边的数，则 .07676177617>-=-yxy y x 注意到x y 1617-为整数，所以.17617≥-x y 下面先求不定方程 17617=-x y ① 满足991≤≤y 的正整数解(x ，y)．,17184Z x x y ∈++= 试算可知)9,2(),(=y x 是一个特解．所以①的全部整数解为⎩⎨⎧∈+=+=.,,769172Z t t y t x满足①的正整数解中)85,19(),(=y x 是符合991≤≤y 且y 最大的解，而此时,29985>=y 所以，与7617相邻的两个数中左边那个是⋅8519 类似可知，所求的右边那个数为⋅6715评注：对一次不定方程求解可以用辗转相除法、同余及试验等方法来寻找其特解．2. 勾股方程222z y x =+设勾股方程222z y x =+ ①的一组正整数解是(x ，y ，z)，如果,),(d y x =则,|22z d 即.|z d 这样仅需在1),(=y x 时讨论，此时x ，y ，z 实际上是两两互质的．这种两两互质的勾股数(x ，y ，z)，称为①的本原解或本原勾股数．定理 不定方程①满足 y z y x z x |2,0,0,0,1),(>>>= ② 的全部整数解(x ，y ，z )可表示成 ,,2,2222b a z ab y b a x +==-= ③ 其中a ，b 为满足b a b a ,,0>>一奇一偶，且(a ，b )=1的任意整数．例2 证明方程 222221y x x x n =+++ 有无穷多组整数解。
不定式方程(六年级)
不定式方程一：不定方程知识精讲一．不定方程的定义1．一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程．2．多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一．二．不定方程的解法及步骤1．常规方法：观察法、试验法、枚举法．2．多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可．3．涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较．三．解不定方程的步骤1．列方程．2．消元．3．写出表达式．4．确定X围．5．确定特征．6．确定答案．四．技巧总结1．写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用X围小的未知数表示X围大的未知数．2．消元技巧：消掉X围大的未知数．三点剖析重难点：不定方程的解法以及应用．题模精讲题模一不定方程的计算例1.1.1、判断下列不定方程是否有正整数解，若有，求出所有正整数解．（1）；（2）；（3）；（4）．答案：（1）（2）（3）（4）无整数解解析：（1），，所以，即得，（2），，所以，．（3），，所以，．（4），，所以．无整数解．例1.1.2、已知△和☆分别表示两个自然数，并且，则△+☆=__________．答案：5解析：依题意得11△+5☆=37，易知其自然数解为△=2，☆=3．所以△+☆=5．例1.1.3、有三个分子相同的最简假分数，化成带分数后为．已知a，b，c都小于10，a，b，c 依次为__________，__________，__________．答案：7，3，2解析：由题意有．解这个不定方程，得．例1.1.4、已知代表两位整数，求方程的解．题模二不定方程的应用例1.2.1、有150个乒乓球分装在大、小两种盒子里，大盒每盒装12个，小盒每盒装7个．问：需要大盒子__________个、小盒子__________个，才能恰好把这些球装完．答案：大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个解析：设需要x个大盒子，y个小盒子，依题意得：，解得，．所以需要大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个．例1.2.2、某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．请问：其中有__________名男职工．答案：12名解析：设有x名男职工，y名女职工，则孩子有名，依题意得：，整理得：，化简得，解得，，，其中只有时才是整数，所以有12名男职工．例1.2.3、有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若购买甲2件、乙1件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元．现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？答案：81元解析：设购买甲一件要x元，乙一件要y元，丙一件要z元，丁一件要w元，依题意得：注意到题目要求的是，所以完全可以不求x、y、z、w分别是多少，想办法整体求出．观察发现要直接凑出或它的倍数并不容易，一个比较明显的是可以求出，可以用来调整x和z的系数．接着可以让y和w的系数变的一样，得，得，所以．故现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需81元．（当然本题可以直接看出得到）例1.2.4、将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米？答案：8厘米解析：设已经截出了根长36厘米的管子和根长24厘米的管子，那么被截出的管子一共长厘米．由，得：一定是12的倍数．而380不是12的倍数，所以是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽，那么最少会剩下多少厘米呢？由于一定是12的倍数，小于380且能被12整除的最大自然数是372，而的自然数解是存在的，如，也就是截出1根长36厘米的管子和14根长24厘米的管子，能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米．所以剩余部分最少是厘米．例1.2.5、有纸币60X，其中1分、1角、1元和10元各有若干X．请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是100元？答案：不能解析：设1分的有xX，1角的有yX，1元的有zX，10元的有wX，依题意得，得，很明显等号左边是9的倍数，而等号右边不是9的倍数，所以无自然数解，故这些纸币的总面值不能恰好是100元．例1.2.6、现有一架天平和很多个13克和17克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少？（砝码只能放在天平的一边）答案：191解析：设用了x个13克的砝码，y个17克的砝码，要称的重量为c克，依题意，就是求使无自然数解的c的最大值．利用拓展14解法二中提到的结论，c最大取时，无自然数解，所以不能称出的最大整数克重量是191克．例1.2.7、现有1.7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油，用这两个空桶要倒出1升汽油，至少需要倒多少次？答案：26次解析：依题意，模拟的倒几次后会发现，本题和不定方程：和的解有关系．先解出这两个不定方程：的解为：的解为：其中，这个解明显要小，下面解释一下它的含义．先看它对应的过程：1、倒满1.7升；2、1.7升倒入4升；3、倒满1.7升；4、1.7升倒入4升；5、倒满1.7升；6、1.7升倒入4升中，还剩1.1升；7、4升的倒入大桶里；8、1.1升倒入4升；9、倒满1.7升；10、1.7升倒入4升；11、倒满1.7升；12、1.7升倒入4升，还剩0.5升；13、4升的倒入大桶里；14、0.5升倒入4升；15、倒满1.7升；16、1.7升倒入4升；17、倒满1.7升；18、1.7升倒入4升；19、倒满1.7升；20、倒入4升，还剩1.6升．21、4升的倒入大桶里；22、1.6升倒入4升；23、倒满1.7升；24、倒入4升；25、倒满1.7升；26、倒入4升，还剩1升．可以看出，每次从大桶中倒入两个小桶的都是1.7升，每次从两个小桶中倒回大桶的都是4升，所以两个小桶中量出的1升可以看做是，倒进的1.7x减去倒出的4y的差．那么就得到了上面的不定方程．另一个不定方程同理也很容易想明白．例1.2.8、某校开学时，七年级新生人数在500～1000X围内，男、女生的比例为．到八年级时，由于收40名转学生，男、女生的比例变为．请问，该年级入学时，男、女生各有多少人？答案：男生320人，女生280人解析：设开始时共人，后来变为人，则，．易知a为8的倍数，b为5的倍数，故可设，，方程化简为，且．解得，，入学时总人数为人，男生320人，女生280人．例1.2.9、在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？随堂练习随练1.1、下列方程的自然数解：（1），则；（2），则；（3），则；（4），则．答案：（1）（2）（3）无解（4）解析：枚举法．随练1.2、小高有若干X8分的邮票，墨莫有若干X15分的邮票，两人的邮票总面值是99分，那么小高的8分邮票有__________．答案：3X解析：。
不定方程组的通解
不定方程组的通解不定方程组（Diophantine equations）是数学中一类非常有趣且具有挑战性的问题。
在解答不定方程组的过程中，我们需要找到能满足给定条件的整数解，这对于数学研究和实际问题的解决具有重要意义。
本文将介绍不定方程组的定义、解法以及一些解法的具体例子，希望能为读者提供全面的知识和启发。
不定方程组是由整数变量构成的方程组。
在一般的方程组中，我们常常要求解实数或复数解，而不定方程组则要求解整数解。
不定方程组的一般形式可以写作：a1x1 + a2x2 + ... + anxN = b其中ai（i=1,2,...,N）和b为已知的整数系数，x1,x2, (x)为未知的整数变量。
不定方程组并没有具体的个数限制，但其中的每一个方程都必须是整数。
不定方程组的解法可以分为两类：有界整数解和无界整数解。
对于有界整数解，我们可以通过穷举法或利用一些已知的性质来求解。
而对于无界整数解，我们通常利用更高级的数论方法，如模运算等，来找到解的特性。
在解一般的不定方程组时，我们可以利用一些基本的数学原理来简化问题。
例如，如果不定方程组中的多个方程具有共同的因子，那么我们可以通过将其约减到最简形式，从而简化问题。
此外，我们还可以利用奇偶性、模运算等方法来寻找解的特性，进而找到通解。
为了说明不定方程组的解法，我们来看一个典型的例子：假设我们需要求解不定方程组：3x + 4y = 7我们可以先通过穷举法找到一组整数解。
假设x和y的取值范围在[-10,10]之间，我们可以依次尝试每一个可能的整数值。
通过试验可得，当x=1，y=1时，方程组的等式成立。
因此，一组整数解为x=1，y=1。
但这样的穷举法并不适用于更复杂的不定方程组。
对于更高级的解法，我们可以利用模运算和一些数论性质来求解。
例如，对于上述方程组，我们可以发现其中的一个特性：3和4都不能同时被2整除。
因此，我们可以通过模运算来求解。
我们可以将方程组变换为：4y ≡ 7 (mod 3)这意味着4y与7在模3下有相同的余数。
几种常见的不定方程的求解
几种常见的不定方程的求解摘要：本文重点介绍二元一次不定方程、勾股数以及一些特殊的非一次型不定方程的常见解法。
关键词：二元一次不定方程；辗转相除法；整数分离法；勾股数；特殊的非一次型不定方程不定方程，即未知数个数多于方程个数且其解受一定限制（如解为整数，正整数等）的方程或方程组。
不定方程又叫丢番图方程，它是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富。
我国对不定方程的研究已延续了数千年。
“百钱买百鸡”、“物不知其数”等堪称中外驰名，一直流传至今。
学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能。
中国古代数学家张丘建曾解答了下面的问题：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”设x，y，z分别代表鸡翁、鸡母、鸡雏的数目，就得x+y+z=1005x+3y+■z=100：消去z，得7x+4y=100。
我们要解决这个问题，就要求出上述方程的非负整数解，这个方程仅仅是二元一次不定方程的一个具体例子。
本文主要介绍一些基本类型的不定方程有整数解的条件及其解法。
1.二元一次不定方程及其求解。
最简单的不定方程就是二元一次不定方程，下面我们考虑它有整数解的条件。
定理[1]二元一次不定方程ax+by=c…①有整数解的充分必要条件是d|c，d=（a，b），（其中a，b，c是整数，且a，b都不是0）。
证必要性，如果方程①有整数解x=x0，y=y0则ax0+by0=c。
有d|ad|b，所以d|（ax0+by0）即d|c。
充分性，因为d|c所以c=dq由于存在两个整数x0，y0使ax0+by0=d。
在上式两边同时乘以q，得ax0q+by0q=dq。
即ax0q+by0q=c 因此方程①有整数解x=x0q，y=y0q。
对于二元一次不定方程，我们介绍求x0，y0的三种常用方法：（1）观察法。
例1 求不定方程3x+4y=23的非负整数解。
解：通过观察x=1，y=5是一个特解。
不定方程(组)及其应用专题讲座
例题讲解：
例题9甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵, 其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都 植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数 大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有多少人?
解：设甲小队有x人,乙小队有y人.由两小队植树
棵数相等,得到 13 x-7=10 y-5. 因为上式右端个位数为5,所以13x的个位数应是2, 得到x=4, y=5是上式的一组解,且x每增大10, y就增 大13,仍是上式的解.
x y 3y 4 ，则3x 1 3y 4 3y 4 3y 4
x 1 x 1 x 0 ， ， 程组 的正整数解。 解： （1）×2+（2）： x+y=4 （3） 由（3）得：y=4-x; 把y=4-x代入（1）：z=x-2. 因为x和y、z都是正整数，所以： x ＞ 0, 4-x＞0, 且x-2＞0； 解这个不等式组得： 4＞x＞2, 即x= 3. 那么y=4-x=4-3=1， z=x-2=3-2=1. 故此方程组的正整数解为： x= 3， y=1，z=1。 (附:当k为何负整数时，方程组{3x+2y=k+1、 4x+3y=k-1的解时满足x>y且x-y>6?)
例题讲解：
例题10甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6 棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人 都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵 数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有多少人?
解：为使10y-5在100与200之间,只有y
=5+13=18,所以乙小队有18人,甲小队有 4+10=14(人),共有18+14=32(人). 答：甲、乙两小队共有32人。
第二章 不定方程
步骤：
① 先求出 (a1 , a2 ) = d 2 , (d 2 , a3 ) = d 3 ,…, ( d n −1 , an ) = d n ;
② 若 d n | N ，则(1)式无解；
③ 若 d n | N ，则(1)式有解，作方程
a1 x1 + a2 x2 = d 2t2 d 2t2 + a3 x3 = d3t3 " " " d n − 2tn − 2 + an −1 xn −1 = d n −1tn −1 d n −1tn −1 + an xn = N
（ 2）
= 0, ±1, ±2,...
由定理1我们知道，当（1）有一整数解时，它的一切解可以 由（2）表示出来。 ② 但是（1）式在什么情况下有解，我们还不知道，现在给 出（1）式有整数解的一个充要条件。
定理 2 （1）式有整数解的充分与必要条件是 (a, b) | c .
③ 对于二元一次不定方程，我们还没有给出求（1）式的 一个整数解的方法。 下面利用辗转相除法解决这个问题。
定理 1
不定方程 x 2 + y 2 = z 2 （1）适合条件
x > 0, y > 0, z > 0, ( x, y) = 1,2 | x
（4） （5）
的一切正整数解可以写成下列公式表出来：
x = 2ab, y = a 2 − b 2 , z = a 2 + b 2 , a > b > 0, (a, b) = 1, a, b一奇一偶.
（4） （5）
的一切正整数解可以写成下列公式表出来：
x = 2ab, y = a 2 − b 2 , z = a 2 + b 2 , a > b > 0, (a, b) = 1, a, b一奇一偶.
第十讲 不定方程
第十讲不定方程学习提示：有这样一个方程：，x、y都是自然数，你知道x和y分别等于多少吗？通过计算，我们就会只扫，当x=0时，y=20；当x=1时，y=18；当x=2时，y=16；···当x=10时，y=0，共有11组解。
如果x、y可以是小数，就会出现无数组解。
在2x+y=20这一个方程中，有x和y两个未知数，像这样，方程的个数少于未知数的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或不定方程组）。
它的解是不定的，如果没有给定不定方程的某种限制条件，那么它就有无限多个解。
本讲中所涉及的不定方程根据题目的要求和实际情况把解局限在一定的范围内，它可能有解，也可能无解、如果有解，也只能是有限个解。
但是，限制的条件，有时很隐蔽，需要我们去认真思考。
典型题解例1、（1）工程队要铺78米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长的两种管子，5米的用了6根，3米长的管子用多少根？这道题用算术方法解很简单，不过我们想用列方程的方法来解答这道题。
解：设3米长的管子用了X根在题目当中，设一个未知数的，根据题目当中的等量关系列一个方程，解方程后得到一个解。
（2）工程队要铺78米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长的两种管子，3米长的管子比5米长的管子多用了10根，3米长和5米长的管子各用了多少根？用列方程的方法解答。
解：设5米长的管子x根，则3米长的管子为（x+10）根。
3米长的管子为：x+10=6+10=16（根）本例的条件和问题与例1稍有不同，要求有两个量，而这两个量之间有联系，在设未知数时，设其中的一个为x，另一个根据它们之间的联系用代数式表示，但解是唯一的。
（3）工程队要铺设78米长的地下排水管道，仓库中有3米和5米长的两种管子，问两种管子各用各用多少根？分析：问3米和5米长的管子各用多少根，设3米长的管子用x根，那么5米长的管子用的根数呢，如果用共78米这个条件表示出5米长的管子的根数，列方程时则没有其他等量关系了，只能设其为y根，列出一个含有两个未知数的方程，即不定方程。
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不定方程与不定方程组知识框架一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义（1）定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
（2）不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。
（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧（1）奇偶性（2）整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）（3）余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）重难点（1）b利用整除及奇偶性解不定方程（2）不定方程的试值技巧（3）学会解不定方程的经典例题例题精讲一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解【考点】不定方程【解析】方法一：由原方程，易得2x＝8＋3y，x＝4＋32y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应，并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为：342x ky k⎧=+⎪⎨⎪=⎩，其中k为任意数．说明由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8成立，y必为偶数，当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。
【答案】无穷多个解【巩固】求方程2x＋6y＝9的整数解【考点】不定方程【解析】因为2x＋6y＝2(x＋3y)，所以，不论x和y取何整数，都有2|2x＋6y，但29，因此，不论x和y取什么整数，2x＋6y都不可能等于9，即原方程无整数解．说明：此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。
【答案】无整数解【例 2】求方程4x＋10y＝34的正整数解【考点】不定方程【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得2x＋5y＝17，5y的个位是0或5两种情况，2x是偶数，要想和为17，5y的个位只能是5，y为奇数即可；2x的个位为2，所以x的取值为1、6、11、16……x＝1时，17－2x＝15，y＝3，x＝6时，17－2x＝5，y＝1，x＝11时，17－2x＝17 －22，无解所以方程有两组整数解为：16,31 x xy y==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩【答案】16,31 x xy y==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩【巩固】求方程3x＋5y＝12的整数解【考点】不定方程【解析】由3x＋5y＝12，3x是3的倍数，要想和为12（3的倍数），5y也为3的倍数，所以y为3的倍数即可，所以y的取值为0、3、6、9、12……y＝0时，12－5y＝12，x＝4，x＝3时，12－5y＝12－15，无解所以方程的解为：40 xy=⎧⎨=⎩【答案】40 xy=⎧⎨=⎩【例 3】求719213x y+=的所有正整数解．【考点】不定方程【解析】按照顺序逻辑讨论，从y值讨论，由y=1开始，当y=2时，x=25，当y=9时，x=6. 【答案】x=25，y=2X=6，y=9【巩固】求62290x y+=的自然数解【考点】不定方程【解析】按照顺序逻辑思维先考虑y的取值，当y=0时，x=15，当y=3时，x=4.【答案】x=15，y=0X=4，y=3二、利用余数性质解不定方程【例 4】求方程3x＋5y＝31的整数解【考点】不定方程【解析】方法一：利用欧拉分离法，由原方程，得x＝3153y-，即x＝10－2y＋13y+，要使方程有整数解13y+必须为整数．取y＝2，得x＝10－2y＋13y+＝10－4＋1＝7，故x＝7，y＝2当y＝5，得x＝10－2y＋13y+＝10－10＋2＝2，故x＝2，y＝5当y＝8，得x＝10－2y＋13y+＝10－16＋3无解所以方程的解为：72,25 x xy y==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩方法二：利用余数的性质3x是3的倍数，和31除以3余1，所以5y除以3余1（2y除以3余1），根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为：取y＝1，2y＝2，2÷3＝0……2（舍）y＝2，2y＝4，4÷3＝1……1（符合题意）y＝3，2y＝6，6÷3＝2（舍）y＝4，2y＝8，8÷3＝2……2（舍）y＝5，2y＝10，10÷3＝3……1（符合题意）y＝6，2y＝12，12÷3＝4（舍）当y＞6时，结果超过31，不符合题意。
所以方程的解为：72,25 x xy y==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩【答案】72,25 x xy y==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩【巩固】解方程7489x y+=，（其中x、y均为正整数）【考点】不定方程【解析】方法一：7489x y+=，4y是4的倍数，和89除以4余1，所以7x除以4余1（7÷4≡3），可以看成3x除以4余1，根据这个情况用余数的和与乘积性质进行判定为（x＜13）x＝1，3x＝3，3÷4≡3（舍）x＝2，3x＝6，6÷4≡2（舍）x＝3，3x＝9，9÷4≡1（符合题意）x＝4，3x＝12，12÷4≡0（舍）x＝5，3x＝15，15÷4≡3（舍）x＝6，3x＝18，18÷4≡2（舍）x＝7，3x＝21，21÷4≡1（符合题意）x＝8，3x＝24，24÷4≡0（舍）x＝9，3x＝27，27÷4≡3（舍）x＝10，3x＝30，30÷4≡2（舍）x＝11，3x＝33，33÷4≡1（符合题意）x＝12，3x＝36，36÷4≡0（舍）所以方程的解为：3711,,17103 x x xy y y===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩方法二：利用欧拉分离法，由原方程，897122244x xy x-+==-+，()1x+的取值为4的倍数即可，所以方程的解为：3711,,17103 x x xy y y===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩【答案】3711,,17103 x x xy y y===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩【例 5】求方程5322x y+=的所有正整数解．【考点】不定方程【解析】因为能被5整除的数的末位数字是0或者5，所以3y的末尾数字应为2或者7，所以当y=4时，x=2.【答案】x=2，y=4.三、解不定方程组【例 6】解方程180012008001600015a b ca b c++=⎧⎨++=⎩（其中a、b、c均为正整数）【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答【解析】根据等式的性质将第一个方程整理得9648015a b ca b c++=⎧⎨++=⎩，根据消元的思想将第二个式子扩大4倍相减后为：(964)4()80415a b c a b c ++-++=-⨯，整理后得5220a b +=，根据等式性质，2b 为偶数，20为偶数，所以5a 为偶数，所以a 为偶数，当2a =时，52220b ⨯+=，5b =，所以8c =，当4a =时，54220b ⨯+=，5b =，所以无解。
所以方程解为258a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩【答案】258a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩【例 7】 解不定方程1531003100x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩ (其中x 、y 、z 均为正整数)【考点】不定方程 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据等式的性质将第一个方程整理得159300100x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，根据消元思想与第二个式子相减得148200x y +=，根据等式的性质两边同时除以2得：74100x y +=，根据等式性质4y 为4的倍数，100为4的倍数，所以7y 为4的倍数，所以y 为4的倍数试值如下481218,11,4788184x x x y y y z z z ===⎧⎧⎧⎪⎪⎪===⎨⎨⎨⎪⎪⎪===⎩⎩⎩【答案】481218,11,4788184x x x y y y z z z ===⎧⎧⎧⎪⎪⎪===⎨⎨⎨⎪⎪⎪===⎩⎩⎩课堂检测【随练1】 解不定方程：2940x y +=（其中x,y 均为正整数）【考点】不定方程【解析】 方法一：2x 是偶数，要想和为40（偶数），9y 也为偶数，即y 为偶数，也可以化简方程2940x y +=，40920522x y x y -==-+知道y 为偶数，所以方程解为：112,24x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩【答案】112,24x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩【随练2】求不定方程7111288+=的正整数解有多少组？x y【考点】不定方程【解析】本题无论x或是y，情况都较多，故不可能逐一试验．检验可知1288是7的倍数，所以11y也是7的倍数，则y是7的倍数．设7=，原方程可变为11184y z+=，z可以为1，2，3，……16．由于每一个z的值都确定了原x z方程的一组正整数解，所以原方程共有16组正整数解．【答案】16组家庭作业【作业1】求23734++=的正整数解．x y z【考点】不定方程【解析】本题按照逻辑顺序思维，先确定z的值再讨论x与y的值【答案】略【作业2】求x+2y+5z=18的自然数解【考点】不定方程【解析】本题按照逻辑顺序思维，先讨论z的取值，因为5z的值变化较大【答案】z分别等于0、1、2.共三组解。