材料力学 第八章 弯曲变形(1,2,)

得： C ql3 ,D 0
24
A
梁的转角方程和挠曲
线方程分别为：
x θA
θB
l
B
x
q (6lx2 4x3 l 3 ) y
24EI
w qx (2lx2 x3 l3)
24EI
最大转角和最大挠度分别为：
max
A
B
ql3 24 EI
wm a x
w
x l 2
5ql 4 384EI
例题 5-3
EI 2EI
挠曲线方程 w Fx2l Fx3
(6)
2EI 6EI
例题 5-1
转角方程
挠曲线方程
w Fxl Fx2 (5)
EI 2EI
w Fx2l Fx3
(6)
2EI 6EI
根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值，
描出挠曲线的示意图(图c)。
(c)
例题 5-1
2. 求max和wmax
x
48EI
l
y2
最大转角和最大挠度分别为：
P
C
l 2
B
x
max
A
B
Pl 2 16 EI
wm a x
w
x l 2
Pl3 48EI
讨论： c 0
[例8-3]：已知梁抗弯刚度为EI。试求图示简支 梁的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。
q
A
C
D
E
B
x
a
a
a
a
y
q
A
C
D
E
B
x
a
a
a
a
y
CL9TU5
C
例题 5-1
试求图示悬臂梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角max。梁的EI
为常量。
例题 5-1
解: 1. 列挠曲线近似微分方程，并积分。该梁的弯矩方 程为
M x F l x (1)
挠曲线近似微分方程为
(b)
EIw M x Fl x Fl Fx (2)
通过两次积分得
梁的挠曲线近似微分方程式：
(-) M 0
w 0
EI
d2w dx2
M
(x)
M w或EIw M
EI z
3.积分法求梁的挠曲线方程
梁的挠曲线近似微分方程: EI d2w M (x)
dw x
dx2
EI M (x)dx C dx o
xx
EIw [ M (x)dx]dx Cx D 00
(c)
由挠曲线可见，该梁的max和wmax均在x=l的自
由端处。由(5)、(6)两式得
max
|xl
Fl 2 EI
Fl 2 2EI
Fl 2
2EI
wmax
w
|xl
Fl 3 2EI
Fl 3 6EI
Fl 3 3EI
例题 5-1
3. 由此题可见，当以x为自变量对挠曲线近似微分 方程进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中 的积分常数是有其几何意义的：
试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角max。梁的EI
为常量
例题 5-3
解: 1.分段列弯矩方程
约束力为
FA
F
b， l
FB
Fa l
两段梁的弯矩方程分别为
M1x
FA
x
F
b l
x
0 x a
M2x
FA
x
F
x
a
F
b l
x
F
x
a
a x l
为了后面确定积分常数方便，列弯矩方程M2(x) 时仍取x截面左边的梁段为分离体，使方程M2(x)中 的第一项与方程M1(x)中的项相同。且不要把M2(x)中 的F(x-a)展开。
C2l
0
即 从而也有
C2
Fb 6l
l2
b2
C1
Fb 6l
l2 b2
例题 5-3
4. 建立转角方程和挠度方程 将C1、C2、D1、D2代入(1)、(1')和(2)、(2')式得两 段梁的转角方程和挠曲线方程如下：
左段梁 (0 x a)
右段梁 (a x l)
1 w1
2 w2
Fb 2lEI
1 3
l2 b2
x2
(3)
Fb 2lEI
l b
x
a2
x2
1 3
l2
b2
(3)
w2
w1
Fbx 6lEI
l2 b2 x2
(4)
Fb 6lEI
l b
x
a 3
x3
l2 b2
x
(4)
例题 5-3
5. 求max和wmax
左、右两支座处截面的转角分别为
A
1
|x0
得
C1=D1， C2=D2 。
例题 5-3
再利用支座位移条件， 即： 在x=0处 w1=0， 在 x=l 处 w2=0
由两个连续条件得： C1 C2， D1 D2 由(2)式，得
D1 0 从而也有 D2 0
例题 5-3
将x=l，代入(2')式，得
EIw2
|xl
F
b l
l3 b
F
l
6
a 3
6. 求wmax的近似表达式
由(7) 式还可知，当集中 荷载F作用在右支座附近时， b值甚小，以致 b2 和 l2 相 比可略去不计，则有
wmax
Fbl 2 9 3EI
Fbl 2 0.0642
EI
它而发x生在l x1处0.5(l跨l3中点处0.C5。7)7的l 挠度wC为
2
wC
w1
|xl
2
Fb 48EI
b l
F
x
2
a 2
C2
x3 F x a3
6
6
(1)
C2 x D2 (2)
例题 5-3
3. 确定积分常数
值得注意的是，在对右段梁进行积分运算时， 对于含有(x-a)的项是以(x-a)作为积分变量进行积 分的，因为这样可在运用连续条件，
x=a时，w1 ’ =w2’及w1=w2，由(1)、(1’)和(2)、(2’)式
得C2
11 qa3 6
注意：
1.分段连续弯矩方程必须从原点沿x 的正向依次写出； 2.对含（x-a）项不可展开，把它视 为新变量积分； 3.中间的分布载荷应延伸到中断，并 加上反向分布力；
4.按上述方法积分，中间各段积分常 数相等。
作业：5-3，5-4，5-10，5-13，5-17
谢谢大家!
目录 下节 结束
Fb l 2 b2 6lEI
Fabl b
6lEI
B
2
|xl
Fabl
6lEI
a
当a>b时有
max
B
Fabl a
6lEI
(5)
例题 5-3
根据图中所示挠曲线的大致形状可知，当a>b
时，最大挠度wmax可能发生在AD段的 w1=0处， 令，w1 0 得
x1
l2 b2 3
aa 2b
3
例题 5-3
2. 分别列梁的挠曲线近似微分方程，并积分：
左段梁 0 x a
右段梁 a x l
挠曲线近似微分方程
EIw1
M1
x
F
b l
x
EIw2
M2
x
F
b l
x
F
x
a
积分得
EIw1 EIw1
F
b l
x2 2
C1
F
b l
x3 6
C1 x
Байду номын сангаас
(1) D1 (2)
EIw2
F
b l
x2 2
EIw2
F
思考: 试绘出图示两根简支梁的弯矩图，并描出它 们的挠曲线。并指出：(1) 跨中挠度是否最大？(2) 跨中挠度的值是否接近最大挠度值？
[例8-2]已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在
集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax
和 wmax。
P
解：AC段：M(x) P x A EIw P x 2 2
3l 2 4b2
Fbl 2 0.0625 Fbl 2
16EI
EI
例题 5-3
可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况
下，跨中挠度与最大挠度也只相差不到3%。因此
在工程计算中，只要简支梁的挠曲线上没有拐点都
可以用跨中挠度代替最大挠度。
当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(a=b=l/2)，最
大转角max和最大挠度wmax为
y
角为正。
转角θ与挠度w 关系：
tan
df f (x)
dx
挠曲线
x
CL9TU3
§8-2梁的挠曲线近似微分方程式
1.曲率公式
材力 曲线 y f (x) 的曲率为 数学
M 1 w w
EI z
(1 w2 )3 / 2
2.曲率与弯矩的符号关系
M0
(+)
x
w 0
如图：w ”与弯矩的符号相反。 y
(6)
a>b时，x1<a，可见 w'发生在AD段，即 wmax发生在AD段。
例题 5-3
将x1的表达式(6)代入左 段梁的挠曲线方程(4),得
wmax
w1 |x x1 9
Fb 3lEI
l2 b2 3
(7)
例题 5-3
wmax
w1 |x x1 9
Fb 3lEI
l2 b2 3
(7)
第八章 弯曲变形
§8-1梁的位移-挠度和转角
一.工程实例 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够
的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够 的刚度，以保证结构或机器正常工作，如摇臂钻床。
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困 难，出现爬坡现象。
另外一些情况却
要求构件具有较大的
弹性变形，以满足特
C1 EIw |x0 EI0
C2 EIw |x0 EIw0
此例题所示的悬臂梁，0=0，w0=0， 因而也
有C1=0 ，C2=0。
二.算例
[例8-1]已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在
均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定
θmax和wmax。
q
解：M(x) ql x q x2 A
22
x
B
x
EIw ql x q x2 22
y
l
EIw ql x2 q x3 C 46
EIw ql x3 q x4 Cx D
C
12 24
由边界条件：
EIw ql x2 q x3 C 46
q x 0时，w 0; x l时，w 0
EIw ql x3 q x4 Cx D 12 24
定的工作需要,例如
车辆上的板弹簧。缓 P / 2
P/2
解车辆受到的冲击
和振动作用。
P
CL9TU2
二、弯曲变形的基本概念
1.挠曲线(平坦的曲线）
挠曲线方程：w f (x)
w
2.挠度和转角
y
挠度w：横截面形 心处的铅垂位移。
x
转角θ：横截面绕中 性轴转过的角度。
w
规定:y正向的挠度 为正，顺针向的转
x13
C1x1
D1
EIw2
qax2
q 2
(x2
a)2
EIw2
qa 2
x22
q 6
( x2
a)3
C2
EIw2
qa 6
x23
q 24
(x2
a)4
C2
x2
D2
由连续条件：
x1 x2 a时,w1 w2,w1 w2
得C1 C2 D1 D2
由边界条件：x1 0时,w1 0 得 D1 0
由对称条件：x2 2a时,w2 0
弯矩分段,要分段积分
式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定
要求：（1）约束处满足边界条件 （2）梁中间的点满足连续与光滑条件
边界条件
y A
x =0 , w=0 y ( = 0)
x
x = l , w= 0 =0 B x
x = l , w=0 ( = 0)
光滑连续条件：
wc wc
P
c
c
x
l
C
l
B
x
EIw P x2 C
y2
2
4
EIw P x3 Cx D 12
由边界条件： x 0时，w 0 得：D 0
由对称条件： x l 时，w 0 得：C Pl 2
2
16 CL9TU7
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P (4x2 l 2 )
16EI A
w Px (4x2 3l 2 )
解：由对称性，只考虑半跨梁ACD
M1(x1) qax1 (0 x1 a)
M2 (x2
)
qax2
q 2
(x2
a)2
(a x2 2a)
EIw1 qax1
EIw2
qax2
q 2
( x2
a)2
y
q
A
C
D
E
B
x
qa x1
qa
x2
a
a
a
a
EIw1 qax1
EIw1
qa 2
x12
C1
EIw1
qa 6
EIw
F
lx
x2 2
C1
(3)
EIw
F
lx2 2
x3 6
C1 x
C2
(4)
例题 5-1
2. 确定积分常数，并求转角方程和挠曲线方程
该梁的边界条件为：在 x =0 处 w'=0 ，w =0
由(3)、(4)两式得 C1 0，C2 0
将C1和C2代入(3)、(4)两式，得
转角方程
w Fxl Fx2 (5)
max
A
B
Fl 2 16EI
wmax
wC
Fl 3 48EI
例题 5-3
当分两段建立挠曲线近似微分方程时，为确定 积分常数简便，必须遵守以下规则： (1) 列每段的弯矩方程时，均以x截面左面的梁段为 分离体。第II段的弯矩方程中含有(x-a)的项，不能 展开。 (2)对第II段的挠曲线近似微分方程进行积分时，均 以(x-a)作为积分变量。这样，在利用位移连续条件 后，将4个积分常数简化为2个，否则将用4个方程 联立求解4个积分常数。