一元二次方程综合运用(含答案解析)

一元二次方程综合运用

1.已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根.

（1）若a 为正整数，求a 的值；

（2）若满足，求a 的值. 解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-2（a-1）x+a 2-a-2=0

有两个不相等的实数根，

∴△=[-2（a-1）]2-4（a 2-a-2）＞0，

解得：a ＜3，

∵a 为正整数，

∴a=1，2；

（2）∵x 1+x 2=2（a-1），x 1x 2=a 2-a-2，

∵x 12+x 22-x 1x 2=16，

∴（x 1+x 2）2-x 1x 2=16，

∴[-2（a-1）]2-3（a 2-a-2）=16，

解得：a 1=-1，a 2=6，

∵a ＜3，

∴a=-1．

2.已知关于的一元二次方程.

（1）试证明：无论取何值此方程总有两个实数根；

（2）若原方程的两根，满足，求的值. 解：（1）证明：∵，

∴，

.

∴无论取何值此方程总有两个实数根.

（2）由（1）知：原方程可化为，

∴，， 02)1(222=--+--a a x a x 21,x x 21,x x 16-212

221=+x x x x x (3)(2)(1)x x p p --=+p 1x 2x 222121231x x x x p +-=+p (3)(2)(1)x x p p --=+22

560x x p p -+--=22(5)4(6)p p ∆=----22252444441p p p p =-++=++22(21)0p =+≥p 22

560x x p p -+--=125x x +=2126x x p p =--

又，

∴，

∴， ，

∴，∴.

3.已知关于x 的一元二次方程x 2

﹣6x+m+4=0有两个实数根x 1，x 2．

（1）求m 的取值范围；

（2）若x 1•x 2满足3x 1=|x 2|+2，求m 的值．

解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+m+4=0有两个实数根x 1，x 2，

∴△=（﹣6）2﹣4（m+4）=20﹣4m ≥0，

解得：m ≤5，

∴m 的取值范围为m ≤5．

（2）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+m+4=0有两个实数根x 1，x 2，

∴x 1+x 2=6①，x 1•x 2=m+4②．

∵3x 1=|x 2|+2，

当x 2≥0时，有3x 1=x 2+2③，

联立①③解得：x 1=2，x 2=4，

∴8=m+4，m=4；

当x 2＜0时，有3x 1=﹣x 2+2④，

联立①④解得：x 1=﹣2，x 2=8（不合题意，舍去）．

∴符合条件的m 的值为4．

4.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m ﹣1=0有两个实数根x 1，x 2．

（1）求m 的取值范围；

（2）当x 12+x 22=6x 1x 2时，求m 的值．

解：（1）∵原方程有两个实数根，

∴△=（﹣2）2﹣4（m ﹣1）≥0，

整理得：4﹣4m+4≥0，

解得：m ≤2；

（2）∵x 1+x 2=2，x 1•x 2=m ﹣1，x 12+x 22=6x 1x 2，

∴（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2=6x 1•x 2， 222121231x x x x p +-=+221212()331x x x x p +-=+222

53(6)31p p p ---=+2225183331p p p -++=+36p =-2p =-

即4=8（m﹣1），

解得：m=．

∵m=＜2，

∴符合条件的m的值为．

5.已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．

（1）试判断原方程根的情况；

（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）

解：（1）△=[﹣（m﹣3）]2﹣4（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8，

△（m﹣1）2≥0，

△△=（m﹣1）2+8＞0，

△原方程有两个不等实数根；

（2）存在，

由题意知x1，x2是原方程的两根，

△x1+x2=m﹣3 x1•x2=﹣m

△AB=|x1﹣x2，

△AB2=（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2

=（m﹣3）2﹣4（﹣m）=（m﹣1）2+8，

△当m=1时，AB2有最小值8，

△AB有最小值，即AB==2

6.已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2=0①有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k=1时，求x12+x22的值．

解：（1）①方程有两个不相等的实数根，

①①=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0，

解得：k＞﹣；

（2）当k=1时，方程为x2+3x+1=0，

①x1+x2=﹣3，x1x2=1，

①x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=9﹣2=7．

7.已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．

（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；

（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．解：（1）根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，

解得m≥﹣，

所以m的最小整数值为﹣2；

（2）根据题意得x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，

∵（x1﹣x2）2+m2=21，

∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2=21，

∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，

整理得m2+4m﹣12=0，解得m1=2，m2=﹣6，

∵m≥﹣，

∴m的值为2．

8.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．（1）求k的取值范围；

（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．

解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，

解得k≤．

（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，

∵x12+x22=11，

∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，

∵k≤，

∴k=4（舍去），

∴k=﹣1．

9.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）=0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根．

（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值．