【高中数学选修2-1】2.2.1椭圆及其标准方程

2.2.1 椭圆及其标准方程
(一)
生活中的椭圆
生活中 的椭圆
椭圆概念的引入： 在前面圆的方程中我们知道： 平面内到一定点的距离为常数的点
的轨迹是圆
数
学
实
验
演示
• [1]在平面内，任取两个 定点F1、F2 ； • [2]取一细绳并将细绳 （大于两定点的距离） 的两端分别固定在F1、 F2两点 ； • [3]用笔尖（点M）把细 绳拉紧，慢慢移动笔尖 看看能画出什么图形？
演示1 演示2
M F1 F2
结论：
1.当绳长大于两定点F1,F2间的距离 时，轨迹是椭圆。
2.当绳长等于两定点F1,F2间的距离 时，轨迹是以F1,F2为端点的线段。 3.当绳长小于两定点F1,F2间的距离 时，不能构成图形。
2.求椭圆的方程：
♦ 求动点轨迹方程的一般方法： 坐标法 （1）建系设点 （2）列式 （3）代换、化简 （4）审查
C
F1 D
F2
练习1：判定下列椭圆的焦点在哪条轴上？ 并指明a2、b2，写出焦点坐标
x y 1 答：在 X 轴。（-3，0）和 25 16
（ 3， 0）
2
2
x y 1 144 169
2
2
答：在 y 轴。（0，-5）和 （ 0， 5）
x y 2 1 2 m m 1
2
2
答：在y 轴。（0，-1）和
形
F1
O
F2
x
O
F1
标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
F1 -c , 0，F2 c , 0
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a
F1 0,- c ，F2 0,c
( y c ) 2 x 2 ( y c ) 2 x 2 2a
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距 式
定 义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y y
M F 2 F 1
M
图 形
F 1
o
F2 x
o
x
方 程 焦 点 a,b,c之间的关系
x2 y2 2 1 a b 0 2 a b
2 5 2 则∆F1PF2的周长为___________
练习2：将下列方程化为标准方程，并判 定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标
1 9x
2
25y 225 0
2
2
x y 1 25 9
x2
1 2
2
2
2 2x
3 y 1
2

y2
1 3
1
例2.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(-2，0),
x2 y2 2 1(a b 0). 2 a b
3.椭圆的标准方程:
焦点在x轴：
x2 y 2 2 1a b 0 2 a b
F1
y
M F2 x
o
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
y
F2
M
焦点在y轴：
o
F1
x
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
F(±c，0)
F(0，±c)
c2=a2-b2
注:
共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1. 不同点：焦点在x轴的椭圆 x 项分母较大. 2 y 焦点在y轴的椭圆 项分母较大.
2
移项，平方 ( x c ) 2 y 2 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
a 2 cx a ( x c ) 2 y 2 两边再平方，得
a 4 2a 2cx c 2 x 2 a 2 x2 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2
整理得 (a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 )
由椭圆定义可知 2a 2c, 即a c, 所以
a 2 c 2 0, 令 a 2 c 2 b 2 (b 0),
b2 x 2 a 2 y 2 a 2b2
两边除以 a 2b 2 得
所以 a 10 ,又因为 c 2 ,所以 b a 2 c 2 10 4 6
因此,椭圆的标准方程为
x2 y2 1 10 6
2
2
2
待定系数法
练习、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0），椭 圆上一点P到两焦点距离之和等于10。
解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程
（ 0 ， 1）
例1、填空： x2 y2 (2)已知椭圆的方程为： 1 ,则 4 5 a=_____ ，c=_______ ，P 2 1 5 ，b=_______
(0,-1)、(0,1) ，焦距 焦点坐标为：__________
F2
F1
等于_________; 2
若曲线上一点P到下焦点F1的距离为3，则 点P到另一个焦点F2的距离等于_________ 2 5 3 ，
5 3 (2，0),并且经过点 ( , ) ,求它的标准方程. 2 2
解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方
程为
x2 y2 2 1 2 a b
(a＞b ＞0)由椭圆定
2
2
义知 2a ( 5 2) 2 ( 3 ) 2 ( 5 2) 2 ( 3 ) 2 2 10
x
由椭圆的定义得：| MF 1 | | MF 2 | 2a 代入坐标 | MF1 | ( x c) 2 y 2 , | MF2 | ( x c) 2 y 2
得方程 ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a
（问题：下面怎样化简？）
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
Y
M M F2 (c,0) X
Y
F2(0 , c) O
X F1(0,-c)
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
F1 (-c,0)
O
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
椭圆的标准方程的认识：
（1）“椭圆的标准方程”是个专有名词，专指本节介绍的两 个方程，方程形式是固定的。 （2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪 一个轴上,即“椭圆的焦点看分母，谁大在谁上” （3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 （4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
2 2 x y 为： 2 1(a b 0) 2 a b 2a=10，2c=8 即 a=5，c=4
故 b2=a2-c2=52-42=9
x2 y2 1 所以椭圆的标准方程为： 25 9
总结回顾
探究定义 |MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c）
y M
y
F2 M x
不 同 点
图
2.求椭圆的方程：
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y M M F1
O
y F2 x
O
F2
x F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常利用“对称性”wenku.baidu.com
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). y 设M(x, y)是椭圆上任意一 M 点，椭圆的焦距2c(c>0)，M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的 F2 F1 0 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
a2-c2=b2 (a>b>0) 看分母，谁大在谁上
MF1 MF2 2a
(2a>2c)
M F2 F1
数
学
实
验
若改为小于或等于将 是什么情况？
• [1]在平面内，任取两个 定点F1、F2 ； • [2]取一细绳并将细绳 （大于两定点的距离） 的两端分别固定在F1、 F2两点 ； • [3]用笔尖（点M）把细 绳拉紧，慢慢移动笔尖 看看能画出什么图形？
例题精析
例1、填空：
判断椭圆标准方程的焦点所在轴的方法： 看分母，谁大在谁上
x2 y2 1 ，则 (1)已知椭圆的方程为： 25 16 5 ，b=_______ 4 a=_____ ，c=_______ ，焦点坐标 3 6 (3,0)、(-3,0) 焦距等于______; 为：____________ 若CD为过 左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________ ２0
M F1 F2
请你为椭圆下一个定义
F1
F2
想想看，这一过程中什么变化了，什么没有变？
1.椭圆的定义
椭圆定义的文字表述：

椭圆定义的符号表述：


平面内与两个定点 F1,F2的距离的和等于 常数（用2a表示且大 于|F1F2 |）的点的轨 迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭圆 的焦点。 两焦点之间的距离叫 做焦距(2c)。