内单叶解析，并且把这个带形映射成z 平面上除去从原点出发的一条射线而得的区域，，其中a 是任意实常数。
注解2、上面的例子把z 平面上的区域映射成w 平面上的区域。 引理 1.1 设函数f (z )在0z z =解析，并且)(00z f w =。设...)3,2,1(0)(,0)(...)('')('0)(0)1(00=≠====-p z f z f z f z f p p ，
那么0)(w z f -在0
z
有p 阶零点，并且对充分小的正数ρ，存在着一个正数μ，使得当
μ<-<||00w w 时，w z f -)(在ρ<-<||00z z 内有p 个一阶零点。
证明*：0)(w z f -在0z
有p 阶零点是显然的。由于f (z )不恒等于零，可以作出以0z
为心的开圆盘ρ<-|:|0z z D ，其边界为C ，使得f (z )在
C D D ⋃=上解析，并且使得0)(w z f -及f’(z )除去0z z =外在D 上无其他
零点。那么
,0|)(|min 0>=-∈μw z f C
z
取w ，使μ<-<||00w w 。现在应用儒歇定理，比较f (z )-w 及0)(w z f -在内D 的零点的个数。由于
),())(()(00w w w z f w z f -+-=-
而当C z ∈时
,0|||)(|00>->≥-w w w z f μ
可见f (z )-w 及0)(w z f -在D 内的零点个数同为p （每个n 阶零点作n 个零点）。
最后只须证明f (z )-w 在D 内的每个零点1z 都是一阶的。这是因为
0w w ≠，所以0z z ≠，而0]'
)([0
≠-≠z z w z f 。
定理1.1、设函数f (z )在区域D 内单叶解析，那么在D 内任一点，
.0)('≠z f
证明：反证之。假定,0)(',00=∈z f D z ，那么由引理1.1，可得出与单叶相矛盾得结论。
注解1、如果一个函数在区域D 内单叶解析，那么它的导数在D 内任意一点不等于零；
注解2、反之，这个定理的逆定理不成立，例如z e w =的导数在z 平面上任意一点不为零，而这个函数在整个z 平面上不是单叶的。 定理1.2设函数w=f (z )在0z z =解析，并且0)('0≠z f ，那么f (z )在0z 的一个邻域内单叶解析。
定理1.3设函数w=f (z )在区域D 内解析，并且不恒等于常数，那么
)(1D f D =是一个区域，即f 确定从D 到1D 的一个满射。
证明*：先证明1D 是开集，即证明任一点10D w ∈是1D 的内点。设D z ∈0，并且00)(w z f =。由引理1.1，可以找到一个正数μ，使得对于任何满足μ<-||01w w 的复数1w ，我们有D z ∈1，使得11)(w z f =。因此开圆盘
μ<-||0w w 包含在1D 内，即0w 是1D 的内点。
其次我们证明1D 的连通性，即证明在1D 内任意不同两点1w 及2w 可以用在1D 的一条折线连接起来。我们有D z z ∈21,，使得
2211)(,)(w z f w z f ==。由于D 是一个区域，在D 内有折线
)()(b t a t z z ≤≤=
连接1z 及2z ，在这里)(),(21b z z a z z ==。函数w=f (z )把这条折线上每一条线段映射成1D 内一条光滑曲线，从而把这折线映射成1D 内连接1w 及
2w 的一条光滑曲线Γ：
)())((b t a t z f w ≤≤=
另一方面，由于Γ是1D 内的一个紧集，根据有限覆盖定理，它可以被
1D 内有限个开圆盘所覆盖，从而在1D 内可以作出连接1w 及2w 的折线1Γ。
注解：如果w=f (z )在区域D 内单叶解析，那么根据定理1.3，它把区
域D 双射成区域)(1D f D =。于是f (z )有一个在1D 内确定的反函数
)(w z ϕ=。
定理1.4 最大模原理：
最大模原理及施瓦茨引理也是解析的基本性质之一，它在复变函数论中有大量应用。
定理1.5 如果函数w=f (z )在区域D 内解析，并且|f (z )|在D 内某点达到最大值，那么f (z )在D 内恒等于常数。
证明：由定理1.3，假定f (z )在D 内不恒等于常数，那么)(1D f D =是一个区域。设|f (z )|在D z ∈0达到最大值。显然，100)(D z f w ∈=，而且0w 必有一个充分小的邻域包含在1D 内。于是在这个邻域内可以找到一点w'满足|||'|0w w >。从而在D 内有一点z'满足w'=f (z')以及|)(||)(|0z f z f >，这与所设矛盾。因此f (z )在D 内恒等于常数。
注解1、此定理表明，在一个区域内不恒等于常数的解析函数，其模不可能在这个区域内达到最大值；
注解2、此定理的结论具有非常明确的物理意义。
系1.1设D 是一个有界区域，其边界为有限条简单闭曲线C 。设f (z )在D 及其边界组成的闭区域D 上连续，在D 内解析，并且不恒等于常数。设M 是|f (z )|在D 上的最大值，即f (z )在D 上的最大模，那么f (z )在边界C 上而且只在边界C 上达到最大模。
证明：显然。
定理1.6 设函数f (z )在区域D 内单叶解析，并且)(1D f D =，那么w=f (z )有一个在1D 内单叶解析的反函数)(w z ϕ=，并且如果)(,0010w z D w ϕ=∈，那么
