2020-2021上海子长学校高二数学上期末模拟试卷(附答案)
2020高二数学上册期末考试试卷及答案
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共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．已知命题p：?x∈R，sinx≤1，则( C)A．p：?x∈R，sinx≥１B．p：?x∈R，sinx≥１C．p：?x∈R，sinx>1 D．p：?x∈R，sinx>1 2．等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于( B)．A．160 B．180 C．200 D．2203．△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝60°，则c 的值等于( C )．A．5 B．13 C．13D．374．若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D)A.73B.54C.43D.535．在△ABC中，能使sinA＞32成立的充分不必要条件是( C)A．A∈0，π3B．A∈π3，2π3C．A∈π3，π2D．A∈π2，5π66．△ABC中，如果Aatan＝Bbtan＝Cctan，那么△ABC是( B)．A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形7. 如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为( B)A．1∶2 B．1∶1 C．3∶1 D．2∶18．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线A B 1夹角的余弦值为( A)A. 55B. 53C. 255 D.359．当x ＞1时，不等式x ＋11x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( D )．A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，3]10．若不等式组4≤ 34≥30≥y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( A)．A ．73B ．37C ．43D ．3411．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥０在1≤x ≤４内有解，则实数a 的取值范围是( A)A ．a ≤－4B ．a ≥－4C ．a ≥－12D ．a ≤－1212．定义域为R 的偶函数f(x)满足：对?x ∈R ，有f(x ＋2)＝f(x)－f(1)，且当x ∈[2,3]时，f (x )＝－2(x －3)2，若函数y ＝f (x )－log a (x ＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a 的取值范围为(B )A. 0，22B. 0，33C.0，55D.0，66解析由于定义为R 的偶函数f(x)满足：对?x ∈R ，有f(x ＋2)＝f(x)－f(1)，得f(－1＋2)＝f(－1)－f(1)＝0，即f(1)＝0，故f(x ＋2)＝f(x)，可知f(x)的周期T ＝2，图象以x ＝2为对称轴，作出f(x)的部分图象，如图，∵y ＝log a (x ＋1)的图象与f(x)的图象至少有三个交点，即有log a (2＋1)>f(2)＝－2且0<a<1，解得a ∈0，33。
上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题
上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若不同的两点A 和B 在参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）表示的曲线上，则A 与B 的距离的最大值是__________．2．z 是z 的共轭复数，若2z z +=，()2z z i -=（i 为虚数单位），则z =_____________.3．将圆22:36C x y +=上任意一点的横坐标变为原来的13，纵坐标不变，从而得到椭圆E ，则椭圆E 的焦点坐标是_____________.4．若双曲线Γ的两个焦点1F 和2F 都在x 轴上且关于y 轴对称，Γ的两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，则此双曲线的渐近线方程是_____________.5．若双曲线H 的两个焦点都在y 轴上，且关于x 轴对称，焦距为10，实轴长与虚轴长相等，则双曲线H 的方程是_____________.6．二次函数238y x =的图像的准线方程是______________. 7．以方程22||||0x y x y +--=的曲线为边界的封闭区域的面积是______________.8．已知直线y m =与方程y =[]()21,21,x k k k Z ∈-+∈的曲线相交，相邻交点间的距离皆相等，则m =____________.9．设O 是复平面的原点，满足|||1|z i z -+-=的复数在复平面上所对应的点构成集合M ，在M 中任取不同的两点A 和B ，则AOB ∠的最大值是_____________. 10．已知动圆过定点()4,0A ，它与y 轴相交所得的弦MN 的长为8，则满足要求的动圆其半径的最小值是_____________.11．设点P 和点Q 都在半圆22(2)1x y -+=(0)y ≥上，使得2OP PQ =（O 为坐标系原点），坐标表示与PQ 同方向的单位向量，其结果是_____________.12．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则p = ．二、单选题13．已知直线l 倾斜角是arctan 2π-，在y 轴上截距是2，则直线l 的参数方程可以是（ ）A ．22x t y t =⎧⎨=-⎩B ．22x t y t =+⎧⎨=-⎩C ．22x t y t =⎧⎨=-⎩D ．22x t y t =+⎧⎨=-⎩14．集合{|(1)(1)()}M z z t t i t R ==-++∈，下列命题中不正确的是（ ）A ．M R =∅B ．0M ∉C ．若z M ∈，则z 在复平面上所对应的点一定不在第四象限D ．若z M ∈，2z =，则z 不一定是纯虚数15．已知动圆C 的圆心()00,x y 在抛物线212y x =上，且圆C 与直线2x =-相切，则圆C 与圆22(3)1x y -+=（ ）A ．总是相离B ．总是外切C ．一定有两个不同的公共点D ．可以有公共点，也可以没有公共点 16．已知点35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭和点都在一条既关于x 对称，又关于y 轴对称的二次曲线上，则这条二次曲线（ ）A ．一定是圆B ．一定是椭圆C ．一定是双曲线D ．可以是椭圆，也可以是双曲线17．设集合{,}A a b =，其中a 和b 都是复数，且使得{}22{,},a b a b=成立，则满足要求的集合A 的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 18．设集合{}(,)|1A x y ==，(,)|)x B x y t y ⎧⎧⎫=⎪⎪⎪=⎨⎨⎬=⎪⎪⎪⎩⎭⎩为参数，则有（ ）A ．AB =∅ B ．A B ⊆C ．A B =D ．{}22(,)|1A B x y x y =+=三、解答题 19．把曲线P 的参数方程sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩化成普通方程，并在平面直角坐标系中画出相应的曲线.20．已知z 是纯虚数，并使得21z i+∈-R ，求z 21．对于有限集P ，我们以()f P 记该集合中元素的个数，若集合{}(,)|(0A x y x x ==，集合{}(,)|B x y y x k ==+，其中k 是常数，求()f A B .22．已知椭圆E 的方程是2214y x +=，圆O 的方程是221x y +=，直线l 与圆O 相切，与椭圆E 相交于不同的两点A 和B ，求AB 的最大值.23．在如图所示的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，AB CD >，以点A 和点B 为焦点，过点C 和点D 的椭圆的长轴长是2E a ，以点C 和点D 为焦点，过点A 和点B 的双曲线的实轴长是2H a ，试用两种方法证明:()()22E H a a AB CD ⋅=⋅24．设(),M M M x y 是抛物线2:2P x py =(0)p >上的动点，也是直线l 与抛物线P 唯一的公共点，直线l 与抛物线P 的对称轴相交，点F '与抛物线P 的焦点关于直线l 对称，求动点F '的轨迹方程.参考答案1．2【分析】将曲线的参数方程化为直角坐标方程可知,曲线为半径为2的圆,所以当AB 为圆的直径时,A 与B 的距离的最大值是2.【详解】由参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）,可得22(1)(2)1x y ++-=, 所以点A 和B 在半径为1的圆上,所以当AB 为圆的直径时,A 与B 的距离的最大值是2.故答案为 :2【点睛】本题考查了参数方程化普通方程,圆的标准方程,属于基础题.2【分析】设出复数z 的代数形式，结合复数加减法和乘法的运算法则，根据已知2z z +=，()2z z i -=，这样可以求出复数的代数表示，最后根据复数模的定义求解即可.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，由221z z a bi a bi a +=⇒++-=⇒=.由()2()21z z i a bi a bi i b -=⇒+-+=⇒=-，所以1z i z =-⇒【点睛】本题考查了复数的加减法和乘法的运算法则，考查了共轭复数的定义，考查了复数模的求法，属于基础题．3．(0,-【分析】设出圆22:36C x y +=上任意一点的坐标，再设出该点变换后的坐标，通过坐标之间的关系求出椭圆标准方程，进而求出焦点坐标..【详解】设00(,)P x y 是圆22:36C x y +=上任意一点，则有220036x y +=，点00(,)P x y 变换后对应点的坐标为'(,)P x y ，由题意可知：0000133x x x x y y y y ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩，所以有： 2222(3)361436x y x y +=⇒+=，因此有2236,4a b c ==∴==，焦点在纵轴上，因此焦点坐标为：(0,-.故答案为：(0,-【点睛】本题考查了坐标变换，考查了椭圆的焦点坐标，属于基础题.4．y =±【分析】根据题意设出双曲线的标准方程，根据Γ的两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，可得等式，这要再利用,,a b c 之间关系，求出,a b 之间的关系，进而求出渐近线方程.【详解】 由题意可设双曲线的方程为：22221x y a b-=，因为两个顶点是线段12F F 的两个三等分点，所以有22222222398b c a a c a c ac a b b a a-=⇒=⇒==+∴=⇒=的渐近线方程为：y =±.故答案为：y =±【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题. 5．221252522y x -=【分析】根据题意设出双曲线的标准方程，根据焦距为10、实轴长与虚轴长相等、,,a b c 的关系，求出,a b 即可.【详解】因为双曲线H 的两个焦点和都在y 轴上，且关于x 轴对称，所以设双曲线H 的标准方程为： 22221y x a b -=，因为焦距为10，所以2105c c =⇒=，因为双曲线的实轴长与虚轴长相等，所以a b =，而222c a b =+，所以有222252252a ab =⇒==，因此双曲线的标准方程为： 221252522y x -=. 故答案为：221252522y x -=【点睛】本题考查了求双曲线的标准方程，考查了数学运算能力，属于基础题.6．23y =-【分析】把二次函数的解析式写成抛物线的标准方程的形式，最后求出准线方程即可.【详解】 223883y x x y =⇒=，所以准线方程为：23y =-. 故答案为：23y =- 【点睛】本题考查了抛物线的准线方程，属于基础题.7．2π+【分析】根据绝对值的性质，结合配方法化简方程，然后在直角坐标系内画出方程所表示的曲线，最后求出封闭区域的面积.【详解】当0,0x y ≥≥时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒+--=⇒-+-=， 当0,0x y ≥<时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒+-+=⇒-++=， 当0,0x y <≥时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒++-=⇒++-=， 当0,0x y <<时，222222111||||00()()222x y x y x y x y x y +--=⇒+++=⇒+++=， 在直角坐标系内，方程所表示的曲线如下图所示：2222ππ⎛⨯=+ ⎝⎭. 故答案为：2π+【点睛】本题考查曲线与方程，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8．0,1,2【分析】把方程y =化简，在同一直角坐标系内画出直线y m =和方程y =所表示的曲线，利用数形结合结合已知求解即可.【详解】22(2)1(0)y x k y y =-+=≥，在同一直角坐标系内，画出直线y m =和方程y =所表示的曲线，如下图所示：显然当0,1m =时，相邻交点间的距离皆相等，当01m <<时，令221y m x x y =⎧⇒=⎨+=⎩令222(2)1y m x x y =⎧⇒=±⎨-+=⎩，由题意可知：201AB BC m m m =⇒=-=±<<∴=根据图形的对称性可知：此时相邻交点间的距离皆相等，故答案为： 【点睛】本题考查了直线与圆的方程应用问题，考查了数形结合思想，是中档题．9．2π 【分析】根据|||1|z i z -+-=可以知道复数z 在复平面所表示的轨迹，从而确定集合M ，这样可以确定AOB ∠的最大值.【详解】由|||1|z i z -+-=z 表示在复平面内到(0,1),(1,0)P Q 两点的距离之和为，而PQ =z 表示的线段PQ ，因此集合M 是表示线段PQ 上的点，如下图所示：显然当2AOB POQ π∠=∠=时，AOB ∠有最大值，最大值为2π. 故答案为：2π 【点睛】 本题考查了复数模的几何意义，考查了数形结合，属于基础题.10．4【分析】根据题意，设动圆的圆心为M ，其坐标为（x ，y ），其半径为r ，结合题意分析可得（x ﹣4）2+y 2＝x 2+16，变形可得：y 2＝8x ，解可得动圆圆心的轨迹的方程，进而可得r 2＝（x ﹣4）2+y 2＝（x ﹣4）2+8x ＝x 2+16，结合二次函数的性质分析可得答案．【详解】根据题意，设动圆的圆心为M ，其坐标为（x ，y ），其半径为r ，则有（x ﹣4）2+y 2＝x 2+16，变形可得：y 2＝8x ，则动圆圆心的轨迹M 的方程为y 2＝8x ，其中x ≥0，则r 2＝（x ﹣4）2+y 2＝（x ﹣4）2+8x ＝x 2+16≥16，当x ＝0时，r 取得最小值，且其最小值为4；故答案为：4．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，关键是分析圆心的轨迹，属于综合题．11．(88【分析】设出点P 和点Q 的坐标，根据2OP PQ =，结合半圆的方程，可以求出点P 和点Q 的坐标，最后求出向量PQ 的坐标表示和模，最后求出与PQ 同方向的单位向量. 【详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，由1211212112232(,)2(,)(1)23x x OP PQ x y x x y y y y ⎧=⎪⎪=⇒=--⇒⎨⎪=⎪⎩， 因为点P 和点Q 都在半圆22(2)1x y -+=(0)y ≥上，所以有()()221122222121x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩(2)， 由（1），（2）解得：211115584,48x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，所以5(,88PQ =，因此5(2PQ ==，所以与PQ同方向的单位向量为：(88. 故答案为：(88【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，考查了平面向量坐标的坐标表示，考查了平面向量共线坐标表示公式，考查了数学运算能力. 12．2或8． 【解析】试题分析：设(,)M x y ，55522p pMF x x =⇒+=⇒=-，22210y px p p ==-，设(0,2)A ，∴(,2)AM x y =-，(,2)2PAF =-，20420420424p y AM AF x y y y ⋅=⇒⋅+-=⇒+-=⇒=216102p p p ⇒=-⇒=或8．考点：1．抛物线的标准方程及其性质；2．圆的性质．【思路点睛】研究抛物线的几何性质时，一是注意定义转化应用；二是要结合图形分析，同时注意平面几何性质的应用，“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解． 13．A 【分析】根据直线倾斜角和直线斜率的关系求出斜率，最后利用点斜式求出直线方程，对四个选项中的参数方程进行加减法消元或代入法消元，化成点斜式方程，最后进行判断即可. 【详解】因为直线l 倾斜角是arctan 2π-，所以直线l 的斜率为：tan(arctan 2)tan(arctan 2)2π-=-=-. 又因为直线l 在y 轴上截距是2，所以直线l 的方程为：22y x =-+.选项A ：2222x ty x y t =⎧⇒=-+⎨=-⎩，符合题意；选项B ：2242x ty x y t=+⎧⇒=-+⎨=-⎩，不符合题意； 选项C ：21222x t y x y t=⎧⇒=-+⎨=-⎩，不符合题意；选项D ：22112x t y x y t=+⎧⇒=-+⎨=-⎩，不符合题意. 故选：A 【点睛】本题考查了直线倾斜角和直线斜率之间的关系，考查了参数方程化为普通方程，属于基础题. 14．A 【分析】A ：根据复数的分类结合集合的交集运算定义进行判断即可；B ：根据复数的分类结合元素与集合的关系进行判断即可；C ：根据复数在平面对应点的特征结合不等式组的解集进行判断即可；D ：根据复数模的定义结合复数的分类进行判断即可. 【详解】A ：当1t =-时，{2}M =-，因此{}2MR =-≠∅，故本命题是假命题；B ：当z R ∈时，1t =-，此时{2}M =-，因此0M ∉，故本命题是真命题；C ：当z 在复平面上所对应的点在第四象限时，则有1010t t ->⎧⎨+<⎩成立，而该不等式组的解集为空集，故本命题是真命题；D ：当2z =21t =⇒=±，即2,2z i =-，故本命题是真命题. 故选：A 【点睛】本题考查了复数的分类、模的计算公式，考查了集合的交集运算，考查了元素与集合的关系，考查了命题的真假判断，属于基础题. 15．B 【分析】根据圆C 与直线2x =-相切，根据抛物线的定义，结合圆与圆的位置关系的判断方法进行判断即可. 【详解】抛物线212y x =的焦点的坐标为(3,0)，恰好是圆22(3)1x y -+=的圆心，且该圆的半径为1，动圆C 的圆心()00,x y 在抛物线212y x =上，所以有00x ≥，抛物线的准线方程为：3x =-.两个圆的圆心距为00(3)3x x --=+.因为圆C 与直线2x =-相切，所以该圆的半径为：00(2)2r x x =--=+，因此两个圆的半径之和为：001213r x x +=++=+，显然等于两个圆的圆心距，因此是两圆相外切. 故答案为：B 【点睛】本题考查了两个圆的位置关系判断，考查了抛物线的定义，考查了圆的切线性质. 16．B 【分析】根据题意可设二次曲线方程为：222x y r +=或221mx ny +=，根据两个点是否能同时满足方程进行判断即可. 【详解】当二次曲线方程为222x y r +=，把点的坐标代入方程中：有222223522r r⎧⎛⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪+=⎩，方程组无实数解，故这两个点不能在符合条件的圆上； 当二次曲线方程为221mx ny +=，把点的坐标代入方程中：有22213516221110m m n n m n ⎧⎧⎛⎫⎛⎫=⎪⎪-+=⎪⎪ ⎪ ⎪⇒⎝⎭⎝⎭⎨⎨⎪⎪=+=⎪⎪⎩⎩，此时二次曲线表示椭圆. 故选：B 【点睛】本题考查了已知二次曲线过点求二次曲线方程，考查了数学运算能力. 17．C 【分析】根据集合相等的概念，分类讨论进行求解即可. 【详解】 因为{}22{,},a b a b=，所以有22,a a b b==或22,a b b a ==.当22,a a b b ==时，由20,1a a a =⇒=，同理可求得0,1b =，此时{0,1}A =. 当22,a b b a ==时，则有432(1)0(1)(1)0a a a a a a a a =⇒-=⇒-++=，解得0a =，或1a =，或2(1)0a a ++=，当0a =，或1a =时，此时{0,1}A =；当2(1)0a a ++=时，解得a =，当a =时，b =A =⎪⎪⎩⎭，当a =时，b =，此时11,22A ⎧⎫---⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 故选：C【点睛】本题考查了集合相等求元素，考查了分类讨论思想，考查了一元二次方程复数解问题，考查了数学运算能力. 18．D 【分析】对集合A 中的方程中左边的项移项，然后用平方法进行化简，对集合B 中的参数方程用平方法进行消参，然后逐一判断即可. 【详解】2211((1=⇒=-⇒=-,化简后再通过平方法化简，得221x y +=，因此{}22(,)|1A x y x y +==；22221,011(01,01)x x y t x y x y y ⎧=⎪⇒+=≤≤∴+=≤≤≤≤⎨=⎪⎩，因此 {}22(,)1(01,01)B x y x y x y =+=≤≤≤≤，显然A B B =，B A ⊆，A B ≠，{}22(,)|1A B x y x y =+=.故选：D 【点睛】本题考查了集合的交集、并集的运用，方程的恒等变形、消参是解题的关键. 19．2([y x x =∈，在平面直角坐标系中画出相应的曲线如下所示：【分析】运用同角的三角函数关系式中平方和关系，结合二倍角的正弦公式，运用加减消元法求解即可，最后画出相应曲线即可. 【详解】22sin cos (1)(1)(2)sin cos )[1sin 2(2)x y x x x y θθθθθπθ=+⎧-⇒==+=+∴∈⎨=+⎩因此普通方程为：2([y x x =∈，在平面直角坐标系中画出相应的曲线如下所示：【点睛】本题考查了将参数方程化为普通方程，考查了画方程的曲线，考查了同角的三角函数关系中的平方和关系，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题. 20．-2i 【分析】设()z bi b R =∈，代入21z i +-进行化简，根据21z i+-为实数，列方程，解方程求得b 的值，也即求得z . 【详解】设()z bi b R =∈，代入21z i +-得()()()()()212221112bi i b b ibi R i i i ++-+++==∈--+，所以20b +=，解得2b =-.所以2z i =-.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数是纯虚数、实数的概念和运算，属于基础题.21．当k >k <()0f A B =；当k =()1f AB =；当01k <<或10k -<<时，()1f A B =；当0k =时，()0f A B =【分析】运用绝对值的性质，结合乘法运算的性质，可以求出集合A 表示的曲线方程，在同一角坐标系内画出集合,A B 表示的曲线，利用数形结合思想求解即可. 【详解】当0x =时，显然有0x ≤，若0y ≥时，221x y +=；当0y <时，有221x y -=.当0x =时，显然有0x ≥，若0y ≥时，221x y -=；当0y <时，有221x y +=.在同一直角坐标系内画出集合,A B 所表示的曲线，如下图所示：当直线y x k =+与221x y +=(0x ≤且0)y ≥1k =⇒=知：此时k =y x k =+与221x y +=(0x ≥且0)y <相切时，此时k =221x y -=的渐近线方程的方程为y x =±，由图象可知：当k >k <()0f A B =；当k =()1f AB =；当01k <<或10k -<<时，()1f A B =；当0k =时，()0f A B =.【点睛】本题考查了集合元素的属性特征，考查了集合交集的几何意义，考查了曲线与方程的关系，考查了数形结合思想. 22．2 【分析】讨论直线l 与y 轴垂直，求得A ，B 的坐标，可得弦长；再由直线l 不垂直于y 轴时，设直线l 的方程为x my t =+，求得O 到直线l 的距离，联立椭圆方程可得y 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，结合基本不等式即可得到所求最大值． 【详解】当直线l 垂直于y 轴时，由直线l 与圆O ：221x y +=相切， 可知直线l 的方程为y ＝±1，联立22114y y x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得x =， 联立22114y y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2x =±，∴AB ；当直线l 不垂直于y 轴时，设直线l 的方程为x my t =+,由直线l 与圆O ：221x y +=1，即221t m =+，将x my t =+代入2214yx +=，整理得222)(148440m y mty t -+++＝，设1122(,),(,)A x y B x y ,则有122814mt y y m +=-+，21224414t y y m -=+，AB ==()222231214m m m++≤=+ 当且仅当2213mm +=时等号成立，即2m =±时，|AB |取得最大值2． 综上可得AB 的最大值为2． 【点睛】本题考查椭圆方程以及椭圆弦长的求法，考查运算求解能力，考查了重要不等式的应用，考查化归与转化思想，是中档题． 23．两种证明方法见解析. 【分析】运用椭圆和双曲线的定义，利用勾股定理和坐标法证明即可. 【详解】证法一、由椭圆的定义可得2E CA CB a =+， 双曲线的定义可得2H CA DA a =﹣， 由等腰梯形可得BC AD ＝， 则22)()(22E H a a CA CB =﹣ 如图可设CM AB DN AB ⊥⊥，， 可得:22222222()()()()CA CB CM AM CM BM AM BM AM BM AM BM AB MN AB CD--=-=+-=⋅=+⋅+=即有()()22E H a a AB CD ⋅=⋅，所以命题成立； 证法二、由椭圆的定义可得2E CA CB a =+，双曲线的定义可得2H CA DA a =﹣， 由等腰梯形可得BC AD ＝， 则22)()(22E H a a CA CB =﹣以AB 的中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设(0),(0),(,),(,),,0A m B m C n h D n h m n -->，，，可得222222(())4CA CB n m h m n h mn AB CD -=-++--⋅＝＝ 则()()22E H a a AB CD ⋅=⋅，所以命题成立.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义，运用勾股定理和等腰梯形的性质以及坐标法是解题的关键，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题． 24．2py =- 【分析】设出过设(),M M M x y 的直线方程，与抛物线的方程联立，根据已知，由一元二次方程根的判别式求出直线l 的方程，再根据斜率公式和中点坐标公式求出动点F '的轨迹方程. 【详解】抛物线2:2P x py =的对称轴为纵轴，所以直线l 存在斜率，因此设它的方程为：()M M y y k x x -=-，与抛物线方程联立，消y 得：222()0M M x pkx p y kx ---=，由题意得：22(2)8()0220(1)M M M M pk p y kx pk y kx ∆=-+-=⇒+-=,又因为(),M M M x y 是抛物线2:2P x py =上的动点，所以有22(2)M M x py =，由（1）（2）可得：1M k x p=， 所以直线l 的方程为：212M M x y x p p=-设F '的坐标为：(,)x y ，抛物线的焦点坐标为：(0,)2p ，因为点F '与抛物线P 的焦点关于直线l 对称，所以有： 2212222M M M p y x x p p y x x x p p ⎧-⎪⋅=-⎪⎪⎨⎪+⎪=⋅-⎪⎩，消去M x ，得221022p x y p y ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以动点F '的轨迹方程为：2p y =-. 【点睛】本题考查了抛物线的切线方程以及两点关于直线对称问题．属中档题．。
上海市2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
上海市2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.椭圆2212x y +=的左焦点的坐标为________.【答案】(1,0)- 【解析】 【分析】由椭圆标准方程求得椭圆的c ，可求得椭圆的左焦点坐标.【详解】根据椭圆2212x y +=的标准方程得2222,1,1,1a b c c ==∴=∴=，所以左焦点的坐标为(1,0)-，故答案为：(1,0)-.【点睛】本题考查椭圆基本几何性质，属于基础题. 2.若12z i =+，则||z =________. 【解析】 【分析】根据复数的模的计算公式可得值.【详解】∵12z i =+，∴||z == 【点睛】本题考查复数的模的计算，属于基础题.3.若(2,1)n =-是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为________（结果用反三角函数值表示）【答案】arctan 2 【解析】 【分析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据tan k α=，即可求解直线的倾斜角。
【详解】由(2,1)n =-是直线l 的一个法向量，所以可知直线l 的一个方向向量为(1,2)，直线l 的倾斜角为α，可得tan 2k α==， 所以直线的倾斜角为tan 2arc α=。
故答案为：tan 2arc 。
【点睛】本题主要考查了直线的方向向量，以及直线的斜率与倾斜角的应用，其中解答中根据直线的方向向量求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题。
4.双曲线221x y a+=的虚轴长是实轴长的2倍，则a =________.【答案】4- 【解析】 【分析】利用虚轴长和实轴长的定义，建立方程可求得参数的值。
【详解】双曲线221x y a +=的标准方程为 221x y a-=-，虚轴的长是，实轴长 2，由题意知 ，∴4a =-， 故答案为：4-．【点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单的几何性质，关键在于分清双曲线标准方程中的,a b ，属于基础题.5.圆心为(1,2)C -且经过点(5,1)P 的圆的方程为________. 【答案】22(1)(2)25x y -++= 【解析】 【分析】求出圆的半径,即可写出圆的标准方程.【详解】圆心为(1,2)C -,则圆的半径为5=，所以所求的圆的方程为: 22(1)(2)25x y -++=， 故答案为: 22(1)(2)25x y -++=.【点睛】本题考查圆的标准方程的求得，关键在于根据已知条件：圆过点，求得圆的半径，属于基础题. 6.倾斜角为4π的直线过抛物线22y x =的焦点F ，交抛物线于A 、B 两点，则||AB =______. 【答案】4 【解析】 【分析】由抛物线22y x =得焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，再求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立得出交点的坐标的关系123x x +=，再由抛物线的定义可求得线段的长.【详解】由抛物线22y x =得焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴倾斜角为4π的直线过焦点F 的方程为：12y x =-，与抛物线22y x =联立得21304x x -+=，令()11,A x y ，()22,B x y ，则123x x +=，由抛物线的定义得1211||,||22AF x BF x =+=+， ∴22111141||22AB x x x x =+++++==， 故答案为：4.【点睛】本题考查抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系,关键在于运用抛物线的定义转化了求线段的长的关系，属于基础题.7.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________． 【答案】43【解析】【详解】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d，2d =≤即3k 2≤4k，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.8.在△ABC 中，2AB =，3C π∠=，则AB AC ⋅的最大值为_______.2+ 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算和余弦定理得2cos AB AC b A ⋅=⋅⋅22222b c a b bc+-=+，再由正弦定理和三角函数的恒等变换得,33a Ab B ==，()222216sin sin 3b a B A -=-23A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可求得最值.【详解】在△ABC 中，2AB =，3C π∠=，由正弦定理得2sin AB R C ==, R ∴=, ∴2cos AB AC b A ⋅=⋅⋅22222b c a b bc +-=⋅222222242222b ac b a b a -+-+-===+,2sin sin sin a b c R AB C ===， ,a A b B ∴==，()222216sin sin 3b a B A ∴-=-161cos 21cos 2322B A --⎛⎫=- ⎪⎝⎭8(cos 2cos 2)3A B =-82cos 2cos 233A A π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦81cos 2cos 2232A A A ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ sin 233A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()22maxb a ∴-=， 22max222b a ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭， 所以AB AC⋅最大值为23+， 2+. 【点睛】此题考查了正弦定理,余弦定理和三角形的面积公式，以及向量的数量积运算，熟练掌握正弦定理进行三角形的边角互化，运用三角函数求最值是解本题的关键，属于中档题．9.已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过原点O 的直线与椭圆Γ交于A 、B 两点，则11||||AF BF +的取值范围为________. 【答案】4[1,]3【解析】 【分析】利用椭圆的定义设|AF |＝x ∈[1，3]，则|BF |＝4﹣x ，构造函数()[]11134f x x x x=+∈-，，，利用导数求其范围即可．【详解】取椭圆左焦点F ′，连接AF ，BF ，AF ′，BF ′，易知四边形AFBF ′为平行四边形，即有|AF |+|BF |＝|AF |+|AF ′|＝2a ＝4，设|AF |＝x ∈[1，3]，则|BF |＝4﹣x ，故11114AF BF x x+=+-， 令()[]11134f x x x x=+∈-，，，则()()222222228211(4)'(4)(4)(4)x x x f x x x x x x x ---=-==---，易知函数f （x ）在[1，2）上单调递减，在[2，3]上单调递增， ∴()()()4()13()213max min f x f f f x f =====，， 即11AF BF +的取值范围为413⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 故答案为：413⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于由中心对称的转化，考查椭圆的定义及导数的运用，考查转化思想及函数思想，属于中档题．10.已知点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，且23AOB π∠=，若OC OA OB x y =+，则23x y +的取值范围为________.【答案】257【解析】 【分析】设OA 为直角坐标系的x 轴，建立平面直角坐标系.记OC 与OA 夹角为203πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭,求出三个向量坐标,进而利用同角三角函数的平方关系,可得到()25723x y θϕ+=+(其中3tan ϕ=),结合三角函数的图象和性质,可得答案. 【详解】设OA 为直角坐标系的x 轴,建立平面直角坐标系如下图所示，记OC 与OA 夹角为203πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭, 则(cos ,sin ),(1,0)OC OA θθ==，13,22OB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，代入OC OA OB x y =+,有3(cos ,sin )(,0)2y y x θθ⎛=+- ⎝⎭,∴3 cos,sin2y yxθθ-==，∴323sin cos,sinx yθθθ=+=，故()25723sin3x yθϕ+=+(其中3tan4ϕ=),23πθ≤≤,23πϕθϕϕ∴≤+≤+，而57sin19ϕ=，235757sin33819πϕ⎛⎫+=>⎪⎝⎭,当2πθϕ+=时，23x y+取最大值257，当θϕϕ+=,即0θ=时,23x y+取最小值2，∴23x y+的取值范围为257[2,]3，故答案为:257[2,].【点睛】本题考查向量的线性关系,运用三角函数的恒等变换和性质求最值,关键在于建立合适的平面直角坐标系,将所求的式子转化为关于角的三角函数,属于中档题.二、选择题11.若12i是关于x的实系数方程20x bx c++=的一个复数根，则（）A. 2,3b c== B. 2,1b c==- C. 2,1b c=-=- D.2,3b c=-=【答案】D【解析】分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b 的方程组102220b cb-++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【详解】由题意12+i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0∴1+22i﹣2+b2+bi+c＝0，即()12220b c b i-++++=∴102220b cb-++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得b＝﹣2，c＝3故选：D．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题12.设x，y满足约束条件2330233030x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z＝2x＋y的最小值是（）A. －15B. －9C. 1D. 9【答案】A【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z＝2x＋y，当直线经过B（－6，－3）时，取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B（－6，－3）处取得最小值z min＝－12－3＝－15.故选：A【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.13.若直线10x y-+=与圆22()2x a y-+=有公共点，则实数a的取值范围是（）A. [3,1]-- B. [1,3]- C. [3,1]- D.(,3][1,)∞-+∞【答案】C 【解析】由题意得圆心为(,0)a ． 圆心到直线的距离为d =， 由直线与圆有公共点可得≤12a +≤，解得31a -≤≤．∴实数a 取值范围是[3,1]-． 选C ．14.已知直线:1l x y +=与双曲线2221x y a -=（0a >）交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ，若512DA DB =，则a 的值为( ) A. 1713B. 1913C.2113D. 2【答案】A 【解析】 【分析】首先由直线方程与双曲线方程联立得出A 、B 两点的坐标关系，再由512DA DB =找到A 、B 两点横坐标的关系，结合根与系数的关系得到关于a 的方程，从而求得选项.【详解】由直线方程与双曲线方程联系222201x a y a y x ⎧--=⎨=-+⎩得()22221220x a x a α-+-=，设()()()1122,,,,0,1A x y B x y D ，∵512DA DB =，∴()()11225,1,112x y x y -=-，∴12512x x =，212221a x x a -+=-，212221a x x a -⋅=-，∴1212x x x x +=⋅，2222551212x x x +=，211731717,512512x x ∴==⨯=，∴2122171725121a x x a -⋅=⨯=-，解得1713a =， 故选：A.【点睛】本题是考查双曲线和直线位置关系的综合题目，解题的关键是如何利用已知的向量条件构造关于a 的方程，还考查了一元二次方程根与系数的关系，并且对学生的运算能力要求较高，属于中档题. 三、解答题15.设关于x 的方程2236(1)10x m x m --++=的两根的绝对值的和为2，求实数m 的值. 【答案】0m = 【解析】 【分析】设关于x 的方程2236(1)10x m x m --++=的两根为12,x x ，根据根与系数的关系得212m 103x x +⋅=>,12,x x 同号,分两根全为正,和两根全为负分别求解可得值.【详解】设关于x 的方程2236(1)10x m x m --++=的两根为12,x x ，则212m 103x x +⋅=>,12,x x ∴同号,要么全为正,要么全为负.若全为正，则122(1)2x x m +=-=,解得2m =,此时方程为23650x x -+=,方程无解,所以舍去;若全为负，则122(1)2x x m +=-=-,解得0m =,此时方程为23610x x ++=方程有两个负根,且绝对值的和为2, 综上所述,m 的值为0.【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，求解时，注意带回验证是否有根，是否满足题意，属于基础题.16.已知点(1,)P a 在双曲线22:14yx Γ-=上.(1)求双曲线的两条渐近线方程； (2)求点(1,)P a 到两条渐近线距离的乘积.【答案】(1)2y x =±；(2)45. 【解析】 【分析】(1)由双曲线22:14y x Γ-=得，1,2a b ==，可求得双曲线的渐近线的方程；(2)由点(1,)P a 在双曲线22:14yx Γ-=上，求得0a =，再根据点到直线的距离公式可求得点(1,0)P 到两条渐近线距离的乘积.【详解】(1)由双曲线22:14y x Γ-=得，1,2a b ==，所以双曲线的渐近线的方程为：2y x =±，(2)∵点(1,)P a 在双曲线22:14yx Γ-=上，∴2114a -=，0a ∴=，∴(1,0)P ， (1,0)P 到2y x =的距离为1d =，(1,0)P 到2y x =-的距离为2d =，1245d d ∴⋅==， 所以点(1,0)P 到两条渐近线距离的乘积为45. 【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，和双曲线上的点到两渐近线的距离之积，属于基础题.17.已知椭圆222:1y x a Γ+=（0a >）经过点，直线l 与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，11(,)p ax y =，22(,)q ax y =. (1)求椭圆的方程；(2)若p q ⊥，直线l 经过点F ，求直线l 的方程.【答案】(1)2214y x +=；(2)y =.【解析】 【分析】(1) 根据椭圆222:1y x a Γ+=（0a >）经过点，代入可求得 a 得椭圆的方程；(2)显然直线l 的斜率存在，设直线l的方程为y kx =()22410k x++-=，可得出根与系数的关系，再根据向量的垂直关系可得到关于k的方程，可求得k ，从而得到直线l 的方程.【详解】(1) ∵椭圆222:1y x a Γ+=（0a >）经过点，21314a ∴+=， 24a ∴=， 0,2a a >∴=，∴椭圆的方程为： 2214y x +=；(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：0x =，(0,2),(0,2),(0,2),(0,2)A B p q -==-，显然不满足p q ⊥，∴直线l 的斜率存在，设直线l的方程为y kx =+，由2214y x y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得()22410k x ++-=，∵11(,)A x y 、22(,)B x y，则1212221416160x x x x k k ⎧+=⎪⎪⎪⋅=-⎨+⎪∆=+>⎪⎪⎩，又()()11222,,2,,p x y q x y p q ==⊥，121240p q x x y y ∴⋅=+=，即(121240x x kx kx +=，()()21212430,k x x x x ∴+++=()()224(1)()340k k ∴+⨯-⋅-++=，解得22,k k =∴=，所以直线l的方程为y =.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，以及向量的垂直关系的数量积表示，关键在于将目标条件转化为直线与椭圆的交点的坐标的韦达定理上，属于常考题，难度题.18.已知抛物线2:2y px Γ=（0p >）经过点(1,2)P ，直线l 与抛物线Γ有两个不同的交点A 、B ，直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)若直线l 过点(0,1)Q ，求直线l 的斜率的取值范围；(2)若直线l 过点(0,1)Q ，设(0,0)O ，QM QO λ=，QN QO μ=，求11λμ+的值；(3)若直线l 过抛物线Γ的焦点F ，交y 轴于点D ，DA AF λ=，DB BF μ=，求λμ+的值. 【答案】(1)(,1)-∞且3k ≠-且0k ≠；(2)112λμ+=；(3)1-.【解析】 【分析】(1)由题意易得直线斜率存在且不为0，且直线PA 、PB 斜率存在，设出直线方程，并联立抛物线方程，根据交点有两个，得出>0∆，解不等式即可得直线斜率的范围.(2)根据QM QO λ=，QN QO μ=，得出λ、μ与点,M N 坐标之间的关系，再根据,,M A P 在同一直线上，,,N B P 在同一直线上，得出λ,μ与点,A B 坐标之间的关系，根据（1）中联立所得的方程得出点,A B 横坐标之间的关系，对原式进行化简，即可得11λμ+的值.(3) 设直线l 的方程为：()10,x my m =+≠联立直线与抛物线的方程得出点,A B 纵坐标之间的关系，再由DA AF λ=，DB BF μ=，得出λ、μ与点,A B 坐标之间的关系，对λμ+化简可求得λμ+的值.【详解】（1）因为抛物线2:2y px Γ=经过点(1,2)P ，所以42p =，所以2p =，所以抛物线Γ的解析式为24y x =。
上海市2021-2022高二数学上学期期末考试试题(含解析) (1).doc
上海市上海交通大学附属中学2021-2021高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.复数z 满足1i z ⋅=，则Im z =_________. 【答案】1- 【解析】 【分析】求出复数z ，然后找出其虚部即可. 【详解】因为1i z ⋅=，故1z i i==- 故Im z =1-. 故答案为：1-.【点睛】本题考查复数的化简，以及虚部的辨识，属于基础题. 2.抛物线24y x =的焦点坐标是___________．【答案】10,16⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】将抛物线方程转化为标准形式，由此求得抛物线的焦点坐标.【详解】由24y x =得214x y =，所以抛物线的焦点在y 轴上，且112,4216p p ==，所以抛物线的焦点坐标为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：10,16⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查抛物线焦点坐标的求法，属于基础题.3.若12a i z ⎛⎫= ⎪⎝⎭（i 为虚数单位，0a >）且3z =，则a 的值为_________.【答案】1 【解析】【分析】由行列式的计算可得复数z ，再根据3z =a . 【详解】因为12a i z ⎛⎫=⎪⎝⎭，故2z a i =-， 则()()()()332322414286121z a i a aia i aa a i =-=---=---故3z ==整理得3216123310a a a ++-=分解因式可得()()211628310a a a -++=对21628310a a ++=，因0<，故无实数根.故此方程只有一个实数根，解得1a =. 故答案为：1.【点睛】本题考查复数的计算，涉及行列式的计算，以及三次方方程的求解，属基础题.4.直线223x ty t =+⎧⎨=+⎩（参数t R ∈）的倾斜角为_________.【答案】12arctan 【解析】 【分析】代入消参，将参数方程化为普通方程，再根据斜率求得倾斜角.【详解】由3y t =+可得3t y =-，代入22x t =+，可得()223x y =+- 整理得：直线的一般式方程为240x y -+= 则直线的斜率为12k =，设其倾斜角为θ，[)0,θπ∈ 故12arctanθ=. 故答案为：12arctan. 【点睛】本题考查将直线的参数方程化为普通方程，以及由直线斜率求解倾斜角，属基础题. 5.若方程22(1)(52)1k x k y -+-=表示的曲线为双曲线，则实数k 的取值范围为_________.【答案】5(,1)(,)2-∞+∞ 【解析】 【分析】根据双曲线方程的特点，列出不等式，求解即可. 【详解】因为方程22(1)(52)1k x k y -+-=表示双曲线 故()()1520k k --<，即()()1250k k --> 解得()5,1,2k ⎛⎫∈-∞⋃+∞⎪⎝⎭. 故答案为：()5,1,2⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭【点睛】本题考查由方程表示双曲线求参数的范围，属基础题；重点是要把握双曲线方程的特点.6.若双曲线的渐近线方程为3y x =±，且过点A ，则双曲线的方程是_________. 【答案】2291y x -= 【解析】 【分析】根据渐近线方程，结合过点的坐标，分析出双曲线的焦点位置，设出方程，待定系数即可.【详解】因为双曲线的渐近线为3y x =±，且过点A不难判断，点A 在直线3y x =±的上方，故该双曲线的焦点在y 轴上.设双曲线方程为22221y x a b-=，则221013,1a b a b =-=，解得13b =，1a =，则双曲线的方程为2291y x -=. 故答案为：2291y x -=.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，属基础题，本题的重点是要根据双曲线过的点，判断焦点位置.7.点P 为直线3440x y ++=上的动点，点Q 为圆22:2440C x y x y +--+=上的动点，则PQ 的最小值为_________.【答案】2 【解析】 【分析】先判断直线与圆的位置关系，再计算圆心到直线的距离，减去半径，即为所求.【详解】由圆的方程22:2440C x y x y +--+=，可得圆心为()1,2,12r ==.因为圆心到直线的距离31d r ==>=，故直线与圆相离，则312min PQ d r =-=-=. 故答案为：2.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及直线上一点到圆上一点距离的最小值，属基础题.8.已知12F F 、是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥，若12PF F ∆的面积为4，则b =_________.【答案】2 【解析】 【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式，代值计算即可求得. 【详解】因为12PF PF ⊥，故1290F PF ∠=︒； 由椭圆中焦点三角形的面积公式可得212tan 2F PF S b ∠= 即22445b tan b =⨯︒=，解得2b = 故答案为：2.【点睛】本题考查椭圆焦点三角形的面积公式，属基础题.9.已知a ,b R +∈,若直线23x y ++=0与直线()1a x by -+=2互相垂直,则ab 的最大值等于________.【答案】18【解析】 【分析】根据题意,由直线垂直的判断方法可得()12a b -+=0,变形可得2a b +=1,进而结合基本不等式的性质分析可得答案.【详解】根据题意,若直线23x y ++=0与直线()1a x by -+=2互相垂直, 则有()12a b -+=0,变形可得2a b +=1,则()211212()2228a b ab a b +=⨯≤⨯=,当且仅当a =122b =时,等号成立; 即ab 的最大值为18,故答案为：18【点睛】本题考查了两直线垂直系数之间的关系、基本不等式求最值，在应用基本不等式时注意等号成立的条件，属于基础题.10.已知曲线2cos 5:,0,sin 6x y θπθθ=⎧⎛⎫⎡⎤Γ∈⎨ ⎪⎢⎥=⎣⎦⎝⎭⎩上一动点P ，曲线Γ与直线1x =交于点Q ，则OP OQ ⋅的最大值是_________.【答案】2【解析】 【分析】先计算出交点Q 的坐标，设出点P 的参数形式，利用向量的数量积运算，将其表示为关于θ的函数，再求函数的最大值即可.【详解】因为曲线Γ与直线1x =交于点Q ，故令21cos θ=，又因为50,?6πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得θ60=︒，故可得60y sin =︒=Q 的坐标为⎛ ⎝⎭.设点()2,P cos sin θθ，则()2,2OP OQ cos sin cos θθθθ⎛⋅=⋅= ⎝⎭()θϕ=+，其中0,2tan πϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭又因为tan4tan πϕ>，故,42ππϕ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则4,43ππθϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故()2maxOP OQ⋅=.. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，以及参数方程的应用，属综合基础题. 11.在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为________．【答案】－1 【解析】 试题分析：设点1,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0x >，则PA === 令1,0,2t x x t x=+>∴≥ 令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时g t 取得最小值()22g a a =-，=，解得a = （2）当2a <时，g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，g t 取得最小值()22242g a a =-+224222a a ∴-+=，解得1a =-综上可知：1a =-或10a = 所以答案应填：-1或10.考点：1、两点间的距离公式；2、基本不等式；3、一元二次函数的性质.12.如图，已知椭圆22:194x y Γ+=和圆222:()0O x y r r +=>，设点A 为椭圆Γ上的任一点，过A 作圆O 的两条切线，分别交于椭圆Γ于,B C 两点，若直线BC 与圆O 相切，则r =_________.【答案】65【解析】 【分析】根据一般的结论，取特殊的点()0,2A ，结合点在椭圆上，以及圆心到直线的距离等于半径，联立方程组，即可求得结果.【详解】因为A 为椭圆上任意一点，都满足题意， 故设A 点坐标为()0,2，设()(),,,B m r C m r ---. 则点B 满足椭圆方程，即可得224936m r +=①直线AB方程为22ry xm+=-+因为该直线与圆相切，r=②联立①②，消去m可得：2536360r r-+=故解得65r=或6r=因为当6r=时，圆的半径大于椭圆的长轴，不合题意，故65r=.故答案为：65.【点睛】本题考查椭圆与圆的关系，本题采用了从一般到特殊的方法，是解决选择和填空题重要的手段.二、选择题13.设z为非零复数，则“1zz+R∈”是“1z=”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】B【解析】【分析】设出复数z，对1zz+R∈”进行等价转化，再从充分性和必要性进行推证即可.【详解】设,(,z a bi a b=+不能同时为0)，则1zz+=2222221a bi a ba bi a bi ab ia bi ab a b a b-⎛⎫⎛⎫++=++=++-⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭又1z=1=，即221a b+=若1zz+R∈，则22bba b=+，解得0b=或221a b+=，不一定满足221a b+=，故充分性不成立；若1z =，即221a b +=，则一定有22b b a b =+，即1z z+R ∈，故必要性成立. 综上1z z+R ∈是1z =的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查命题的充分条件和必要条件，涉及复数的运算，属综合基础题. 14.如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合（ ）A. 1|||1,Re ,2z z z z C ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭ B. 1|||1,Re ,2z z z z C ⎧⎫≤≥∈⎨⎬⎩⎭ C. 1|||1,Im ,2z z z z C ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭D. 1|||1,Im ,2z z z z C ⎧⎫≤≥∈⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】 【分析】由图可得复数的模长以及虚部的大小情况，据此进行选择.【详解】由图可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），故1z ≤； 又复数对应点的纵坐标大于等于12，故其虚部大于等于12. 综上所述，阴影部分（含边界）对应的复数集合为1|||1,Im ,2z z z z C ⎧⎫≤≥∈⎨⎬⎩⎭. 故选：D.【点睛】本题考查复数在复平面内的对应情况，属基础题.15.过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A B 、两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ）A. 有且仅有一条B. 有且仅有两条C. 有无穷多条D. 不存在【答案】A 【解析】 【分析】分别讨论直线斜率存在和不存在的情况，根据是否能够满足横坐标之和为2进行判断. 【详解】根据题意，抛物线的焦点坐标为()1,0.若直线的斜率不存在，则,A B 两点关于焦点对称，故满足122x x +=； 若直线的斜率不存在，设直线方程为()1y k x =-联立抛物线方程24y x =，可得()2222240k x k x k -++=设()()1122,,,A x y B x y ，故212222442k x x k k++==+，不可能等于2， 故此时不存在满足题意的直线. 综上所述，满足题意的直线只有1条. 故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，属基础题.16.曲线22:1045x y ⎛Γ--=⎝，要使直线()y m m R =∈与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ） A. 55,33⎛⎫- ⎪⎝⎭B. ()3,3-C. 553,,333⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.55553,,,33333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋃-⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】先对曲线进行转化，再画出曲线的图像，数形结合解决问题.【详解】对方程：221045x y ⎛--=⎝等价于当2290x y +->时，22145x y -=，或2290x y +-=故画出该曲线对应的图像如下所示：如图实线所示即为该方程表示的曲线，直线12,l l 即为满足题意的直线；不妨联立方程22145x y -=与2290x y +-=解得2259y =，即可得53y =±， 由图容易知当5,33m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或53,3m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，直线y m =与曲线有4个交点. 故选：C.【点睛】本题考查曲线与方程的认知，涉及双曲线方程和圆方程，属基础题. 三、解答题17.已知实系数一元二次方程20(,)x ax b a b R ++=∈的一根为2i -（i 为虚数单位），另一根为复数z .（1）求复数z ，以及实数,a b 的值；（2）设复数z 的一个平方根为λ，记22λλλλ-、、在复平面上对应点分别为、、A B C ，求()OA OB OC +⋅的值.【答案】（1）2,0,4z i a b ===（2）2- 【解析】 【分析】（1）将2i -代入方程，根据复数相等，即可得到参数的值，以及复数z ；（2）求出平方根λ，再求出22λλλλ-、、对应的点的坐标，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】（1）因为2i -是方程20(,)x ax b a b R ++=∈的一个根， 故()()2220i a i b -+⨯-+= 整理得240ai b +-= 故可得20,40a b =-=， 即0,4a b ==故原方程等价于()2242x i =-=± 故方程的另一个根2z i = 综上所述：2,0,4z i a b ===.（2）设a bi λ=+，则22222a b abi i λ=-+= 即可得22,1a b ab ==解得1,1a b ==或1,1a b =-=-不妨取1i λ=+（另一解也有相同的结果）， 则222,1i i λλλ=-=- 故()()()1,1,0,2,1,1A B C -则()()()1,31,1132OA OB OC +⋅=⋅-=-=-.故()2OA OB OC +⋅=-.【点睛】本题考查复数的综合知识，涉及复数相等的转换，复数在复平面内对应的点的坐标，属综合基础题.18.如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点、、A B C ，且30OA OB OC km ===，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早040V 秒（注：信号每秒传播0V 千米）.（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；（2）若已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心O 的距离；（3）若C 点监测点信号失灵，现立即以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r 至少是多少公里？【答案】（1）221(0)400500x y x -=<（2）(205,205),2010P OP -=（3）202【解析】 【分析】（1）根据题意，其轨迹满足双曲线的定义，故直接写出方程即可； （2）AC 垂直平分线与双曲线的交点，即为所求点；（3）根据两点之间的距离公式，将问题转化为求二次函数的最小值即可. 【详解】（1）设观察员可能出现的位置的所在点为(),P x y因为A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早40V 秒 故00404060PB PA V AB V -=⨯=<= 故点P 的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为22221(0)x y x a b-=<由题可知240,260a c ==，解得222500b c a =-=，故点P 的轨迹方程为221(0)400500x y x -=<.（2）因为()()30,0,0,30A C -，设AC 的垂直平分线方程为y kx = 则()3001030k -⨯=---，则AC 的垂直平分线方程为y x =-联立221(0)400500x y x -=<可得2x =x y =-=故观察员遇险地点坐标为(- 与检测中心O=.（3）设轨迹上一点为(),P x y ，则PC ==又因为221400500x y -=，可得2244005x y =+ 代入可得：PC ==≥=当且仅当503y =时，取得最小值故扫描半径r 至少是.【点睛】本题考查根据双曲线的定义写出双曲线的方程，以及求双曲线上一点到一个定点距离的最小值，属双曲线方程的综合应用题.19.已知椭圆2211x y m mΓ+=+：，过点(1,0)D -的直线:(1)l y k x =+与椭圆Γ交于M N 、两点（M 点在N 点的右侧），与y 轴交于点E ；（1）当1m =且1k =时，求点M N 、的坐标；（2）当2m =时，设,EM DM EN DN λμ==，求证：λμ+为定值，并求出该值. 【答案】（1）41(0,1),(,)33M N --（2）证明见详解；定值为3 【解析】 【分析】（1）根据条件，联立直线和椭圆方程，解方程组即可求得交点坐标；（2）联立直线与椭圆方程，将λμ+的结果用韦达定理进行处理，即可得到结果.【详解】（1）当1m =且1k =时，联立直线1y x =+与椭圆方程2212x y +=可得2340x x +=，因为M 点在N 点的右侧， 故解得40,3M N x x ==-代入直线方程可得11,3M N y y ==-故,M N 两点的坐标分别为()410,1,,33M N ⎛⎫--- ⎪⎝⎭. （2）当2m =时，椭圆方程为22132x y +=联立直线方程()1y k x =+， 可得()2222236360kxk x k +++-=设()()1122,,,M x y N x y则22121222636,2323k k x x x x k k-+=-=++ 对直线方程()1y k x =+，令0x =，解得y k = 故点E 的坐标为()0,k . 因为,EM DM EN DN λμ==即可得()()1111,1,x y k x y λ-=+，()()2222,1,x y k x y μ-=+ 则1212,11?x x x x λμ==++ 121212121212211?1x x x x x x x x x x x x λμ+++=+=+++++ 2222222222366122232323343661232323k k k k k k kk k k⎛⎫-- ⎪-++⎝⎭+===---++++，故λμ+为定值，定值是3.【点睛】本题考查直线与椭圆交点坐标的求解，以及椭圆中的定值问题，关键是对韦达定理的熟练应用，属基础题.20.设抛物线22(0)y px p Γ=>：，00(,)D x y 满足2002y px >，过点D 作抛物线Γ的切线，切点分别为1122(,),(,)A x y B x y .（1）求证：直线11()yy p x x =+与抛物线Γ相切；（2）若点A 坐标为(4,4)，点D 在抛物线Γ的准线上，求点B 的坐标；（3）设点D 在直线0x p +=上运动，直线AB 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1）证明见详解；（2）1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）是，(),0p 【解析】 【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，由0=，即可证明；（2）根据点A 在抛物线上解得p ，进而写出D 点坐标，再根据点B 既在直线()222yy x x =+上，又在抛物线上，联立方程组即可求得B 的坐标；（3）写出直线AB 的方程，根据过点A 和过点B 的直线交于点D 得到的结论，整理化简直线方程，即可求得AB 恒过的定点.【详解】（1）联立直线11()yy p x x =+与抛物线方程22y px =，消去x可得211102y y y px -+= 故2112y px =-，因为点()11,A x y 在抛物线上， 故21120y px =-=则直线11()yy p x x =+与抛物线22y px =只有一个交点又因为0p >，故该直线不与x 轴平行， 即证直线11()yy p x x =+与抛物线相切.（2）因为点()4,4A 在抛物线22y px =上，故可得1624p =⨯，解得2p =由（1）可知过点A 的切线方程为()11yy p x x =+，即240x y -+= 又抛物线的准线方程为1x =-，故令1x =-，解得32y =， 即点D 的坐标为31,?2⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为过点()22,B x y 的切线方程为()222yy x x =+，其过点31,?2D ⎛⎫- ⎪⎝⎭故可得()223212y x =-+，又因为点()22,B x y 满足抛物线方程， 故可得2224y x =，联立方程组可得222340y y --=解得221,4y y =-=（舍去，与A 点重合），214x =， 故点B 的坐标为1,14⎛⎫-⎪⎝⎭. （3）由（1）得过A 点的切线方程为()11y y p x x =+令x p =-，可解得211p px y y -+=过B 点的切线方程为()22y y p x x =+令x p =-，可解的222p px y y -+=因为两直线交于点D ，故可得221212p px p px y y -+-+= 整理得()211212x y x y p y y -=- ①当过,A B 两点的直线斜率存在，则设其方程为：()211121y y y y x x x x --=--整理得2121122121y y x y x yy x x x x x --=+--，将①代入可得故直线方程为()()122121212121p y y y y y y y x x p x x x x x x ---=+=----故该直线恒过定点(),0p ;当过,A B 两点的直线斜率不存在时，1212,x x y y ==-，代入①可得12x x p ==过此时直线1:AB x x p ==，也经过点(),0p 综上所述，直线恒过定点(),0p ，即证.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线中直线恒过定点的问题，属综合性中档题；在本题中，要注意利用第一问中的结论去解决第二问和第三问.21.已知椭圆2211612x y Ω+=：.双曲线Γ的实轴顶点就是椭圆Ω的焦点，双曲线Γ的焦距等于椭圆Ω的长轴长.（1）求双曲线的标准方程；（2）设直线l 经过点(3,0)E 与椭圆Ω交于A B 、两点，求OAB ∆的面积的最大值； （3）设直线:l y kx m =+（其中为,k m 整数）与椭圆Ω交于不同两点A B 、，与双曲线Γ交于不同两点C D 、，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.【答案】（1） 221412x y -= （2）（3）存在，9【解析】 分析】（1）根据椭圆方程可以得到双曲线的焦距和顶点坐标，从而直接写出双曲线方程即可；（2）设出直线方程，将三角形面积拆分为2个三角形的面积，从而利用韦达定理进行处理； （3）根据直线与两个曲线相交，通过夹逼出,k m 的取值范围，再结合向量相加为零转化出的条件，得到,k m 之间的关系，从而利用,k m 是整数，对结果进行取舍即可.【详解】（1）对椭圆2211612x y Ω+=：，因为22222116,124a b c a b ===-=，，故其焦点为()2,0±，椭圆的长轴长为28a =.设双曲线方程为22221x y m n-=，由题可知：28m a ===，解得212n =.故双曲线的方程为：221412x y -=.（2）因为直线AB 的斜率显然不为零，故设直线方程为3x my =+，联立椭圆方程2211612x y +=可得()223418210m y my ++-= 设交点()()1122,,,A x y B x y ， 则1212221821,3434m y y y y m m +=-=-++ 则1212y y y y +=-====234m =+ 又1212OABSOE y y =⨯⨯+故213234OABSm =⨯⨯+=(,t t =≥，解得2217344m t =-故211199344442OABt St t t==≤=++当且仅当944t t =时，即3,6t m ==±时，取得最大值. 故OAB ∆的面积的最大值为（3）联立直线y kx m =+与椭圆方程2211612x y +=可得()2223484480kxkmx m +++-=()()2222644344480k m k m =-+->整理得2216120k m -+> ①设直线与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y 故可得122834kmx x k +=-+ ②同理：联立直线y kx m =+与双曲线方程221412x y -=可得()22232120kxkmx m ----=()()2222443120k m k m =+-+>整理得224120k m --< ③设直线与双曲线的交点为()()3344,,,C x y D x y 故可得34223kmx x k +=- ④ 要使得0AC BD +=即可得()()31314244,,x x y y x x y x --=-- 故可得1234x x x x +=+ 将②④代入可得2282343km kmk k -=+-解得0km =.综上所述，要满足题意，只需使得：优质资料\word 可编辑- 21 - / 21- 21 - 2222412041200,k m k m km k Z m Z⎧--<⎪--<⎪⎨=⎪⎪∈∈⎩ 故当0k =时，m 可以取得0,1,2,3±±±满足题意；即直线方程可以0,1,2,3y y y y ==±=±=±当0m =时，k 可以取1±满足题意.即直线方程可以为y x =±故存在这样的直线有9条，能够使得0AC BD +=.【点睛】本题考查椭圆方程和双曲线方程，涉及椭圆中三角形面积的最大值，以及圆锥曲线中的直线的存在性问题，属综合性困难题；其中解决第三问的关键是要把握住“整数”这一个关键词，同时也要对向量进行合理的转化.。
上海市2021-2021年高二上期末数学试卷含答案解析
高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．椭圆x2+4y2=100的长轴长为______．2．已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为______．3．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是______．4．行列式中﹣3的代数余子式的值为______．5．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM 所在直线的方程为______．6．已知直线l1的方程为3x﹣y+1=0，直线l2的方程为2x+y﹣3=0，则两直线l1与l2的夹角是______．7．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是______．8．执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是______．9．若圆C的方程为x2+y2﹣2ax﹣1=0，且A（﹣1，2），B（2，1）两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是______．10．若，且存在，则实数a的取值范围是______．11．已知直线l1过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l2过点Q（3，﹣1）且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且，则点M的轨迹方程为______．12．如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是______．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.13．点（a ，b ）关于直线x +y=1的对称点的坐标是（ ）A ．（1﹣b ，1﹣a ）B ．（1﹣a ，1﹣b ）C ．（﹣a ，﹣b ）D ．（﹣b ，﹣a ） 14．若位于x 轴上方、且到点A （﹣2，0）和B （2，0）的距离的平方和为18的点的轨迹为曲线C ，点P 的坐标为（a ，b ），则“”是“点P 在曲线C 上”的（ ） A ．.充分不必要条件 B ．.必要不充分条件C ．.充要条件D ．既非充分又非必要条件15．在圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y=15内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则|AC |•|BD |的值为（ ）A ．B ．C ．D ．16．对数列{a n }，{b n }，若对任意的正整数n ，都有[a n +1，b n +1]⊊[a n ，b n ]且，则称[a 1，b 1]，[a 2，b 2]，…为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ） A ． B ．C ．D ．三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17．已知两直线l 1：x +（m +1）y +m ﹣2=0，l 2：mx +2y +8=0．（1）当m 为何值时，直线l 1与l 2垂直；（2）当m为何值时，直线l1与l2平行．18．在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），圆E 是△ABC的外接圆．（1）求圆E的方程；（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程．19．已知是不平行的两个向量，k是实数，且．（1）用表示；（2）若，记，求f（k）及其最小值．20．在数列{a n}中，，且对任意n∈N*，都有．（1）计算a2，a3，a4，由此推测{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，求无穷数列{b n}的各项之和与最大项．21．已知点P是曲线上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程；（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求的取值范围；（3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．椭圆x2+4y2=100的长轴长为20．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的简单性质求解．【解答】解：椭圆x2+4y2=100化为标准形式，得：=1，∴a=10，b=5，∴椭圆x2+4y2=100的长轴长为2a=20．故答案为：20．2．已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ=﹣，即可得出．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ=﹣，∴θ=．故答案为：．3．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组．【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得．【解答】解：由题意，方程组解之得故答案为4．行列式中﹣3的代数余子式的值为﹣5．【考点】三阶矩阵．【分析】写出行列式的﹣3的代数余子式，再计算，即可得到结论．【解答】解：由题意，行列式中﹣3的代数余子式为﹣=﹣（3+2）=﹣5故答案为：﹣55．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM 所在直线的方程为3x﹣2y+2=0．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】由AC的中点M（2，4），利用两点式方程能求出AC边上的中线所在的直线方程．【解答】解：∵AC的中点M（2，4），∴AC边上的中线BM所在的直线方程为：=，整理，得3x﹣2y+2=0，故答案为：3x﹣2y+2=0．6．已知直线l1的方程为3x﹣y+1=0，直线l2的方程为2x+y﹣3=0，则两直线l1与l2的夹角是．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】设直线l1与l2的夹角的大小为θ，求出直线的斜率，则由题意可得tanθ=||=1，由此求得θ的值．【解答】解：设直线l1与l2的夹角的大小为θ，则θ∈[0，π），由题意可得直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为﹣2，tanθ=||=1，解得θ=，故答案为：．7．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是2k．【考点】数学归纳法．【分析】观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k．故答案为2k．8．执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知中p输入6，可得：进入循环的条件为n＜6，即n=1，2，…，5，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当n=1时，S=0+2﹣1=；当n=2时，S=+2﹣2=；当n=3时，S=+2﹣3=；当n=4时，S=+2﹣4=；当n=5时，S=+2﹣5=；当n=6时，退出循环，则输出的S为：．故答案为：．9．若圆C的方程为x2+y2﹣2ax﹣1=0，且A（﹣1，2），B（2，1）两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据A，B与圆的位置关系讨论列出不等式解出a．【解答】解：（1）若A在圆内部，B在圆外部，则，解得a＜﹣2．（2）若B在圆内部，A在圆外部，则，解得a＞1．综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．故答案为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．10．若，且存在，则实数a的取值范围是﹣1≤a ＜2．【考点】极限及其运算．【分析】根据得出﹣1＜＜1，再根据存在得出﹣1＜≤1，由此求出实数a的取值范围．【解答】解：∵，∴=，∴﹣1＜＜1，解得﹣4＜a＜2；又存在，∴﹣1＜≤1，解得﹣1≤a＜3；综上，实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．故答案为：﹣1≤a＜2．11．已知直线l1过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l2过点Q（3，﹣1）且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且，则点M的轨迹方程为9x+6y+1=0．【考点】轨迹方程；向量数乘的运算及其几何意义．【分析】先设M（x，y），可讨论l1是否存在斜率：（1）不存在斜率时，可求出A（1，0），B（0，﹣1），从而由可以求出x=，即点M（），（2）存在斜率时，可设斜率为k，从而可以分别写出直线l1，l2的方程，从而可以求出，这样根据便可用k分别表示出x，y，这样消去k便可得出关于x，y的方程，并验证点是否满足该方程，从而便得出点M的轨迹方程．【解答】解：设M（x，y），（1）若l1不存在斜率，则：l1垂直x轴，l2垂直y轴；∴A（1，0），B（0，﹣1）；∴由得，（x﹣1，y）=2（﹣x，﹣1﹣y）；∴；∴；即；（2）若l1斜率为k，l2斜率为，则：l1：y﹣4=k（x﹣1），令y=0，x=；∴；l2：，令x=0，y=；∴；∴由得，；∴；∴消去k并整理得：9x+6y+1=0；点满足方程9x+6y+1=0；综（1）（2）知，点M的轨迹方程为9x+6y+1=0．故答案为：9x+6y+1=0．12．如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是[﹣20，4]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先建立平面直角坐标系：以C为原点，平行于AB的直线为x轴，这样便可建立坐标系，然后便可根据条件确定出A，B点的坐标，并根据题意设P（3cosθ，3sinθ），从而可求出的坐标，进行数量积的坐标运算便得出，这样根据﹣1≤cosθ≤1便可求出的取值范围．【解答】解：如图，以C为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴，垂直于AB的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则：；点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点；∴设P（3cosθ，3sinθ）；∴；∴；∵﹣1≤cosθ≤1；∴﹣20≤﹣12cosθ﹣8≤4；∴的取值范围为[﹣20，4]．故答案为：[﹣20，4]．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.13．点（a，b）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（）A．（1﹣b，1﹣a）B．（1﹣a，1﹣b）C．（﹣a，﹣b）D．（﹣b，﹣a）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设出对称点的坐标列出方程组求解即可．【解答】解：点（a，b）关于直线x+y=1对称的点为（x，y），则，解得：，故选：A．14．若位于x轴上方、且到点A（﹣2，0）和B（2，0）的距离的平方和为18的点的轨迹为曲线C，点P的坐标为（a，b），则“”是“点P在曲线C上”的（）A．.充分不必要条件B．.必要不充分条件C．.充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题意可得：（a+2）2+b2+（a﹣2）2+b2=18，化为a2+b2=5，（b＞0）．即可判断出结论．【解答】解：由题意可得：（a+2）2+b2+（a﹣2）2+b2=18，化为a2+b2=5，（b＞0）．∴“点P在曲线C上”⇒“”，反之也成立．∴“”是“点P在曲线C上”的充要条件．故选：C．15．在圆x2+y2﹣2x﹣6y=15内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则|AC|•|BD|的值为（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，即可求出AC与BD的乘积．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=25，则圆心坐标为（1，3），半径为5，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=10，MB=5，ME=，所以BD=2BE=2=4，所以|AC|•|BD|=10•4=40．故选：C．16．对数列{a n }，{b n }，若对任意的正整数n ，都有[a n +1，b n +1]⊊[a n ，b n ]且，则称[a 1，b 1]，[a 2，b 2]，…为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ） A ． B ．C ．D ．【考点】数列的极限．【分析】对于A ，运用数列的极限，即可判断；对于B ，运用n=1时，两区间的关系，即可判断；对于C ，运用n=1时，判断两区间的关系，即可得到结论；对于D ，运用指数函数的单调性和数列的极限的公式，计算即可得到结论．【解答】解：对于A ，（b n ﹣a n ）=﹣=2﹣1=1≠0，故不构成区间套；对于B ，当n=1时，[a 1，b 1]=[，]，[a 2，b 2]=[，]，显然不满足[a 2，b 2]⊊[a 1，b 1]，故不构成区间套；对于C ，当n=1时，[a 1，b 1]=[，]，[a 2，b 2]=[，]，显然不满足[a 2，b 2]⊊[a 1，b 1]，故不构成区间套对于D ，由1﹣（）n ＜1﹣（）n +1＜1+（）n +1＜1+（）n ，满足[a n +1，b n +1]⊊[a n ，b n ]；又（b n ﹣a n ） =[1﹣（）n ]﹣[1+（）n ]=1﹣1=0，故构成区间套． 故选：D ．三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17．已知两直线l 1：x +（m +1）y +m ﹣2=0，l 2：mx +2y +8=0．（1）当m 为何值时，直线l 1与l 2垂直；（2）当m 为何值时，直线l 1与l 2平行．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）利用两直线垂直的充要条是 A 1A 2+B 1B 2=0，可得 1×m +（1+m ）•2=0，由此求得解得m 的值．（2）由两直线平行的充要条件是=≠，由此求得解得m 的值．【解答】解：（1）∵两条直线l 1：x +（1+m ）y +m ﹣2=0，l 2：mx +2y +8=0，由两直线垂直的充要条件可得 A 1A 2+B 1B 2=0，即1×m+（1+m）•2=0，解得m=﹣．（2）由两直线平行的充要条件可得=≠，即=≠，解得：m=1．18．在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），圆E 是△ABC的外接圆．（1）求圆E的方程；（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出圆心坐标和半径即可得到结论．（2）根据直线和圆相切的性质，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）∵在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），∴AB是直径，则AB的中点（﹣1，0），即圆心E（﹣1，0），半径R=|BE|====5，则圆E的方程为（x+1）2+y2=25．（2）∵（4+1）2+102=125＞25，∴点M在圆外，当切线斜率不存在时，此时切线方程为x=4，到圆心的距离d=4﹣（﹣1）=5．此时满足直线和圆相切，当直线斜率存在时，设为k，则切线方程为y﹣10=k（x﹣4），即kx﹣y+10﹣4k=0，则圆心到直线的距离d===5，即|2﹣k|=，平方得4﹣4k+k2=1+k2，即4k=3，则k=，此时切线方程为3x﹣4y+28=0，综上求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程为3x﹣4y+28=0或x=4．19．已知是不平行的两个向量，k是实数，且．（1）用表示；（2）若，记，求f（k）及其最小值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）==k+=k（）+，（2）利用（1）的结论，对取平方，转化为二次函数求最值．【解答】解：（1）==k+=k（）+=（1﹣k）+k．（2）=2×=﹣1．∴||2=[（1﹣k）+k]2=4（1﹣k）2+k2﹣2k（1﹣k）=7k2﹣10k+4=7（k﹣）2+．∴f（k）=．f（k）的最小值为=．20．在数列{a n}中，，且对任意n∈N*，都有．（1）计算a2，a3，a4，由此推测{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，求无穷数列{b n}的各项之和与最大项．【考点】数学归纳法；数列的函数特性．【分析】（1）由，且对任意n∈N*，都有．可得a2==，a3=，a4=．由此推测{a n}的通项公式，a n=．再利用数学归纳法证明即可得出．（2），可得b n=+9，利用等比数列的前n项和公式可得：无穷数列{b n}的各项之和T n．【解答】解：（1）∵，且对任意n∈N*，都有．∴a2==，a3==，a4==．由此推测{a n}的通项公式，a n=．下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a1==成立；②假设当n=k∈N*时，a k=．===，则n=k+1时，a k+1因此当n=k+1时也成立，综上：∀n∈N*，a n=成立．（2），∴b n=（﹣2）n=+9，∴无穷数列{b n}的各项之和T n=+=﹣=+﹣．当n=2k（k∈N*）时，T n=+﹣，T n单调递减，因此当n=2时，取得最大值T2=．当n=2k﹣1（k∈N*）时，T n=×﹣﹣，T n单调递增，且T n＜0．综上可得：T n的最大项为T2=．21．已知点P是曲线上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程；（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求的取值范围；（3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）设Q（x，y），P（x′，y′），由=2，可得（x，y）=﹣2（x′，y′），可得，代入曲线C1的方程可得曲线C2的方程．（2）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．利用数量积运算性质可得：=﹣6﹣，利用二次函数与三角函数的值域即可得出．（3）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．设经过点P的直线方程为：y﹣sinθ=k （x﹣2cosθ），M（x1，y1），N（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x2﹣8k（sinθ﹣2kcosθ）x+4（sinθ﹣2kcosθ）2﹣16=0，可得|MN|=，点Q到直=d|MN|，通过三角函数代换，利用二次函数的单调性即可得线l的距离d．可得S△QMN出．【解答】解：（1）设Q（x，y），P（x′，y′），∵=2，∴（x，y）=﹣2（x′，y′），可得，代入+（y′）2=1，可得+=1，∴曲线C2的方程为+=1．（2）F1（﹣，0），F2（，0）．设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．则=（2cosθ+，sinθ）•（﹣4cosθ﹣，﹣2sinθ）=（2cosθ+）（﹣4cosθ﹣）+sinθ（﹣2sinθ）=﹣6﹣，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴∈．（3）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．设经过点P的直线方程为：y﹣sinθ=k（x﹣2cosθ），M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为：（1+4k2）x2﹣8k（sinθ﹣2kcosθ）x+4（sinθ﹣2kcosθ）2﹣16=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴|MN|==，点Q到直线l的距离d==．=d|MN|=6|sinθ﹣2kcosθ|．∴S△QMN令|sinθ﹣2kcosθ|=|sinα|，=6|sinα|，令|sinα|=t∈[﹣1，1]，则S△QMN=6t=f（t），令|sinα|=t∈[﹣1，1]，∴S△QMN则f2（t）=﹣36t4+144t2=﹣36（t2﹣2）2+144，当且仅当t2=1时，f（t）取得最大值6．。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题及答案
2020-2021学年度第一学期期末质量检测高二数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号涂写在答题卡和答题纸上. 答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上，Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！第I 卷 选择题 （60分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共12小题，每小题5分，共60分.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）直线320x y --=的倾斜角为（ ） （A ）30︒（B ）60︒（C ）120︒（D ）150︒（2）经过()0,2A ，()10B ,两点的直线的方向向量为()1k ，，则k 的值是（ ）（A ）1-（B ）1 （C ）2- （D ）2（3）抛物线22x y =的焦点坐标为（ ） （A ）()1,0（B ）()0,1（C ）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（D ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（4）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） （A ）24 （B ）48 （C ）60（D ）72（5）已知等比数列{}n a 中，17a =，435a a a =，则7a =（ ） （A ）19（B ）17（C ）13（D ）7（6）某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元他们第一天只得到10元,之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ） （A ）15天（B ）16天（C ）17天（D ）18天（7）圆C x y 221:9+=与圆222:(1)(2)36C x y -++=的位置关系是（ ）（A ）相交 （B ）相离（C ）内切 （D ）内含（8）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为15，到y 轴的距离为12，则p 的值为（ ）（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 （9）已知等差数列{}na 的前n 项和为n S ，110,a =公差 3.5,d =-n S 取得最大值时n 的值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（10）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ） （A ）111333OA OB OC ++（B ）111234OA OB OC ++ （C ）111244OA OB OC ++（D ）111446OA OB OC ++（11）已知2222:02x y C x y -+--=，直线:220l x y ++=，M 为直线l 上的动点，过点M 作C 的切线,MA MB ，切点为,A B ，当四边形MACB 的面积取最小值时，直线AB的方程为（ ）（A ）210x y +-= （B ）210x y ++= （C ）210x y --= （D ）2+10x y -=（12）已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，且2122b F F a=，点P 为双曲线右支一点，I 为PF F12∆的内心，若1212IPF IPF IF F SSSλ=+△△△成立，给出下列结论：①当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒②离心率152e +=③512λ-=④点I 的横坐标为定值a 上述结论正确的是（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ） ①③④ （D ）②③④第II 卷 （90分）注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题，共90分二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（13）已知直线l 与平面α平行，直线l 的一个方向向量为()1,3,u z =，向量()4,2,1v =-与平面α垂直，则z =. （14）若直线3x =与圆2220x y x a +--=相切，则a = . （15）已知数列{}na 满足11a =，111+)nn a n N a *-=∈(，则4a =（16）已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则实数m 的取值范围为________.（17）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，求点B 到直线1AC 的距离为________. （18）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，并且经过点(2,22)M -，经过焦点F 且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，则p = ，线段AB 的长为（19）已知数列{}n a 为等比数列，132a =，公比12q =，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，则当n = 时，n T 有最大值为.（20）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点(,0)F c ，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且2PQ QF =，则椭圆C 的离心率为 .三. 解答题：本大题共4小题，共50分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （21）（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点()30A -,，()1,2B -． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点()0,2P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，求弦MN 的长．（22）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD DC =，F ，G 分别是PB ，AD 的中点．（Ⅰ）求证：GF ⊥平面PCB ；（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCB 的夹角的大小；（III ）在线段AP 上是否存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒？若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由．（23）（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21,n n S S a a n N *==+∈.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若13n n b -=，令11=n n n n n c a b a a +⋅+⋅，求数列{}n c 的前n 项和nT .（24）（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（III ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值.参考答案一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 123456789101112A C DB B A D B AC BD 二. 填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（双空题答对一空得3分，答对两空得5分） 13 14 151617 18 19 20 2 35321m m <->-或 632,8p AB ==5n =或6，15232768=53三. 解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设AB 的中点为D ，则()2,1D -， 由圆的性质得CD AB ⊥，所以1CDABkk⨯=-，得1CDk=-，………………2分所以线段AB 的垂直平分线方程是1y x =--，………………3分设圆C 的标准方程为()222x a y r -+=，其中(),0C a ，半径为r （0r >）， 由圆的性质，圆心(),0C a 在直线CD 上，化简得1a =-，………………5分所以圆心()1,0C -，2r CA ==，所以圆C 的标准方程为()2214x y ++=……6分 （Ⅱ）则直线l 的方程为324y x =+………………………8分 圆心()1,0C -到直线l 的距离为232-41314d ==+（）………………10分所以，22224123MN r d =-=-=………………12分（22）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,2,,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,1)A B C P G F ………………1分(0,1,1),(2,2,2),(0,2,2)GF PB PC ∴==-=-设平面PCB 的法向量为111(,,)m x y z =，则1111122200,2200x y z m PB y z m PC ⎧+-=⋅=⎧⎪⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩即 (3)分令1=1z ，则110,1x y ==，(0,1,1)m ∴=∴//GF m ，故GF ⊥平面PCB ．………………4分(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知，平面PCB 的法向量为(0,1,1)m =，(2,2,2),(2,0,2)PB PA =-=-设平面PAB 的法向量为222(,,)n x y z =，则2222222200,2200x y z n PB x z n PA ⎧+-=⋅=⎧⎪⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩即，令2=1z ，则221,0x y ==，所以平面PAB 的法向量(1,0,1)n =………………6分11cos ,222m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅………………7分∴平面PAB 与平面PCB 的夹角大小为60．………………8分（III ）解：假设线段AP 上存在一点M ,设AM AP λ=，[]01λ∈，，则(2202M λλ-，，），(2202DM λλ∴=-，，）,设平面ADF 的法向量为333(,,)t x y z = (2,0,0),(1,1,1)DA DF ==由0,0DA t DF t ⋅=⋅=得到(0,1,1)t =-……………9分DM 与平面ADF 所成角为30︒ DM ∴与t 所成角为60︒，222,(22)42cos 60cos DM t t M tDM D λλλ⋅>==⋅-+∴︒=<，解得12λ=，……11分 故在线段AP 上存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒，z点M 的坐标为101（，，）．...............12分 （23）（本小题满分13分）解: (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则由4224,21,n n S S a a n N *==+∈可得11114684,(21)22(1) 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩……………………2分 解得11,2.a d =⎧⎨=⎩因此21()n a n n N *=-∈……………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)及1=3n n b - ，知11(21)3(21)(21)n n c n n n -=-⋅+-+………………………5分数列{}nc 的前n 项和为n T ，121111=13+33+53+(2131335(21)(21)n n T n n n -⨯⨯⨯⋅⋅⋅+-⋅+++⋅⋅⋅+⨯⨯-+）..7分则令0121133353(21)3,11111(1)1335(21)(21)22121n n A n n B n n n n T A B-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅=++⋅⋅⋅+=-=⨯⨯-+++=+…………8分 ()01211231133353(21)3,3133353233(21)3n n n A n A n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅ (9)分两式相减得1231212(3333)(21)32(33)21+(21)33(22)213n nn n nA n A n n --=+⨯+++⋅⋅⋅+--⋅--=--⋅=⋅---………………10分 所以()131nA n =-⋅+……………………12分综合知()13121nn nT A B n n =+=-⋅+++……………………13分 （24）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b +=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22431x y +=；………………3分(Ⅱ)直线l 的方程为(2)y k x =+，由22431(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元整理可得：22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k k y k k k -+=+=++，所以2228612(,)4343k k D k k -+++，………………5分 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k k k k -++，………………6分 则3(0)4OP k k k =-≠，直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k , 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥， 则1OPEQ kk ⋅=-，即32()14n k km--⋅=-恒成立，所以(46)30m k n +-=，所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以定点Q 的坐标为3(,0)2-.………………8分 （III ）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22431x y +=联立可得M 点的横坐标为22343x k =±+，………………9分由//OM l 可得：22249=343D AE A D A M M x x x x x x AD AEk OM x x k -+--++==+2216(43)22343k k =+++≥，………………11分当且仅当2264343k k +=+，即32k =±时取等号，………………12分 所以当32k =±时，AD AEOM +的最小值为22.………………13分。
上海市2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题(含解析) (2)
上海市上海交通大学附属中学2021-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）一. 填空题 1.函数y=的定义域为 . 【答案】()0,+∞ 【解析】试题分析：函数y=的定义域为0{0x x ≥≠所以0x >考点：函数定义域的求法．2.已知{|12}A x x =-<<，2{|30,}B x x x x =-<∈R ，则A B =________【答案】(0,2) 【解析】 【分析】对集合B 中的不等式求出其解集，然后利用集合的交集运算，得到答案. 【详解】集合2{|30,}{|03}B x x x x x x =-<∈=<<R ， 而集合{|12}A x x =-<< 所以{|02}A B x x ⋂=<< 故答案为：(0,2)【点睛】本题考查解不含参的二次不等式，集合的交集运算，属于简单题. 3.当0x >时，函数1()f x x x -=+的值域为________ 【答案】[2,)+∞ 【解析】 【分析】根据基本不等式，求出当0x >时，函数1()2f x x x -=+≥，得到答案.【详解】因为0x >，所以函数1()2f x x x -=+=≥， 当且仅当1x x -=，即1x =时，等号成立. 所以函数1()f x x x -=+的值域为[2,)+∞， 故答案为：[2,)+∞【点睛】本题考查求具体函数的值域，基本不等式求和最小值，属于简单题.4.设{|52U x x =-≤<-或25,}x x <≤∈Z ，2{|2150}A x x x =--=，{3,3,4}B =-，则UAB =__【答案】{5} 【解析】 【分析】先对集合U 进行化简，然后根据集合U 和集合B ，由集合的补集运算计算出UB ，再对集合A 进行化简，然后利用集合的交集运算，得到答案.【详解】集合{|52U x x =-≤<-或25,}x x <≤∈Z ， 所以{}5,4,3,3,4,5U =--- 集合{3,3,4}B =-， 所以{}5,4,5UB =--，集合{}{}2|21503,5A x x x =--==-,所以{}5UAB =，故答案为：{}5.【点睛】本题考查集合的补集和交集运算，属于简单题.5.已知集合{2,1}A =-，{|2}B x ax ==，若A B A ⋃=，则实数a 值集合为________ 【答案】{0,1,2}- 【解析】 【分析】由A B A ⋃=可得B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅进行讨论，得到答案.【详解】因为A B A ⋃=，所以得到B A ⊆， 集合{2,1}A =-，{|2}B x ax == 当B =∅时，0a =，当B ≠∅时，0a ≠，则2B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭所以有22a =-或21a，则1a =-或2a =，综上0a =或1a =-或2a = 故答案为：{0,1,2}-【点睛】本题考查由集合的包含关系求参数的值，属于简单题. 6.满足条件{1,3,5}{3,5,7}{1,3,5,7,9}A =的所有集合A 的个数是________个【答案】16 【解析】 【分析】 先计算{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7=，由结果可知集合A 中应有元素9，然后元素9与集合{}1,3,5,7的子集中的元素一起，构成集合A ，从而得到答案.【详解】因为{1,3,5}{3,5,7}{1,3,5,7,9}A =，而{}{}{}1,3,53,5,71,3,5,7=，所以可得集合A 中一定有元素9，所以元素9与集合{}1,3,5,7的子集中的元素一起，构成集合A ， 而集合{}1,3,5,7的子集有42=16个， 故满足要求的集合A 的个数是16. 故答案为：16.【点睛】本题考查根据集合的运算结果求满足要求的集合个数，根据集合元素个数求子集的个数，属于简单题.7.已知不等式2202x xx a+≤+解集为A ，且2A ∈，3A ∉，则实数a 的取值范围是________【答案】3[,1)2-- 【解析】 【分析】由题意可知，代入2x =可满足不等式，代入3x =则不满足不等式，从而得到关于a 的不等式组，解得a 的取值范围.【详解】因为不等式2202x xx a+≤+解集为A ，且2A ∈，3A ∉，所以可得代入2x =，不等式成立，即2022222a≤+⨯+，解得1a <-，代入3x =，不等式不成立，即2323032a+⨯>+，解得32a >-，且当32a =-时，3x =也不满足不等式， 综上，a 的范围为3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭， 故答案为：3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查根据分式不等式的解集中的元素求参数的范围，属于中档题.8.若函数()f x =a 的取值范围为________【答案】1a > 【解析】 【分析】首先满足函数()f x 的定义域关于原点对称，得到a 的取值范围，再验证此时函数()f x 为偶函数而非奇函数，从而得到答案.【详解】由函数()f x 0a ≥，函数()f x 要为偶函数， 则其定义域需关于原点对称，22100x a x ⎧-≥⎨-≥⎩，解得11x x x ≤-≥⎧⎪⎨≤≤⎪⎩或，1，即1a ≥ 当1a =时，函数()0f x ==。
2021年高二上学期期末数学模拟试卷含解析
2021年高二上学期期末数学模拟试卷含解析一、填空题（共15小题，每小题5分，满分75分）1．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是．2．“x＜﹣1”是“x≤0”条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一）3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2=2py（p＞0）上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为．4．设双曲线的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为．5．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是．（1）若l∥α，l∥β，则α∥β（2）若l⊥α，l∥β，则α∥β（3）若l⊥α，l∥β，则α⊥β（4）若α⊥β，l∥α，则l⊥β6．双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为．7．已知圆C1：（x﹣a）2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x+5=0外切，则a的值为．8．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=2，E为AB的中点，则四面体P﹣BCE的体积为．9．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径之比为1：2，母线长为6cm，则圆锥的母线长为cm．10．椭圆上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为．11．若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x﹣m）2+y2=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB的长度是．12．双曲线C：x2﹣y2=a2的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，，则双曲线C的方程为．13．已知点A（1，2），直线l：x=﹣1，两个动圆均过A且与l相切，其圆心分别为C1，C2，若满足2=+，则M的轨迹方程为．14．如图，已知椭圆C的方程为：（a＞b＞0），B是它的下顶点，F是其右焦点，BF的延长线与椭圆及其右准线分别交于P、Q两点，若点P恰好是BQ的中点，则此椭圆的离心率是．15．直线l与圆x2+y2=1交于P、Q两点，P、Q的横坐标为x1，x2，△OPQ的面积为（O为坐标原点），则x12+x22=．二、解答题（共6小题，满分0分）16．已知p：∀x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．17．已知圆（Ⅰ）若直线l：x+2y﹣4=0与圆C1相交于A，B两点．求弦AB的长；（Ⅱ）若圆C2经过E（1，﹣3），F（0，4），且圆C2与圆C1的公共弦平行于直线2x+y+1=0，求圆C2的方程．（Ⅲ）求证：不论实数λ取何实数时，直线l1：2λx﹣2y+3﹣λ=0与圆C1恒交于两点，并求出交点弦长最短时直线l1的方程．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（，）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．求证：++为定值．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点D 是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1．（Ⅲ）设AB=2AA1，AC=BC，在线段A1B1上是否存在点M，使得BM⊥CB1？若存在，确定点M的位置；若不存在，说明理由．21．已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过两点，P是E上的动点．（1）求|OP|的最大值；（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．xx学年江苏省徐州市沛县歌风中学（如皋办学）高二（上）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（共15小题，每小题5分，满分75分）1．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是∃x∈R，x2+x+1≤0．【考点】命题的否定．【专题】综合题．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：∃x∈R，x2+x+1≤0．故答案为：∃x∈R，x2+x+1≤0．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．2．“x＜﹣1”是“x≤0”充分不必要条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”之一）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分必要条件的定义可判断即可．【解答】解：∵x＜﹣1，x≤0，∴根据充分必要条件的定义可判断：“x＜﹣1”是“x≤0”充分不必要条件故答案为：充分不必要．【点评】本题考查了充分必要条件的定义，属于很容易的题目，难度不大，掌握好定义即可．3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2=2py（p＞0）上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为4．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而利用点A的纵坐标求得点A到准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案．【解答】解：依题意可知抛物线的准线方程为y=点A与抛物线焦点的距离为3，∴纵坐标为1，点A到准线的距离为+1=3，解得p=4．抛物线焦点（0，2），准线方程为y=﹣2，∴焦点到准线的距离为：4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了抛物线的定义的运用．考查了学生对抛物线基础知识的掌握．属基础题．4．设双曲线的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意知b=1，c=，求出a，因为双曲线的焦点在x轴上，由此可知渐近线方程为y=±x即可．【解答】解：由已知得到b=1，c=，a==，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x=±x；故答案为：【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质和运用．考查了同学们的运算能力和推理能力．5．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（3）．（1）若l∥α，l∥β，则α∥β（2）若l⊥α，l∥β，则α∥β（3）若l⊥α，l∥β，则α⊥β（4）若α⊥β，l∥α，则l⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】根据空间中直线与平面各种位置关系的定义、判定、性质即判断．【解答】解：对于（1）：若l∥β，l∥α，则α∥β或者α与β相交，所以（1）错误对于（2）（3）：若l⊥α，l∥β，则α∥β，则α⊥β，故（2）错误，（3）对，对于（4）若α⊥β，l∥α，则l⊥β或l∥β，故（4）错误．故答案为：（3）【点评】本题考查空间线面位置关系，其中熟练掌握空间中直线与平面各种位置关系的定义、判定、性质及几何特征是解答本题的关键．6．双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为．【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点，进而可知双曲线的焦距，根据双曲线的离心率求得m，最后根据m+n=1求得n，则答案可得．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则双曲线的焦距为2，而双曲线的离心率为2，则a=，则有解得m=，n=∴mn=故答案为：．【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征．解题的关键是对圆锥曲线的基本性质能熟练掌握．7．已知圆C1：（x﹣a）2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x+5=0外切，则a的值为8或﹣2．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；直线与圆．【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，利用两圆的圆心距等于两圆的半径之和，列方程解a 的值．【解答】解：由圆的方程得C1（a，0），C2（3，0），半径分别为1和2，两圆相外切，∴|a﹣3|=3+2，∴a=8或﹣2，故答案为：8或﹣2．【点评】本题考查两圆的位置关系，两圆相外切的充要条件是：两圆圆心距等于两圆的半径之和．8．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=2，E为AB的中点，则四面体P﹣BCE的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】根据四棱锥的特点求出三角形BCE的面积，即可根据锥体的体积公式计算体积．【解答】解：∵侧棱PA⊥底面ABCD，∴PA是四面体P﹣BCE的高，∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∴AB=BC=2，∠EBC=120°，∵E为AB的中点，∴BE=1，∴三角形BCE的面积S=，∴四面体P﹣BCE的体积为，故答案为：．【点评】本题主要考查三棱锥的体积的计算，利用条件求出三棱锥的底面积和高是解决本题的关键，要求熟练掌握锥体的体积公式．9．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径之比为1：2，母线长为6cm，则圆锥的母线长为12cm．【考点】棱台的结构特征；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】规律型．【分析】作出圆锥和圆台的轴截面，利用圆台的上、下底面半径之比为1：2，母线长为6cm，建立方程关系，可求圆锥的母线长．方法1：使用相似三角形的性质，建立等式关系．方法2：利用中点的性质，建立等式关系，进行求解即可．【解答】解：方法1：作出圆锥和圆台的轴截面如图：由题意设圆台的上底半径OB=x，下底半径DC=2x，母线BC=6cm，则根据三角形的相似性可知，，即，解得AC=12．方法2：∵圆台的上、下底面半径之比为1：2，∴B为AC的中点，∴AB=BC=6，∴AC=6+6=12（cm），故答案为：12cm．【点评】本题主要考查圆锥和圆台的结构，利用轴截面法是解决本题的关键，比较基础．10．椭圆上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】设它到左焦点的距离是|MF1|，则到右准线距离d，它到右焦点的距离是|MF2|，由椭圆第二定义，求得即e的范围，进而求得e的最小值．【解答】解：设M到直线l的距离为d，根据椭圆的第二定义得=e=，|MF1|=2d，且|MF1|+|MF2|=2a，则|MF1|=2a﹣|MF2|=2a﹣=2d，即d=，2d=．而|MF1|∈（a﹣c，a+c），所以得到，由①得：++2≥0，为任意实数；由②得：+3﹣2≥0，解得≥或≤（舍去），所以不等式的解集为：≥，即离心率e≥，又e＜1，所以椭圆离心率的取值范围是[，1）．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的基本性质．属基础题．11．若⊙O1：x2+y2=5与⊙O2：（x﹣m）2+y2=20（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB的长度是4．【考点】圆的标准方程；两条直线垂直的判定．【专题】压轴题．【分析】画出草图，O1A⊥AO2，有勾股定理可得m的值，再用等面积法，求线段AB的长度．【解答】解：由题O1（0，0）与O2：（m，0），O1A⊥AO2，，∴m=±5AB=故答案为：4【点评】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题．12．双曲线C：x2﹣y2=a2的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A、B两点，，则双曲线C的方程为．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=4，即可求得结论．【解答】解：∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴ =4．∴抛物线的准线方程为x=﹣4．设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y＞0），则|AB|=|y﹣（﹣y）|=2y=4，∴y=2．将x=﹣4，y=2代入双曲线C：x2﹣y2=a2，得（﹣4）2﹣（2）2=a2，∴a2=4∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=4，即．故答案为：．【点评】本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．13．已知点A（1，2），直线l：x=﹣1，两个动圆均过A且与l相切，其圆心分别为C1，C2，若满足2=+，则M的轨迹方程为（y﹣1）2=2x﹣．【考点】轨迹方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x+2，利用2=+，确定坐标之间的关系，即可求出M的轨迹方程．【解答】解：由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x+2，设C1（a，b），C2（m，n），M（x，y），则∵2=+，∴2（x﹣m，y﹣n）=（a﹣m，b﹣n）+（1﹣m，2﹣n），∴2x=a+1，2y=b+2，∴a=2x﹣1，b=2y﹣2，∵b2=4a+2，∴（2y﹣2）2=4（2x﹣1）+2，即（y﹣1）2=2x﹣．故答案为：（y﹣1）2=2x﹣．【点评】本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定坐标之间的关系是关键．14．如图，已知椭圆C的方程为：（a＞b＞0），B是它的下顶点，F是其右焦点，BF的延长线与椭圆及其右准线分别交于P、Q两点，若点P恰好是BQ的中点，则此椭圆的离心率是．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据B，F点坐标可知直线BP的方程，进而根据P恰好是BQ的中点求得P点横坐标，代入直线方程后求得P点纵坐标代入椭圆方程即可求得a和c的关系，进而求得椭圆的离心率．【解答】解：依题意可知直线BP的方程为y=x﹣b，∵P恰好是BQ的中点，∴x p=，∴y p=b（﹣1）代入椭圆方程得+（﹣1）2=1，解得=，∴椭圆的离心率为=，故答案为．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．15．直线l与圆x2+y2=1交于P、Q两点，P、Q的横坐标为x1，x2，△OPQ的面积为（O为坐标原点），则x12+x22=1．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】当直线l斜率存在时，设直线方程为y=kx+b，联立方程由韦达定理可得x1+x2=，x1x2=，由三角形的面积可得∠POQ=90°，进而可得•=0，可得2b2=k2﹣1，代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，化简可得．【解答】解：当直线l斜率存在时，设直线方程为y=kx+b，和圆的方程联立消y并整理得（1+k2）x2+2kbx+b2﹣1=0，由韦达定理可得x1+x2=，x1x2=，∵△OPQ的面积为，∴×1×1×sin∠POQ=，∴sin∠POQ=1，∠POQ=90°，∴•=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2=（1+k2）+kb+b2=0，化简可得2b2=k2﹣1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==1验证可得当直线斜率不存在时，仍有x12+x22=1故答案为：1【点评】本题考查直线和圆的位置关系，涉及三角形的面积公式和韦达定理以及向量的垂直，属中档题．二、解答题（共6小题，满分0分）16．已知p：∀x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．【考点】椭圆的简单性质；复合命题的真假；函数恒成立问题．【专题】计算题．【分析】通过不等式恒成立求出p中m的范围；椭圆的焦点在x轴上求出m的范围，利用命题p∧q为真命题，求出m的交集即可．【解答】解：∵p：∀x∈R，不等式恒成立，∴（x﹣）2+，即，解得：；q：椭圆的焦点在x轴上，∴m﹣1＞3﹣m＞0，解得：2＜m＜3，由p∧q为真知，p，q皆为真，解得．【点评】本题考查不等式恒成立问题，椭圆的简单性质，命题的真假的判断，是综合性比较高的问题，考查转化思想以及计算能力．17．已知圆（Ⅰ）若直线l：x+2y﹣4=0与圆C1相交于A，B两点．求弦AB的长；（Ⅱ）若圆C2经过E（1，﹣3），F（0，4），且圆C2与圆C1的公共弦平行于直线2x+y+1=0，求圆C2的方程．（Ⅲ）求证：不论实数λ取何实数时，直线l1：2λx﹣2y+3﹣λ=0与圆C1恒交于两点，并求出交点弦长最短时直线l1的方程．【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（Ⅰ）通过圆心到直线的距离，半径，半弦长满足勾股定理，求出弦AB的长；（Ⅱ）法一：设出圆C2的方程，利用直线的平行的充要条件，以及圆经过的两个点得到方程组求法即可．法二：设出圆心坐标，利用圆经过的两个点距离相等，圆心的连线与弦长所在直线垂直，列出方程组即可求出圆的方程．（Ⅲ）求出直线l1：2λx﹣2y+3﹣λ=0恒过的定点在圆C1内，判断弦长最短时直线l1的斜率，然后求出方程．【解答】解：（Ⅰ）圆化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=9，圆心坐标（1，2），半径为：r=3．圆心到直线l的距离，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，圆心到直线的距离d，半径r，半弦长满足勾股定理，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）解法一：设圆C2的一般方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则公共弦所在的直线方程为：（D+2）x+（E+2）y+F=0，所以，即D=2E+6﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又因为圆C2经过E（1，﹣3），F（0，4），所以﹣﹣﹣所以圆C2的方程为x2+y2+6x﹣16=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解法二：设圆C2的圆心C2的坐标为（a，b），则有﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣设圆C2的半径所以圆C2的方程为（x+3）2+y2=25﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）将直线l1：2λx﹣2y+3﹣λ=0方程整理为：λ（2x﹣1）﹣（2y﹣3）=0对于λ∈R恒成立，所以，即直线l1恒过定点，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由圆心C1（1，2），半径为1．恒在圆C1内，所以不论实数λ取何实数时，直线l1：2λx﹣2y+3﹣λ=0与圆C1恒交于两点﹣﹣﹣﹣﹣直线l1与圆C1恒交点弦长最短时，l1⊥PC1，直线l1的斜率为k1=﹣1所以直线l1的方程为x+y﹣2=0，即为所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查圆的方程的求法圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．【考点】直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO∥PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA∥平面MDB．（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．【点评】本题主要考查了线面平行的判定和线面垂直的判定．判定的关键是先找到到线线平行，线线垂直．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（，）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．求证：++为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（I）把（1，1）与（，）两点代入椭圆方程解出即可．（II）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点；同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点；直接代入计算即可．②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），则直线OM的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆的方程联立解出坐标，即可得到=，同理，代入要求的式子即可．【解答】解析（Ⅰ）将（1，1）与（，）两点代入椭圆C的方程，得解得．∴椭圆PM2的方程为．（Ⅱ）由|MA|=|MB|，知M在线段AB的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A、B关于原点对称．①若点A、B是椭圆的短轴顶点，则点M是椭圆的一个长轴顶点，此时=．同理，若点A、B是椭圆的长轴顶点，则点M在椭圆的一个短轴顶点，此时=．②若点A、B、M不是椭圆的顶点，设直线l的方程为y=kx（k≠0），则直线OM的方程为，设A（x1，y1），B（x2，y2），由解得，，∴=，同理，所以=2×+=2，故=2为定值．【点评】本小题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点D 是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1．（Ⅲ）设AB=2AA1，AC=BC，在线段A1B1上是否存在点M，使得BM⊥CB1？若存在，确定点M的位置；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；图表型；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（I）先证明CC1⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，可证AC⊥平面BCC1B1，从而可证AC⊥BC1．（Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，可证DE∥AC1．即可判定AC1∥平面CDB1．（Ⅲ）可证AA1⊥CD，CD⊥AB，从而证明CD⊥平面AA1B1B，取线段A1B1的中点M，连接BM．可证CD⊥BM，BM⊥B1D，即可证明BM⊥平面B1CD，从而得证BM⊥CB1．【解答】（本小题满分14分）证明：（I）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为CC1⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，所以CC1⊥AC．又AC⊥BC，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1．而BC1⊂平面BCC1B1，则AC⊥BC1．…（Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，因为D是AB的中点，E是BC1的中点，所以DE∥AC1．因为DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1．…（Ⅲ）在线段A1B1上存在点M，使得BM⊥CB1，且M为线段A1B1的中点．证明如下：因为AA1⊥底面ABC，CD⊂底面ABC，所以AA1⊥CD．由已知AC=BC，D为线段AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，所以CD⊥平面AA1B1B．取线段A1B1的中点M，连接BM．因为BM⊂平面AA1B1B，所以CD⊥BM．由已知AB=2AA1，由平面几何知识可得BM⊥B1D．又CD∩B1D=D，所以BM⊥平面B1CD．又B1C⊂平面B1CD，所以BM⊥CB1．…【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定和性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．21．已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过两点，P是E上的动点．（1）求|OP|的最大值；（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，求证：直线MA与直线MB的倾斜角互补．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设椭圆E的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），将代入椭圆E的方程，求得m，n即可；（2）因为直线l平行于OM，且在y轴上的截距为b，所以可得直线l的方程为．与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系，利用直线的斜率公式即可证明结论．【解答】解：（1）设椭圆E的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）将代入椭圆E的方程，得解得，所以椭圆E的方程为，设点P的坐标为（x0，y0），则．又P（x0，y0）是E上的动点，所以，得，代入上式得，故y0=0时，|OP|max=．|OP|的最大值为．（2）因为直线l平行于OM，且在y轴上的截距为b，又，所以直线l的方程为．由得x2+2bx+2b2﹣4=0，设A（x1，y1）、B（x2，y2），则．又，，故=．又，所以上式分子==故k1+k2=0．所以直线MA与直线MB的倾斜角互补．【点评】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线斜率计算公式与直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．37396 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高二数学(上)期末模拟试卷带解析(2021年整理)
高二数学(上)期末模拟试卷带解析(word版可编辑修改)高二数学(上)期末模拟试卷带解析(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高二数学(上)期末模拟试卷带解析(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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12高二数学（上）期末理科试卷考试范围：必修二，选修2-1；考试时间：120分钟;学校：___________姓名：___________班级:___________第I 卷（选择题）评卷人得分一、单选题（本大题共12道小题，每小题5分,共60分）1．抛物线22x y =-的焦点坐标是（ )A 。
10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D 。
10,4⎛⎫⎪⎝⎭2．若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则实数m 等于( ）A. B 。
32 C.85 D. 233．已知命题π:2P x ∃≥, sin 1x >，则p ⌝为（ ）．A. π2x ∀≥， sin 1x ≤ B 。
π2x ∀<， sin 1x ≤C. π2x ∃≥, sin 1x ≤D. π2x ∃<， sin 1x ≤4．已知双曲线C ： 22221x y a b-=（0a >， 0b >）的离心率为2,则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A 。
3y x = B. 3y x =± C 。
5．已知m ,n 是两条不同的直线，α,β,γA. 若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB. 若m ∥n ,m ⊂α,n ⊂β，则α∥βC 。
2020-2021学年高二上册数学期末数学试卷(文科)带答案
2020-2021学年高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.)1. 命题“对任意的x∈R，x3−2x+1≤0”的否定是（）A.不存在x∈R，x3−2x+1≤0B.存在x∈R，x3−2x+1≤0C.存在x∈R，x3−2x+1>0D.对任意的x∈R，x3−2x+1>02. “p或q为真”是“非p为假”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 若=a+bi(a, b∈R)，则a2019+b2020＝（）A.−1B.0C.1D.24. 与双曲线的焦点相同，且长轴长为的椭圆的标准方程为（）A. B. C. D.5. 已知函数f(x)＝x3−2x2，x∈[−1, 3]，则下列说法不正确的是（）A.最大值为9B.最小值为−3C.函数f(x)在区间[1, 3]上单调递增D.x＝0是它的极大值点6. 双曲线x2a2−y23=1(a>0)有一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则双曲线的渐近线方程为（）A.y＝±12x B.y＝±2x C.y＝±√33x D.y＝±√3x7. 函数y＝x cos x−sin x在下面哪个区间内是减函数（）A. B.(π, 2π) C.D.(2π, 3π)8. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）A.f(e)<f(π)<f(2.7)B.f(π)<f(e)<f(2.7)C.f(e)<f(2.7)<f(π)D.f(2.7)<f(e)<f(π)9. 已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l:3x −4y =0交椭圆E 于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A.(0, √32] B.(0, 34]C.[√32, 1)D.[34, 1)10. 已知函数f(x)＝ax 3−3x 2+1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是（ ） A.(2, +∞) B.(−∞, −2)C.(1, +∞)D.(−∞, −1)11. 如图所示点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆x 2+y 2−4x −12＝0的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是( )A.(6, 10)B.(8, 12)C.[6, 8]D.[8, 12]12. 设f(x)是定义在R 上的函数，其导函数为f′(x)，若f(x)−f′(x)<1，f(0)＝2021，则不等式f(x)>2020⋅e x +1（e 为自然对数的底数）解集为（ ） A.(−∞, 0)∪(0, +∞) B.(2020, +∞)C.(0, +∞)D.(−∞, 0)∪(2020, +∞)二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）)13. 已知复数z=11+i+i（i为虚数单位），则|z|＝________．14. 命题“∃x0∈R，满足不等式”是假命题，则m的取值范围为________．15. 如图所示，抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需要用一支柱支撑，则其中最长的支柱的长度为________米．16. 已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)(x−a)，若f(x)在x=a处取到极大值，则a的取值范围是________．三、解答题（共6小题，共70分）)17. （1）已知椭圆的离心率为，点(2，）在C上．求椭圆C的方程； 17.（2）求与椭圆4x2+5y2＝20有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程．18. 设关于x的不等式x2≤5x−4的解集为A，不等式x2−(a+2)x+2a≤0(a≥2)的解集为B．（1）求集合A，B；（2）若x∈A是x∈B的必要条件，求实数a的取值范围．19. 已知m∈R，命题p：方程x2m−1+y27−m=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：“方程x2+y2−2x+(2m−6)y+m2−14m+26＝0表示圆心在第一象限的圆”．（1）若命题p是真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p和q均为假命题，求实数m的取值范围．20. 函数．（1）求曲线y＝f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程；（2）求f(x)在区间上的最大值．21. 已知中心在原点的椭圆的一个焦点为F1(3, 0)，点M(4, y)(y>0)为椭圆上一点，△MOF1的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A、B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．22. 已知f(x)=ax−ln x，x∈(0, e],g(x)=ln x，其中e是自然常数，a∈R．x（1）讨论a=1时，函数f(x)的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f(x)>g(x)+1；2（3）是否存在实数a使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1.【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特称命题，任意改存在，结论否定，写出对应的命题即可．2.【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．3.【答案】D【解析】化简复数，利用复数的相等即可得出a，b．再进行乘方运算即可．4.【答案】B【解析】求出双曲线的半焦距，利用椭圆长轴长，求解短半轴的长，即可得到椭圆方程．5.【答案】C【解析】对f(x)求导，分析f′(x)的正负，进而得f(x)的单调区间，极值可判断C错误，D正确，再计算出极值，端点处函数值f(1)，f(3)，可得函数f(x)的最大值，最小值，进而可判断A正确，B正确．6.【答案】D【解析】求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的几何性质求解渐近线方程即可．7.【答案】D【解析】分析知函数的单调性用三角函数的相关性质不易判断，易用求其导数的方法来判断其在那个区间上是减函数．8.【答案】D【解析】求出函数的导数，得到函数的单调性求出答案即可．9.【答案】A【解析】如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取M(0, b)，由点M到直线l的距离不小于45，可得√32+42≥45，解得b≥1．再利用离心率计算公式e=ca=√1−b2a2即可得出．10.【答案】B【解析】(i)当a＝0时，f(x)＝−3x2+1，令f(x)＝0，解得x＝±√33，两个解，舍去．(ii)当a≠0时，f′(x)＝3ax2−6x＝3ax(x−2a )，令f′(x)＝0，解得x＝0或2a．对a分类讨论：①当a<0时，由题意可得关于a的不等式组；②当a>0时，推出极值点不满足题意，推出结果即可．11.【答案】B【解析】由抛物线定义可得|AF|＝x A+2，从而△FAB的周长＝|AF|+|AB|+|BF|＝x A+2+(x B−x A)+4＝6+x B，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．12.【答案】C【解析】构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，转化求解不等式的解集即可．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】√22【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．14.【答案】[−4, 4]【解析】利用含有一个量词的命题的否定，将命题转化为“∀x∈R，x2+mx+4≥0”是真命题，然后利用一元二次不等式恒成立求解即可．15.【答案】【解析】先建立适当坐标系，设抛物线方程为x2＝−2py(p>0)，把点B(10, −4)代入抛物线方程，求得p，得到抛物线方程，进而把x＝2代入抛物线方程求得y，可得最高支柱的高度．16.【答案】(−1, 0)【解析】讨论a的正负，以及a与−1的大小，分别判定在x=a处的导数符号，从而确定是否在x=a处取到极大值，从而求出所求．三、解答题（共6小题，共70分）17.【答案】由已知可得：，解得a＝2，所以椭圆C的方程为；已知椭圆的标准方程为：，所以c＝，则其焦点坐标分别为(−1, 0)，5)，当抛物线的焦点坐标为(1, 0)时，此时抛物线开口向右5＝4x，当抛物线的焦点坐标为(−1, 8)时，此时抛物线开口向左2＝−4x，综上，抛物线的方程为：y4＝±4x．【解析】（1）根据已知建立等式关系即可求解；（2）先求出椭圆的焦点坐标，然后对抛物线的开口方向讨论即可求解．18.【答案】不等式x2≤5x−8，化为x2−5x+8≤0，因式分解为(x−1)(x−3)≤0，解得1≤x≤6，∴解集A＝[1, 4]；不等式x3−(a+2)x+2a≤5，化为(x−2)(x−a)≤0，当a>2时，解集M＝[2；当a＝2时，解集M＝{6}；综上，不等式x2−(a+2)x+8a≤0(a≥2)的解集B＝{x|5≤x≤a}．∵x∈A是x∈B的必要条件，∴B⊆A，∴2≤a≤4，∴实数a的取值范围是[3, 4]．【解析】先求解二元一次不等式解集，再根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．19.【答案】方程x 2m−1+y27−m=1表示焦点在y轴上的椭圆，可得7−m>m−1>0，解得1<m<4，则命题p是真命题，实数m的取值范围为(1, 4)；方程x2+y2−2x+(2m−6)y+m2−14m+26＝0表示圆心在第一象限的圆，可得3−m>0且4+(2m−6)2−4(m2−14m+26)>0，即m<3且m>2，解得2<m<3，命题p和q均为假命题，可得{m≥4m≤1m≥3m≤2，解得m≥4或m≤1．则m的取值范围是(−∞, 1]∪[4, +∞)．【解析】（1）由方程表示焦点在y轴的椭圆可得7−m>m−1>0，可得所求范围；（2）由方程表示圆心在第一象限的圆，可得3−m>0且4+(2m−6)2−4(m2−14m+26)>0，解不等式可得m的范围，再由p，q均为假命题可得m的不等式组，解不等式可得所求范围．20.【答案】f(x)＝+ln，x∈(0，所以f′(x)＝-+＝，x∈(0．因此f′(2)＝，即曲线y＝f(x)在点(7．又f(2)＝ln2−，所以曲线y＝f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程为y−(ln2−(x−2)，即x−4y+3ln2−4＝5．因为f′(x)＝-+＝，x∈(6，所以函数f(x)在(0, 1)上减少，+∞)上增加．所以函数f(x)在区间）或f(e)其中，f（，f(e)＝，【解析】（1）求出函数的导数，求解切线的斜率，求解切线方程即可．（2）判断函数的单调性，然后转化求解函数的最大值即可．21.【答案】由MOF1的面积为，则，得y＝1，5)，又点M在椭圆上，①因为F1是椭圆的焦点，所以a5＝b2+9②由①②解得：a2＝18，b2＝9，所以椭圆的方程为：；假设存在直线l满足题意，因为OM的斜率k＝，设l的方程为y＝，联立方程组，整理得9y5−16my+8m2−8＝0，△＝(16m)2−5×9×(8m4−9)>0，解得m，设A，B两点的坐标为(x7, y1)，(x2, y7)，则y，y，以AB为直径的圆的方程为(x−x1)(x−x2)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)(y−y5)＝0，该圆经过原点，所以x1x4+y1y2＝3，又x1x2＝(5y1−4m)(7y2−4m)＝16y，所以x1x2+y1y2＝17y6y2−16m(y1+y4)+16m2＝，解得m＝，经检验满足题意，所以存在直线l满足题意，此时直线l的方程为y＝．【解析】（1）由已知三角形的面积即可求出点M的纵坐标，把点M的坐标代入椭圆方程再由a，b，c的关系即可求解；（2）先假设存在，然后由OM的斜率设出直线l的方程，联立直线l与椭圆的方程，利用韦达定理以及以AB为直径的圆过原点满足的等式即可求解．22.【答案】解：（1）因为f(x)=x−ln x,f′(x)=1−1x =x−1x，所以当0<x<1时，f′(x)<0，此时函数f(x)单调递减．当1<x≤e时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的极小值为f(1)=1．（2）因为函数f(x)的极小值为1，即函数f(x)在(0, e]上的最小值为1．又g′(x)=1−ln xx2，所以当0<x<e时，g′(x)>0，此时g(x)单调递增．所以g(x)的最大值为g(e)=1e <12，所以f(x)min−g(x)max>12，所以在（1）的条件下，f(x)>g(x)+12．（3）假设存在实数a，使f(x)=ax−ln x，x∈(0, e]，有最小值3，则f′(x)=a−1x=ax−1x，①当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0, e]上单调递减，f(x)min=f(e)=ae−1=3，a=4e，（舍去），此时函数f(x)的最小值不是3．②当0<1a <e时，f(x)在(0, 1a]上单调递减，f(x)在(1a, e]上单调递增．所以f(x)min=f(1a)=1+ln a=3，a=e2，满足条件．③当1a ≥e时，f(x)在(0, e]上单调递减，f(x)min=f(e)=ae−1=3，a=4e，（舍去），此时函数f(x)的最小值是不是3．综上可知存在实数a=e2，使f(x)的最小值是3．【解析】（1）当a=1时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性．（2）利用（1）的结论，求函数f(x)的最小值以及g(x)的最大值，利用它们之间的关系证明不等式．（3）利用导数求函数的最小值，让最小值等于3，解参数a．试卷第11页，总11页。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.如果复数（其中为虚数单位），那么（即的虚部）为__________。
2.在二项式的展开式中，含的项的系数是（用数字作答）.3.顶点在原点，以轴为对称轴且经过点的抛物线的标准方程为___________．4.双曲线的一个焦点是，则的值是__________．5.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。
则双曲线的方程为。
6.某年级共有210名同学参加数学期中考试，随机抽取10名同学成绩如下：则总体标准差的点估计值为（结果精确到0.01）.7.某展室有9个展台，现有3件不同的展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；8.把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），则无空盒的概率为________.9.若且，则的最大值是_______.10.如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。
已知镜口圆的直径为12米,镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，则每根铁筋的长度为________米.11.△ABC的三个顶点A、B、C到平面的距离分别为2 c m、3 cm、4 cm，且A,B,C在平面的同侧，则△ABC的重心到平面的距离为___________。
12.过点且与双曲线只有一个公共点的直线有条。
13.△ABC的三边长分别是3,4,5,P为△ABC所在平面外一点,它到三边的距离都是2,则P到的距离为_________.14.如图，平面⊥平面，∩=，DA，BC，且DA⊥于A，BC⊥于B，AD=4，BC=8，AB=6，在平面内不在上的动点P，记PD与平面所成角为，PC与平面所成角为，若，则△PAB的面积的最大值是。
2020-2021年人教版高二上册数学期末数学试卷带答案
2020-2021学年高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）)1. 复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于直线y ＝x 对称，且z 1＝3+2i ，则z 2＝________．2. 复数a−2i 1+2i （i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为________．3. 抛物线x 2＝16y 的准线方程是________．4. 已知复数z ＝2+4i ，其中i 是虚数单位，，则|ω|＝________．5. 设E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC ⊥BD ，则四边形EFGH 的形状是________．6. 直线l 与抛物线y 2＝4x 交于两点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，O 为坐标原点，若，则x 1x 2＝________．7. 已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2+2y 2=2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→+PF 2→|的最小值是________．8. 设F 1，F 2是双曲线x 25−y 24=1的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且|PF 1|:|PF 2|＝2:1，则△PF 1F 2的面积等于________9. 已知矩形ABCD 的边AB =a ，BC =2，PA ⊥平面ABCD ，PA =2，现有以下五个数据：(1)a =12；(2)a =1；(3)a =√3；(4)a =2；(5)a =4. 当在BC 边上存在点Q ，使PQ ⊥QD 时，则a 可以取________．（填上一个正确的数据序号即可）10. 在所有经过正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的任意两个顶点的直线中任取k 条，求这k 条直线恰是两两异面，则k 的最大值为________．11. 在平面几何里，有勾股点了“设△ABC的两边AC，AB互相垂直，则AB2+AC2＝BC2．”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，若三棱锥A−BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两类互相垂直，则有________．=1的右支上一点P，分别向圆C1：(x+4)2+y2=4和圆C2：12. 过双曲线x2−y215(x−4)2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2−|PN|2的最小值为________．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每题5分）)13. “a>0，b>0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A.充要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件14. 已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则（）A.β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B.β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C.β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D.β内必存在直线与m平行，却不一定存在直线与m垂直15. 正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，BC，CD，BB1的中点，则下列结论正确的是（）A.B1G // EFB.A1H⊥EFC.B1G与AE相交D.平面AEF∩平面AA1D1D＝AD116. 已知直线l：x+y+2＝0与椭圆Γ：＝1交于A，B两点，直线l1与椭圆T交于M，N两点，有下列直线l1：①x−y−2＝0；②x+y−2＝0；③x+y−2＝0；④x−y+2＝0，其中满足△OAB与△OMN的面积相等的直线l1可以是（）A.①②③B.①③④C.②③④D.①②③④三、解答题（本大题共5小题，满分35分）)17. 已知复数z1，z2是实系数一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根，且复数z1在复平面内对应的点在第一象限，若z1+2z2＝12−3i，其中i是虚数单位．（1）求复数z1，z2；（2）若复数z满足|z|＝1，求|z−z1|的最大值和最小值．18. 唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点A(3, 0)处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝4，并假定将军只要到达军营孙在区域即为回到军营．（1）若军营所在区域为Ω:x2+y2≤2，求“将军饮马”的最短总路程；（2）若军营所在区域为Ω:|x|+2|y|≤2，求“将军饮马”的最短总路程．19. 如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的边长为1，点P在底面ABCD（含边界）内运动．（1）证明：BD⊥平面AA1C1C；（2）若A1P和A1B与平面ABCD所成的角相等，求点P的轨迹长度．20. 已知直线l:x＝my+1过椭圆的右焦点F，且直线l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线l′:x＝4上的射影依次为点D，K，E．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l交y轴于点M，且，当m变化时，探究λ1+λ2的值是否为定值？若是，求出λ1+λ2的值；否则，说明理由；（3）连接AE，BD，试探究当m变化时，直线AE与BD是否相交于顶点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．21. 已知平面内到定点A(1, 0)的距离与到定直线x=−1的距离之和为3的动点M的轨迹是Γ，（1）求曲线Γ与x轴的交点P的坐标；（2）求曲线Γ的方程；（3）设B(a, 1)（a为常数），求|MA|+|MB|的最小值d(a)．参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.【答案】2+3i【解析】直接利用对称知识求出复数的代数形式即可．2.【答案】4【解析】化简复数为a +bi(a, b ∈R)，然后由复数的实部等于零且虚部不等于0求出实数a 的值． 3.【答案】y ＝−4【解析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可．4.【答案】【解析】求出，求出ω，从而求出|ω|的值即可．5.【答案】矩形【解析】利用三角形中位线定理可得四边形EFGH 是平行四边形．根据AC ⊥BD ，可得EF ⊥EH ．即可判断出四边形EFGH 的形状是矩形．6.【答案】4【解析】把点的坐标代入方程，结合向量的数量积化简求解即可．7.【答案】2【解析】求出椭圆的a ，b ，运用中点的向量表示，得到|PF 1→+PF 2→|=2|PO →|，再设P(x, y)，运用椭圆方程，以及二次函数的值域即可得到最小值．【答案】12【解析】先由双曲线的方程求出|F 1F 2|＝6，再由|PF 1|:|PF 2|＝2:1，求出|PF 1|，|PF 2|，由此转化求出△PF 1F 2的面积．9.【答案】(1)或(2)【解析】根据三垂线定理结合PQ ⊥QD ，可得PQ 在底面的射影AQ 也与QD 垂直，由此可得平面ABCD 内满足条件的Q 点应在以AD 为直径的圆上，得出a ≤1即可选出正确选项． 10.【答案】4个【解析】根据异面直线的判断方法，结合正方体的结构特征即可判断．11.【答案】S △ABC 2+S △ACD 2+S △ABD 2＝S △BCD 2【解析】由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得结果．12.【答案】13【解析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x 2−y 215=1的左右焦点为F 1(−4, 0)，F 2(4, 0)，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每题5分）13.【答案】C【解析】直接利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法结合椭圆标准方程得答案． 14.【答案】C【解析】作两个相交平面，交线为n ，使直线m ⊥α，然后利用反证法说明，假设β内一定存在直线a 与m 平行，根据面面垂直的判定定理证明α⊥β，这与平面α与平面β相交不一定垂直矛盾，然后根据线面垂直的性质说明β内必存在直线与m 垂直，从而证得结论． 15.【答案】【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，不妨取AD＝2．A．B1G与EF为异面直线，即可判断出正误；B．计算•与0比较，即可判断出正误；C．根据GE // DC1，DC1 // AB1，可得四边形AB1EG为梯形，即可判断出正误；D．连接BC1，可得BC1 // EF，于是EF // AD1，即可判断出正误．16.【答案】B【解析】根据于椭圆具有轴对称和中心对称的性质，经过平移和旋转即可求出直线l1的方程．三、解答题（本大题共5小题，满分35分）17.【答案】设z1＝a+bi，则z2＝a−bi(a>5, b>0)，由z1+5z2＝12−3i，得(a+bi)+4(a−bi)＝3a−bi＝12−3i，∴3a＝12，b＝3，b＝3．∴z8＝4+3i，z7＝4−3i；满足|z|＝5的复数z在以原点为圆心，以1为半径的圆上，而，∴|z−z1|的最大值为4，最小值为4．【解析】（1）设z1＝a+bi，则z2＝a−bi(a>0, b>0)，代入z1+2z2＝12−3i，整理后利用复数相等的条件列式求得a与b的值，则z1，z2可求；（2）满足|z|＝1的复数z在以原点为圆心，以1为半径的圆上，求出|z1|，则|z−z1|的最大值和最小值即可．18.【答案】若军营所在区域为Ω:x2+y4≤2，作图如下：设将军饮马点为P，到达营区点为B，则总路程|PB|+|PA|＝|PB|+|PA′|，要使得路程最短，只需要|PB|+|PA′|最短，即点A′到军营的距离最短，即点A′到x2+y5≤2的最短距离，为|OA′|−＝-若军营所在区域为Ω:|x|+2|y|≤2，作图如下：联立，解得x＝4，即B(2，所以点A′到区域Ω最短距离|A′B|＝＝，【解析】设点A(3, 0)关于直线x+y＝4的对称点为A′(a, b)，由对称性，解得A′(4, 1)，作出可行域，结合图形，即可解得答案．19.【答案】证明：连接AC，由正方体的几何特征，得AC⊥BD，AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，又AA3∩AC＝A，所以BD⊥平面AA1C1C．A7B与平面ABCD所成的角为∠A1BA，A1P与平面ABCD所成的角为∠A2PA，所以tan∠A1BA＝tan∠A1PA，即＝，所以AB＝AP，所以点P的轨迹为，以A为圆心AB为半径的圆的，所以点P的轨迹长度为×7π×1＝．【解析】（1）连接AC，结合正方体的几何特征，得AC⊥BD，AA1⊥平面ABCD，再由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面AA1C1C．（2）连接A1P，根据题意可得tan∠A1BA＝tan∠A1PA，推出AB＝AP，点P的轨迹为，以A为圆心AB为半径的圆的，进而可得点P的轨迹长度．20.【答案】易知椭圆的右焦点为F(1, 0)，所以c＝3，抛物线x2＝4的焦点坐标为(0，），所以b＝，a2＝b2+c2＝3+1＝5，所以椭圆C的方程为+＝1．易知，m≠7，-），设直线l交椭圆于A(x1, y2)，B(x2, y2)，由，得(5m2+4)y7+6my−9＝7，所以△＝(6m)2+36(8m2+4)＝144(m3+1)>0，所以y2+y2＝-，y5y2＝-，又由＝λ4，所以(x1，y1+）＝λ1(1−x7, −y1)，所以λ1＝−4−，同理λ2＝−1−，所以λ1+λ2＝−7−（+），因为+＝＝-）＝，所以λ4+λ2＝−2−（+）＝−2−•，所以λ1+λ3的值为-．由（2）知A(x8, y1)，B(x2, y3)所以D(4, y1)，E(6, y2)，所以直线AE方程为：y−y2＝(x−4)，当x＝时，y＝y2+（-＝＝＝＝6，所以点N（，5)在直线AE上，同理可证，点N（，所以m变化时，直线AE与直线BD相交于定点（．【解析】（1）根据题意可得c＝1，有抛物线x2＝4的焦点坐标得b，计算出a2＝b2+c2＝4，进而可得椭圆C的方程为．（2）根据题意可得l与y轴的交点为M(0，-），设A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立直线l与椭圆的方程，得关于x的一元二次方程，结合韦达定理可得y1+y2，y1y2，用坐标表示＝λ1，得λ1＝−1−，同理λ2＝−1−，再计算化简λ1+λ2即可得出答案．（3）由（2）知A(x1, y1)，B(x2, y2)，进而可得D(4, y1)，E(4, y2)，写出直线AE方程，再把x＝代入，得y＝0，推出点N（，0)在直线AE上，同理可证，点N（，0)也在直线BD上，进而得出结论．21.【答案】设点M坐标为(x, y)，因为动点M到定点A(1, 0)的距离到定直线x=−1的距离之和为3，所以√(x−1)2+y2+√(x+1)2=3，当y=0时，代入求得x=±32，所以曲线Γ与x轴的交点P的坐标(±32, 0)；由（1）知曲线Γ方程为√(x−1)2+y2+√(x+1)2=3，当x<−4时，因为|x+1|>3，无轨迹，当−4≤x≤−1时，化为√(x−1)2+y2=x+4，化为y2=10x+15(−32≤x≤−1)，当x>−1时，化为为√(x−1)2+y2=2−x，化为y2=−2x+3(−1<x≤32)，综上可得，曲线方程为y2=10x+15(−32≤x≤−1)，或y2=−2x+3(−1<x≤32)，当−32≤x≤−1时，曲线Γ化为y2=10x+15，当−1<x≤32时，曲线Γ化为y2=−2x+3，令y=1则10x+15=1或−2x+3=1，解得x=−1.4或x=1，①当a≤1.4或a≥1时，MB+MA≥BA，所以d(a)=|AB|=√(a−1)2+1=√a2−2a+2，②当−1<a<1时，当直线y=1与y2=−2x+3(−1<x≤32)相交时，交点M满足MB+MA取得最小值，因为抛物线准线方程为x=2，所以直线y=1与准线交点坐标为(2, 1)，此时d(a)=2−a ，③当−1.4<a ≤−1时，当直线y =1与y 2=10x +15(−32≤x ≤−1)相交时， 交点M 满足MB +MA 取得最小值，此时抛物线准线的方程为形，所以y =1与准线交点坐标为(−4, 1)，此时d(a)=a +4，综上所述d(a)={√a 2−2a +2，a ≤−1.4或a ≥1a +4,−1.4<a ≤−12−a,−1<a <1． 【解析】（1）设点M 坐标为(x, y)，根据题意可得√(x −1)2+y 2+√(x +1)2=3，令y =0，求得x ，即可得出答案．（2）分类当x <−4时，当−4≤x ≤−1时，当x >−1时，讨论曲线Γ方程．（3）通过分类讨论，在不同范围内，由曲线方程的意义求得最小值．。
2020-2021学年高二上册数学期末数学试卷(理科)含答案
2020-2021学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）)1. 直线y＝x+1的倾斜角是（）A. B. C. D.2. 命题“∀a∈R，a2>0或a2＝0”的否定形式是（）A.∀a∈R，a2≤0B.∀a∈R，a2≤0或a2≠0C.∃a0∈R，a02≤0或a02≠0D.∃a0∈R，a02<03. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线的斜率为12，则该双曲线的离心率为（）A.√3B.√5C.2D.√52 4. 平行线3x+4y−9=0和6x+my+2=0的距离是()A.8 5B.2C.115D.755. 直线ax−y−2a−1＝0与x2+y2−2x−1＝0圆相切，则a的值是（）A.2B.C.1D.6. 已知P是直线x+2y−1＝0上的一个动点，定点M(1, −2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是（）A.x+2y+1＝0B.2x−y+1＝0C.x+2y+7＝0D.2x−y+7＝07. 若条件p:|x−1|≤1，条件q:x≤a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A.a≥2B.a≤2C.a≥−2D.a≤−28. 过抛物线y2＝6x的焦点作一条直线与抛物线交于A(x1, y1)，B(x2, y2)两点，若x1+x2＝3，则这样的直线（）A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条9. 已知A(−1, 0)，B(1, 0)和圆C:x2+(y−2)2＝r2(r>0)，若圆C上存在点P满足，则r的取值范围是（）A.(0, 1]B.(0, 3]C.[1, 3]D.[1, +∞)10. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为(−4, 0)，则菱形判断框内可填入的条件是（）A.k≤2B.k>2C.k<4D.k≥411. 如图，是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若由直方图得到的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）分别为a，b，c，则（）A.b>a>cB.a>b>cC.D.12. 已知F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，过F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，若，，则双曲线的离心率e＝（）A. B. C. D.二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡对应的横线上）)13. 在空间直角坐标系中，点P的坐标为(−1, 2, −3)，过点P作yOz平面的垂线PQ，则垂足Q的坐标是________．14. 已知圆C：(x−1)2+(y−2)2＝9，圆C以(−1, 3)为中点的弦所在直线的斜率k＝________．15. F是抛物线y2＝4x的焦点，过F的直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝10，则△OAB的面积为________．16. 已知△ABC中，B(−1, 0)，C(1, 0)，k1，k2分别是直线AB和AC的斜率．关于点A有如下四个命题：＝1上的点，则k1⋅k2=2．①若A是双曲线x2−y22+y2＝1上的点．②若k1⋅k2=−2，则A是椭圆x22③若k1⋅k2=−1，则A是圆x2+y2=1上的点．④若|AB|=2|AC|，则A点的轨迹是圆．其中所有真命题的序号是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）)17. 如图，△ABC中，顶点A(1, 2)，BC边所在直线的方程为x+3y+1＝0，AB边的中点D在y轴上．（1）求AB边所在直线的方程；（2）若|AC|＝|BC|，求AC边所在直线的方程．18. 如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．（1）请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）已知该厂技改前，100吨甲产品的生产能耗为70吨标准煤．试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？参考公式：＝，＝-．19. 已知命题p：“存在a∈R，使函数f(x)＝x2−2ax+1在[1, +∞)上单调递增”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R，x2−ax+1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．20. 如图，已知以点A(−1, 2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7＝0相切．过点B(−2, 0)的动直线l与圆A相交于M，N两点．（1）求圆A的方程；（2）当|MN|＝时，求直线l的方程．21. 椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当△F1AB的面积为时，求直线l的斜率．22. 如图，已知抛物线C:y2＝2px(p>0)，焦点为F，过点G(2p, 0)作直线l交抛物线C 于A，B两点，设A(x1, y1)，B(x2, y2)．（1）若x1⋅x2＝4，求抛物线C的方程；（2）若直线l与x轴不垂直，直线AF交抛物线C于另一点M，直线BF交抛物线C于另一点N．求证：直线l与直线MN斜率之比为定值．参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】B【解析】根据题意，设直线的倾斜角为θ，由直线的方程可得直线的斜率，进而可得tanθ＝1，据此分析可得答案．2.【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．3.【答案】D【解析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得a=2b，再由双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到．4.【答案】B【解析】利用两直线平行求得m的值，化为同系数后由平行线间的距离公式得答案．5.【答案】C【解析】根据圆的切线到圆心的距离等于半径，利用点到直线的距离公式建立关于a的方程，解之即可得到a的值．6.【答案】C【解析】设P(m, n)，Q(x, y)，由题意可得M(1, −2)为线段PQ的中点，运用中点坐标公式和代入法，化简可得所求轨迹方程．7.【答案】A【解析】先利用绝对值不等式的解法将条件p等价转化，然后再利用充分条件与必要条件的定义将问题转化为集合关系，求解即可．8.【答案】A【解析】设AB的方程为x＝ty+，联立抛物线于直线AB的方程，由x1+x2＝t(y1+y2)+3＝3，求得t即可判断直线AB的条数．9.【答案】C【解析】利用向量垂直得到点P的轨迹是以A(−1, 0)，B(1, 0)为直径的圆，求出圆的方程，由两圆有公共点，列出不等关系，求解即可．10.【答案】B【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出(x, y)，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．11.【答案】B【解析】由频率分布直方图分别求出众数、中位数、平均数，由此能求出结果．12.【答案】C【解析】设|BF1|＝m，由双曲线的定义可求得|BF2|和|AF2|，在△ABF2中，由余弦定理可推出m ＝a，再由勾股定理的逆定理可证得∠ABF2＝90∘，然后在Rt△BF1F2中，利用勾股定理可得5a2＝2c2，从而得解．二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡对应的横线上）13.【答案】(0, 2, −3)【解析】点P(a, b, c)在平面yOz的射影为Q(0, b, c)．14.【答案】2【解析】根据题意，求出圆C的圆心的坐标，设P(−1, 3)，要求斜率的弦所在的直线为l，求出k CP，由垂径定理分析可得答案．15.【答案】【解析】求出F的坐标，利用抛物线的定义求出点A的坐标，进而求出直线AB的方程，并与抛物线方程联立求出点B的坐标，即可求解．16.【答案】①③④【解析】①求出斜率验证即可；②求出动点轨迹方程对比即可；③求出动点轨迹方程对比即可；④求出动点轨迹方程验证即可．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【答案】因点B在直线x+3y+1＝3上，不妨设B(−3a−1，由题意得(−8a−1)+1＝7，解得a＝0，所以B的坐标为(−1, 4)，故AB边所在直线的方程为，即x−y+1＝0；因|AC|＝|BC|，所以点C在线段AB的中垂线x+y−6＝0上由，解得x＝2，即C的坐标为(2，又点A(5, 2)，∴AC边所在直线的方程为，即3x+y−8＝0．【解析】（1）利用点B在直线上，设B(−3a−1, a)，利用中点坐标公式，求出点B的坐标，然后再由两点式求出直线方程即可；（2）联立两条直线的方程，求出交点坐标即点C，再由两点式求出直线方程即可．18.【答案】由对应数据，计算得，，＝0.5，，所求的回归方程为；取x＝100，得，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低70−61＝5（吨标准煤）．【解析】（1）由已知数据可得与的值，则线性回归方程可求；（2）在（1）中求得的回归方程中，取x＝100求得即可．19.【答案】若p为真，则对称轴，+∞)的左侧．若q为真，则方程x2−ax+1＝0无实数根．∴△＝(−2a)2−4<4，∴−1<a<1．∵命题“p∧q”为真命题，∴命题p，∴−7<a<1．故实数a的取值范围为(−1, 7)．【解析】根据条件求出命题为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．20.【答案】设圆A的半径为r．由于圆A与直线相切，∴，∴圆A的方程为(x+5)2+(x−2)2＝20．①当直线l与轴x垂直时，易知x＝−2不符合题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x+2)．即kx−y+7k＝0．点A到l的距离．∵，∴，则由，得k＝1或k＝7，故直线l的方程为x−y+2＝0或5x−y+14＝0．【解析】（1）通过圆A与直线相切，求出圆的半径，然后得到圆的方程．（2）①当直线l与轴x垂直时，验证即可，②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x+2)．利用点A到l的距离．结合圆的半径，弦心距以及半弦长满足勾股定理，转化求解k，得到直线方程．21.【答案】因为椭圆过点，所以．①又因为离心率为，所以，所以．②解①②得a3＝4，b2＝2，所以椭圆C的方程为．设直线方程为y＝k(x−5)，A(x1, y1)，B(x5, y2)，由得(4k6+3)x2−2k2x+4k3−12＝0，则△＝42×32(k5+1)>0，且，，所以＝|k|∗|x2−x2|＝＝＝，即25k4−23k5−54＝0，解得k2＝6或（舍去），所以所求直线的斜率为或．【解析】（1）由椭圆经过点，离心率，列方程组，解得a，b，c，进而可得椭圆的方程．（2）设直线方程为y＝k(x−1)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立直线与椭圆的方程可得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得x1x2，x1+x2，再计算＝，解得k，即可说得出答案．22.【答案】设直线l的方程为x＝my+2p，代入y2＝5px得y2−2pmy−3p2＝0，则△＝4p2(m2+5)>0，且，，得p＝1．∴抛物线C的方程为y8＝4x．证明：M(x3, y8)，N(x4, y4)．由（1）同理可得，．又直线l的斜率，直线MN的斜率，∴，又因，∴，故直线l与直线MN斜率之比为定值．【解析】（1）设直线l的方程为x＝my+2p，代入y2＝2px，得y2−2pmy−4p2＝0，利用韦达定理，求解p，推出抛物线方程．（2）M(x3, y3)，N(x4, y4)．由（1）同理可得，．求解斜率，利用斜率比值关系，化简求解即可．。
上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含答案
上海中学高二期末数学试卷2021.01一. 填空题 1. 若复数3i12ia ++（a ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 2. 函数()i i n n f x -=⋅（n ∈N ，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为3. 已知方程223212x y λλ+=---+表示焦点在y 轴上的椭圆，则λ的取值范围是4. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y =，它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为5. 若点(3,1)是抛物线2y px =（0p >）的一条弦的中点，且弦的斜率为2，则p =6. 把参数方程sin cos sin cos x y θθθθ=-⎧⎨=+⎩（θ为参数，θ∈R ）化成普通方程是7. 已知F 是抛物线2y x =的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，||||3AF BF +=，则AB 的中点到y 轴的距离是8. 已知复数z 满足条件||1z =，那么|i |z +的最大值为9. 若曲线2||1y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则实数k 、b 分别应满足的条件是 10. 已知1F 、2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒， 则12||||PF PF ⋅=11. 已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于点N ，若73FM FN =，则双曲线的渐近 线方程为12. 直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积为1-，以线段AB l 交于P 、Q 两点，(6,0)M ， 则22||||MP MQ +的最小值为二. 选择题1. 已知椭圆2222122x y a b +=（0a b >>）与双曲线22221x y a b-=有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ ）A.B. 12C. D.2. 已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则||AB 等于 （ ）A. 3B. 4C. 32D. 423. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C ，直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于A 、B 两点，点A 在M 、B 之间，过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，当l 变化时P 的轨迹是（ ）A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分 4. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线（如图），若让一个半径为4a的圆 在一个半径为a 的圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线， 其方程为222333x y a +=，给出下列四个结论，正确的有（ ）（1）星形线的参数方程为：33cos sin x a ty a t⎧=⎨=⎩（t 为参数）； （2）若5a =，则星形线及其内部包含33个整点；（即横、纵坐标均为整数的点）（3）曲线11221x y +=在星形线22331x y +=的内部（包含边界）； （4）设星形线围成的面积为S ，则22(,)4S a a π∈；A. （1）（3）（4）B.（1）（2）（3）（4）C. （2）（3）D.（1）（2）（3）三. 解答题1. 已知复数1i z =+，求实数a 、b ，使得22(2)az bz a z +=+.2. 已知关于x 的复系数一元二次方程243i 0x zx +++=（z ∈C ）有实数根，求复数||z 的最小值.3. 已知直线1y kx =+（k ∈R ）与双曲线2231x y -=，则k 为何值时，直线与双曲线有一个公共点？4. 已知关于t 的一元二次方程2(2i)2()i 0t t xy x y ++++-=（,x y ∈R ）. （1）当方程有实根时，求点(,)x y 的轨迹方程； （2）求方程的实根的取值范围.5. 已知抛物线2:2C y px =（0p >）过点(2,4)T -. （1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）已知点(4,0)A ，过点(4,0)B -的直线l 交抛物线C 于点M 、N ，直线MA ，NA 分别交直线4x =-于点P 、Q ，求||||PB BQ 的值.6. 已知椭圆22:142x y C +=，点(4,1)P 为椭圆外一点.（1）过原点作直线交椭圆C 于M 、N 两点，求直线PM 与直线PN 的斜率之积的范围； （2）当过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同点A 、B 时，线段AB 上取点Q ，满 足||||||||AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上.参考答案一. 填空题1. 6-2. {1}3. 21λ-<<-4. 221927x y -=5. 26. 222x y +=7.548. 49. 0k =，11b -<< 10. 4 11. y = 12. 10二. 选择题1. D2. C3. B4. D三. 解答题1. 2a =-，1b =-或4a =-，2b =.2. min ||z =3. k =k =4.（1）点(,)x y 的轨迹方程为22(1)(1)2x y -++=；（2）[4,0]-.5.（1）28y x =，4；（2）1.6.（1）11[,]1612-；（2）证明略，点Q 总在直线220x y +-=上.。
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2020-2021上海子长学校高二数学上期末模拟试卷(附答案)一、选择题1．把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ） A ．40（8）B ．45（8）C ．50（8）D ．55（8）2．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n 边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n 的值分别为（ ）（参考数据：020sin 200.3420,sin()0.11613≈≈）A ．01180sin ,242S n n =⨯⨯B ．01180sin ,182S n n =⨯⨯C ．01360sin ,542S n n=⨯⨯D ．01360sin ,182S n n=⨯⨯3．如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．7k ≥？B ．6k ≥？C ．5k ≥？D ．6k >？4．己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若求得其线性回归方程为 6.5ˆˆyx a =+，其中ˆˆa y bx =-，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（ ） A ．42万元B ．45万元C ．48万元D ．51万元5．日本数学家角谷静夫发现的“31x+猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把它除以2，如果它是奇数我们就把它乘3再加上1，在这样一个变换下，我们就得到了一个新的自然数．如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的6N=，则输出i值为（）A．6B．7C．8D．96．在长为10cm的线段AB上任取一点C，作一矩形，邻边长分別等于线段AC、CB的长，则该矩形面积小于216cm的概率为（）A．23B．34C．25D．137．我国古代数学著作《九章算术》中，有这样一道题目：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升.问：米几何？”下图是源于其思想的一个程序框图，若输出的3S=（单位：升），则输入的k=（）A．9B．10C．11D．128．赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”，赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形，它是由个3全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形，设DF=2AF，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )A．B．C．D．9．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是 ( )．A．①B．②④C．③D．①③10．小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知在这段时间内，共有2班公交车到达该站，到站的时间分别为7:05，7:15，如果他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为（）A．13B．49C．59D．2311．执行如图的程序框图，若输出的4n=，则输入的整数p的最小值是（）A．4B．5C．6D．1512．已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为( )A．92，94B．92，86C．99，86D．95，91二、填空题13．袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是910，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为______．14．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．15．为长方形，，，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于1的概率为________．16．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为_________17．已知某产品连续4个月的广告费i x（千元）与销售额i y（万元）（1,2,3,4i=）满足4115 iix ==∑，4112 iiy ==∑，若广告费用x和销售额y之间具有线性相关关系，且回归直线方程为^y bx a=+，0.6b=，那么广告费用为5千元时，可预测的销售额为___万元. 18．从边长为4的正方形ABCD内部任取一点P，则P到对角线AC2的概率为________.19．执行如图所示的程序框图，输出的值为__________．20．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概率是 ．三、解答题21．一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.(Ⅰ)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率； (Ⅱ)若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.22．为庆祝党的98岁生日，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛。
从参加竞赛的学生中，随机抽取40名学生，将其成绩分为六段[)70,75，[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100，到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中a 的值及样本的中位数与众数；（2）若从竞赛成绩在[)70,75与[]95,100两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对值不大于5分为事件M ,求事件M 发生的概率.23．我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t ），将数据按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）记事件A ：“全市家庭月均用水量不低于6t ”，求()P A 的估计值；（2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值（精确到0.01）；（3）求全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值（精确到0.01）.24．近年来，某地大力发展文化旅游创意产业，创意维护一处古寨，几年来，经统计，古寨的使用年限x （年）和所支出的维护费用y （万元）的相关数据如图所示，根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系.（1）求出y 关于x 的回归直线方程y bx a =+$$$；（2）试根据（1）中求出的回归方程，预测使用年限至少为几年时，维护费用将超过10万元？参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归方程y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为$1221,ni ii x ynx b ay bx xy nx=--==--∑∑$$. 25．某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需要看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查. 将他们的年龄分成6段：[)[)[)[)[)[)20,30,30,40,40.50,50,60,60,70,70,80，后得到如图所示的频率分布直方图，问：30,60的人数；（1）在40名读书者中年龄分布在[)（2）估计40名读书者年龄的平均数和中位数.26．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30)1200.6第二组[30，35)195p第三组[35，40)1000.5第四组[40，45)a0.4第五组[45，50)300.3第六组[50，55]150.3n a p的值；(1)补全频率分布直方图并求,,(2)从年龄段在[40，50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】先将这个二进制转化成十进制,然后除8取余数,即可得出答案. 【详解】∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45（10）． 再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）． 故答案选D ．【点睛】本道题考查了不同进制数的转化,较容易,先将二进制数转化成十进制,然后转为八进制,即可.2．C解析：C 【解析】分析：在半径为1的圆内作出正n 边形，分成n 个小的等腰三角形，可得正n 边形面积是13602S n sinn=⨯⨯o，按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可的结果.详解：在半径为1的圆内作出正n 边形，分成n 个小的等腰三角形，每一个等腰三角形两腰是1，顶角是360n ⎛⎫ ⎪⎝⎭o，所以正n 边形面积是13602S n sin n=⨯⨯o，当6n =时， 2.6S =≈； 当18n =时， 3.08S ≈；当54n =时， 3.13S ≈；符合 3.11S ≥，输出54n =，故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.3．B解析：B 【解析】 【分析】程序运行结果为41S =,执行程序,当6k =时,判断条件成立,当5k =时,判断条件不成立,输出41S =,即可选出答案. 【详解】根据程序框图,运行如下: 初始10,1k S ==,判断条件成立,得到11011S =+=,1019k =-=; 判断条件成立,得到11920S =+=,918k =-=; 判断条件成立,得到20828S =+=,817k =-=; 判断条件成立,得到28735S =+=,716k =-=; 判断条件成立,得到35641S =+=,615k =-=; 判断条件不成立,输出41S =,退出循环,即6k ≥符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.4．C解析：C 【解析】 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得ˆa ，则线性回归方程可求，取6x =求得y 值即可．【详解】()10123425x =++++=，()11015203035225y =++++=， 样本点的中心的坐标为()2,22，代入ˆˆa yb x =-，得22 6.529a =-⨯=．y ∴关于x 得线性回归方程为 6.59y x =+．取6x =，可得6.56948(y =⨯+=万元)． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．5．D解析：D 【解析】分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n 的值并输出相应的i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得结论.详解：模拟程序的运行，可得6,1n i ==，不满足条件n 是奇数，3,2n i ==，不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，10,3n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，可得5,4n i ==， 不满足条件1n =，执行循环体，满足条件n 是奇数，16,5n i ==， 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，8,6n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，4,7n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，2,8n i ==； 不满足条件1n =，执行循环体，不满足n 是奇数，1,9n i ==， 满足条件1n =，退出循环，输出i 的值为9，故选D.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6．C解析：C 【解析】 【分析】根据几何概型的概率公式，设AC ＝x ，则BC ＝10﹣x ，由矩形的面积S ＝x （10﹣x ）＜16可求x 的范围，利用几何概率的求解公式求解． 【详解】设线段AC 的长为xcm ，则线段CB 长为(10)cm x -，那么矩形面积为(10)16x x -<，2x <或8x >，又010x <<，所以该矩形面积小于216cm 的概率为42105=. 故选：C【点睛】 本题考查几何概型，考查了一元二次不等式的解法，明确测度比为长度比是关键，是中档题． 7．D解析：D【解析】 【分析】计算出每次循环时各变量的值并与3S =比较后可得对应的k 的值.【详解】 1n =，S k =；2n =，22k k S k =-=； 3n =，263k k k S =-=； 4n =，33124k k k S =-==，所以12k =. 故选：Ｄ.【点睛】本题以数学文化为背景考虑流程图，此类问题应该根据流程图计算每次循环时各变量的值，从而可得程序终止的条件、输出的结果等，本题属于中档题. 8．B解析：B【解析】【分析】由题意可得，设,求得，由面积比的几何概型，可知在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率，即可求解.【详解】由题意可得，设,可得, 在中，由余弦定理得， 所以，，由面积比的几何概型，可知在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是，故选B.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型，以及余弦定理的应用，其中解答中认真审题、把在大等边三角形中随机取一点，取自小等边三角形的概率转化为面积比的几何概型是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．C解析：C【解析】【分析】【详解】根据题意，从1，2，3，…，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”，“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”三种情况；依次分析所给的4个事件可得，①、恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”一种情况，不是对立事件；②、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个都是奇数不是对立事件；③、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”是对立事件；④、至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件.故选C.10．C解析：C【解析】【分析】设小赵到达汽车站的时刻为x，小王到达汽车站的时刻为y，根据条件建立二元一次不等式组，求出对应的区域面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【详解】如图，设小赵到达汽车站的时刻为x，小王到达汽车站的时刻为y，则0≤x≤15，0≤y≤15，两人到达汽车站的时刻（x，y）所对应的区域在平面直角坐标系中画出（如图所示）是大正方形．将2班车到站的时刻在图形中画出，则两人要想乘同一班车，必须满足{（x，y）|0505xy≤≤⎧⎨≤≤⎩，或515515xy≤⎧⎨≤⎩＜＜}，即（x ，y ）必须落在图形中的2个带阴影的小正方形内，则阴影部分的面积S=5×5+10×10=125， 则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率P=1251515⨯=59， 故选：C【点睛】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键． 11．A解析：A【解析】【分析】列举出算法的每一步循环，根据算法输出结果计算出实数p 的取值范围，于此可得出整数p 的最小值.【详解】0S p =<满足条件，执行第一次循环，0021S =+=，112n =+=；1S p =<满足条件，执行第二次循环，1123S =+=，213n =+=；3S p =<满足条件，执行第二次循环，2327S =+=，314n =+=.7S p =<满足条件，调出循环体，输出n 的值为4.由上可知，37p <≤，因此，输入的整数p 的最小值是4，故选A.【点睛】本题考查算法框图的应用，解这类问题，通常列出每一次循环，找出其规律，进而对问题进行解答，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12．B解析：B【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 故选B.二、填空题13．【解析】因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球白球若从袋中任意摸出2个球共有10种没有得到白球的概率为设白球个数为x 黑球个数为5-x 那么可知白球共有3个黑球有2个因此可知填写为解析：3 10【解析】因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种，没有得到白球的概率为110，设白球个数为x,黑球个数为5-x,那么可知白球共有3个，黑球有2个，因此可知填写为14．【解析】15．1-π12【解析】【分析】由题意得长方形的面积为S=3×2=6以O点为原型半径为1作圆此时圆在长方形内部的部分的面积为Sn=π2再由面积比的几何概型即可求解【详解】由题意如图所示可得长方形的面积为S解析：【解析】【分析】由题意，得长方形的面积为，以O点为原型，半径为1作圆，此时圆在长方形内部的部分的面积为，再由面积比的几何概型，即可求解.【详解】由题意，如图所示，可得长方形的面积为，以O点为原型，半径为1作圆，此时圆在长方形内部的部分的面积为，所以取到的点到的距离大于1的表示圆的外部在矩形内部分部分，所以概率为.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.16．18【解析】【分析】由题意知抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x 则第18组抽取的号码为即可解得【详解】因为抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x 则第18组抽取的号码为解得【点睛】本题主要考 解析：18【解析】【分析】由题意知，抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x ，则第18组抽取的号码为1725443x +⨯=，即可解得.【详解】因为抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x ，则第18组抽取的号码为1725443x +⨯=，解得18x =.【点睛】本题主要考查了系统抽样，属于中档题.17．75【解析】【分析】计算然后将代入回归直线得从而得回归方程然后令x ＝5解得y 即为所求【详解】∵∴∵∴∴样本中心点为（3）又回归直线过（3）即3＝06×+解得＝所以回归直线方程为y ＝06x+令x ＝5时 解析：75【解析】【分析】 计算x ，y ，然后将x ，y 代入回归直线得a ，从而得回归方程，然后令x ＝5解得y 即为所求．【详解】∵4115i i x ==∑，∴154x =， ∵4112i i y==∑，∴1234y ==， ∴样本中心点为（154，3）， 又回归直线0.6ˆy x a =+过（154，3），即3＝0.6×154+ a ，解得a ＝34， 所以回归直线方程为y ＝0.6x +34， 令x ＝5时，y ＝0.6×5+34＝3.75万元 故答案为：3.75．【点睛】 本题考查线性回归方程的应用，以及利用线性回归方程进行预测，要注意回归直线必过样本中心点.18．【解析】如图所示分别为的中点因为到对角线的距离不大于所以点落在阴影部分所在区域由对立事件的概率公式及几何概型概率公式可得到对角线的距离不大于为故答案为 解析：34【解析】如图所示，,,,E F G H 分别为,,,AD DC AB BC 的中点，因为P 到对角线AC 的距离不大2P 落在阴影部分所在区域，由对立事件的概率公式及几何概型概率公式可得，P 到对角线AC 21222321444⨯⨯⨯-=⨯，故答案为34. 19．【解析】【分析】模拟执行程序框图只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算直到达到输出条件即可得到输出的的值【详解】输入第一次循环；第二次循环；第三次循环；第四次循环；第五次循环；第六次循环退出循环输出 解析：42【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的S 的值。