统计学第七章假设检验教学指导与习题解答

第七章 假设检验

Ⅰ．学习目的

假设检验包括参数检验与非参数检验，是一种最能体现统计推断思想和特点的方法。通过本章学习，要求：1.掌握统计检验的基本原理，理解该检验的规则及犯两类错误的性质；2.熟练掌握总体均值、总体成数及总体方差指标的各种检验方法，包括：z 检验、t 检验和p 值检验；3.掌握2 检验、符号检验、秩和检验及游程检验四种基本的非参数检验方法。

Ⅱ．课程内容要点 第一节 假设检验的基本原理

一、假设检验的基本原理 “小概率原理”：小概率事件在一次试验中几乎是不会发生的。

事先所做的假设，是假设检验中关键的一项工作。它包括原假设和备选假设两部分。原假设是建立在假定原来总体参数没有发生变化的基础之上的。备选假设是原假设的对立，是在否认原假设之后所要接受的，通常这是我们真正感兴趣的一个判断。

二、假设检验的规则与两类错误 1、假设检验的规则 假设检验的步骤：

（1）首先根据实际应用问题确定合适的原假设0H 和备选假设1H ； （2）确定检验统计量，通过数理统计分析确定该统计量的抽样分布；

（3）给定检验的显著性水平α。在原假设成立的条件下，结合备选假设的定义，由检验统计量的抽样分布情况求出相应的临界值，该临界值为原假设的接受域与拒绝域的分界值；

（4）从样本资料计算检验的样本统计量，并将其与临界值进行比较，判断是否接受或拒绝原假设。

从检验程序我们可以看出，统计量的取值范围可以分为接受域和拒绝域两个区域。拒绝域正是统计量取值的小概率区域。按照我们将这个拒绝域安排在所检验统计量的抽样分布的某一侧还是两端，可以将检验分为单侧检验或双侧检验。双侧检验中，又可以根据拒绝域，是在左侧还是在右侧而分为左侧检验和右侧检验。对于这些双侧、左、右单侧检验，我们要结合备选假设来考虑。

在检验规则中，我们经常碰到两种重要的检验方法：z检验与t检验。

p值检验的原理：给出原假设后，在假定原假设正确的情况下，参照备选假设，可以计算出检验统计量超过或者小于（还要依照分布的不同、单侧检验、双侧检验的差异而定）由样本所计算的检验统计量的数值的概率，这便是p值；而后将此概率值跟事先给出的显著性水平值α进行比较。如果该值小于α，否定原假设，取对应的备选假设。如果该值大于α，我们不就能否定原假设。

2、两类错误

H实际为真，但我们却依据样本信息，做出拒绝的错误结论当原假设

时，称为“弃真”错误；当原假设实际为假，而我们却错误接受时，称为“纳伪”错误。通常记显著性水平α为犯“弃真”错误的可能性大小，β为犯“纳伪”错误的可能性大小。由于两类错误是一对矛盾，在其他条件不变得情况下，减少犯“弃真”错误的可能性大小（α），势必增大犯“纳伪”错误的可能性大小（β），也就是说，β的大小和显著性水平α的大小成相反方向变化。

三、检验功效

-可以用来表明所做假设检验工作好坏的一个指标，我们称之为检1β

验功效。它的数值表明我们做出正确决策的概率为1β-。解决增强检验功效的唯一办法只有增大样本容量，这样既能保证满足取得较小的α，又能取得较小的β值。

第二节 总体参数假设检验

一、总体均值的假设检验 1、总体方差2

σ已知

对于双侧检验，建立的假设为：0010:,:H H μμμμ=≠

对于左（右）单侧检验来说，建立的假设为：

0010:,:(H H μμμμ=<或>)

检验统计量X z =

～(0,1)N

原假设的拒绝域为：样本统计量的值z 满足：12

z z

α

-

>（双侧检验）；

1z z α-<-（左单侧检验）

；1z z α->（右单侧检验）。当z 值处于拒绝域中时，我们就可拒绝原假设，否则不能拒绝原假设。

2、总体方差2

σ未知

对于双侧检验，建立的假设为：0010:,:H H μμμμ=≠ 对于左（右）单侧检验来说，建立的假设为：

0010:,:(H H μμμμ=<或>)

检验统计量X t =～(1)t n -，其中22

1

()1n

i i X X s n =-=-∑为样本标准

差。

原假设的拒绝域为：样本统计量的值t 满足12

(1)t t

n α

-

>-（双侧检验）

；1(1)t t n α-<--（左单侧检验）

；1(1)t t n α->-（右单侧检验）。当t 值落入拒绝域，就拒绝原假设，否则不能拒绝原假设。

二、两个总体均值之差的检验

1、两总体方差22

X Y

σσ、已知 ⑴ 双侧检验

原假设为：0:X Y H μμ=，备选假设为1:X Y H μμ≠

检验统计量：X Y

z =

～(0,1)N 。

该检验的否定域：12

z z

α

-

>。反之不能拒绝原假设。

⑵ 左单侧检验

原假设与双侧一样，备选假设为1:X Y H μμ< 检验的否定域为：计算的样本统计量满足：1z z α-<- (3) 右单侧检验

原假设与双侧一样，备选假设为1:X Y H μμ> 检验的否定域为：计算的样本统计量满足：1z z α->

2、两总体方差22

X Y

σσ、未知但相等 双、单侧检验的原假设都相同，均为0:X Y H μμ=。只是在双侧检验时，备选假设1:X Y H μμ≠；在左单侧检验时，备选假设为1:X Y H μμ<；在右单侧检验时，备选假设为1:X Y H μμ>。

检验统计量：X Y

t =

12(2)t n n +-。

对于双侧检验，原假设的拒绝域为：12

t t

α

-

>。反之就不能拒绝原假设。

对于左、右单侧检验，左单侧检验拒绝原假设的范围是：

112(2)t t n n α-<-+-。右单侧检验拒绝原假设的范围为：112(2)t t n n α->+-。

三、总体成数的假设检验

1、单样本成数检验

建立假设：0010:,:H P H P ρρ=≠

检验统计量z =

～(0,1)N 。

将样本统计量与临界值进行比较，若12

z z α

-

>，则否定原假设；反之则

不能拒绝原假设。

当然，如果对应的原假设是单边的，即为00:()H P ρ≥≤或。对应的临