解三角形复习课件-高三数学复习
第5讲 三角函数、解三解形
1 cos 2 2
2 1 与升幂公式： cos 2 2 cos ,1
1 cos 2 , 2
cos 2 2 sin 2 ).
10.辅助角公式中辅助角的确定： sin x b cos x a
（其中 角所在的角限由a,b的 a 2 b 2 sin( x ) 符号确定， 角的值由 tan b 确定）在求最值、
5 36
线上） = +k (k∈Z). (3)终边与 终边关于x轴对称 =- +2k (k∈Z).
(4) 终边与 终边关于y轴对称= - +2k
(k∈Z).
(5) 终边与 终边关于原点对称 = + +2k (k∈Z). (6) 终边在x轴上的角可表示为 =k ,k∈Z; 终边 在y轴上的角可表示为 k , k∈Z; 终边在 坐标轴上的角可表示为 2. 与
2
2
坐标向左（ >0）或向右( <0)平移||个单位得
y=sin(x+ )的图象；②函数y=sin(x+ )图象的纵 坐标不变,横坐标变为原来的
1
sin( x+ )的图象；③图象y=sin( x+ )图象 的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍,得到函数 y=sin ( x+ )的图象；④函数y=Asin( x+ ) 图象的横坐标不变,纵坐标向上(k>0)或向下(k < 0) 平移|k|个单位得到y=Asin( x+ )+k的图象.要 特别注意，若由y=sin x得到y=sin( x+ )的图 象，则应向左或向右平移 y=sin x的图象？
高考数学复习考点知识讲解课件25 解三角形应用举例
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测量距离问题的求解策略 (1)确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量 放在另外三角形中求解． (2)确定选用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
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即 DE＝si1n0705s°itna4n51°5°＝sin17050°×sincs4oi5ns°1155°°＝sin17050°s×inss4ii5nn°1755°°＝10s0insi1n54°5°.
又 sin15°＝sin(45°－30°)＝
6－ 4
2，所以 DE＝10s0insi1n54°5°＝100(
图形表示
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图形表示 例：(1)北偏东 α：
方向角
正北或正南方向线与目标 方向线所成的__锐__角__，通
常表达为北(南)偏东(西)α
(2)南偏西 α：
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术语意义
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术语意义
在目标视线与水平视线(两者在
同一铅垂平面内)所成的角中， 仰角与俯角 目标视线在水平视线__上__方__的
叫做仰角，目标视线在水平视线 _下__方__的叫做俯角
图形表示
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方位角
术语意义
从某点的指北方向线起按 _顺__时__针__方向到目标方向线 之间的夹角叫做方位角．方 位角 θ 的范围是0_°_≤__θ_<_3_6_0_°
第4章 第7节 解三角形应用举例-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考)
第七节解三角形应用举例一、教材概念·结论·性质重现1．仰角和俯角意义图示在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角.2.方位角意义图示从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α.3.方向角意义图示相对于某一正方向的水平角(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡角与坡度意义图示(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)．坡度又称为坡比.解三角形应用问题的步骤1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β．(√) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(×) (3)若点P 在点Q 的北偏东44°，则点Q 在点P 的东偏北46°． (×) (4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2．(×)2．如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°D 解析：由条件及图可知，∠A ＝∠CBA ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 的南偏西80°. 3．如图，为测量一棵树OP 的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为________m.30＋303解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°·sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4.由正弦定理得PBsin 30°＝ABsin 15°，所以PB＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度OP＝PB sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m)．4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D．若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.64解析：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°，所以AC＝CD＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝CDsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.所以AB＝64km.所以A，B两点间的距离为64km.5．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________．40 m解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.考点1解三角形的实际应用——应用性考向1测量距离问题如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．(即从B点出发到达C点)解：在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1.因为∠ABD＝120°，由正弦定理ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，解得AD＝3(km)．在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，得9＝3＋CD2＋23×32×CD．即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝33－32(km)，BC＝BD＋CD＝33－12(km)．两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500(m)，即2.5km ， 而33－12<36－12＝52＝2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．1．若将本例条件“BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“BD ＝200 m ，CD ＝300 m ”，其他条件不变，求这条索道AC 的长．解：在△ABD 中，BD ＝200，∠ABD ＝120°. 因为∠ADB ＝30°，所以∠DAB ＝30°. 由正弦定理，得BD sin ∠DAB ＝ADsin ∠ABD ， 所以200sin 30°＝ADsin 120°. 所以AD ＝200×sin 120°sin 30°＝200 3 (m)． 在△ABC 中，DC ＝300 m ，∠ADC ＝150°，所以AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos ∠ADC ＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC ＝10039 m.故这条索道AC 长为10039 m.2．若将本例条件“∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“∠ADC ＝135°，∠CAD ＝15°，AD ＝100 m ，作CO ⊥AB ，垂足为O ，延长AD 交CO 于点E ，且CE ＝50 m ，如图”，求角θ的余弦值．解：在△ACD 中，∠ADC ＝135°， ∠CAD ＝15°，所以∠ACD ＝30°. 由正弦定理可得AC ＝100×sin 135°sin 30°＝100 2.在△ACE 中，由正弦定理可得sin ∠CEA ＝AC ·sin ∠CAE CE＝3－1，所以cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠CEA －π2＝sin ∠CEA ＝3－1.距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．提醒：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当． 考向2 测量高度问题如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.22．6 解析：因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°， 所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°. 设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v . 在Rt △ABD 中，AB ＝AD cos ∠BAD ＝100cos 60°＝200. 在Rt △ACD 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos 45°＝100 2. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ， 所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角是关键．(2)高度问题一般是把它转化成解三角形问题，要注意三角形中的边角关系的应用．若是空间的问题要注意空间图形向平面图形的转化．1．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表” )和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭” )．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a，则表高(即AC的长)为()A．a sin 53°2sin 47°B．2sin 47°a sin 53°C．a tan 26.5°tan 73.5°tan 47°D．a sin 26.5°sin 73.5°sin 47°D解析：由题意得，∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°.在△ABD中，由正弦定理可得，BDsin∠BAD＝ADsin∠ABD，即asin 47°＝ADsin 26.5°，则AD＝a sin 26.5°sin 47°.在△ACD中，ACAD＝sin∠ADC＝sin 73.5°，所以AC＝a sin 26.5°·sin 73.5°sin 47°.故选D．2．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P 离地面的高度OP (点O 在柱楼底部)．在地面上的A ，B 两点测得点P 的仰角分别为30°，45°，且∠ABO ＝60°，AB ＝50米，则OP 为( )A ．15米B ．25米C ．35米D ．45米B 解析：如图所示：由于∠OAP ＝30°，∠PBO ＝45°，∠ABO ＝60°，AB ＝50米，OP ⊥AO ，OP ⊥OB ．设OP ＝x ，则OA ＝3x ，OB ＝x ，在△OAB 中，由余弦定理得OA 2＝OB 2＋AB 2－2OB ·AB ·cos ∠ABO ， 即(3x )2＝502＋x 2－2×50x ×12，所以x 2＋25x －1 250＝0，解得x ＝25或x ＝－50(舍)．3．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝80米，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则A ，B 两点间的距离为________米．805 解析：如图，在△ACD 中，∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°，所以∠DAC ＝15°.由正弦定理，得AC＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40(6＋2)(米)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠CBD＝30°.由正弦定理，得CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，所以BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝80×sin 15°sin 30°＝40(6－2)(米)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1 600(8＋43)＋1 600(8－43)＋2×1 600(6＋2)×(6－2)×12＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，解得AB＝805(米)，则A，B两点间的距离为805米．考点2正余弦定理在平面几何中的应用(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD ＝3，BC＝ 2.(1)若CD＝1＋3，求四边形ABCD的面积；(2)若sin∠BCD＝325，∠ADC∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin∠ADC．解：(1)如图，连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，所以BD＝2.在△BCD 中，由余弦定理可得，cos C ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝2＋(1＋3)2－222×2×(1＋3)＝22. 因为C 为三角形的内角，故C ＝π4， 所以S △ABD ＝12AB ·AD ＝12×1×3＝32， S △BCD ＝12BC ·CD sin C ＝12×2×(1＋3)×22＝1＋32， 故四边形ABCD 的面积S ＝1＋232.(2)在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD ， 所以sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠BCD BD＝35. 因为∠ADC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以∠BDC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos ∠BDC ＝45，在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝33， 故∠ADB ＝π6，所以sin ∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠BDC ＋π6＝35×32＋45×12＝4＋3310.正余弦定理解平面几何问题的注意点(1)图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是问题求解的转折点． (2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变换公式，运用正弦定理，余弦定理解题．(3)养成应用方程思想解题的意识．1．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)，AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，AD ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 kmA 解析：在△ACD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝34－AC 230. 在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝89－AC 280. 因为∠B ＋∠D ＝180°，所以cos B ＋cos D ＝0，即34－AC 230＋89－AC 280＝0，解得AC 2＝49.所以AC ＝7.2．(2020·山师附中高三模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝26，AD ＝3，∠ADB ＝2∠ABD ，∠BCD ＝π3.(1)求BD ；(2)求△BCD 周长的最大值．解：在△ABD 中，设BD ＝x ，∠ABD ＝α，则∠ADB ＝2α， 因为AB sin 2α＝AD sin α， 所以cos α＝63.由余弦定理得cos α＝x 2＋24－946x ＝63. 整理得x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝5或x ＝3. 当x ＝3时，得∠ADB ＝2α＝π2， 与AD 2＋BD 2≠AB 2矛盾，故舍去， 所以BD ＝5.(2)在△BCD 中，设∠CBD ＝β， 所以BD sin π3＝BC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β＝CD sin β，所以BC ＝1033sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β，CD ＝1033sin β，所以BC ＋CD ＝1033·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin β＋32cos β＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6≤10. 所以△BCD 周长的最大值为15.考点3 解三角形与三角函数的综合问题(2020·合肥模拟)已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解：(1)f (x )＝1＋cos 2x 2－3sin x cos x －12＝12cos 2x －32sin 2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. (2)因为△ABC 为锐角三角形，所以0<A <π2，所以－π6<2A －π6<5π6. 又f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1， 所以2A －π6＝π2，即A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立．又a ＝2，所以bc ≤4， 所以S △ABC ＝12bc sin A ≤ 3. 即△ABC 的面积的最大值为 3.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12(x ∈R )，设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0.(1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求△ABC 的周长． 解：(1)f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 因为f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－1＝0且C 为三角形内角，所以C ＝π3. (2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， 则sin B －2sin A ＝0. 由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得cos π3＝a2＋4a2－3 2·a·2a＝12，解得a＝1，b＝2，故△ABC的周长为3＋ 3.。
2022年全国新高考Ⅰ卷第18题解三角形说题-课件-2024届高三数学一轮复习
感悟
反思
2.加强教考衔接，注重通用方法，强调在深刻理解基础上的
融会贯通、灵活运用，让学生掌握原理、内化方法，主动进
行探究和深层次学习，帮助学生掌握探索的方法与解题的规
律，
3.在数学问题中，给出的条件有时会在量、形关系上显得较为杂
乱，要根据待解问题的表现形式，对所给的量、形关系做和谐统
一的化归，培养学生逻辑推理和数学运算的能力，注重学生核心
2
1 cos2 C
cos2 2 B 1 - cos2 B
1 sin 2 B
(2 cos2 B 1) 2 1 - cos2 B
cos2 B
2
4cos2 B
5
2
cos B
4 2 5
2
当且仅当cosB
2
时，等号成立.
2
反思感悟
原题呈现
命题立意
由第一问sinB -cosC 0，
2
cos x
设f ( x )
, x ( , )
1 sin x
2 2
1 sin x
得f ' ( x )
0
2
(1 sin x)
cos x
所以f ( x)
在( , )上单调递减
1 sin x
2 2
则f ( A) f ( 2 B )
2
所以A
内角之间的关系
学生的数学推理和运算能
力，以及转化和划归的数
学思想，分析，解决问题
的能力
本题设问由易到难，
重在培养学生的逻
辑推理，数学运算
这两大数学核心素
第四章第五节解三角形课件——2025届高三数学一轮基础专项复习
第五节 解三角形
2025年高考数学专项复习
目
录
壹
利用正、余弦定理解三角形
贰
三角形形状的判断及三角形的面
积
叁
用正、余弦定理求解与平面几何
有关的问题
肆
解三角形中的最值或范围问题
伍
解三角形的建模应用
壹
利用正、余弦定
理解三角形
教材知识萃取
在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC的外接圆半径.
2
3
3
，且csin A = 4sin B − 3acos C，则角A
【解析】 由正弦定理得，c =
4
3
3
π
3
=__.（此题答案下方有一道变式题，请自行作答哦）
sin C，a =
4
3
3
sin A，代入csin A = 4sin B − 3acos C，化简得
sin Csin A = 3sin B − 3sin Acos C，
120∘ ，故C选项不可以作为已知条件.
（【另解】根据正弦定理判断三角形解的个数的方法（见题后方法总结）,可快速得出bsinA = 3＜2 = a,从而判断
三角形有两解,所以C选项不可以作为已知条件）对于D，因为a = 2，b = 2
Hale Waihona Puke cos B =a2 +c2 −b2
2ac
=
22 +42 − 2
2×2×4
∴ sin Csin A = 3sin(A + C) − 3sin Acos C = 3sin Acos C + 3cos Asin C − 3sin Acos C = 3cos Asin C，
解三角形之中线、角平分线、高线问题+课件-高2025届高三数学一轮复习
( +
- )
.
(1)求∠ACB;
(2)若∠A= ,∠ACB 的平分线 CE 与边 AB 相交于点 E,延长 CE 至点 D,使得 CE=DE,求 cos∠ADB.
解:(2)不妨令 AC=3,因为∠ACB= ,可得 AB=3
1
1
1
:
:
sin A sin B sin C
2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度
高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。
例题讲解
三角形的中线问题
【例 1】在 ABC 中， AD 是 BC 边的中线，
， BAC 120 且 AB AC
知识梳理
知识梳理
3、等面积法：
因为
所以
+
∆
+
=
∆
=2
1
1
，所以2 ∙
∆
2
整理的：
2
=
+2 ∙
2
2
+
2
（角平分线长公式）
【作用】
： ①利用角度关系建立各三角形之间的面积关系
②通过面积关系式求解角分线长度
1
=2
，
知识梳理
三、垂线
1 1 1
a b c
1、 h1，h2，h3 分别为 ABC 边 a，b，c 上的高，则 h1 : h2 : h3 : :
+ -
=
= ,
C,
例题讲解
三角形的高线问题
【例3】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.
高三数学一轮课件 第四章 三角函数与解三角形 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
=
25.
5
关闭 关闭
解析 答案
知识梳理 双基自测
12345
-11-
自测点评
1.平方关系和商数关系式中的角都是同一个角,且商数关系式中
α≠
π 2
+kπ,k∈Z.
2.利用平方关系式解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要
根据角α的范围确定.
3.公式化简求值时,要利用公式化任意角的三角函数为锐角三角
函数,其步骤:去负—脱周—化锐,特别注意函数名称和符号的确定.
(2)若 α∈R,则 tan α=csoins������������恒成立. (
)
(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角. ( )
(4)若 cos(nπ-θ)=13(n∈Z),则 cos θ=13. ( )
(1)× (2)× (3)× (4)×
关闭
答案
-7-
知识梳理 双基自测
12345
什(1)么1 ? (2) 3
答案
考点1
考点2
考点3
-25-
解析: (1)原式=-sin 1 200°·cos 1 290°-cos 1 020°sin 1 050°
=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-
cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)
=
-
4 5
,
cos������
=
3 5
,
于是 1
cos ������-sin ������
=
1 35- -45
= 57.
考点1
考点2
考点3
高三数学一轮复习课件：第四章 三角函数 解三角形 4-1
解法二：扇形周长 C＝2R＋L，面积 S＝12LR＝12R(C－2R)＝ －R2＋12CR＝－R－C4 2＋1C620<R<C2 ，
仅当 R＝C4，即 C＝4R 时，扇形的面积 S 最大， 此时 C＝4R＝2R＋L，L＝2R，由 L＝2R 得 α＝2， 即 α＝2 时，扇形面积有最大值1C62.
涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧 度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用 前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l＝|α|R，S ＝12|α|R2＝12LR.在公式的选择上以简单、计算量小为原则，如本例 中解法二比解法一计算量小．
[跟踪演练]
已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周
扇形有最大面积？ [思路引导] (1)利用弧长公式求． (2)寻求周长、半径 R 及圆心角 α 的关系，用其中两个量表示
扇形面积．
[解] (1)设弧长为 l，则 α＝60°＝3π，R＝10，l＝π3×10＝130π(cm)． (2)解法一：扇形周长 C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝2＋C α，
∴S 扇＝12α·R2＝12α·2＋C α2 ＝C22α·4＋41α＋α2＝C22·4＋α1＋α4≤C162.当且仅当 α2＝4，即 α＝2 时，扇形面积有最大值C162.
第
四
三角函数 解三角形
章
第一节
任意角和弧度制及任意角的三角函数
高考概览 1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角 度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[知识梳理] 1．角的概念 (1)角的形成 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置 旋转 到另 一个位置所成的图形．
高三数学(理)一轮复习(课件)第三章 三角函数、解三角形3-5
微提醒：①横坐标伸缩与ω的关系不清；②搞不清f(x)在x＝
π 2
处取最
值；③确定不了解析式中φ的值。
5．函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2
倍得到的图象对应的函数解析式是________。
解析 根据函数图象变换法则可得。 答案 y＝sin12x
6．若函数f(x)＝sinωx(0<ω<2)在区间 0，π3 上单调递增，在区间 π3，2π 上单调递减，则ω＝________。
4．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos ________。
3x＋π6
在[0，π]的零点个数为
解析 因为0≤x≤π，所以π6≤3x＋π6≤169π，由题可知3x＋π6＝2π，或3x ＋π6＝32π，或3x＋π6＝52π。解得x＝9π或49π或79π。故有3个零点。
答案 3
三、走出误区
(A＞0，ω＞0)，x∈ [0，＋∞)表示一个振 A 动量时
T＝2ωπ f ＝T1＝2ωπ
相位 ωx＋φ
初相 φ
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”。
2．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移
φ ω
个单位长
度而非φ个单位长度。
【变式训练】 (2018·天津高考)将函数y＝sin 2x＋π5 的图象向右平移
1π0个A单．位在长区度间，3所4π得，5图4π象上对单应调的递函增数(
)
B．在区间34π，π上单调递减
C．在区间54π，32π上单调递增
D．在区间32π，2π上单调递减
一、走进教材
1．(必修4P55练习T2改编)为了得到函数y＝2sin 2x－π3 的图象，可以将函 数y＝2sin2x的图象( )
高三数学一轮总复习课件：第三章 三角函数、解三角形3-2
答案 －1
R 热点命题· 深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
问 题 探 究 问题 1 巧？ 利用同角三角函数基本关系式化简求值时，涉及两个同角基 sinα 本关系 sin α＋cos α＝1 和 tanα＝cosα，它们揭示同一角 α 的各三
诱导公式
解析
sin585° ＝sin(585° －360° )＝sin225°
2 ＝sin(180° ＋45° )＝－sin45° ＝－ . 2
答案 A
5．点 A(sin2 011° ，cos2 011° )在直角坐标平面上位于( A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限
)
解析
2 011° ＝360° ×5＋(180° ＋31° )，
第三章 三角函数、解三角形
第二节
同角三角函数的基本关系
基础回扣· 自主学习
热点命题· 深度剖析
特色专题· 感悟提高
高考明方向 sinα 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin α＋cos α＝1，cosα＝tanα.
2 2
π 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ± α，π±α 的正弦、余弦、 2 正切的诱导公式．
∴sin2 011° ＝sin[360° ×5＋(180° ＋31° )] ＝－sin31° ＜0， cos2 011° ＝cos[360° ×5＋(180° ＋31° )]＝－cos31° ＜0. ∴点 A 位于第三象限．
答案 C
sin2π－α· cosπ－α 6. 5π ＝________. 5π cos 2 ＋αsin 2 －α
高考数学二轮复习考点十《三角恒等变换与解三角形》课件
B，∴sin
A＝a
sin b
B＝183.
10．(2021·辽宁沈阳高三年级质量监测)若 cos x－π6＝13，则 sin 2x＋π6 ＝________．
答案 －79 解析 sin 2x＋π6＝sin 2x－π6＋2π＝cos 2x－π6＝2cos2x－π6－1＝－79.
11．(2021·广东高州第二次模拟)已知 α∈π2，π，且 2cos2α＝sin α－1， 则 tan α＝________．
号．
四、解答题 13．(2021·山东济宁高三第一次模拟)已知△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 b cos C＋c cos B＝2a cos A. (1)求角 A； (2)若 a＝2 3，△ABC 的面积为 2 3，求 b＋c 的值．
解 (1)因为 b cos C＋c cos B＝2a cos A， 由正弦定理得，sin B cos C＋sin C cos B＝2sin A cos A， 所以 sin (B＋C)＝sin A＝2sin A cos A， 因为 0<A<π，所以 sin A≠0，所以 cos A＝12，所以 A＝π3.
所以 cos α＝ 415，tan α＝csoins αα＝ 1155.故选 A.
二、选择题(在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求)
8．(2021·三湘名校教育联盟高三联考)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边
分别为 a，b，c，若 c＝ 23b＝3，B＝2C，则下列结论正确的是( )
A．sin
(2)因为△ABC 的面积为 2 3，所以12bc sin A＝2 3， 因为 A＝π3，所以12bc sin π3＝2 3，所以 bc＝8. 由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A， 因为 a＝2 3，A＝π3， 所以 12＝b2＋c2－2bc cos π3＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－24， 所以 b＋c＝6.
4.6正弦定理和余弦定理课件高三数学一轮复习(1)
a sin
b
c
A＝s_i_n_B_＝_si_n_C_＝2R
b2＋c2－a2
cos A＝______2_b_c__；
常见
c2＋a2－b2
变形 cos B＝_____2_a_c___；
a2＋b2－c2 cos C＝______2_a_b___
(1)求角 A 的值；
解 若选①，由于△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且btan A＝
(2c－b)tan B，
∴由正弦定理得
sin
sin B·cos
AA＝(2sin
C－sin
sin B)·cos
B B.
∵sin B≠0，∴sin Acos B＝2sin Ccos A－sin Bcos A， 即sin(A＋B)＝2sin Ccos A， 即sin C＝2sin Ccos A. ∵sin C≠0，∴cos A＝12. 又 0＜A＜π，∴A＝π3. 若选②，∵cos 2A＋2cos2A2＝1， 化简可得2cos2A＋cos A＝1， 解得 cos A＝21或－1，且 A∈(0，π)，∴A＝π3.
＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A<a<b
解的个数 __一__解__
__两__解__
a≥b __一__解__
a>b a≤b _一__解___ __无__解__
3.三角形常用面积公式 (1)S＝12a·ha(ha 表示 a 边上的高). (2)S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A＝a4bRc. (3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径).
第五章 第七节 解三角形的实际应用 课件(共43张PPT)
本题以“珠穆朗玛峰”为背景设计试题，考查解三角形等 知识，体现了智育的素养导向．破解此类题的关键是准确获取有效信息，合 理运用获取到的信息画出草图，把所求的问题转化到几何图形中，通过合理 运用平面几何相关知识进行求解．
2 2
，
所以 θ＝π4 ，∠ABC＝3θ＝34π ，
所以 AC2＝16＋8－2×4×2
2
×(－
2 2
)＝40，
所以 AC＝2 10 .]
平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用 正弦、余弦定理求解． (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
C [函数 f(x)的定义域为 R.
A．50 2 m C．25 2 m
B．50 3 m D．252 2 m
A
[由正弦定理得sin
AB ∠ACB
＝ sin
AC ∠CBA
，又由题意得∠CBA＝30°，
所以 AB＝ACsinsin∠∠CBAACB
50× ＝1
2 2
＝50
2
(m).]
2
4.如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的 ________方向．
解析： 如图，设辑私艇在 C 处截住走私船，D 为岛 A 正南方向上一点， 缉私艇的速度为 x 海里/小时，结合题意知 BC＝0.5x，AC ＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，
2025届高三一轮复习数学课件：高考中的三角函数与解三角形问题
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
(1)求角C;
(2)若D为AB的中点,且c=2, CD= 3 ,求a,b的值.
解:选择①:
(1)根据正弦定理,得(a-c)(a+c)=b(a-b),
整理得a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab,
形结合思想和转化与化归思想应用较多.
典 例 突 破
题型一
三角函数的化简与求值
解决三角函数化简与求值问题的总体思路就是化异为同,目的是消元,减
少未知量的个数.如把三角函数式中的异名、异角、异次化为同名、同角、
同次;在三角函数求值中,把未知角用已知角表示,或把未知角通过三角变
换化成已知角也是化异为同;对于三角函数式中既有正弦函数、余弦函数
3 13
13,sin A= 13 .
sin
sin
A=
=
3 13
.
13
2 13
(2)由(1)及 a<c,得 cos A= 13 ,
12
5
2
则 sin 2A=2sin Acos A=13,cos 2A=1-2sin A=-13.
π
π
π
7 2
故 sin 2 + =sin 2Acos +cos 2Asin =
3
2sin Acos B+2sin Bcos A=2sin(A+B)=2sin C= 3,则 sin C= .
2
π
又 C 为锐角三角形的内角,则 C=3.
3
由正弦定理,得sin = sin = =2 3,
3
2
即 a=2 3sin A,b=2 3sin B,