《数学数理统计》PPT课件

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由德莫佛-拉普拉斯定理有
X np P{ X N } P np(1 p) N np np(1 p)
N np N 10 . np(1 p) 3.08
查表得 (1.28) 0.90.
N - 10 故N应满足条件 1.28, 3.08
即 N 13.94. 取 N 14, 即至少要安装14 条外线。
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第 2章
数 理 统 计 的 分 类
数理统计的基本概念
对随机现象进行观测、试验， 以取得有代表性的观测值
描述统计学——
推断统计学——
1, Xk 0,
第k次试验A发生 第k次试验A 发生
设 P( X k 1) p, 则 E ( X k ) p, D( X k ) pq
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X 1 , X 2 ,, X n 相互独立，n A X k
k 1
n pq 1 记 Yn X k , E (Yn ) p, D(Yn ) n n k 1
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1 n 1 n P X k E( X k ) n k 1 n k 1 n 1 n D ( X k ) D ( X k ) n k 1 k 1 2 n 2 2
{ X n } 两两不相关,且方差有界，则可得到
D( X k ) D( X k ) nC
定义2 设
如果对于任意的
为一列随机变量,X是随机变量 有，
则称{ X n } 依概率收敛于 X , 记为
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定义３:设 F ( x), F1 ( x), F1 ( x),
是一列分布函数,如果
对F(x)每个连续点x，都有
则称分布函数列 记为 定义：如果 依分布收敛于X，记为
弱收敛于分布函数F(x) ，
1 n lim P X k an 0 n n k 1
或
1 n lim P X k an 1 n n k 1
则称 { X n }服从大数定律．
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Chebyshev 大数定律
X 1 , X 2 ,, X n , 两两不相关的随机变量,又设
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简单随机样本 若总体 X 的样本 满足: (1) 与X 有相同的分布 (2) 则称 相互独立 为简单随机样本.
它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机 变量X1,X2,…,Xn表示。 若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机样本 的联合分布函数为 F(x1) F(x2) … F(xn)
第 五 讲
一、大数定理 二、随机变量的收敛性 三、中心极限定理
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一 大数定律
要解决的问题 1. 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？ 2. 为何能以样本均值作为总体 期望的估计？ 3. 为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？ 4. 大样本统计推断的理论基础 是什么？ 答复 大数 定律
n
由 Chebyshev 不等式
n X k n A k 1 0 P p P E( X k ) n n
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X k n A k 1 0 P p P E( X k ) n n
对已取得的观测值进行整理、 分析,作出推断、决策,从而 找出所研究的对象的规律性
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参数估计 (第3章)
推断 统计学
假设检验 (第4章) 回归分析 (第5章) 方差分析 (第6章)
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§ 2.1 基本概念
总体和样本 总体 —— 研究对象全体元素组成的集合
所研究的对象的某个(或某些)数量指 标的全体,它是一个随机变量(或多维随机 变量).记为X .
中心极 限定理
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准备工作
1) 切比雪夫不等式
设 为一随机变量, 其数学期望 都存在，则对于任意 有 和方差
2) A.L.Cauchy－Schwarz不等式.
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贝努里（Bernoulli） 大数定律
设事件 在每次试验中出现的概率为 p, 且 在n次重复独立试验中出现的频率为
证 引入 r.v. 序列{Xk}
n
( a.s.)
四种收敛关系： 以概率１收敛或r-阶收敛 依概率收敛 依分布收敛
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三、 中心极限定理
中心极限定理讨论：随机变量序列
X
i 1
n
i
E ( X i )
i 1 nLeabharlann nD ( X i )
i 1
对应的分布函数序列收敛于标准正态分布函数的定理
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定理1（独立同分布的中心极限定理） 设 为一列相互独立相同分布
注
X 1 , X 2 ,, X n , 相互独立的条件可以
去掉，代之以
（Markov） 大数定律
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1 n n D X k 0 2 n k 1
二
随机变量的收敛性
为一列随机变量，如果 有
定义1 设
存在常数 a 使得对于任意的
则称 X n 依概率收敛于 a , 记为
n
Yn ~ N (0,1)
近似
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对任意
有，
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中心极限定理的意义 前面讲过有许多随机现象服从正态分布 是由于许多彼此没有什么相依关系、对随机现 象谁也不能起突出影响，而均匀地起到微小作 用的随机因素共同作用(即这些因素的叠加)的 结果. 若联系于此随机现象的随机变量为X ，则 它可被看成为许多相互独立的起微小作用的因 素Xk的总和 X k ，而这个总和服从或近似服从
n 1 2 S Xi X n 1 i 1


2
是统计量, 其中 X i ~ N ( , )
2
不是统计量.
若 , 已知,则为统计量
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常用的统计量
设 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是来自总体 X 的容量 为 n 的样本,称统计量
1 n (1) X X i n i1 n 1 ( 2) S 2 Xi X n 1 i 1
正态分布.
k
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对此现象还 可举个有趣 的例子—— 高尔顿钉板 试验—— 加 以说明.




N ( 0, n )
n—
钉子层数
3
0
3
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X k表示某一个小球在第k次碰了钉子后向左 或向右落下这一随机现象联系的随机变量， X k 满足中心极限定理条件， E( X k ) 0, D( X k ) 1
为样本均值


2
为修正样本方差
1 n S Xi X n 1 i 1


2
为修正样本标准差
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1 k (3) Ak X i n i 1
n
为样本的k 阶原点矩
k 1 n (4) Bk X i X 为样本的k 阶中心矩 n i 1


例如 A1 X
n 1 2 1 n B2 S Xi X n n i 1
的随机变量，且具有数学期望和方差， 则对于 任意实数 有
其中
为标准正态分布的分布函数。
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若一随机变量可以表示成数量很多的相互独立相 同分布的随机变量的和，则该随机变量可近似服从 正态分布，标准化后就服从标准正态分布。
2 X k nYn n 近似服从N (n , n )
k 1
则称
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可以证明： （１）若 （２）设C为常数，则
则，
F(x)是X=C的分布函数，即
充分性：
1, x c F ( x) 0, x c
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３：r－阶收敛 定义：设对随机变量Xn及X，r>0为常数，如果
E X n , E X ,
且，
r
r
lim E X n X 0,
X 的分布函数和数字特征称为总体的 分布函数和数字特征.
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个体 —— 组成总体的每一个元素 即总体的每个数量指标,可看作随机 变量 X 的某个取值.用 X i 表示.
样本 —— 从总体中抽取的部分个体. 用 ( X 1 , X 2 , , X n ) 表示, n 为样本容量. 称 ( x1 , x2 ,, xn ) 为总体 X 的一个容量为n 的样本观测值,或称样本的一个实现. 样本空间 —— 样本所有可能取值的集合.
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统计量
定义 设( X 1 , X 2 ,, X n ) 是取自总体X 的一个 样本, g (r1 , r2 ,, rn ) 为一实值连续函数, 且不含有未知参数, 则称随机变量g ( X 1 , X 2 ,, X n ) 为统计量. 若( x1 , x2 ,, xn ) 是一个样本值,
n
r
则称 { X n } r－阶收敛于X,记作 特别：１－阶收敛为平均收敛，２－阶为均方收敛
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４：以概率１收敛 定义：若存在一随机变量X,使
P{lim X n X } 1,
我们称随机序列 { X n }以概率为１收敛于X,或说 几乎处处收敛于X，并记为
n
lim X n X
要使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互 独立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以 90%以上的概率保证分机用外线时不等待？
解：设有X部分机同时使用外线，则有 X ~ B( n, p),
其中 n 200, p 0.05, np 10, np(1 - p) 3.08.
设有N 条外线。由题意有 P{ X N } 0.9


2
S
2 n
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注 样本方差 S
1） 关系式
2 与样本二阶中心矩
n 2 S Sn n 1
2
S 的不同
2 n
n 1 2 2 S (Xi X ) n 1 i 1 n
Xn Xk
k 1 n
n 16,
独立投入１００个小球，
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定理 2 （德莫佛—拉普拉斯）
设 有
则对于任意实数
其中
为标准正态分布的分布函数。
这个定理表明，二项分布的极限分布是正态分布
当
很大时，我们便可以利用定理 2 来近似计算二
项分布的概率。
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对任意
有，
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例 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间
nA nA 频率 与 p 有较大偏差 p 是 n n
小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频 率近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定.
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大数定律
设 r.v. 序列 X 1 , X 2 ,, X n , {ak }
是常数序列，则 0 有
g ( x1 , x2 , , xn ) 称 为统计量 g ( X 1 , X 2 ,, X n ) 的一个样本值
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例 X ~ N ( , ) , , 是未知参数, ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是一样本, 则
2 2
1 n X Xi , n i 1
1 n 2 但 2 Xi i1
D( X k ) C, k 1, 2, , n
则 0 有
1 n 1 n lim P X k E ( X k ) 0 n n k 1 n k 1
或
1 n 1 n lim P X k E ( X k ) 1 n n k 1 n k 1
k 1 k 1 n n
1 n C 1 n P X k E ( X k ) 2 0, n n k 1 n k 1 n
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在定理一中,去掉方差存在的条件而加上相同 分布的条件，则有： 辛钦大数定律
设 为一列相互独立同分布的
随机变量，且具有相同的数学期望
n
1 pq PYn E (Yn ) 2 n nA 故 lim P p 0 n n
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贝努里(Bernoulli)大数定律的意义
在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率
nA n “ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生
的概率是指：