【全国重点中学优质数学资料】高二数学 8.4双曲线的几何性质(备课资料)大纲人教版必修

双曲线的简单几何性质备课资料
一、双曲线的简单几何性质的学习
对双曲线性质的讨论是我们又一次用曲线方程研究曲线性质的方法的学习，因此，在教学中，应尽力注意让学生对这种方法从思想上有一定的认识，并逐渐形成一种应用意识.
1.问题：教学双曲线的渐近线时，应注意些什么？
答：（1）使学生明确双曲线的渐近线是哪两条直线，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线，画双曲线时，应先画出它的渐近线.
（2）使学生理解“渐近”两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的，也可以这样理解：当双曲线上的动点M沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0.
(3)使学生掌握根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的求法.最简单且实用的方法是：把双曲线方程中等号右边为1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程.
（4）使学生掌握根据双曲线的渐近线方程求出双曲线方程的求法.简单且实用的方法是：如果两条渐逝线的方程为Ax±By=0，那么双曲线的方程为（Ax+By）（Ax-By)=m，这里m是待定系数，其值可由题目中的已知条件确定.
2.双曲线几何性质的简单应用
［例1］求与双曲线19
162
2=-y x 共渐近线且过A （23，-3）点的
双曲线方程及离心率.
解法一：双曲线19
162
2=-y x 的渐近线方程为：
y =±4
3
x
（1）设所求双曲线方程为122
22=-b
y a x
∵43=a b ,∴b =4
3a ① ∵A (23,-3)在双曲线上 ∴
19
1222=-b
a ② 由①-②，得方程组无解
（2）设双曲线方程为122
22=-b
y a x
∵43=a b ,∴b =4
3a ③ ∵A (23,-3)在双曲线上
∴
112
92
2=-b a ④ 由③④得a 2=4
9
,b 2=4
∴所求双曲线方程为
144
92
2=-y x 且离心率e =35 解法二：设与双曲线19162
2=-y x 共渐近线的双曲线方程为
λ=-9
162
2y x (λ≠0)
∵点A （23，-3）在双曲线上 ∴λ=
4
1991612=- ∴所求双曲线方程为
4191622-=-y x 即144
92
2=-y x 评述：（1）很显然，解法二优于解法一.
（2）不难证明与双曲线19162
2=-y x 共渐近线的双曲线方程为
λ=-9
162
2y x (λ≠0). 一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件
下，利用双曲线系方程λ=-22
22b
y a x (λ≠0)求双曲线方程较为方便.通
常是根据题设中的另一条件确定参数λ.
（3）以上优美巧妙的解法，达到了化繁为易的目的.教学中，要引起重视.
二、在研究双曲线的几何性质基础上，我们应对根据曲线方程作出曲线图形感到得心应手
［例2］作方程x =21y +的图象.
分析：∵x =21y + ∴x ≥1 ∴x 2-y 2=1
∴方程图象如右图， 即表示双曲线x 2-y 2=1的右支. ［例3］作方程y =21x -的图象. 分析：∵y =21x -
⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-⇔)
1(1)1(12
2x x x x
∴方程图象应该是圆x 2+y 2=1及双曲线x 2-y 2=1在x 轴上方的图象.
请读者自行完成.
评述：在根据方程作出相应图象时，应遵循：“如果曲线C 的方程是f (x ,y )=0,那么点P （x 0,y 0）在曲线C 上的充要条件是f (x 0,y 0)=0”这一原则；另外，须注意方程变形的未知数的允许值可能会扩大，而原方程的曲线只能取原方程允许值范围内的那一部分.
三、参考练习题
1.双曲线14
52
2=-y x 的实轴长等于______，虚轴长等于______，
焦点坐标是______，离心率是______，渐近线方程是______ .
答案：25 4 F 1（-3，0），F 2（3，0）
553 y =±5
5
2x 2.(2003年高考文科卷第6小题)双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点F \、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为（ ）
A.3
B.
26 C. 3
6
D.
3
3 答案：B
3.已知双曲线的离心率等于2，且过点M （2，-3），此双曲线标准方程是______.
答案：1233
2313
2
222
=-=-x y y x 或
●备课资料
一、椭圆与双曲线标准方程和图形、性质如下表
二、双曲线标准方程的求法
［例1］求以曲线2x 2+y 2-4x -10=0和y 2=2x -2的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程.
分析：先求出渐近线方程，确定出其斜率，结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数.
解：∵ 2x 2+y 2-4x -10=0
y 2=2x -2
∴⎩
⎨
⎧-==⎩⎨⎧==2323y x y x 或 ∴渐近线方程为y =±3
2x 当焦点在x 轴上时， 由3
2=a
b 且a =6,得b =4.
∴所求双曲线方程为116
362
2=-y x
当焦点在y 轴上时， 由3
2=b
a ,且a =6,得
b =9.
∴所求双曲线方程为181362
2=-x y
评述：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握.
（2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解，请读者自行完成.
［例2］已知双曲线的渐近线方程为3x ±2y =0，两条准线间的距离为
1313
16
,求双曲线标准方程. 分析：可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程.
解：∵双曲线渐近线方程为y =±2
3x
∴设双曲线方程为19
42
2=-y x λ(λ≠0)
（1）若λ＞0,则a 2=4λ,b 2=9λ
∴准线方程为：x =±λ13
13
42±=c a
∴
13
13
1613138=λ ∴λ=4
(2)若λ＜0,则a 2=-9λ,b 2=-4λ
∴准线方程为：y =±13
1392λ
-±=c a
∴
13
1316131318=
-λ ∴λ=-
81
64
∴所求双曲线方程为：
136
1622=-y x 或1256816492
2=-x y 评述：（1）准确及时地应用有相同渐近线的双曲线系方程给我们的求解过程带来了方便.
（2）通过待定系数法求出参数N .
［例3］中心在原点，一个焦点为F （1，0）的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为m ，求双曲线标准方程.
解：设双曲线的标准方程为
12
2
22
=-b y a x ,则⎪⎩⎪⎨⎧===+m b
a c
b a 221
222 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=11122222m b m m a ∴11
112
2
22
2=+-+m y m m
x 为所求双曲线的标准方程. 评述：以上方法是求双曲线标准方程的通用方法，注意其中的运算技巧.
［例4］求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点P （1，-3）且离
心率为2的双曲线标准方程.
解：设所求双曲线方程为
12
2=-k y k x (k ≠0) 则1)3(12=--k
k ∴191
=-k
k ∴k =-8
∴所求双曲线方程为18
82
2=-x y
评述：（1）以上巧妙简捷的设法是建立在一个事实的基础上的，即离心率e =2是双曲线的等轴双曲线的充要条件，它的证明如下：
设等轴双曲线x 2-y 2=m 2(m ＞0) 则a 2=b 2=m 2,∴c 2=a 2+b 2=2m 2 ∴c =2m ∴e =22==
m
m
a
c
反之，如果一个双曲线的离心率e =2. ∴2=a
c ∴c =2a ,c 2=2a 2 ∴a 2+b 2=2a 2 ∴a 2=b 2,a =b
∴双曲线是等轴双曲线
（2）读者还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相。