九年级上册《二次函数的应用》导学案.doc

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(word版)浙教版数学九年级上《二次函数的应用》精品教案

1.4 二次函数的应用1教学目标1．经历利用二次函数解决实际问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力.3．体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值．增进对数学的理解和学好数学的信心．4．认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用重点与难点能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，发展解决问题的能力．一、切身体会数学的美欣赏生活中抛物线的图片，回忆二次函数的有关知识。

图1 图2 图3 图4二、亲身经历生活中的数学1.求二次函数y=-100x2+100x+200的最值？（学生板演，同桌检查，互相帮助）生活化，可以互相讨论一下！2.如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图4中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x²+0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关于y轴对称⑴钢缆的最低点到桥面的距离是-----，⑵两条钢缆最低点之间的距离是---(3)右边的抛物线解析式是-----3.如上图2是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下，如果喷头所在处A （0，1.25），水流路线最高处B（1，2.25），则该抛物线的解析式为____________如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要____米，才能使喷出的水流不致落到池外。

请问：解决一个普通的二次函数的最值问题与实际问题中的最值问题最大的区别在哪里?4、得出解这类题的一般步骤：（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。

5、数学问题生活化：用8 m长的铝合金型材做一个形状如图7所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？x xy6、数学问题生活化例1.如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形。

沪科版-数学-九年级上册- 二次函数的应用导学案4

九年级（上）数学导学案
课题：21.4 二次函数的应用（4）
教学思路
（纠错栏）
教学思路
（纠错栏）
学习目标：
1.熟练应用二பைடு நூலகம்函数的知识解决实际问题。
2.通过对实际问题的分析，建立二次函数的模型，解决实际问题。
学习重点：应用二次函数的知识解决实际问题
预设难点：建立二次函数的关系式．
☆ 预习导航 ☆
一、链接：
☆ 合作探究 ☆
问题：行驶中的汽车，在制动后由于惯性作用，还要继续往前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”。为了测定某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表：
制动时车速/km•h-1
0
10
20
30
40
50
制动距离/m
0
0.3
1.0
2.1
3.6
5.5
现有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5m。则交通事故发生时车速是多少？是否因超速（该段公路最高限速为110km/h）行驶导致了交通事故？
分析：要解答这个问题，就是要解决在知道了制动距离时，如何求得相应的制动时车速。题中给出了几组制动距离与制动时车速有关系的数据，为此，求出制动距离与制动时车速的函数关系式是解答本题的关键。
(3)如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？
（1）一个二次函数的图象经过（1，9），对称轴为x=-2且最小值为-4。求这个二次函数的关系式．
(2) 过（-1，3）和（2，8）的抛物线解析式为
二、导读
我们学习了通过图形之间的关系求函数解析式，以及用二次函数的知识分析解决有关抛物线型的实际问题，这节课我们继续学习利用二次函数解决一些生活中的实际问题。

人教版九年级数学上册《22二次函数的应用》导学案

九年级数学上册《22.3二次函数的应用》导学案1、理解题意，分析问题中的数量关系，能根据数量关系列出关系式2、分析题目求的是最大值（或最小值）问题，学会用配方法来解决实际问题重点：根据数量关系列出关系式；根据图象，结合所求解析式解决问题；根据题意或者图象来确定自变量的取值范围难点：用配方法确定最值问题时，要结合具体情境中自变量的取值范围来确定1、（2021·广东省深圳外国语学校初三期末）小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数23.54.9h t t =-（t 的单位：s ，h 的单位：m ）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（）A ．0．71sB ．0．70sC ．0．63sD ．0．36s2、（2021·浙江省初三学业考试）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留2m 宽的门．已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为50m ．设饲养室长为()xm ，占地面积为()2y m ，则y 关于x 的函数表达式是（）A ．250y x x =-+B ．21242y x x =-+ C ．21252y x x =-+D ．21262y x x =-+3、（2021·内蒙古自治区初三期中）如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB 位置时，水面宽度为10m ，此时水面到桥拱的距离是4m ，则抛物线的函数关系式为（）A ．225y x 4=B ．225y x 4=-C ．24y x 25=-D ．24y x 25= 4、（2021·河北省初三二模）“星星书店”出售某种笔记本，若每个可获利x 元，一天可售出()8x -个．当一天出售该种文具盒的总利润y 最大时，x 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．45、（2021·江苏省初三期末）在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系为21251233y x x =-++，由此可知该生此次实心球训练的成绩为_______米．6、（2021·山东省初三一模）如图，在足够大的空地上有一段长为a （a≥50）米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．7、（2021·河南省初三）母亲节前夕，某花店准备采购一批康乃馨和萱草花，已知购买2束康乃馨和1束萱草花共需46元；购买3束康乃馨和4束萱草花共需94元．（1）求康乃馨和萱草花的单价分别为多少元；（2）经协商，购买康乃馨超过30束时，每增加1束，单价降低0.2元；当超过50束时，均按购买50束时的单价购进，萱草花一律按原价购买．①购买康乃馨50束时，康乃馨的单价为_______元；购买康乃馨()3050m m <<束时，康乃馨的单价为_______元（用含m 的代数式表示）；②该花店计划购进康乃馨和萱草花共100束，其中康乃馨超过30束，且不超过60束，当购买康乃馨多少束时，购买两种花的总金额最少，最少为多少元？1、（2021·山东省初三二模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：m )与小球运动时间t (单位：s )之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m ；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度30h m =时，1.5t s=．其中正确的是( )A．①④B．①②C．②③④D．②③2、（2021·江苏省初三二模）竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h=-2t2+mt+258，若小球经过74秒落地，则小球在上抛过程中，第（）秒离地面最高．A．37B．47C．34D．433、（2021·山东省初三期中）某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y（间）与定价x（元/间）之间满足y＝14x﹣42（x≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（）A．252元/间B．256元/间C．258元/间D．260元/间4、（2021秋•荔湾区期末）喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元/件的商品，售价为60元/件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨x元(x正整数），每星期销售该商品的利润为y元，则y与x的函数解析式为()A．2101002000y x x=-++B．2101002000y x x=++ C．210200y x x=-+D．2101002000y x x=--+5、（2021秋•沙坪坝区校级期中）如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为2ym，则y关于x的函数表达式为()A ．2126(252)2y x x x =-+<B ．2150(252)2y x x x =-+<C ．252(252)y x x x =-+<D ．212752(252)2y x x x =-+-<6、（2021秋•西湖区期末）某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为(0)x x >，则该工厂第一季度的产值y 关于x 的函数解析式为．7、（2021•连云港）某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是元．8、（2021春•洪山区校级月考）飞机着陆后滑行的距离y （单位：)m 关于滑行时间t （单位：)s 的函数解析式是26605y t t =-，飞机着陆至停下来共滑行．9、（2021·广东实验中学越秀学校初三月考）如图，用一段长为40m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD ，墙长24m ．设AB 长为x m ，矩形的面积为S m 2．（1）写出S 与x 的函数关系式；（2）当AB 长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？（3）当花圃的面积为150m 2时，AB 长为多少米？10．（2021·莆田擢英中学初三零模）某农场拟用总长为60m的建筑材料建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长为40m），其中间用建筑材料做的墙隔开（如图）．设三间饲养室平行于墙的一边合计用建筑材料xm，总占地面积为ym2．（1）求y关于x的函数解析式和自变量的取值范围；（2）当x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大面积为多少？11、（2021•凉山州模拟）为鼓励大学生毕业返乡创业拉动县域绿色特产销售，某县为大学生开设团队创业途径，某团队试销一款苦荞茶，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销调研发现，销售过程中每天还要支付其他费用500元，日销售量γ（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并根据题意写出自变量x的取值范围；（2）当每天的销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？（3）若在销售过程中每天的利润不低于700元，请确定销售单价的取值范围．。

北京版-数学-九年级上册-19.4 二次函数的应用导学案

学习内容：19.4二次函数的应用（19）
学习目标：
体会二次函数的应用，提高用数学意识；
经历建立平面直角坐标系的过程，初步体会坐标法的意义和作用以及繁琐与简洁。

学习过程：
活动一：复习旧知：
如图，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m。

现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中。

（1）求这条抛物线的解析式。

（2）在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是多少
m？
活动二：探究新知
1.自主学习57页例3
2.请你尝试换一种建坐标系得方法，并求解。

3.请将你的方法与书中的方法比较，并在组内交流，总结如下：
活动三：分层提高
1．如图，隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的长
是8m，宽是2m，抛物线的解析式为
2
1
4
4
y x
=-+。

（1）一辆货运车车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果该隧道内设双行道，中间遇车间隙为0.4m，那么这
辆卡车是否可以通过？
2．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽46米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽43米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?
3.一位运动员在距篮下水平距离4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. 若该运动员身高1.8米，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？篮圈
出手处
最高点。

中考复习二次函数的应用导学案

第14讲二次函数的综合题及应用编号：9-3-14课题:二次函数的综合题及应用教学目标：1、了解二次函数解析式的三种表示方法；2、抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及抛物线与对称轴的交点坐标等;3、一元二次方程与抛物线的结合与应用。

4、利用二次函数解决实际问题。

一.激导释标【基础知识回顾】二次函数解析式的确定：1、设顶点式，即：设2、设一般式，即：设还有：如抛物线顶点在原点可设以y轴为对称轴，可设顶点在x轴上，可设抛物线过原点等】二.自主学习一、填空题1．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y=ax2上，⊙P恒过点F（0，n），且与直线y=-n始终保持相切，则n= （用含a的代数式表示）．3.如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，-3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．三.合探展学探究一：二次函数与x轴的交点问题已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是（）A．x1=1，x2=-1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=3 探究二：二次函数的实际应用为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？探究三：二次函数综合性题目一、选择题1．已知函数y=x2+2x-3，当x=m时，y＜0，则m的值可能是（）A．-4 B．0 C．2 D．32．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a＞0 B．b2-4ac≥0 C x1＜x0＜x2 D．a（x0-x1）（x0-x2）＜03.某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）．4.一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x（元）与每月租出的车辆数（y）有如下关系：（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式．（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表：（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元．3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．在，求出最大值；若不存在，请说明理由．课堂小结：。

2019-2020学年九年级数学上册-二次函数的应用(第2课时)导学案(新版)新人教版

2019-2020学年九年级数学上册二次函数的应用（第2课时）导学案（新版）新人教版学习目标：1、能根据题意建立适当的直角坐标系，根据已知条件中的有关数据，求出该抛物线的解析式，并结合题目要求利用抛物线的性质求解．2、结合二次函数的图象和性质分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．学习重点：能根据题意建立适当的直角坐标系学习难点：把实际问题转化成二次函数问题例1、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在如图直角坐标系中，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？例2、一座抛物线形拱桥下的水面离桥孔顶部3m时，水面宽6m；当水位上升1m时，水面宽多少？（精确到0.1m）思考：上题中，当水位上升1m时，一条装满防汛器材的船，露出水面部分的高为0.5m、宽为4m，能从桥下通过吗？课堂小结:本节课你有哪些收获？课堂练习：1．如图，一单杠高2.2m，两立柱之间的距离为1.6m，将一根绳子的两端栓于立拄与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。

(1)一身高0.7m 的小孩站在离立柱0.4m 处，其头部刚好触上绳子，求蝇子最低点到地面的距离；(2)为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0.4m 的木板．除掉系木板用去的绳子后，两边的绳长正好各为2m ，木板与地面平行．求这时木板到地面的距离。

2．改革开放以后，不少农村用上了自动喷灌设备，如图所示，设水管AB 高出地面1.5m ，在B 处有一个旋转的喷水头，一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B 与水流最高点C 的连线与水平线成30°角，水流的最高点C 比喷头B 高出2.5m ．求水流的落地点与喷头底部的距离（精确到0.1m ）。

课后练习：1．炮弹从炮口射出后，飞行的高度h(米)与飞行的时间t(秒)之间的函数关系是h=v 0tsin α－5t 2，其中v 0是炮弹发射的初速度，是炮弹的发射角，当v 0=300(m ／s)，α=30°时炮弹飞行的最大高度是_________米。

九年级数学上册第22章第13课时二次函数的应用导学案3 新人教版

体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值；A．1m B．2m C总结：解投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、下四个步骤：A．3.2m B．4m C．4.5A．10m B．3m C．4m D．（典例探究答案：【例1】分析：（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据写出函数解析式．（2）先求x =3米时y 的值，用拱桥最大高度减去｜y ｜，然后与3.6相比较即可得出答案．解答：解：（1）设抛物线解析式为y =ax 2，因为抛物线关于y 轴对称，AB=20，所以点B 的横坐标为10，设点B （10，n ），点D （5，n +3），n =102•a =100a ，n +3=52a =25a ，即100325n an a=⎧⎨+=⎩，解得4125n a =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴2125y x =-. （2）∵货轮经过拱桥时的横坐标为x =3， ∴当x =3时，1925y =-⨯ ∵925-﹣（﹣4）＞3.6 ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．点评：此题考查了坐标系的建立，以及抛物线的性质与求值．练1．分析：根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y =﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．解答：解：建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x4．故选：C．点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．【例2】分析：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣5）2+3，将点（0，43）代入可得出a的值，继而得出抛物线解析式；（2）令y=0，可得出ON的长度，由NC=ON﹣OC即可得出答案．（3）先计算出刚好接到球时m的值，从而结合所给图形可得出运动员接球高度不够m的取值范围．解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣5）2+3，将点（0，43）代入可得：43=a（0﹣5）2+3，解得：a=﹣1 15，故抛物线的解析式为：y=﹣115（x﹣5）2+3．（2）当y=0时，﹣115（x﹣5）2+3=0，解得：x1=5﹣，x2即∵OC=6，∴1米．（3）若运动员乙原地起跳到最大高度时刚好接到球，此时﹣115（m﹣5）2+3=2.4，解得：m1=2，m2=8，∵运动员接球高度不够，∴2＜m＜8，∵OC=6，乙运动员接球时不能触网，∴m的取值范围为：6＜m＜8．点评：本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般．练2．分析：把y=3.05代入所给二次函数解析式，求得相应的x的值，加上2.5即为所求的数值．解答：解：由题意得：3.05=15x2+3.5，x2=2.25，∵篮圈中心在第一象限，∴x=1.5，∴他与篮底的距离约为1.5+2.5=4m，故选B．点评：考查二次函数的应用；建立数学模型，求得篮圈中心与原点的水平距离是解决本题的关键．【例3】分析：（1）以柱子OA 所在的直线为y 轴，垂直于OA 的直线为x 建立平面直角坐标系，根据已知得出二次函数的顶点坐标，即可利用顶点式求出二次函数解析式，（2）令y =0，则﹣（x ﹣1）2+2.25=0，求出x 的值即可得出答案，（3）当水流喷出的抛物线形状与（1）相同，即a =﹣1，当x =3.5时，y =0，进而求出答案即可．解答：解：（1）以柱子OA 所在的直线为y 轴，垂直于OA 的直线为x 建立平面直角坐标系，因为顶点为（1，2.25），设解析式为y =a （x ﹣1）2+2.25，因为抛物线过点（0，1.25），解得a =﹣1，所以解析式为：y =﹣（x ﹣1）2+2.25. （2）由（1）可知：y =﹣（x ﹣1）2+2.25，令y =0，则﹣（x ﹣1）2+2.25=0，解得x =2.5 或x =﹣0.5（舍去），所以水池半径至少为2.5m ；（3）根据题意得出：设y =﹣x 2+bx +c ，把点（0，1.25），（3.5，0）代入关系式，得1.25497042c b c =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，解得：22754b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则y =﹣x 2+227x +54=﹣（x ﹣117）2+729196，故水池的半径为3.5m ，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达729196．点评：此题主要考查了二次函数的实际应用，根据实际问题运用二次函数最大值求二次函数解析式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．练3．分析：（1）将函数的解析式2144(1)8y x x x =-+≤≤转化为顶点式就可以求出结论；（2）由抛物线的顶点式可以求出顶点B 的坐标，就可以求出A 的坐标，求出AB 的值就是环形的直径．解答：解：（1）∵y =﹣4x 2+4x ，∴y =﹣4（x ﹣12）2+1， ∴顶点B 的坐标为（12，1），∴喷泉水柱的最高点到接水盘水面的距离是1米；（2）∵两段抛物线关于y 轴对称， ∴A （﹣12，1）， ∴AB=1，∴喷泉水柱的最高处形成一个环形的直径是1米．点评：本题考查了抛物线的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，轴对称的性质的运用，解答时运用抛物线的性质求解是关键．课后小测答案：一、选择题1．解：根据题意B 的纵坐标为﹣4，把y =﹣4代入y =﹣125x 2，得x =±10，∴A （﹣10，﹣4），B （10，﹣4）， ∴AB=20m ．即水面宽度AB 为20m ．故选C ．2．解：当y =3.05时，﹣15x 2+3.5=3.05，解得x 1=﹣1.5（舍去），x 2=1.5， ∴l =2.5+1.5=4m ．故选B ．3．解：由题意可得：y =0时，212501233x x -++=，解得：x 1=10，x 2=﹣2，故由此可知铅球推出的距离是：10m ，故选A ．4．解：由题意可得：x =6时，y =﹣14×62=﹣9．故水面离拱桥顶端的高度h 是9m ．故选：D ．5．解：根据题目条件B 的坐标是（10，﹣10），设抛物线的解析式为y =ax 2，将B 的坐标代入y =ax 2，得﹣10=100a 解得：a =﹣0.1．所以抛物线的表达式y =﹣0.1x 2．可设中柱右边第二根支柱底端点的坐标为（4，y ），于是y =﹣0.1×42=﹣1.6，∴中柱右边第二根支柱的高度是：10﹣1.6=8.4（米）．故选：D ．6．解：由题意得，M 点坐标为（0，6），A 点坐标为（﹣10，0），B 点坐标为（10，0），设中间大抛物线的函数式为y =﹣ax 2+bx +c ，代入三点的坐标得到6100100100100c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得350b 06a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩．∴函数式为y =23550x -+． ∵NC=4.5米，∴令y =4.5米，代入解析式得x 1=5，x 2=﹣5， ∴可得EF=5﹣（﹣5）=10米．故选择D ．二、填空题7．解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y =﹣x 2+6x ，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y =﹣x 2+6x 的顶点坐标的纵坐标， ∴y =﹣x 2+6x =﹣（x ﹣3）2+9， ∴顶点坐标为：（3，9）， ∴喷水的最大高度为9米，故答案为：9．8．解：建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y =ax 2+2，其中a 可通过代入A 点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a =﹣0.5，所以抛物线解析式为y =﹣0.5x 2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y =﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y =﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y =﹣1代入抛物线解析式得出： ﹣1=﹣0.5x 2+2，解得：x =所以水面宽度增加到故答案为：9．解：由题意可得出：y =a （x +6）2+4，将（﹣12，0）代入得出，0=a （﹣12+6）2+4，解得：a =﹣19，∴选取点B 为坐标原点时的抛物线解析式是：y =﹣19（x +6）2+4．故答案为：y =﹣19（x +6）2+4． 10．解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y =﹣x 2+4x ，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y =﹣x 2+4x 的顶点坐标的纵坐标， ∴y =﹣x 2+4x =﹣（x ﹣2）2+4， ∴顶点坐标为：（2，4）， ∴喷水的最大高度为4米，故答案为：4．三、解答题11．解：（1）M （0，5），B （2，0），C （1，0），D （32，0），设抛物线的解析式为y =ax 2+k ， ∵抛物线过点M 和点B ，则k =5，54a =-．即抛物线解析式为2554y x =-+；（2）当x =1时，y =154；当x =32时，y =3516．即P （1，154），Q （32，3516）当竖直摆放7个圆柱形桶时，桶高=310×7=2.1． ∵2.1＜154且2.1＜3516， ∴网球不能落入桶内；（3）设竖直摆放圆柱形桶m 个时网球可以落入桶内，由题意，得，3516≤0.3m ≤154，解得：7724≤m ≤1122； ∵m 为整数，∴m 的值为8，9，10，11，12．∴当竖直摆放圆柱形桶至多12个时，网球可以落入桶内．12．解：∵抛物线y =ax 2（a ＜0），点B 在抛物线上，将B （0.8，﹣2.4），它的坐标代入y =ax 2（a ＜0），求得154a =-，所求解析式为215=4y x -．再由条件设D 点坐标为（x ，﹣0.9），则有：2150.9=4x -- ，解得：x =，故宽度为， ∴x ＜0.5，2x ＜1，所以涵洞ED 不超过1m ．13．解：（1）以桥面所在的直线CD 为x 轴，以过桥拱的顶点的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，∴A （﹣60，0），B （60，0）．E （﹣80，﹣16）设抛物线的解析式为y =ax 2+c ，由题意，得 36000640016a c a c +=⎧⎨+=-⎩，解得：11751447a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴y =﹣1175x 2+1447， ∴当x =0时，y =1447．答：该抛物线型拱桥桥拱离桥面的最高高度为1447；（2）由题意，得当x =0时，y =1447，当x =15时，y =1357，当x =30时，y =1087，当x =45时，y =9．故钢索的总长度为：1447+2×1357+2×1087+2×9=108米．答：共需要钢索108米．14．解：（1）把点A （0，2）代入关系式得：2=a （﹣6）2+2.6，解得：a =﹣160，则y 与x 的关系式为：y =﹣160（x ﹣6）2+2.6；（2）∵当x=9时，y=﹣160（9﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，∴球能越过球网；∵当x=18时，y=﹣160（18﹣6）2+2.6=0.2＞0，∴球会出界．15．解：（1）抛物线的顶点坐标是（4，3），设抛物线的解析式是：y=a（x﹣4）2+3，把（10，0）代入得36a+3=0，解得a=1 12 -，则抛物线是y=112-（x﹣4）2+3；（2）当x=0时，y=112-×16+3=3﹣43=53＜2.44米．故能射中球门．。

新人教版九年级数学上册二次函数的应用(3)导学案

新人教版九年级数学上册二次函数的应用（3）导学案一、学习目标体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值；掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．二、知识回顾1．二次函数的三种解析式（1）一般式y=ax2+bx+c(a≠0)（2）顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)（3）交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)2. 抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴、y轴的交点坐标怎么求？（1）令x=0，代入抛物线解析式，可得y=c，（0，c）就是抛物线与y轴的交点坐标；（2）令y=0，即ax2+bx+c=0，解这个一元二次方程，求得x的解，即可得到抛物线与x轴的交点坐标.3．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为y=ax2．三、新知讲解利用二次函数解决拱桥问题、投球问题、运动轨迹问题、喷水问题等实际问题的一般解题思路：（1）建立适当的平面直角坐标系（若题目中已经给出，无需再建）；（2）根据题意找出已知点的坐标；（3）求出抛物线解析式；（4）直接利用二次函数的性质和图象解决实际问题．注：通过建立平面直角坐标系，可以将有关抛物线图象转化为二次函数模型．四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1．实际问题与二次函数——拱桥问题【例1】（2013秋•云梦县期末）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？总结：1.拱桥问题的题目分为两大类：①求拱宽；②求拱高．2.拱桥问题的解题步骤如下：（1）建立适当直角坐标系，可根据抛物线的对称性建立以y轴为对称轴的坐标系；（2）确定解析式的类型，若顶点在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2；若顶点不在原点上，一般设二次函数的解析式为y=ax2+k；（3）根据抛物线上点的坐标求二次函数解析式；（4）求特定点的拱宽或拱高（横坐标值或纵坐标值）．练1．（2014秋•硚口区期中）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（）A．1m B．2m C．（26﹣4）m D．（6﹣2）m2．实际问题与函数关系——投球问题【例2】（2013•武汉模拟）在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面43米的P点处发球，球的运动轨迹PAN看作一个抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，其高度为3米，离甲运动员站立地点O的水平距离为5米，球网BC离点O的水平距离为6米，以点O为圆点建立如图所示的坐标系，乙运动员站立地点M的坐标为（m，0）（1）求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（2）求羽毛球落地点N离球网的水平距离（即NC的长）；（3）乙原地起跳后可接球的最大高度为2.4米，若乙因为接球高度不够而失球，求m的取值范围．总结：解投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹的二次函数应用问题，一般分为以下四个步骤：1．建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)；2．根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标；3．利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式：（1）当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c求其解析式；（2）当已知顶点坐标为(k，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式y=a(x-h)2+k求其解析式；（3）当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)、(x2，0)时，可用交点式y=a(x-x1)(x-x2)求其解析式；4.利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解．练2．（2012•杭州模拟）林书豪身高1.91m，在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=15x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离约为（）A．3.2m B．4m C．4.5m D．4.6m3．实际问题与函数关系——喷水问题【例3】（2015•武汉模拟）如图，小区中央公园要修建一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰好在水面的中心，OA=1.25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计水流在离OA距离为1米处达到距水面的最大高度2.25米．（1）建立适当的平面直角坐标系，使A 点的坐标为（0，1.25），水流的最高点的坐标为（1，2.25），求水流的抛物线路线在第一象限内对应的函数关系式（不要求写取值范围）；（2）若不计其他因素，则水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？（3）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时水流距水面的最大高度达到多少米？总结：1．在“喷水”问题中，可根据自变量的实际意义，将喷嘴或出水点建立在y 轴上，以便在坐标系中快捷地找出一些重要点的坐标，为求得抛物线的解析式提供充分条件.2．在“喷水”问题中，如果已知抛物线的顶点坐标，常将抛物线的解析式设为y =a （x -h ）2+k ；如果已知抛物线与x 轴的两个交点，常设抛物线的解析式为y =（x -x 1）（x -x 2）．练3．（2013秋•海阳市期中）一个台型喷泉，若沿着中轴线截面，得到如图所示的抛物线，一个单位长度是1米，已知这两段抛物线关于y 轴对称，其右侧的抛物线为：2144(1)8y x x x =-+≤≤．（1）喷泉水柱的最高点到接水盘水面的距离是多少？（2）喷泉水柱的最高处形成一个环形，这个环形的直径是多少？五、课后小测一、选择题1．（2015•铜仁市）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣125x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m2．（2014•河口区校级模拟）小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y=﹣15x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（）A．3.5m B．4m C．4.5m D．4.6m3．（2014秋•孝南区期中）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=﹣112x2+23x+53，由此可知铅球推出的距离是（）A．10m B．3m C．4m D．2m或10m4．（2014秋•莱城区校级月考）拱桥呈抛物线型，其函数解析式为214y x =-，当拱桥下水面宽为12m 时，水面离拱桥顶端的高度h 是（）A ．3mB ．26mC ．43mD ．9m5．（2012•株洲模拟）株洲五桥主桥主孔为拱梁刚构组合体系如图1，小明在五桥观光，发现拱梁的路面部分有均匀排列着9根支柱，他回家上网查到了拱梁是抛物线，其跨度为20米，拱高（中柱）10米，于是他建立如图2的坐标系，将余下的8根支柱的高度都算出来了，你认为中柱右边第二根支柱的高度是（）米．A ．7B ．7.6C ．8D ．8.46．（2012秋•渝中区校级月考）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB=20米，顶点M 距水面6米（即MO=6米），小孔顶点N 距水面4.5米（即NC=4.5米）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，则此时大孔的水面宽度EF 长为（）A ．103米B ．63米C ．12米D ．10米二、填空题7．（2015•滕州市模拟）滕州市政府大楼前广场有一喷水池，喷出水的路径是一条抛物线，如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空号总划出的曲线是抛物线y=﹣x2+6x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是米．8．（2014•仙桃）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．9．（2014•绍兴）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x﹣6）2+4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是．10．（2014秋•建湖县期末）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是米．三、解答题11．（2015•杭州模拟）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B．有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径CD为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如图，建立直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）如果竖直摆放7个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？（3）当竖直摆放圆柱形桶至多多少个时，网球可以落入桶内？12．（2014•曲靖模拟）一个涵洞成抛物线形，它的截面如图．现测得，当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点O与水面的距离为2.4m．ED离水面的高FC=1.5m，求涵洞ED宽是多少？是否会超过1m？（提示：设涵洞所成抛物线为y=ax2（a＜0））13．（2014•仙居县模拟）如图，要建造一座抛物线型拱桥，其水面跨度为160m，桥面主跨度AB为120m，桥面离水面高度为16m．（1）求该抛物线型拱桥桥拱离桥面的最高高度；（2）如果要在桥面上每隔15m设置一根钢索，垂直于桥面连接到桥拱上，请问，共需要钢索多少米？（不计穿过桥拱和桥面部分钢索长度，精确到1m）．14．（2014秋•龙口市期末）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x﹣6）2+2.6．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m．（1）求y与x的关系式；（不要求写出自变量x的取值范围）（2）球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．15．（2013•鞍山二模）在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10米处起脚射门，当球飞行的水平距离为6米时达到最高点，此时球高为3米．（1）如图建立直角坐标系，当球飞行的路线为一抛物线时，求此抛物线的解析式．（2）已知球门高为2.44米，问此球能否射中球门（不计其它情况）．典例探究答案：【例1】分析：（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据写出函数解析式．（2）先求x =3米时y 的值，用拱桥最大高度减去｜y ｜，然后与3.6相比较即可得出答案．解答：解：（1）设抛物线解析式为y =ax 2，因为抛物线关于y 轴对称，AB=20，所以点B 的横坐标为10，设点B （10，n ），点D （5，n +3），n =102•a =100a ，n +3=52a =25a ，即100325n a n a=⎧⎨+=⎩，解得4125n a =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴2125y x =-. （2）∵货轮经过拱桥时的横坐标为x =3， ∴当x =3时，1925y =-⨯ ∵925-﹣（﹣4）＞3.6 ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．点评：此题考查了坐标系的建立，以及抛物线的性质与求值．练1．分析：根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y =﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．解答：解：建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=±6664．故选：C．点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．【例2】分析：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣5）2+3，将点（0，43）代入可得出a的值，继而得出抛物线解析式；（2）令y=0，可得出ON的长度，由NC=ON﹣OC即可得出答案．（3）先计算出刚好接到球时m的值，从而结合所给图形可得出运动员接球高度不够m的取值范围．解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣5）2+3，将点（0，43）代入可得：43=a（0﹣5）2+3，解得：a=﹣1 15，故抛物线的解析式为：y=﹣115（x﹣5）2+3．（2）当y=0时，﹣115（x﹣5）2+3=0，解得：x1=5﹣5，x25即5∵OC=6，∴51米．（3）若运动员乙原地起跳到最大高度时刚好接到球，此时﹣115（m﹣5）2+3=2.4，解得：m1=2，m2=8，∵运动员接球高度不够，∴2＜m＜8，∵OC=6，乙运动员接球时不能触网，∴m的取值范围为：6＜m＜8．点评：本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直角坐标系，将实际问题转化为数学模型，难度一般．练2．分析：把y=3.05代入所给二次函数解析式，求得相应的x的值，加上2.5即为所求的数值．解答：解：由题意得：3.05=15x2+3.5，x2=2.25，∵篮圈中心在第一象限，∴x=1.5，∴他与篮底的距离约为1.5+2.5=4m，故选B．点评：考查二次函数的应用；建立数学模型，求得篮圈中心与原点的水平距离是解决本题的关键．【例3】分析：（1）以柱子OA 所在的直线为y 轴，垂直于OA 的直线为x 建立平面直角坐标系，根据已知得出二次函数的顶点坐标，即可利用顶点式求出二次函数解析式，（2）令y =0，则﹣（x ﹣1）2+2.25=0，求出x 的值即可得出答案，（3）当水流喷出的抛物线形状与（1）相同，即a =﹣1，当x =3.5时，y =0，进而求出答案即可．解答：解：（1）以柱子OA 所在的直线为y 轴，垂直于OA 的直线为x 建立平面直角坐标系，因为顶点为（1，2.25），设解析式为y =a （x ﹣1）2+2.25，因为抛物线过点（0，1.25），解得a =﹣1，所以解析式为：y =﹣（x ﹣1）2+2.25.（2）由（1）可知：y =﹣（x ﹣1）2+2.25，令y =0，则﹣（x ﹣1）2+2.25=0，解得x =2.5 或x =﹣0.5（舍去），所以水池半径至少为2.5m ；（3）根据题意得出：设y =﹣x 2+bx +c ，把点（0，1.25），（3.5，0）代入关系式，得1.25497042c b c =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，解得：22754b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则y =﹣x 2+227x +54=﹣（x ﹣117）2+729196，故水池的半径为3.5m ，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达729196．点评：此题主要考查了二次函数的实际应用，根据实际问题运用二次函数最大值求二次函数解析式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．练3．分析：（1）将函数的解析式2144(1)8y x x x =-+≤≤转化为顶点式就可以求出结论；（2）由抛物线的顶点式可以求出顶点B 的坐标，就可以求出A 的坐标，求出AB 的值就是环形的直径．解答：解：（1）∵y =﹣4x 2+4x ， ∴y =﹣4（x ﹣12）2+1， ∴顶点B 的坐标为（12，1）， ∴喷泉水柱的最高点到接水盘水面的距离是1米；（2）∵两段抛物线关于y 轴对称，∴A （﹣12，1）， ∴AB=1，∴喷泉水柱的最高处形成一个环形的直径是1米．点评：本题考查了抛物线的解析式的运用，二次函数的顶点式的运用，轴对称的性质的运用，解答时运用抛物线的性质求解是关键．课后小测答案：一、选择题1．解：根据题意B 的纵坐标为﹣4，把y =﹣4代入y =﹣125x 2，得x =±10，∴A （﹣10，﹣4），B （10，﹣4），∴AB=20m ．即水面宽度AB 为20m ．故选C ．2．解：当y =3.05时，﹣15x 2+3.5=3.05，解得x 1=﹣1.5（舍去），x 2=1.5，∴l =2.5+1.5=4m ．故选B ．3．解：由题意可得：y =0时，212501233x x -++=，解得：x 1=10，x 2=﹣2，故由此可知铅球推出的距离是：10m ，故选A ．4．解：由题意可得：x =6时，y =﹣14×62=﹣9．故水面离拱桥顶端的高度h 是9m ．故选：D ．5．解：根据题目条件B 的坐标是（10，﹣10），设抛物线的解析式为y =ax 2，将B 的坐标代入y =ax 2，得﹣10=100a解得：a =﹣0.1．所以抛物线的表达式y =﹣0.1x 2．可设中柱右边第二根支柱底端点的坐标为（4，y ），于是y =﹣0.1×42=﹣1.6，∴中柱右边第二根支柱的高度是：10﹣1.6=8.4（米）．故选：D ．6．解：由题意得，M 点坐标为（0，6），A 点坐标为（﹣10，0），B 点坐标为（10，0），设中间大抛物线的函数式为y =﹣ax 2+bx +c ，代入三点的坐标得到6100100100100c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得350b 06a c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩．∴函数式为y =23550x -+． ∵NC=4.5米，∴令y =4.5米，代入解析式得x 1=5，x 2=﹣5，∴可得EF=5﹣（﹣5）=10米．故选择D ．二、填空题7．解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y =﹣x 2+6x ，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y =﹣x 2+6x 的顶点坐标的纵坐标，∴y =﹣x 2+6x =﹣（x ﹣3）2+9，∴顶点坐标为：（3，9），∴喷水的最大高度为9米，故答案为：9．8．解：建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y =ax 2+2，其中a 可通过代入A 点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a =﹣0.5，所以抛物线解析式为y =﹣0.5x 2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y =﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y =﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y =﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x 2+2，解得：x =6，所以水面宽度增加到26米，故答案为：26．9．解：由题意可得出：y =a （x +6）2+4，将（﹣12，0）代入得出，0=a （﹣12+6）2+4，解得：a =﹣19，∴选取点B 为坐标原点时的抛物线解析式是：y =﹣19（x +6）2+4．故答案为：y =﹣19（x +6）2+4．10．解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y =﹣x 2+4x ，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y =﹣x 2+4x 的顶点坐标的纵坐标，∴y =﹣x 2+4x =﹣（x ﹣2）2+4，∴顶点坐标为：（2，4），∴喷水的最大高度为4米，故答案为：4．三、解答题11．解：（1）M （0，5），B （2，0），C （1，0），D （32，0），设抛物线的解析式为y =ax 2+k ， ∵抛物线过点M 和点B ，则k =5，54a =- ．即抛物线解析式为2554y x =-+；（2）当x =1时，y =154；当x =32时，y =3516．即P （1，154），Q （32，3516）当竖直摆放7个圆柱形桶时，桶高=310×7=2.1． ∵2.1＜154且2.1＜3516， ∴网球不能落入桶内；（3）设竖直摆放圆柱形桶m 个时网球可以落入桶内，由题意，得，3516≤0.3m ≤154，解得：7724≤m ≤1122； ∵m 为整数，∴m 的值为8，9，10，11，12．∴当竖直摆放圆柱形桶至多12个时，网球可以落入桶内．12．解：∵抛物线y =ax 2（a ＜0），点B 在抛物线上，将B （0.8，﹣2.4），它的坐标代入y =ax 2（a ＜0），求得154a =-，所求解析式为215=4y x -．再由条件设D 点坐标为（x ，﹣0.9），则有：2150.9=4x --，解得：0.240.25x =＜故宽度为0.24=65 ， ∴x ＜0.5，2x ＜1，所以涵洞ED 不超过1m ．13．解：（1）以桥面所在的直线CD 为x 轴，以过桥拱的顶点的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，∴A （﹣60，0），B （60，0）．E （﹣80，﹣16）设抛物线的解析式为y =ax 2+c ，由题意，得36000640016a c a c +=⎧⎨+=-⎩，解得：11751447a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴y =﹣1175x 2+1447， ∴当x =0时，y =1447．答：该抛物线型拱桥桥拱离桥面的最高高度为1447；（2）由题意，得当x =0时，y =1447，当x =15时，y =1357，当x =30时，y =1087，当x =45时，y =9．故钢索的总长度为：1447+2×1357+2×1087+2×9=108米．答：共需要钢索108米．14．解：（1）把点A （0，2）代入关系式得：2=a （﹣6）2+2.6，解得：a =﹣160，则y 与x 的关系式为：y =﹣160（x ﹣6）2+2.6；优质文档（2）∵当x=9时，y=﹣160（9﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，∴球能越过球网；∵当x=18时，y=﹣160（18﹣6）2+2.6=0.2＞0，∴球会出界．15．解：（1）抛物线的顶点坐标是（4，3），设抛物线的解析式是：y=a（x﹣4）2+3，把（10，0）代入得36a+3=0，解得a=1 12 -，则抛物线是y=112-（x﹣4）2+3；（2）当x=0时，y=112-×16+3=3﹣43=53＜2.44米．故能射中球门．。

(精)人教版教材数学九年级上册《二次函数》全章导学案

课题22.1 二次函数（1）导学目标知识点：1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式；3、通过解决实际问题的过程总结建立数学模型的方法，培养与他人交流的意识和提取合理见解的能力。

课时：1课时导学方法：实验、整理、分析、归纳法导学过程：一、课前导学1、填表一次函数正比例函数表达式图形形状2、探究（1）．正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为x ，表面积为y ，则y 关于x 的关系式为是什么？①（2）．多边形的对角线数d 与边数n 有什么关系？②n边形有个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作条对角线。

因此，n边形的对角线总数d = 。

（3）．某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20件，一年后的产量是件，再经过一年后的产量是件，即两年后的产量为。

③二、合作探究探究：函数①②③有什么共同特点？你能举例说明吗？一般地，形如的函数，叫做二次函数其中，是自变量，a为，b为，c为，做一做：1、下列函数中，哪些是二次函数？分别说出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。

(1)(2) (3) (4))1(xxy-=(5))1)(1()1(2-+--=xxxy(6) 23712y x x=+-－2、函数2y ax bx c=++，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？三、展示点评学习知识最好的途径就是自我发现四、课堂检测1.下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x.2.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数(1)、长方形的长是宽的2倍，写出长方形的周长C 与宽a 之间的函数关系，是的函数。

初中数学九年级《5.8二次函数的应用》导学案

5.8二次函数的应用导学案学习目标：1、能根据实际问题列出函数关系式，确定函数自变量x的取值范围2、建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力学习重点、难点：1、重点:根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围2、难点:根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围课前延伸1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

(1)y＝6x2＋12x； (2)y＝－4x2＋8x－102. 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?课内探究一、自主学习要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?二、合作与探究展示:1、某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元售出，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。

将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?2．用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。

应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透光面积是多少?三、检测与反馈:练习第1、2、3题四、课堂小结:1．通过本节课的学习，你学到了什么知识?存在哪些困惑?2．谈谈你的收获和体会。

五、布置作业:P47 1、2课后提升1．如图(1)所示，要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m 长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，没靠墙的篱笆长度为xm。

(1)要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为多少米?(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米?(3)比较(1)、(2)的结果，你能得到什么结论?2．如图(2)，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B＝30°，若边长AB＝x(cm)。

【最新经典文档】数学九年级上册《二次函数》导学案

x1
x 2 ．这六个式子中二次
2. y (m 1)xm2 m 3x 1 是二次函数，则 m 的值为 ______________．
3.若物体运动的路段 s（米）与时间 t（秒）之间的关系为 s 5t 2 2t ，则
当 t＝ 4 秒时，该物体所经过的路程为
。
五、课后反思：
22.1.2 二次函数 y ax2 的图象
。
22.1.3 二次函数二次函数 y a x h 2 k 的图象（一）
【学习目标】
1．知道二次函数 y ax2 k 与 y ax 2 的联系． 2.掌握二次函数 y ax2 k 的性质，并会应用；
九年级数学（上）
【学习重难点】类比一次函数的平移和二次函数
【学习过程】
y ax2 的性质学习，要构建一个知识体系。
有唯一的值与它对应，那么就说 y 是 x 的
， x 叫做
。
2. 形如 y ___________ （ k 0) 的函数是一次函数，当 ______ 0 时，
它是
函数；形如
（ k 0) 的函数是反比例函数。
二、围标群学：
1．用 16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积 y( ㎡) 与长方形的长 x(m)
抛物线 y 2x 2 向下平移 4 个单位，就得到抛物线 __________________．
2．抛物线 y
3x2 2 向上平移 3 个单位后的解析式为
，它们的形状
__________，当 x = 时， y 有最值是
。
3．由抛物线 y 5x2 3 平移，且经过（ 1,7）点的抛物线的解析式是
，
是把原抛物线向
一、依标独学： 1、直线 y 2 x 1 可以看做是由直线 y 2 x

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学习内容与过程：一、考点链接二次函数的解析式：(1) 一般式:(3)交点式：顶点式的儿种特殊形式・1.2. (1)二、合作释疑3. 二次函擞 y ax =对称，顶点坐标为( 当2―(WT 抛物线开口同<x= 时，y 有最当a u 时，抛物线开口向■ x时，y 有最；(2)顶点式:9,有最 LX 或十 ',有最 (“大’或“小”(4)=+— + -----------------b 2 4ac b y a(x_ )).(填'高’或’低’)点当值是；(填“高”或“低")点,当值是^4a例1用铝合金型材做一个形状如图 1所示的矩形窗框,设窗框的一边为课题：二备课人：赵沛沛审核人：许曼•■ 4HB ■ • Mb ・ ■ MM ■-•学习目标：1.能根据条件选择合适的表达式确定二次函数的解析式;2.会利用二次函数的图象和性质解决相关问题;学习重点：会利用二次函数的图象和性质解决相关问题； e 君召初中九年级数学(下)册导学案(总第18) 课型：复习课吋间:，bx c， 2,其抛物线关于直xm,窗户的透光面三、问题点拨二次函数解析式确定的方法：1. 已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般是比较方便；2. 已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式比较方便；3. 已知抛物线与x 轴两个交点的坐标(或横坐标x , X2)时，选用两点式;四、中考演练21. 二次函数y = x + 10x —5的最小值为2.某飞机着陆生滑行的路程 s 米与时间t 秒的关系式为:J 贝】J y 与x 之间函数关系为・3.矩形周长为16cm,它的一边长为 xcm,面积为弓cm 苹果熟了，从树上落下所经过的路程 S 与下落的时间t 满足 125•将一张边长为30 cm 的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为x cm 的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体•当X 取下面哪个数值时，长方体的体积最大()A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6.下列函数关系中，是二次函数的是()A. 在弹性限度内，弹簧的长度 y 与所挂物体质量x 之间的关系B. 当距离一定时，火车行驶的时间 t 与速度v 之间的关系C. 等边三角形的周长 C 与边长a 之间的关系D. 圆心角为120°的扇形面积 S 与半径R 之间的关系后滑行米才能停止・= 一 2s 60t1.5t ,试问飞机着陆4.0的常数)则s7•如图，用长为18 m的篱笆)(虚线部分)，两面靠墙围成矩形的苗圃取值范围；⑵ 当X为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少?9•体育视飞式时\靳三一名高个学生推铅球，1 2y x x 2的一部分，根据关系式回答：12(1)该同学的出手最大高度是多少？(2)铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？(3)该同学的成绩是多少？君召初中九年级(1)设矩形的一边为x m面积为y (m 2),求y关于x的函数关系罚'弹闻闽剧曲\\\$\愉已知鮎求所经过的路线为抛物线。

九年级数学上册 21.4 二次函数的应用(第2课时)精品导学案 (新版)沪科版

第2课时二次函数的应用(2)1．在实际问题中求抛物线的解析式时，为使问题简单，通常以抛物线的顶点为原点建立直角坐标系．2．下图是一个抛物线形拱桥，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的直角坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．解：正确．建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的解析式为y ＝ax 2(a ≠0)，把(20，－6)代入，得－6＝a ·202.解得a ＝－3200，∴y ＝－3200x 2.构建二次函数模型【例题】我国新发射的一颗返回式卫星，为便于回收，设计人员将它的每一个纵切面边缘都设计为抛物线型．如图(1)所示为其中一个切面的边缘线图形，若切面底面宽度AB ＝1.8 m ，高度OC ＝2.4 m ，试建立适当的直角坐标系，求这条边缘线所在抛物线的解析式．解：以O 点为坐标原点，以OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图(2)，设抛物线的解析式为y ＝ax 2(a ≠0)，把点A (－0.9，－2.4)代入，得a ＝－8027，所以抛物线的解析式为y ＝－8027x 2.这道题是典型的数形结合的题型，根据几何图形的直观性，解决抽象的代数问题，使解答简捷、灵活、流畅，体现了数形结合的优越性，激发了学生兴趣，增强了用数形结合思想指导解题的意向．数形结合的思想是很重要的数学思想，也是分析问题、解决问题的有力工具．在今后的学习中，我们要逐步加深对它的理解，并且要学会这种解决问题的方法．针对性训练见当堂检测·基础达标栏目第3题1．学校要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ．O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．且在过OA 的任意平面上的抛物线如图所示，建立平面直角坐标系(如图)，水流喷出的高度y (m)与水面距离x (m)之间的函数关系式是y ＝－x 2＋52x ＋32，若不计其他因素，水池的半径至少要( )米，才能使喷出的水不至于落在池外．A ．3B ．12C ．3或12 D ．1.5 解析：把y ＝0代入y ＝－x 2＋52x ＋32，得－x 2＋52x ＋32＝0，∴2x 2－5x －3＝0.∴x 1＝3，x 2＝－12.又∵x ＞0，∴x ＝3.∴OB ＝3.∴半径至少是3米．答案：A2．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为______米．解析：建立如图所示的坐标系，设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，A (0.5，－1.5)、B (2,0)、O (0,0)，所以a ＝2，b ＝－4，c ＝0.所以解析式为y ＝2x 2－4x .所以顶点坐标为(1，－2)，即最低点距地面的距离为2.5－2＝0.5米．答案：0.53．如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC ．点A 、B 在抛物线造型上，且点A 到水平面的距离AC ＝4米，点B 到水平面距离为2米，OC ＝8米．(1)请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；(2)为了安全美观，现需在水平线OC 上找一点P ，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA 、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省(支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑)时的点P ？(无需证明)(3)为了施工方便，现需计算出点O 、P 之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O 、P 之间的距离是多少？(请写出求解过程)分析：此题考查了二次函数的实际应用问题．解此题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数解题．(1)以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴建立直角坐标系，可设抛物线的函数解析式为y ＝ax 2，又由点A 在抛物线上，即可求得此抛物线的函数解析式；(2)延长AC ，交建筑物造型所在抛物线于点D ，连接BD 交OC 于点P ，则点P 即为所求； (3)首先根据题意求得点B 与D 的坐标，设直线BD 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，利用待定系数法即可求得直线BD 的函数解析式，把x ＝0代入求出的解析式，即可求得点P 的坐标．解：(1)以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴建立直角坐标系，如图，设抛物线的函数解析式为y =ax 2，由题意知点A 的坐标为(4,8)． ∵点A 在抛物线上，∴8=a ×42，解得a=12， ∴所求抛物线的函数解析式为y=212x . (2)找法：延长AC ，交建筑物造型所在抛物线于点D ，则点A 、D 关于OC 对称．连接BD 交OC 于点P ，则点P 即为所求． (3)由题意知点B 的横坐标为2，∵点B 在抛物线上，∴点B 的坐标为(2,2)，又点A 的坐标为(4,8)， ∴点D 的坐标为(-4,8)．设直线BD 的函数解析式为y =kx +b ， ∴22,48,k b k b +=⎧⎨-+=⎩解得k =-1，b =4.∴直线BD 的函数解析式为y =-x +4，把x =0代入y =-x +4，得点P 的坐标为(0,4)，因此两根支柱用料最省时，点O ，P 之间的距离是4米．。

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