第7届“希望杯”全国数学邀请赛高一第1试

第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试
班级 姓名
一、选择题
1、集合}2,1,0{的子集个数为------------------------------------------------------------（ ）
（A ）3 （B ）4 （C ）7 （D ）8
2、函数b x a x f +=sin )(的最大值是-------------------------------------------------（ ）
（A ）||b a + （B ）b a +|| （C ）b a + （D ）||b a +
3、函数)1(2sin 2x y -=的最小正周期是---------------------------------------------（ ）
（A ）π2 （B ）π （C ）π4 （D ）π3
4、在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC 与B 1D 间的距离是------------（ ）
（A ）22 （B ）1 （C ）45 （D ）2
3 5、以下命题中，正确的是----------------------------------------------------------------（ ）
（A ）两个平面斜交，则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面都不垂直。

（B ）过平面α的一条斜线的平面与α一定不垂直。

（C ）a ，b 是异面直线，过a 必能作一个平面与b 垂直。

（D ）同垂直于一个平面的两个平面平行。

6、在一个正方体中取四个顶点作为一个四面体的顶点，在这样的一个四面体中，直角三角形最多有----------------------------------------------------------------------------（ ）
（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个
7、若关于x 的方程12)1(2+=+a x 和ax x 2)2(2=+中至少有一个方程具有两个不等实根，则实数a 的集合为--------------------------------------------------------------（ ）
（A ）),2
1(+∞-（B ）),4()0,1(+∞- （C ）)4,0( （D ）R 8、若)4,2(∈x ，22x a =，2)2(x b =，x c 22=，则c b a ,,的大小关系是-----（ ）
（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）b a c >> （D ）c a b >>
9、方程1)1(22=--+x x x 的整数解的个数是---------------------------------------（ ）
（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）5
10、有三个命题：
①函数))((x g f y =，其中)(x g u =在区间D 上是增函数，)(u f y =在区间D 上是减函数，则函数))((x g f y =在区间D 上是减函数。

②函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，若)(x f y =是区间D 上是增函数，则)(1x f y -=也是区间D 上是增函数。

③函数)(x f y =在定义域A 上存在反函数，则)(x f 在A 上是单调函数。

以上三个命题中，正确的个数为----------------------------------------------------（ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
二、A 组填空题
11、三棱柱的对角线条数为 。

12、方程x x 1.0log lg =的解集为 。

13、已知集合}1|{≥=x x M ，}50|{<≤=x x N ，全集R I =，则=N M 。

14、若5
42sin
=θ，且0sin <θ，则θ所在的象限是第 象限。

15、函数)2sin()(ϕ+=x x f 的图象的一条对称轴的方程是8
π=x ，且),0(π∈ϕ，则=ϕ 。

16、在正四面体ABCD 中，△ABC 和△ACD 的中心分别为M 和N ，且MN=1，这个四面体的高为 。

17、已知)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，且32)()(2++=-x x x g x f ，则=+)()(x g x f 。

18、关于x 的方程016)82(22=-+--m x m x 的两个实根中，一个比
23大，另一个比23小，则m 的取值范围是 。

19、函数1lg )(2+-=x a x x f 的图象与x 轴有两个交点，则a 的取值范围是 。

20、三条直线c b a ,,两两成异面直线，它们互相成等角，且存在一个平面与它们都平行，则b a ,所成的角为 。

三、B 组填空题
21、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，则二面角B 1-DE-A 1的平面角的余弦是 。

22、函数)(x f 的值域为]4,4
1(，则)(2)()(x f x f x g -=的值域为 。

23、在空间四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，CD ⊥AB ，AB=BC=CD ，则AD 与BC 所成的角的正切值是 。

24、集合}1,|{)1(2>==++-a a
x x M a
x a x ，M 中的元素个数是 。

25、在棱长为3的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1上一点，且A 1E=1，F 为截面A 1BD 内一动点，则AF+FE 的最小值等于 。

第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第二试
班级 姓名
一、选择题
1、已知函数10sin )(3++=x b ax x f ，且5)1(=f ，则)1(-f 的值是---------（ ）
（A ）5- （B ）15 （C ）5 （D ）不确定的
2、α、β都是第二象限的角，以下命题中正确的是--------------------------------（ ）
（A ）若β>α，则β<αsin sin （B ）若β>α，则β>αtg tg
（C ）若β>αsin sin ，则β>αcos cos （D ）若β>αsin sin ，则β>αtg tg
3、函数|cos |sin x x ⋅的最小正周期是-------------------------------------------------（ ）
（A ）π2 （B ）π （C ）2
π （D ）不存在 4、设函数x y 2=的图象为C ，某函数的图象C ‘与C 关于直线2=x 对称，那么这个函数是
-------------------------------------------------------------------------------------（ ）
（A ）x y -=2 （B ）x y -=22 （C ）x y -=42 （D ）42-=x y
5、已知α-α=αα-sin cos cos sin 21，则α的取值范围是----------------------（ ）
（A ）]452,42[π+ππ+
πk k （B ）]4
2,432[π+ππ-πk k （C ）]42,42[π+ππ-πk k （D ）]2
2,22[π+ππ-πk k (以上Z k ∈) 6、已知函数|12|)(-=x x f ，c b a <<，且)()()(b f c f a f >>，则----------（ ）
（A ）0,0,0<<<c b a （B ）0,0,0>≥<c b a （C ）c a 22<- （D ）222<+c a
7、已知函数k n f =)(，k 是循环小数..51827364
9.0的小数点后的第n 位数字，则})]1([{ f f f f 的值为----------------------------------------------------------------（ ）
（A ） 9 （B ）7 （C ）3 （D ）4
8、二次函数c bx ax y ++=2)0,0(≠≠c a 的值域为M ，a bx cx y ++=2的值域为N ，则集合M 、N 的关系是-------------------------------------------------------------（ ）
（A ）N M ⊆（B ）N M ⊇（C ）N M =（D ）Φ=N M
9、在正方体的12条面对角线所在的直线中存在异面直线，如果其中两条异面直线间的距离是1，那么这个正方体棱长可能取的值的集合是-----------------------（ ）
（A ）}1{ （B ）}3{ （C ）}3,1{ （D ）}2,1{
10、四面体的六条棱长分别为7，13，18，27，36，41。

已知AB=41，则棱CD 的长为------------------------------------------------------------------------------------------（ ）
（A ）27 （B ）18 （C ）13 （D ）17
二、填空题
11、某班共50名学生，其中女团员7人，住校的女生9人，不住校的团员共15人，住校的男团员有6人，男生中非团员且不住校的有8人，女生中非团员且不住校的有3人，共有男生33人，则住校学生共有 人，全班非团员共 人。

12、右图为函数的图象，A 点坐标为)4,21(-，在直线2
1-=x 左方是幂函数曲线，右方是指数函数曲线，则此函数的解析式是 。

13、已知棱长为1的正方体，以它的82
的有 个。

14、抛物线bx x y -=2，bx x y +-=2与直线kx y =最多能把平面分成 部分。

15、函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=)
0( 2)0( 2x x x x y 的反函数为 。

16、函数322132,,,,,x y x y x y x y x y x y ======--的图象与直线
a x =的公共点分别为P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，则当点集{ P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6}中元素个数最少时，a 值为 。

17、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则到直线A 1D 1及AB 1的距离相等的截面的面积为 。

18、若θsin ，θcos 是关于x 的方程012682=+++k kx x 的两个实根，则k 值为 。

19、一只蚂蚁从长方体的顶点A 出发沿各行其长方体的棱爬行，要经过每个顶点一次且只经过一次，则不同爬法的种数为 。

20、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是面对角线AB 1上一动点，Q 是底面ABCD 上一动点，则C 1P+PQ 的最小值为 。

三、解答题 21、（1）试画出由方程
21)2lg()2(log
)2lg()6lg(101=-+-+-y x x x 所确定的函数)(x f y =的图象；
（2）若函数2
1+
=ax y 与)(x f y =的图象恰有一个公共点，求a 的取值范围。

22、正四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1上下底面边长分别为A 1B 1=2，AB=4，高为6，E 为BC 中点，作平行于底面的截面，与线段AD 1，AB 1，C 1E 分别相交于X 、Y 、Z ，求△XYZ 面积的取值范围。