6.3 边界积分方程的离散化方程

6.3 离散化边界积分方程的建立

以二维边界离散化方程的建立为例，重点突出离散化方法的学习。

6.3.1建立Laplace 场的边界离散化方程

电磁场边界元法的通用积分方程

(4)

其中：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧∈∈∈=域外

光滑的边界上域内D D c i 0

211

设在Laplace 场中的二维边界上一点i 处，有方程：

在二维场的边界线l 上进行离散，将l 划分为许多小段，每段以直线段或曲线段逼近，作为一个单元。设l 点共被分为0N 个单元，其中在第一类边界1l 段上划分了1N 个单元，在第二类边界2l 段上划分了2N 个单元：

210N N N +=

作为单元待求量的插值计算方式，可分为几种： ① 恒值单元

同一单元中的待求量u 和

n

u ∂∂都设为恒定值

(或称零次插值)，实际上是取单元中点的u 值(或

n

u ∂∂值)作为单元的u 值(或n

u

∂∂值)。这样，取单

元中点为节点，所以求解变量数等于节点数。 ② 线性单元

它也是直线单元，其u 值在单元两端点之间按线性变化(即线性插值)。单元两端点为单元的节点。 ③ 曲线单元

每单元上的节点数大于2，以多节点拟合的曲线逼近边界单元，以单元节点上的高阶插值函数作为待求位函数近似解。

取最简单的单元——恒值单元为例，介绍边界元离散方法。 按上面的方程对i 单元的“i ”节点离散化 ∑⎰

∑⎰

==∂∂=

∂∂+

o

j

o

j

N j l

N j l

i l n

u F

l n

F u

u 1

1

d d 2

1

∑⎰

∑⎰===

∂∂+

1

1

d d 2

1N j l

N j l

j

j

i j

o

j

l F q l n

F

u u

，⎰=

j

l ij l F G d ，上式表示为：

设i 点为i 单元的中点（021N i 、、、 =），有

()∑∑====

1

01

21N j N j j

ij j ij

N i q G

u H

,,,

式中：

于是上述0N 个方程写为矩阵形式

GQ HU =

由定解问题中的第一类边界1l ，对应有1N 个单元的位值u s 是已知的，2l 是第二类边界，对应有2N 个单元n

u q s ∂∂=

位是已知。所以上述矩阵方程中，有2N 个单元的u 值和

1N 个单元的q 值是未知的，即是说矩阵方程有021N N N =+个未知数。设单元排列顺序

在1l 边界上为1，2，……，1N ，在2l 边是上为11+N 、21+N 、…、0N ，则上述矩阵方

程可以用子阵形式表出

[][]⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212121Q Q G G U U H H 式中带下标1和2的子阵分别对应于边界1l 和2l ，将上式中未知量交换到左侧，已知量交换到右侧。 22112211Q G Q G U H U H +=+

22112211Q G U H U H Q G +-=+- [][]⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21212121Q U G H U Q H G

R AX =⇒

上式就是采用恒值单元推导出的边界元方程。

6.3.2 建立Poisson 场边界元离散化方程

显然Poisson 场可以在Laplace 场边界元离散化方程基础上再加上场源激励项的影响。对于二维场而言，在方程的右端应加上面积分项：

⎰D S fF d

此项在计算前必须先将积分区域D 仿照有限元法进行区域剖分，得到M 个单元，对应于场点“i ”求出每个单元的贡献（积分值）

∑⎰⎰

=∆⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

=

=

M

k D

i k

S fF S fF B 1

d d

这样，Poisson 场的边界元离散化方程可写为

),,2,1(1

1

o N j N j j

ij

j

ij

i N i q G

U

H

B o

o

==

+∑∑==

写为矩阵形式：

GQ HU B =+

将未知量移到方程为左端，已知量移到右端有：

B R AX -=

通过求解这个代数方程组，求得边界上所得节点的u 和q 值后，就可以按(4)式电磁场边界元法的通用积分方程

⎰⎰

-

⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=s D

i i V fF S n F u n

u

F u c d d

计算区域D 内部节点的位函数值

()i N j j ij j ij

i B u H q G

u o

--=

∑=1

现在问题是：如何计算出i B 来。约定：在D 域内采用三角形单元剖分，在边界上不应再增添新的节点。为便于计算，可采用局部坐标进行，按Hammer 求积分式计算一个单元的积分值。建立整体坐标和局部坐标之间的变换：

()⎰⎰

⎰-∆=

1

2110

321d d d 2

ξξξξξξJ p s fF k ,,

式中：2131ξξξ--=，称为面积坐标；J 为整体坐标与局部坐标之间的雅可比变换式；

),,(),,(),,(321321321ξξξξξξξξξF f p =。

对上面的局部坐标积分式，实际计算常采用数值积分公式，用p fF )(代替p ，

k J ∆=2][，则

()

∑⎰=∆∆=

s

l k l

l

k fF W s fF 1

d

()k M

k s l l l i fF W B ∆⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=∑∑==11

上式是一对应于局部坐标的数值求积分公式，l 为积分点，l w 为权函数，s 为每个单元的积分点数。具体的可参看“工程电磁场数值分析”第三章等参元、亚参元和超参元有限元法中有关自然坐标，面积坐标，整体与局部坐标转换和高斯积分方法。

6.3.3 间接边界积分方程的离散