6.3 边界积分方程的离散化方程

6.3 离散化边界积分方程的建立以二维边界离散化方程的建立为例，重点突出离散化方法的学习。

6.3.1建立Laplace 场的边界离散化方程电磁场边界元法的通用积分方程(4)其中：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈=域外光滑的边界上域内D D c i 0211设在Laplace 场中的二维边界上一点i 处，有方程：在二维场的边界线l 上进行离散，将l 划分为许多小段，每段以直线段或曲线段逼近，作为一个单元。

设l 点共被分为0N 个单元，其中在第一类边界1l 段上划分了1N 个单元，在第二类边界2l 段上划分了2N 个单元：210N N N +=作为单元待求量的插值计算方式，可分为几种： ① 恒值单元同一单元中的待求量u 和nu ∂∂都设为恒定值(或称零次插值)，实际上是取单元中点的u 值(或nu ∂∂值)作为单元的u 值(或nu∂∂值)。

这样，取单元中点为节点，所以求解变量数等于节点数。

② 线性单元它也是直线单元，其u 值在单元两端点之间按线性变化(即线性插值)。

单元两端点为单元的节点。

③ 曲线单元每单元上的节点数大于2，以多节点拟合的曲线逼近边界单元，以单元节点上的高阶插值函数作为待求位函数近似解。

取最简单的单元——恒值单元为例，介绍边界元离散方法。

按上面的方程对i 单元的“i ”节点离散化 ∑⎰∑⎰==∂∂=∂∂+ojojN j lN j li l nu Fl nF uu 11d d 21∑⎰∑⎰===∂∂+11d d 21N j lN j ljji jojl F q l nFu u，⎰=jl ij l F G d ，上式表示为：设i 点为i 单元的中点（021N i 、、、 =），有()∑∑====10121N j N j jij j ijN i q Gu H,,,式中：于是上述0N 个方程写为矩阵形式GQ HU =由定解问题中的第一类边界1l ，对应有1N 个单元的位值u s 是已知的，2l 是第二类边界，对应有2N 个单元nu q s ∂∂=位是已知。

所以上述矩阵方程中，有2N 个单元的u 值和1N 个单元的q 值是未知的，即是说矩阵方程有021N N N =+个未知数。

设单元排列顺序在1l 边界上为1，2，……，1N ，在2l 边是上为11+N 、21+N 、…、0N ，则上述矩阵方程可以用子阵形式表出[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212121Q Q G G U U H H 式中带下标1和2的子阵分别对应于边界1l 和2l ，将上式中未知量交换到左侧，已知量交换到右侧。

22112211Q G Q G U H U H +=+22112211Q G U H U H Q G +-=+- [][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21212121Q U G H U Q H GR AX =⇒上式就是采用恒值单元推导出的边界元方程。

6.3.2 建立Poisson 场边界元离散化方程显然Poisson 场可以在Laplace 场边界元离散化方程基础上再加上场源激励项的影响。

对于二维场而言，在方程的右端应加上面积分项：⎰D S fF d此项在计算前必须先将积分区域D 仿照有限元法进行区域剖分，得到M 个单元，对应于场点“i ”求出每个单元的贡献（积分值）∑⎰⎰=∆⎪⎭⎫ ⎝⎛==Mk Di kS fF S fF B 1d d这样，Poisson 场的边界元离散化方程可写为),,2,1(11o N j N j jijjiji N i q GUHB oo==+∑∑==写为矩阵形式：GQ HU B =+将未知量移到方程为左端，已知量移到右端有：B R AX -=通过求解这个代数方程组，求得边界上所得节点的u 和q 值后，就可以按(4)式电磁场边界元法的通用积分方程⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=s Di i V fF S n F u nuF u c d d计算区域D 内部节点的位函数值()i N j j ij j iji B u H q Gu o--=∑=1现在问题是：如何计算出i B 来。

约定：在D 域内采用三角形单元剖分，在边界上不应再增添新的节点。

为便于计算，可采用局部坐标进行，按Hammer 求积分式计算一个单元的积分值。

建立整体坐标和局部坐标之间的变换：()⎰⎰⎰-∆=12110321d d d 2ξξξξξξJ p s fF k ,,式中：2131ξξξ--=，称为面积坐标；J 为整体坐标与局部坐标之间的雅可比变换式；),,(),,(),,(321321321ξξξξξξξξξF f p =。

对上面的局部坐标积分式，实际计算常采用数值积分公式，用p fF )(代替p ，k J ∆=2][，则()∑⎰=∆∆=sl k llk fF W s fF 1d()k Mk s l l l i fF W B ∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==11上式是一对应于局部坐标的数值求积分公式，l 为积分点，l w 为权函数，s 为每个单元的积分点数。

具体的可参看“工程电磁场数值分析”第三章等参元、亚参元和超参元有限元法中有关自然坐标，面积坐标，整体与局部坐标转换和高斯积分方法。

6.3.3 间接边界积分方程的离散对于间接边界积分方程⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂-=⎰⎰⎰D SSi V F S nF S F u d d d 1ρτσε按照类似的推导，对于只有单层等效源的间接边界积分方程，可简单推导得⎰⎰-=lsi s fF l F u d d 1σε∑⎰∑∑⎰⎰===∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=ojojN j u ijl N j Mk klBl F sfF lF 111d 1d d 1σεσε∴∑∑⎰⎰⎰⎰==∆∂∂-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-=∂∂-∂∂+-=oj N j Mk kjl il sii SnF fl n F SnF f l nF q 11d d 12d d 12σεεσσεεσ∴式中ui B 、qi B 均由数值积分来确定。

当i u 、i q 为已知时，可按以上两式求等效源的分布，反之亦然。

6.3.4关于非线性问题的处理边界元方程的推导过程隐含了叠加原理，所以只能用在线性场的情况下。

对于非线性问题，当采用线性化叠代方法时，可以使非线性问题线性化，能解决某些非线性问题。

考虑二维恒定磁场：J H =⨯∇B A B =⨯∇⇒=⋅∇0 B BH HB βμμ==⇒=有 ()()J A B =⨯∇⨯∇=⨯∇ββ ∵ ⇒=zJ e J ()z z y x A A e ,e A ==yx z y xx A y A Az yx e e e e e A ∂∂-∂∂=∂∂∂∂∂∂=⨯∇0()z z zy xJ y A y x A x xA yA z y x e e e e e A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=∂∂-∂∂∂∂∂∂∂∂=⨯∇⨯∇βββββ0∴ 控制方程为：J y Ayx A x -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ββ 又：)1(m o χμμ+=()m o mm o mo λβχχμχμμβ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+⋅==11111111将上式代入控制方程有： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+=∂∂+∂∂y u y x u x f y ux um m λλμ02222⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+=∇y u yx u x f u m m λλμ02由式可见：将媒质受磁饱和影响的部分归入到等式的右端设为已知来看。

由此导出的直接边界积分方程为V y u y x u x fF S n F u nuFu c D m m S i i d d ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=λλ 求解该方程组，先假定D 中每个单元的第零次叠代时的m λ，之后每次的叠代都是以前次为基础，求解线性方程组。

这样将非线性因素作为载荷函数处理，通过叠代得得出的m到计算结果。