线性规划与数学建模简介

第十三章线性规划与数学建模简介

【授课对象】理工类专业学生

【授课时数】6学时

【授课方法】课堂讲授与提问相结合

【基本要求】1、了解数学模型的基本概念、方法、步骤；

2、了解线性规划问题及其数学模型；

3、了解线性规划问题解的性质及图解法.

【本章重点】线性规划问题.

【本章难点】线性规划问题、线性规划问题解的性质、图解法.

【授课内容】

本章简要介绍数学建模的基本概念、方法、步骤，并以几个典型线性规划问题为例，介绍构建数学模型的方法及其解的性质。

§1 数学建模概述

一、数学建模

数学建模是构造刻划客观事物原型的数学模型并用以分析、研究和解决实际问题的一种科学方法。运用这种科学方法，必须从实际问题出发，遵循从实践到认识再实践的认识规律，围绕建模的目的，运用观察力、想象力的抽象概括能力，对实际问题进行抽象、简化，反复探索，逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。因此，数学建模是一种定量解决实际问题的创新过程。

二、数学模型的概念

模型是人们对所研究的客观事物有关属性的模拟。例如在力学中描述力、

量和加速度之间关系的牛顿第二定律F＝ma就是一个典型的（数学）模型。一般地，可以给数学模型下这样的定义：数学模型是磁于以部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。

通俗而言，数学模型是为了一定目的对原型所作的一种抽象模拟，它用数学式子，数学符号以及程序、图表等描述客观事物的本质特征与内在联系。

三建立数学模型的方法和步骤

建立数学模型没有固定模式。下面介绍一下建立模型的大体过程：

1.建模准备

建模准备是确立建模课题的过程。这类课题是人们在生产和科研中为了使

认识和实践过一步发展必须解决的问题。因此，我们首先要发现这类需要解决的实际问题。其次要弄清所解决问题的目的要求并着手收集数据。进行建模筹划，组织必要的人力、物力等，确立建模课题。

2．模型假设

作为建模课题的实际问题都是错综复杂的、具体的。如果不对这些实际问题进行抽象简化，人们就无法准确把握它的本质属性，而模型假设就是根据建模的目的对原型进行抽象、简化，抓住反映问题本质属性的主要因素，简化掉那些非本质的次要因素。有了这些假设，就可以在相对简单的条件下，弄清各因素之间的关系，建立相应的模型。

合理的假设是建立理想模型的必要条件和基本保证。如果假设是合理的，则模型切合实际，能解决实际问题；如果假设不合理中或过于简化，则模型与实际情况不符或部分相符，就解决不了问题，就要修改假设，修改模型。

3．构造模型

在模型假设的基础上，开始构建数学模型。首先分析变量类型，恰当使用数学工具。一般而言，如果实际问题中的变量是确定型变量，数学工具可采用微积分、微分方程、线性或非线性规划、投入产出、确定性库存论等。如果变量是随机变量，数学工具可采用概率与统计、排队论、对策论、决策论、随机微分方程、随机性库存论等。其次，抓住问题本质，简化变量之间的关系。可以说，数学的任一分支在构造模型时都可能有用，而同一实际问题也可以构造不同的数学模型。一般而言，在能够达到建模目的前提下，所用的数学工具应力求简单、易解，但要保证模型的解的精确在允许的范围内。

4．模型求解

不同的模型要选择或设计不同的数学方法和算法求解，许多模型还可以通过编写计算机程序软件包，借助计算机快速完成对模型的求解。

5．模型分析

对模型的求解结果进行分析，主要包括稳定性分析，参数的灵敏度分析，误差分析等。通过分析，若发现不符合建模要求，就要修改或增减建模假设条款，重新构造模型，直到符合要求。若模型符合要求，则可以对模型进行评价是、预测民、优化等方面的探析，力争得到最优模型。

6．模型检验

对于经过分析后符合要求的模型，还要把它放回到实际对象中去进行检验，看它是否符合实际，能否解决相应的实际问题。若不符合实际，就要修改前提假设，重新建模，重新分析，直到获得符合实际的模型。

7．模型应用

建模最终目的，是用模型来分析、研究和解决实际问题。因此，一个成功和数学模型必须能够在实践中得到成功的应用，甚至形成一套科学和理论。图13――1

是上述各步骤的直观图：

图13――1数学建模步骤示意图

一、数学模型的分类

数学模型按照不同的分类标准有许多种类：

1．按照模型的数学方法分，有几何模型、代数模型、图论模型、微分方程模型概率模型、最优控制模型、随机模型等等。

2．按模型的特征分，有静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型等。

3．按模型的应用领域分，有人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。

4。按建模的目的分，有预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。

5．按夺模型结构的了解程度分，有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。

§2线性规划问题及其数学模型

线性规划作为运筹学的一人重要分支，是研究较早，理论较完善，应用最广泛的一门科学。它所研究的问题主要包括两个方面：一是在一项任务确定后，如何以最低限度和成本（如人力、物力、资金和时间等）去完成这一任务；二是如何在现有条件下进行组织和安排，以完成更多的工作。因此，线性规划就是求一组变量的值，使它满足一组线性式子，并使一个线性函数的值最大（或最小）的数学方法。

一、运输问题

例1 设有A1，A2两个香蕉基地，产量分别为60吨和80吨，联合供应B1，B2，B3三个销地的销售量经预测分别为50吨、50吨和40吨。两个产地到三个销地的单位运价如下表所示：

表13――1运价表（单位：元/吨）

问每个产地向每个销地各发货多少，才能使总的运费最少？

解 （1）在该问题中，所要确定的量是各产地运往各销地的香蕉数量，即决策变量是运输量。设X ij (i =1,2; j =1,2,3)分别表示由产地A i 运往销地B i 的数量。 （2）在解决问题的过程中，要受到如下条件限制，即约束条件： 各产地运出的数量应等于其产量，即

80

6023

22

21

131211=++=+

+

x

x

x

x x x

②各销地运进的数量应等于其当地预测的销售量，即

40

50502313

22122111=+=+=+x x

x x

x x

③从各产地运往各销地的数量不能为负值，即

)3,2,1;2,1(0==≥j i x

ij

(3)该问题的目的是运价最低，所以运价是目标函数，即

x x x x x x S 232221121211300700400400300600+++++=因此，该问题的数学模型为：求x x x x x x S 232221131211300700400400300600min +++++=

结束条件

40

505080602313

22122111232221

131211=+=+=+=++=++x x

x x x x x x x x x x

例1的一般形式是：设某种物资有m 个产地A A A m

⋯⋯，

，2

1

产量分别为

a

a a m

⋯⋯,,2

1

，

有n 个销地B B B n

,,,21

ΛΛ,销量分别为。吨，)(,,321b b b ⋯⋯如果

由产地A i 运往销地B j 的单位运价为C ij （元/吨），在产销平衡的情况下，应如何