特殊平行四边形动点及存在性问题压轴题终审稿)

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【常考压轴题】平行四边形存在性问题—2023-2024学年八年级数学下册(浙教版) (解析版)

平行四边形存在性问题【知识储备】①平行四边形是中心对称图形②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心对称图形的面积被平分③中点公式：类型一几何背景下的平行四边形存在性问题【典题练习】1．（2023•河北二模）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD ＝8cm ，BC ＝6cm ，点P 从点D 出发，以1cm /s 的速度向点A 运动，点M 从点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （单位：s ），下列结论正确的是（）A ．当t ＝3s 时，四边形ABMP 为矩形B ．当t ＝4s 时，四边形CDPM 为平行四边形C ．当CD ＝PM 时，t ＝3sD ．当CD ＝PM 时，t ＝3s 或5s【分析】根据题意，表示出DP ，BM ，AP 和CM 的长，当四边形ABMP 为矩形时，根据AP ＝BM ，列方程求解即可；当四边形CDPM 为平行四边形，根据DP ＝CM ，列方程求解即可；当CD ＝PM 时，分两种情况：①四边形CDPM 是平行四边形，②四边形CDPM 是等腰梯形，分别列方程求解即可．【解答】解：根据题意，可得DP ＝t cm ，BM ＝t cm ，∵AD ＝8cm ，BC ＝6cm ，∴AP ＝（8﹣t ）cm ，CM ＝（6﹣t ）cm ，当四边形ABMP 为矩形时，AP ＝BM ，即8﹣t ＝t ，解得t ＝4，故A 选项不符合题意；当四边形CDPM 为平行四边形，DP ＝CM ，)2,2),(),,(21212211y y x x P y x B y x A ++坐标为（，则其中点若即t＝6﹣t，解得t＝3，故B选项不符合题意；当CD＝PM时，分两种情况：①四边形CDPM是平行四边形，此时CM＝PD，即6﹣t＝t，解得t＝3，②四边形CDPM是等腰梯形，过点M作MG⊥AD于点G，过点C作CH⊥AD于点H，如图所示：则∠MGP＝∠CHD＝90°，∵PM＝CD，GM＝HC，∴△MGP≌△CHD（HL），∴GP＝HD，∵AG＝AP+GP＝8﹣t+，又∵BM＝t，∴8﹣t+＝t，解得t＝5，综上，当CD＝PM时，t＝3s或5s，故C选项不符合题意，D选项符合题意，故选：D．2．（2023春•盱眙县期末）如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（）A．B．8C．4或D．或8【分析】根据P的速度为每秒1cm，可得AP＝t cm，从而得到PD＝（10﹣t）cm，由四边形ABCD为平行四边形可得出PD∥BQ，结合平行四边形的判定定理可得出当PD＝BQ时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，当5＜t＜10时，分两种情况考虑，在每种情况中由PD＝BQ即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．当5＜t≤时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm，∴10﹣t＝30﹣4t，解得：t＝；当＜t≤10时，AP＝t cm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．故选：D．3．（2022春•曹县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F 运动：点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q 也同时停止运动，当点P运动（）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．2B．3C．3或5D．4或5【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，由平行线的性质可得BF＝DF＝12cm，可得AD ＝AF+DF＝18cm＝BC，由平行四边形的性质可得PF＝EQ，列出方程可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC∴∠ADB＝∠MBC，且∠FBM＝∠MBC∠ADB＝∠FBM∴BF＝DF＝12cm∴AD＝AF+DF＝18cm＝BC，∵点E是BC的中点∴EC＝BC＝9cm，∵以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形∴PF＝EQ∴6﹣t＝9﹣2t，或6﹣t＝2t﹣9∴t＝3或5故选：C．4．（2023春•大竹县校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，点E在线段BO上从点B以1cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O以2cm/s的速度运动．若点E，F同时运动，设运动时间为t秒，当t＝时，四边形AECF是平行四边形．【分析】先根据平行四边形的性质求出OB的长，从而得到OE的长，再由平行四边形的性质得到OE＝OF进而得到关于t的方程，解方程即可．【解答】解：由题意得OE＝OB﹣BE＝OB﹣t，OF＝2t，∵四边形ABCD是平行四边形，BD＝12cm，∴OB＝OD＝6cm，∴OE＝6﹣t，∵四边形AECF是平行四边形，∴OE＝OF，∴6﹣t＝2t，∴t＝2，∴当t＝2时，四边形AECF是平行四边形，故答案为：2．5．（2023秋•红山区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度向点C运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动的时间t（秒）．（1）求DQ、PC的代数表达式；（2）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据题意，写出代数表达式即可；（2）根据平行四边形的性质知DQ＝CP，分当P从B运动到C时，当P从C运动到B时，两种情况进行求解即可；（3）分PQ＝QD、PQ＝PD、QD＝PD三种情况讨论求出t值即可．【解答】解：（1）根据题意，DQ＝（16﹣t）cm，PC＝（21﹣2t）cm；（2）∵四边形PQDC是平行四边形，∴DQ＝CP，当P从B运动到C时，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝21﹣2t，∴16﹣t＝21﹣2t，解得：t＝5，∴当t＝5秒时，四边形PQDC是平行四边形；（3）当PQ＝PD时，作PH⊥AD于H，则HQ＝HD，∵cm，AH＝BP，∴，∴．当PQ＝QD时，QH＝AH﹣AQ＝BP﹣AQ＝2t﹣t＝t cm，QD＝（16﹣t）cm，∵QD2＝PQ2＝t2+122，∴（16﹣t）2＝122+t2，解得．当QD＝PD时，DH＝AD﹣AH＝AD﹣BP＝16﹣2t，∵QD2＝PD2＝PH2+HD2＝122+16﹣2t）2，∴（16﹣t）2＝122+（16﹣2t）2，即3t2﹣32t+144＝0，∵Δ＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0，∴方程无实根，综上可知，当秒或秒时，△PQD是等腰三角形．6．（2023春•和平区校级月考）已知▱ABCD中，一动点P在AD边上，以每秒1cm的速度从点A向点D 运动．（1）如图1，运动过程中，若BP平分∠ABC，且满足AB＝BP，求∠ABC的度数．（2）如图2，在（1）的条件下，连结CP并延长，与AB的延长线交于点F，连结DF，若CD＝2cm，直接写出：△DPF的面积为cm2．（3）如图3，另一动点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，两个点同时出发，当点P停止运动时Q点也停止，设运动时间为t（t＞0），若AD＝12cm，则t＝秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．【分析】（1）可证AB＝AP，从而可证AB＝BP＝AP，即可求解；（2）设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2，，可得S△DPF＝S△P AB，即可求解；（3）当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，进行分类讨论：①当12﹣t＝12﹣4t时，②当12﹣t ＝24﹣4t时，③当12﹣t＝4t﹣12时，④当12﹣t＝4t﹣24时，⑤当12﹣t＝36﹣4t时，⑥当12﹣t＝4t﹣36时，即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠APB＝∠CBP，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∵AB＝BP，∴AB＝BP＝AP，∴△ABP是等边三角形，∴∠ABP＝60°，∴∠ABC＝120°．（2）如图，设边CD上的高为h1，边BC上的高为h2，，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△CDF＝•CD＝S▱ABCD，S△PBC＝h2•BC＝S▱ABCD，∴S△PBC＝S△CDF＝S▱ABCD，∴S△PCD+S△DPF＝S▱ABCD，∴S△P AB+S△PCD＝S▱ABCD，∴S△PCD+S△DPF＝S△P AB+S△PCD，∴S△DPF＝S△P AB，∵△ABP是等边三角形，∴S△DPF＝S△P AB＝＝3，故答案为：；（3）∵PD∥BQ，∴当PD＝BQ时，四边形PDBQ是平行四边形，∵（s），∴0≤t＜12，①当12﹣t＝12﹣4t时，解得：t＝0（不合题意，舍去）；此时当P与A重合，Q与C重合；②当12﹣t＝24﹣4t时，解得：t＝4；③当12﹣t＝4t﹣12时，解得：t＝4.8；④当12﹣t＝4t﹣24时，解得：t＝7.2；⑤当12﹣t＝36﹣4t时，解得：t＝8；⑥当12﹣t＝4t﹣36时，解得：t＝9.6；综上所述：t为4秒或4.8秒或7.2秒或8秒或9.6秒．类型二“三定一动”求平行四边形的顶点坐标当平面直角坐标系中有3个定点，找第4个点形成平行四边形时：①设第4个点的坐标②以3个定点组成的3条线段为对角线分类讨论③以中心对称图形的性质为等量关系列式求解例，如图所示，平面直角坐标系内有A、B、C三点，在平面内找第4个点，构成平行四边形；【典题练习】7．（2022春•西双版纳期末）在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（3，1），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是．【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标．【解答】解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（4，0）；②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣2，0）③AC为对角线时，点D的坐标为（2，2）综上所述，点D的坐标是（﹣2，0）或（4，0）或（2，2）；故答案为：（4，0）或（﹣2，0）或（2，2）．8．（2018春•大邑县期末）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，3），B（﹣5，1），C（﹣1，0）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A2B2C2；（3）若以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的点D的坐标．【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到△A2B2C2；（3）分别以AB、BC、AC为对角线画平行四边形可得到D点坐标．【解答】解：（1）如图，△A11C1为所作；（2如图，△A2B2C2为所作；（3）满足条件的点D的坐标为（2，2）或（﹣4，﹣2）或（﹣6，4）．9．（2023春•凤山县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA，OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C，过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求直线AB的解析式；（2）若△ABC的面积为15，求点C的坐标；（3）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以O，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据绝对值和完全平方式的非负性得出OA和OB的值，然后确定A点和B点的坐标，用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2）根据△ABC的面积为15，得出AC的长，确定C点的坐标即可；（3）分情况根据平行四边形的性质分别求出P点的坐标即可．【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∴OA＝8，OB＝6，∴A（﹣8，0），B（0，6），设直线AB的解析式为y＝kx+b，代入A点和B点的坐标得，解得，∴直线AB的解析式为y＝；（2）∵△ABC的面积为15，∴AC•OB＝15，即AC×6＝15，∴AC＝5，∵OA＝8，∴OC＝OA﹣AC＝8﹣5＝3，即C（﹣3，0）；（3）存在，∵D点在直线AB上，设D（a，a+6），∵BC平分∠ABO，∴CD＝OC，即＝3，解得a＝﹣，∴D（﹣，），设直线DE的解析式为y＝sx+t，∴，解得，∴直线DE的解析式为y＝﹣x﹣4，∴E（0，﹣4），设点P的坐标为（m，n），①以CE为对角线时，此时以O，C，E，P为顶点的四边形是矩形，∵O（0，0），C（﹣3，0），E（0，﹣4），∴P（﹣3，﹣4）；②以OE为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，，解得，即P'（3，﹣4）；③以OC为对角线时，由平行四边形对角线互相平分可知，，解得，即P''（﹣3，4）；综上所述，符合条件的P点坐标为（﹣3，﹣4）或（3，﹣4）或（﹣3，4）．类型三“两定两动”求平行四边形的顶点坐标当坐标系中有2个定点，且另外两个动点均在特殊的位置上时，方法策略同类型二。

因动点产生的平行四边形问题中考压轴题精编版

因动点产生的平行四边形问题中考压轴题精编版MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】因动点产生的平行四边形问题例 1 2012年福州市中考第21题如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以每秒2个单位长度的速度运动，过点P 作PD 思路点拨1．菱形PDBQ 必须符合两个条件，点P 在∠ABC 的平分线上，PQ //AB ．先求出点P 运动的时间t ，再根据PQ //AB ，对应线段成比例求CQ 的长，从而求出点Q 的速度．2．探究点M 的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M 的路径．满分解答（1）QB ＝8－2t ，PD ＝43t ．（2）如图3，作∠ABC 的平分线交CA 于P ，过点P 作PQ //AB 交BC 于Q ，那么四边形PDBQ 是菱形．过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，那么BE ＝BC ＝8．在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，所以AB ＝10．图3在Rt △APE 中，23cos 5AE A AP t ===，所以103t =．当PQ //AB 时，CQ CP CB CA =，即106386CQ -=．解得329CQ =．所以点Q 的运动速度为3210169315÷=．（3）以C 为原点建立直角坐标系．如图4，当t ＝0时，PQ 的中点就是AC 的中点E (3，0)．如图5，当t ＝4时，PQ 的中点就是PB 的中点F (1，4)．直线EF 的解析式是y ＝－2x ＋6．如图6，PQ 的中点M 的坐标可以表示为（62t -，t ）．经验证，点M （62t -，t ）在直线EF 上．所以PQ 的中点M 的运动路径长就是线段EF 的长，EF ＝25．图4 图5 图6考点伸展第（3）题求点M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t ＝2时，PQ 的中点为(2，2)．设点M 的运动路径的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，代入E (3，0)、F (1，4)和(2，2)，得930,4,42 2.a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 解得a ＝0，b ＝－2，c ＝6．所以点M 的运动路径的解析式为y ＝－2x ＋6．例 2 2012年烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B (1, 0)、C (3, 0)、D (3, 4)．以A 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点C ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿线段CD 向点D 运动．点P 、Q 的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ．（1）直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E 作EF ⊥AD 于F ，交抛物线于点G ，当t 为何值时，△ACG 的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，在矩形ABCD 内（包括边界）存在点H ，使以C 、Q 、E 、H 为顶点的四边形为菱形？请直接写出t 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“12烟台26”，拖动点P 在AB 上运动，可以体验到，当P 在AB 的中点时，△ACG 的面积最大．观察右图，我们构造了和△CEQ 中心对称的△FQE 和△ECH ′，可以体验到，线段EQ 的垂直平分线可以经过点C 和F ，线段CE 的垂直平分线可以经过点Q 和H ′，因此以C 、Q 、E 、H 为顶点的菱形有2个．请打开超级画板文件名“12烟台26”，拖动点P 在AB 上运动，可以体验到，当P 在AB 的中点时，即t=2，△ACG 的面积取得最大值1．观察CQ ，EQ ，EC 的值，发现以C 、Q 、E 、H 为顶点的菱形有2个．点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。

二次函数压轴题之平行四边形存在性问题

平行四边形存在性问题考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质：（1）对应边平行且相等；（2）对角线互相平分．这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中：（1）对边平行且相等可转化为：A B D CAB DC x x x x y y y y -=-⎧⎨-=-⎩，可以理解为点B 移动到点A ，点C 移动到点D ，移动路径完全相同．y D -y Cx D -x Cy A -y Bx A -x BABC D（2）对角线互相平分转化为：2222A CB DAC BD x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，可以理解为AC 的中点也是BD 的中点．DCBA【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：A B D C A C D BA B D C AC D B x x x x x x x x y y y y y y y y -=-+=+⎧⎧→⎨⎨-=-+=+⎩⎩， 2222A CB DAC BD x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩→A C B D A C B D x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩．当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为：A C B D +=+（各个点对应的横纵坐标相加）以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A 、B 、C 、D 满足“A +C =B +D ”，则四边形ABCD 是否一定为平行四边形？反例如下：D之所以存在反例是因为“四边形ABCD 是平行四边形”与“AC 、BD 中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论：（1）四边形ABCD 是平行四边形：AC 、BD 一定是对角线．（2）以A 、B 、C 、D 四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．【题型分类】平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题． 1．三定一动已知A （1，2）B （5，3）C （3，5），在坐标系内确定点D 使得以A 、B 、C 、D 四个点为顶点的四边形是平行四边形．D 3D 2D 1OyxCBA思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：设D 点坐标为（m ，n ），又A （1，2）B （5，3）C （3，5），可得：（1）BC 为对角线时，531352m n +=+⎧⎨+=+⎩，可得()17,6D ；（2）AC 为对角线时，135253mn +=+⎧⎨+=+⎩，解得()21,4D -；（3）AB 为对角线时，153235mn +=+⎧⎨+=+⎩，解得()33,0D ．当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：1=D B C A +-，2=D A C B +-，3D A B C =+-．（此处特指点的横纵坐标相加减）2．两定两动已知A （1，1）、B （3，2），点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求C 、D 坐标．【分析】设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（0，n ），又A （1，1）、B （3，2）．（1）当AB 为对角线时，130120m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得43m n =⎧⎨=⎩，故C （4，0）、D （0，3）；（2）当AC 为对角线时，130102m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得21m n =⎧⎨=-⎩，故C （2，0）、D （0，-1）；（3）当AD 为对角线时，103120m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得21m n =-⎧⎨=⎩，故C （-2，0）、D （0，1）．【动点综述】“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质：（1）对边平行且相等；（2）对角线互相平分．但此两个性质统一成一个等式： A C B D AC BD x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．由图形性质可知未知量，由未知量可知动点设计，由动点设计可化解问题．【2019宜宾中考】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为C ．（1）求此抛物线和直线AB 的解析式；（2）设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x轴的垂线交抛物线于点N ，使点M 、N 、C 、E 是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，当△P AB 面积最大时，求点P 的坐标，并求△P AB 面积的最大值．【分析】（1）抛物线：223y x x =--，直线AB ：3y x =-；（2）考虑EC ∥MN ，故若使点M 、N 、C 、E 是平行四边形，则EC =MN 即可，∵E （1，-2）、C （1，-4）， ∴EC =2，设M 点坐标为（m ，m -3）（m >1），则N 点坐标为()2,23m m m --，则MN =()()222333MN m m m m m =----=- 由题意得：232m m -=， 232m m -=，解得：1m =，2m =（舍），对应P点坐标为⎝⎭； 232m m -=-，解得：32m =，41m =（舍）．对应P 点坐标为（2，-1）．综上，P点坐标为⎝⎭或（2，-1）．（3）铅垂法可解．【2018河南中考（删减）】如图，抛物线26y ax x c =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ．直线5y x =-经过B 、C ．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．当AM BC ⊥时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标．【分析】（1）265y x x=-+-；（2）考虑到AM∥PQ，故只需AM=PQ即可．过点A作BC的平行线，与抛物线交点即为P点，易得直线AP的解析式：1y x=-，联立方程：2651x x x-+-=-，解得：11x=（舍），24x=，故对应P点坐标为（4，3）；作点A关于B点的对称点A'，过点A'作BC的平行线，与抛物线的交点亦为题目所求P点，易求直线解析式：9y x=-，联立方程：2659x x x-+-=-，解得：1x，2x=．故对应P点坐标为⎝⎭、⎝⎭．综上所述，P点坐标为（4，3）、⎝⎭、⎝⎭．【2018郴州中考（删减）】如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为D ．在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：223y x x =-++；（2）由题意可知CP 、DM 为对角线，考虑DM 在直线x =-1上，故CP 中点在直线x =-1上，∵点C 坐标为（0，3），故点P 横坐标为2，代入解析式得P （2，3），易知M 点坐标为（1，6）．【三定一动】（2018·恩施州中考删减）如图，已知抛物线交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，A 点坐标为(1,0)-，2OC =，3OB =，点D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 为坐标平面内一点，以B 、C 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点坐标．【分析】（1）抛物线：224233y x x =-++；（2）设P 点坐标为（m ，n ），又B （3，0）、C （0，2）、D 813⎛⎫⎪⎝⎭，①若BC 为对角线，由题意得：3018023m n +=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得：223m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故1P 的坐标为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若BD 为对角线，由题意得：3108023m n +=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得：423m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，故2P 坐标为24,3⎛⎫⎪⎝⎭；③若BP 为对角线，由题意得：3018023m n +=+⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得：2143m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故3P 坐标为142,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上所述，P 点坐标为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭、24,3⎛⎫ ⎪⎝⎭、142,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．【两定两动：x 轴+抛物线】（2018·济宁中考删减）如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(3,0)A ，(1,0)B -，(0,3)C -．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以点B ，C ，Q ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：223y x x =--；（2）列方程组求：设P ()2,23m m m --、Q (),0n ，又B （-1，0）、C （0，-3），若BC 为对角线，由题意得：21003230m n m m -+=+⎧⎨-=--+⎩，解得：23m n =⎧⎨=-⎩或01m n =⎧⎨=-⎩（舍），故对应的P （2，-3）；若BP 为对角线，由题意得：21023003m n m m -=+⎧⎨--+=-⎩，解得：21m n =⎧⎨=⎩或01m n =⎧⎨=-⎩（舍），故对应的P （2，-3）；若BQ 为对角线，由题意得：21000233n m m m -=+⎧⎨+=---⎩，解得：12m n ⎧=⎪⎨=+⎪⎩12m n ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，故对应的P ()1+、()1．综上所述，P 点坐标为（2，-3）、()1、()1．（2019·包头中考删减）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线：224233y x x =-++，对称轴：直线x =1；（2）设M 点坐标为224,233m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，N 点坐标为()1,n ，又B （3，0）、C （0，2）若BC 为对角线，由题意得：23012402233m m m n +=+⎧⎪⎨+=-+++⎪⎩，解得：20m n =⎧⎨=⎩，故M 点坐标为（2，2）；若BN 为对角线，由题意得：23102402233m n m m +=+⎧⎪⎨+=-+++⎪⎩，解得：443m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故M 点坐标为104,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；若BM 为对角线，由题意得：23102420233m m m n +=+⎧⎪⎨-+++=+⎪⎩，解得：2163m n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，故M 点坐标为102,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．综上所述，M 点坐标为（2，2）、104,3⎛⎫- ⎪⎝⎭、102,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（2019·咸宁中考删减）如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =-++经过A ，B 两点且与x 轴的负半轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知E ，F 分别是直线AB 和抛物线上的动点，当B ，O ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E 点的坐标．【分析】（1）抛物线：213222y x x =-++；（2）设E 点坐标为1,22m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，F 点坐标为213,222n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，又B （0，2）、O （0，0），①若OB 为对角线，由题意得：2001130222222m nm n n +=+⎧⎪⎨+=-+-++⎪⎩，解得：1122m n ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩或2222m n ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩故E点坐标为(2--或(2-+；②若OE 为对角线，由题意得：2001130222222m nm n n +=+⎧⎪⎨-+=-++⎪⎩，解得：3322m n ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩4422m n ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩故E点坐标为(2+或(2-；③若OF 为对角线，由题意得：2001310222222n mn n m +=+⎧⎪⎨-++=-+⎪⎩，解得：5522m n =⎧⎨=⎩，故E 点坐标为（2，1）．【两定两动：抛物线+抛物线】（2019·连云港中考删减）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:L y x bx c =++过点(0,3)C -，与抛物线2213:222L y x x =--+的一个交点为A ，且点A 的横坐标为2，点P 、Q分别是抛物线1L 、2L 上的动点．（1）求抛物线1L 对应的函数表达式；（2）若以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P 的坐标．备用图【分析】（1）1L 解析式：223y x x =--；（2）虽然两个动点均在抛物线上，仍可用设点坐标的方法求解．设P 点坐标为()2,23m m m --，Q 点坐标为213,222n n n ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，又C （0，-3）、A （2，-3），①若CA 为对角线，由题意得;2202133323222m nm m n n +=+⎧⎪⎨--=----+⎪⎩，解得：35m n =-⎧⎨=⎩或02m n =⎧⎨=⎩（舍），故P 点坐标为（-3，12）；②若CP 为对角线，由题意得：2202133233222m nm m n n +=+⎧⎪⎨-+--=---+⎪⎩，解得：31m n =⎧⎨=⎩或43103m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故P 点坐标为（3，0）或413,39⎛⎫- ⎪⎝⎭；③若CQ 为对角线，由题意得：22021********n mn n m m +=+⎧⎪⎨---+=-+--⎪⎩，解得：11m n =-⎧⎨=⎩或02m n =⎧⎨=⎩（舍），故P 点坐标为（-1，0）．综上所述，P 点坐标为（-3，12）、（3，0）、413,39⎛⎫- ⎪⎝⎭、（-1，0）．【四动点构造】（2019·锦州中考删减）如图，在平面直角坐标系中，一次函数334y x =-+的图像与x 轴交于点A ，与y 轴交于B 点，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，在第一象限的抛物线上取一点D ，过点D 作DC x ⊥轴于点C ，交直线AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式（2）F 是第一象限内抛物线上的动点（不与点D 重合），点G 是线段AB 上的动点．连接DF ，FG ，当四边形DEGF 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G 的坐标．【分析】（1）抛物线：21334y x x =-++；（2）本题4个点皆为动点，使四边形DEGF 为平行四边形易，而使周长最大难．设E 点坐标为3,34m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，则D 点坐标为213,34m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，设F 点坐标为213,34n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则G 点坐标为3,34n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，2213333444DE m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭， 2213333444FG n n n n n ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，由DE =FG ，可得：2244m m n n -+=-+， ∵m ≠n ，∴4m n +=，过点G 作GH ⊥CD 交CD 于H 点，则()()555425442EG n m m m =-=-=-，又24DE m m =-+， ∴22524523102DEGFCm m m m m ⎛⎫=-++-=-++ ⎪⎝⎭，当34m =时，四边形DEGF 是平行四边形且周长最大，此时G 点坐标为139,416⎛⎫⎪⎝⎭．。

专题03 平行四边形压轴题(七大题型)(原卷版)

(1)直接写出C 点坐标；(2)如图2，线段BC 的垂直平分线交y 轴于点E ，F 为AD 的中点，试判断(3)如图3，点16,03E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F 为x 轴上的一点，45ECF ∠=︒，求F 点的坐标．2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 中点A 的坐标为(3,--y 轴交于点M ，点D 是射线OC 上一动点，点E 是OD 的中点，连接AE 交交AE 延长线于点G ，交AB 于点H ，连接OG ．(1)若4OD =，求OG 的长．(2)若2OAE GOE GED ∠=∠-∠，求OD 的长．(3)①连接DF ，问直线DF 是否经过一定点，若经过，请求出该定点；若不经过，请说明理由；②连接FB ，BD ，若30DFB ∠=︒，求OD 的长．题型2：平行四边形与一次函数(1)求直线2l 的函数关系式；(2)若点C 的横坐标是2，求△(3)若存在点P ，使以A C 、、试求．出点P 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，直线C （点C 在A 左侧），且ABC 面积为10．(1)求点C 的坐标及直线BC 的解析式；(2)如图1，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，其中90FGQ ∠=︒，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线(3)如图2，若M 为线段BC 上一点，且满足AMB S S =△△点D ，使以点D ，E ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点说明理由．题型3：平行四边形与反比例函数5．如图，在平面直角坐标系中，点()2,2A -，()6,6B -(1)求a 和k 的值；(2)作直线l 平行于A C ''且与A B ''，B C ''分别交于M ，N 直线l 的函数表达式；(3)在（2）问的条件下，是否存在x 轴上的点P 和直线l 边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点6．如图1，已知点(),0A a ，()0,B b ，且a 、b 满足a 的值；在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；AB 为对角线作正方形AFBH （如图3），点T 是边AF 上一动点，M ，当T 在AF 上运动时，MN HT的值是否发生变化，若改变，请求出其变化范围；若不改变，请求出(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A B P Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形；试求满足要求的所有点P 的位置．(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图3），点T 是边AF 上一动点，M 是HT AB 于N ，当T 在AF 上运动时，MN HT的值是否发生改变？若改变，求出其范围；若不改变，求出其值并给出你的证明．题型4：旋转问题8．如图，在三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点P 为ABC 内一点，连接段AP 绕点A 逆时针旋转90︒得到'AP ，连接PP '，CP '．(1)用等式表示CP '与BP 的数量关系，并证明；(2)当135BPC ∠=︒时，①直接写出P CP '∠的度数为________②若M 为BC 的中点，连接PM ，请用等式表示9．如图，在等边ABC 中，点D 是边得到的．(1)如图1，求CBE ∠的度数；(2)如图2，过点A 作AF DE ∥分别交BC CD ，于点F ，G ，连接AE 平分；(3)如图3，在（2）的条件下，若N 是CE 的中点连接FN ，求证：题型5：存在性问题10．如图1，在平行四边形ABCD 中，20AB =，30AD =，ABC ∠速运动，速度为每秒3个单位长度；同时，点Q 从点B 出发沿BA 度．当点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．过点P 作PM ⊥(1)当QP PM ⊥时，求t 的值．(2)如图2，连接MC ，是否存在t 值，使得PCM △的面积是平行四边形ABCD 面积的38若存在，求出对应的t ；若不存在，请说明理由．(3)如图3，过点M 作∥MN AB 交于点N ，是否存在t 的值，使得点P 在线段MN 的垂直平分线上？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．题型6：动点问题11．如图，在ABCD Y 中，O 为对角线BD 的中点，90ADB ∠=︒，60A ∠=︒，4=AD ．动点以每秒2个单位的速度沿折线AB BC -向终点C 匀速运动，连结PO 并延长交折线CD DA -PQ 绕着点P 逆时针旋转60︒得到线段PE ，连结QE ，设点P 的运动时间为t （s ）．(1)用含t 的代数式表示PB 的长．(1)若设AP 的长为x ，则PC =，(2)当30BQD ∠=︒时，求AP 的长；(3)过点Q 作QF AB ⊥交AB 延长线于点(4)点P Q ，在运动过程中，线段说明理由．题型7：平行四边形与三角形、特殊三角形的性质与判定综合13．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥B D ∠∠=，．(1)如图1，求证：四边形ABCD 是平行四边形(2)如图2，点E 在BC ，点F 在CD 上，连接AE EF 、，若AB 2AC CF CE-=(3)如图3，在（2）的条件下，连接AF ，过点C 作CH BC ⊥分别交的延长线于点P ，交AC 的延长线于点K ，若22CE =，PK 14．在ABCD Y 中，BD 是对角线，2180ADB BDC ︒∠+∠=，(1)求证：AD BD=(2)当45A ∠=︒时，1DE =，2BE =，3CE =，求CDE 的面积．(3)在（1）的条件下，当BD 平分ADE ∠，DBE CDE ∠=∠，10CD =15．如图，点P 是平行四边形ABCD 内一点，11290AB BPC ︒=∠=，(1)如图1，若45BAD PCD ∠-∠=︒，求证：2AD PB =；(2)如图2，在（1）的条件下，若ABP 的面积与PCD 的面积的比是3:4的面积；(3)如图3，在（1）的条件下，若7514PAB PD ∠=︒=，，求PA 的长．16．如图，在平行四边形ABCD 中，45DAC ∠=︒，AE BC ⊥于E ，CG (1)求证：AEB CEF ≌ ：(2)如图2，平行四边形ABCD 外部有一点H ，连接AH EH 、，满足EH AB ∥，45H ∠=︒，求证：2AG AH CG +=；(3)如图3，在BC 上有一点M ，连接FM ，将FEM △绕着点M 顺时针旋转90︒得F E M ''△，连接点P 为DF '的中点，连接AP 若310CD =，32EF =，当CF 最小时，直接写出线段AP 的长度．。

专题03 平行四边形压轴题(七大题型)(解析版)

(1)直接写出C点坐标；(2)如图2，线段BC的垂直平分线交y轴于点E，F为AD的中点，试判断(3)如图3，点16,03E⎛⎫⎪⎝⎭，F为x轴上的一点，45ECF∠=︒，求F点的坐标．【答案】(1)()4,4∵四边形ABCD是平行四边形，∴=，∥AD BC AD∴∠=∠，DAO CBEAOD CEB∠=∠=(AASCBE DAO∴≌∵线段BC 的中垂线交CE BE ∴=，∵F 为AD 的中点，22,1F ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，222DE DC EC ∴+=①当F 在点E 的左侧时，如图3，过 45ECF ∠=︒，FH CE ⊥，CFH ∴ 是等腰直角三角形，FH CH ∴=，(1)若4OD =，求OG 的长．(2)若2OAE GOE GED ∠=∠-∠，求OD 的长．(3)①连接DF ，问直线DF 是否经过一定点，若经过，请求出该定点；若不经过，请说明理由；②连接FB ，BD ，若30DFB ∠=︒，求OD 的长．∵2OAE GOE GED ∠=∠-∠，GED ∠∴2GOE OAE OEF ∠=∠+∠，∵IOE OAE OEF ∠=∠+∠，∴2IOE GOE ∠=∠，∴30FBF '∠=︒，设FM n =，则2FF n '=，∵226BF BF n '==+，∴22162FN n =+，∵FN BF BM FF ''⋅=⋅，（BFF ' 的两组底和高相乘）(1)求直线2l 的函数关系式；(2)若点C 的横坐标是2，求△(3)若存在点P ，使以A C 、、试求．出点P 的坐标．【答案】(1)4y x =-+则1402m ⨯+=，解得2m =-，∴直线AP 的解析式为122y x =-；DP AC ∥，且过(20)，D -，设直线DP 的解析式为y x n =-+，则20n +=，解得2n =-，(1)求点C 的坐标及直线BC 的解析式；(2)如图1，设点F 为线段AB 中点，点G 为y 轴上一动点，其中90FGQ ∠=︒，在G 点的运动过程中，当顶点Q 落在直线(3)如图2，若M 为线段BC 上一点，且满足AMB S S =△△D ，使以点D ，E ，B ，C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点明理由．4∵FGQ 是等腰直角三角形，易证∴1MG NQ ==，FM GN ==∴()2,1Q n n -+-，∵点Q 在443y x =+图象上，同理：()2,1Q n n -+，∵点Q 在直线443y x =+图象上，∴()41243n n -=-+，解得：n ∴点()0,1G -，此时与点C 重合；23⎛⎫∵AMB AOB S S =△△，∴ABC AMC AOB S S S -=△△△，∴141105424232m ⎛⎫-⨯+=⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得：∴点612,55M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1)求a和k的值；(2)作直线l平行于A C''且与A B''，B C''分别交于M，N 直线l的函数表达式；(3)在（2）问的条件下，是否存在x轴上的点P和直线l则A B T B GM '''、均为等腰直角三角形，∵GM A T '∥，则23B G GT B M A M '''==：：：，设2B G GM x '==，则3,GT x BT =则6245BT x =-==，的值；在双曲线kyx=上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M∵()1,0A -，(0,B -解得1x =，此时()11,8P ，(10,8Q 如图2所示，若ABPQ ∵()1,0A -，(0,4B -解得=1x -，此时()21,8P --，2Q ②如图3所示，当∵()1,0A -，(0,4B -∴1122x -=，∵MN 是线段HT 的垂直平分线，∴NT NH =，∵四边形AFBH 是正方形，∴ABF ABH ∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH(1)求k的值；(2)点P在双曲线kyx=上，点Q在y轴上，若以点A B P Q、、、为顶点的四边形是平行四边形；试求满足要求的所有点P的位置．(3)以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HTAB于N，当T在AF上运动时，MNHT的值是否发生改变？若改变，求出其范围；若不改变，求出其值并给出你的证明．【答案】(1)8∵()()1,0,04A B --，，则12解得1x =，此时()118P ，；如图2所示，若ABQP 为平行四边形，∵()()1,0,04A B --，，则12-解得=1x -，此时()218P --，；②如图3所示，当AB 为对角线时：∵()()1,0,04A B --，，∴1122x -=-，解得=1x -，∴()318P --，；故点P 的坐标为：()18，或(-（3）如图4，连接NH NT 、∵MN 是线段HT 的垂直平分线，∴NT NH =，∵四边形AFBH 是正方形，∴ABF ABH ∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH =⎧(1)用等式表示CP '与BP 的数量关系，并证明；(2)当135BPC ∠=︒时，①直接写出P CP '∠的度数为________②若M 为BC 的中点，连接PM 【答案】(1)BP CP '='，证明见解析证明：∵90BAC ∠=︒，AB AC =∴2390∠+∠=︒，∵将线段AP 绕点A 逆时针旋转90∴AP AP '=，90PAP '∠=︒，∴1290∠+∠=︒，∴13∠=∠，(1)如图1，求CBE ∠的度数；(2)如图2，过点A 作AF DE ∥分别交BC CD ，于点F ，G ，连接AE 平分；(3)如图3，在（2）的条件下，若N 是CE 的中点连接FN ，求证：【答案】(1)60CBE ∠=︒(2)见解析∴DCE ACB ∠=∠，∴BCE ACD ∠=∠，∵CE CD =，BCE ACD ∠=∠，BC AC =，∴()SAS BCE ACD V V ≌，∴60CBE A Ð=Ð=°；（2）证明：如图1，连接EF ，∵ABC 是等边三角形，∴60CBD ACF ∠=∠=︒，∵//AF DE ，∴60AGD CDE ∠=∠=︒，∵60AGD CAF ACG BCD ACG ∠=∠+∠=︒=∠+∠，∴BCD CAF ∠=∠，∵BCD CAF ∠=∠，BC AC =，CBD ACF ∠=∠，∴()ASA BCD CAF ≌，∴AF CD DE ==，又∵//AF DE ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴AE 与DF 相互平分；（3）证明：如图2，延长FN 至点H ，使HN FN =，∵N 是CE 的中点，∴EN CN =，∵EN CN =，ENH CNF ∠=∠，HN FN =，∴()SAS ENH CNF ≌，∴HEN FCN ∠=∠，EH CF =，∴BC EH ∥，∵()ASA BCD CAF ≌，∴BD CF =，∴EH BD =，∵四边形ADEF 是平行四边形，∴AD EF ，∴60BFE ABC ∠=∠=︒，∵60BEF BFE EBF ∠=∠=∠=︒，∴BEF △是等边三角形，∴EF BF =，∵BC EH ∥，∴60HEF BFE ∠=∠=︒，∴HEF DBF ∠=∠，∵EH BD =，HEF DBF ∠=∠，EF BF =，∴()SAS EHF BDF ≌，∴HF DF =，(1)当QP PM ⊥时，求t 的值．(2)如图2，连接MC ，是否存在t 值，使得PCM △的面积是平行四边形ABCD 面积的38若存在，求出对应的t ；若不存在，请说明理由．(3)如图3，过点M 作∥MN AB 交于点N ，是否存在t 的值，使得点P 在线段MN 的垂直平分线上？若存在，求出对应的t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)4t =(2)不存在t 值(3)409t =【分析】（1）由题意得2BQ t =，3DP t =，由平行四边形的性质得出AB CD ，AD BC ∥60D ABC ∠=∠=︒，证出四边形BCPQ 是平行四边形，得出BQ CP =，得出方程220t =-（2）作AE BC ⊥于E ，延长MP 交BC 延长线于F ，由直角三角形的性质得出12BE AB =3103AE BE ==，求出平行四边形ABCD 的面积3003BC AE =⨯=，由直角三角形的性质得出则9030BAE ABC ∠=︒-∠=︒1102BE AB ∴==，3AE =∴平行四边形ABCD 的面积=∥ AB CD ，，MN AB，AB CD∴ ，MN CDAD BC，∴四边形CDMN是平行四边形，(1)用含t的代数式表示PB的长．(2)当点P在边AB上运动时，求证：△内部时，求(3)当点E在ABD在ABCDY中，O为对角线=，∴经过点O，OA OCAC四边形ABCD为平行四边形，∴∥，AB CD由题意得：PQE V 为等边三角形，60PQE QPE ∴∠=∠=︒，AB CE ∥ ，60QPB PQE ∴∠=∠=︒，60A QPB ∴∠=∠=︒，AD PQ ∴∥，∴四边形APQD 为平行四边形，4PQ AD ∴==，4DQ PQ AP ∴===，24t \=，2t ∴=，②当点E 落在AB 边上时，如图，由题意得：PQE V 为等边三角形，60PEQ ∴∠=︒，60A PEQ ∴∠=∠=︒，AD EQ \∥，∴四边形AEQD 为平行四边形，4EQ AD ∴==，AE DQ =，4PE ∴=．24AE AP PE t ∴=-=-．在DOQ △和BOP △中，DOQ BOP OD OB QDO PBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，(AAS)DOQ BOP ≌∴ ，DQ PB ∴=，OD OQ ∴=，30ODQ OQD ∴∠=∠=︒，60QPE ∠=︒ ，90PDQ ∴∠=︒，1232BP BO BD ∴===，2823t ∴-=，(1)若设AP 的长为x ，则PC =，(2)当30BQD ∠=︒时，求AP 的长；(3)过点Q 作QF AB ⊥交AB 延长线于点(4)点P Q ，在运动过程中，线段说明理由．,PE AB QF AB ⊥⊥ ，∴90AEP BFQ ∠=∠=︒，又60,QBF ABC A ∠=∠=∠=︒ ∴()AAS BFQ AEP ≌，∴EP FQ =；AEP BFQ△≌△∴=，AE BF+=+∴BE AE BF BE∴6==AB EF⊥⊥,PE AB QF AB(1)如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形、，若AB (2)如图2，点E在BC，点F在CD上，连接AE EF-=2AC CF CE⊥分别交(3)如图3，在（2）的条件下，连接AF，过点C作CH BCCE=，PK 的延长线于点P，交AC的延长线于点K，若22（3）解：如图，以C为原点，BC 交于点T，DK与x轴交于点S 四边形ABCD是平行四边形，3【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，坐标两点距离公式，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点问题等知识，利用数形结合的思想，正确建立直角坐标系，求出相关点坐标是解题关键．14．在ABCD Y 中，BD 是对角线，(1)求证：AD BD=(2)当45A ∠=︒时，1DE =，2BE =，3CE =，求CDE 的面积．(3)在（1）的条件下，当BD 平分ADE ∠，DBE CDE ∠=∠，10CD =【答案】(1)见解析为等腰直角三角形，∴EBK∵ADB BDK ∠=∠，AD DK ADB KDB BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADB BDK △≌△，(1)如图1，若45BAD PCD ∠-∠=︒，求证：2AD PB =；(2)如图2，在（1）的条件下，若ABP 的面积与PCD 的面积的比是3:4的面积；(3)如图3，在（1）的条件下，若7514PAB PD ∠=︒=，，求PA 的长．【答案】(1)见解析(2)1542∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD AB CD ∥，=．∵MN AB ⊥，∴MN CD ⊥．∵:3:4ABP PCD S S = ，。

(完整版)特殊的平行四边形(压轴题)

特殊平行四边形1、如图，四边形OABC 与四边形ODEF 都是正方形。

（1）当正方形ODEF 绕点O 在平面内旋转时，AD 与CF 有怎样的数量和位置关系?证明你的结论；（2）若ODEF 绕点O 旋转,当点D 转到直线OA 上时,DCO 恰好是30°,当点D 转到直线OA或直线OC 上时，求AD 的长。

（本小题只写出结论，不必写出过程)FEDCBAO2、如图，在正方形ABCD 中,点P 是射线BC 上的任意一点（点B 与点C 除外),连接DP ，分别过点C 、A 作直线DP 的垂线,垂足为点E 、F.（1）当点P 在BC 的延长线上时，那么线段AF 、CE 、EF 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论；（2）当点P 在BC 边上时，正方形的边长为2,AF 、CE 之间有怎样的数量关系？请证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当CE=1时，求EF 的长.P FEDCB A DCBA3、菱形ABCD 中,点E 、F 分别在BC 、CD 边上，且B EAF ∠=∠。

（1）如果B ∠=60°，求证：AE=AF ；（2）如果）（︒<<︒=∠900ααB ，(1）中的结论：AE=AF 是否依然成立,请说明理由。

（3）如果AB 长为5,菱形ABCD 面积为20，BE=a ，求AF 的长。

(用含a 的式子表示）FED CBA4、如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合）.过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G 。

（1）BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样的关系?证明你的结论.（2）连接DF ，如果正方形的边长为2,设AE=a ，求△DFG 的面积。

（用含a 的式子表示)（3）如果正方形的边长为2,FG 的长为25,求点C 到直线DE 的距离。

GFEDCBA5、已知,在矩形ABCD 中，AB=10，BC=20，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE=2。

压轴题解题策略：平行四边形的存在性问题(最新整理)

中考数学压轴题解题策略平行四边形的存在性问题解题策略2015年9月13日星期日专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例❶ 如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P ，如果以点P 、A 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．图1-1【解析】P 、A 、C 三点是确定的，过△PAC 的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D （如图1-2）．由y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，得A (－3,0)，C (0, 3)，P (－1, 4)．由于A (－3,0)C (0, 3)，所以P (－1, 4)D 1(2, 7)．33 右，上33 右，上由于C (0, 3)A (－3,0)，所以P (－1, 4)D 2(－4, 1)．33 下，左33 下，左由于P (－1, 4)C (0, 3)，所以A (－3,0)D 3(－2, －1)．11 右，下11 右，下我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例❷如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图2-1【解析】在P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P 关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M(2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2 图2-3 图2-4例❸如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图3-1【解析】由y ＝－x ＋4，得A (4, 0)，直线AB 与坐标轴的夹角为45°．在O 、A 、C 、D 四个点中，O 、A 是确定的，以线段OA 为分类标准．如图3-2，如果OA 是菱形的对角线，那么点C 在OA 的垂直平分线上，点C (2,2)关于OA 的对称点D 的坐标为(2,－2)．如果OA 是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O 为圆心，OA 为半径的圆与直线AB 的交点恰好为点B (0, 4)，那么正方形AOCD 的顶点D 的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A 为圆心，AO 为半径的圆与直线AB 有两个交点C 和C ′(4-，点C 和C ′向左平移4个单位得到点D 和D ′．(4+-(--图3-2图3-3 图3-4例❹ 如图4-1，已知抛物线与x 轴的负半轴交241633y x x =+于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的．以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M ．16(2,3--图4-2 图4-3例❺如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点D 是第四象限内抛物线上的一点，直线AD 与y 轴负半轴交于点C ，且CD ＝4AC ．设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y ＝ax 2－2ax －3a ＝a (x ＋1)(x －3)，得A (－1, 0)．由CD ＝4AC ，得x D ＝4．所以D (4, 5a )．已知A (－1, 0)、D (4, 5a )，x P ＝1，以AD 为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD 为矩形的边，我们根据AD //QP ，AD ＝QP 来两次平移坐标．由于A 、D 两点间的水平距离为5，所以点Q 的横坐标为－4．所以Q (－4,21a )．由于A 、D 两点间的竖直距离为－5a ，所以点P 的纵坐标为26a ．所以P(1, 26a )．根据矩形的对角线相等，得AP 2＝QD 2．所以22＋(26a )2＝82＋(16a )2．整理，得7a 2＝1．所以P ．a =(1-，②如图5-3，如果AD 为矩形的对角线，我们根据AP//QD ，AP ＝QD 来两次平移坐标．由于A 、P 两点间的水平距离为2，所以点Q 的横坐标为2．所以Q (2,－3a )．由于Q 、D 两点间的竖直距离为－8a ，所以点P 的纵坐标为8a ．所以P (1, 8a )．再根据AD 2＝PQ 2，得52＋(5a )2＝12＋(11a )2．整理，得4a 2＝1．所以．此时P ．12a =-(14)-，我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP ＝90°，那么；如图5-3，如果∠QAP ＝90°，那么MA ND MD NP=．GQ KA GA KP=图5-2 图5-3例❻ 如图6-1，将抛物线c 1：x 轴翻折，得到抛物线c 2．2y =+现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A 、B 、D 、E 、M 、N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB 和△NED 是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM 与EN 保持平行且相等，所以四边形ANEM 保持平行四边形的形状，点O 为对称中心．【解法一】如果∠ANE ＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE ＝2EN ＝4．而AE ＝AO ＋OE ＝2AO ，所以AO ＝2．已知AB ＝2，此时B 、O 重合（如图6-4），所以m ＝BO ＝1．【解法二】如果对角线MN ＝AE ，那么OM ＝OA ，此时△MAO 是等边三角形．所以等边三角形MAB 与△MAO 重合．因此B 、O 重合，m ＝BO ＝1．【解法三】在平移的过程中，、，M ，根据OA 2＝OM (1,0)A m --(1,0)B m -(m -2列方程(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1．图6-2 图6-3 图6-4例❼如图7-1，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，E、H分别是AB、CD的中点，E、G 分别在AD、BC上，且AE＝CG．（1）求证四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形EFGH是矩形时，求AE的长；（3）当四边形EFGH是菱形时，求AE的长．图7-1【解析】（1）证明三角形全等得EF＝GH和FG＝HE大家最熟练了．（2）平行四边形EFGH的对角线FH＝4是确定的，当EG＝FH＝4时，四边形EFGH 是矩形．以FH为直径画圆，你看看，这个圆与AD有几个交点，在哪里？如图7-2．如图7-3，当E为AD的中点时，四边形ABGE和四边形DCGE都是平行四边形．如图7-4，当E与A重合时，△ABG与△DCE都是等边三角形．（3）如果平行四边形EFGH的对角线EG与FH互相垂直，那么四边形EFGH是菱形．过FH的中点O画FH的垂线，EG就产生了．在Rt△AOE中，∠OAE＝60°，AO＝2，此时AE＝1．又一次说明了如果会画图，答案就在图形中．图7-2 图7-3 图7-4 图7-5例❽如图8-1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4, 0)、B(0, 3)，点C的坐标为(0, m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD＝2OC，连结DE，以DE、DA为边作平行四边形DEFA．（1）如果平行四边形DEFA为矩形，求m的值；（2）如果平行四边形DEFA为菱形，请直接写出m的值．图8-1【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图．我们注意到，点A和直线AB（直线l）是确定的．如图8-2，先画x轴，点A和直线l．在直线l上取点E，以AE为对角线画矩形DEFA．如图8-3，过点E画直线l的垂线．画∠MDN，使得DN＝2MN，MN⊥DN，产生点C．如图8-4，过点C画y轴，产生点O和点B．图8-2 图8-3 图8-4您是否考虑到，画∠MDN时，还存在DM在x轴下方的情况？如图8-5．同样的，我们可以画如图8-6，如图8-7的两个菱形．图8-5 图8-6 图8-7。

(完整版)压轴题解题策略：平行四边形的存在性问题

中考数学压轴题解题策略平行四边形的存在性问题解题策略2015年9月13日星期日专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便．根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．例题解析例❶如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．图1-1【解析】P、A、C三点是确定的，过△P AC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图1-2）．由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得A(－3,0)，C(0, 3)，P(－1, 4)．由于A(－3,0)33右，上D1(2, 7)．右，上C(0, 3)，所以P(－1, 4)33由于C(0, 3)33下，左D2(－4, 1)．下，左A(－3,0)，所以P(－1, 4)33由于P(－1, 4)11右，下C(0, 3)，所以A(－3,0)11右，下D3(－2, －1)．我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．图1-2例❷如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．图2-1【解析】在P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P 关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M(2，3)．②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．图2-2 图2-3 图2-4 例❸如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．图3-1【解析】由y ＝－x ＋4，得A (4, 0)，直线AB 与坐标轴的夹角为45°．在O 、A 、C 、D 四个点中，O 、A 是确定的，以线段OA 为分类标准．如图3-2，如果OA 是菱形的对角线，那么点C 在OA 的垂直平分线上，点C (2,2)关于OA 的对称点D 的坐标为(2,－2)．如果OA 是菱形的边，那么又存在两种情况：如图3-3，以O 为圆心，OA 为半径的圆与直线AB 的交点恰好为点B (0, 4)，那么正方形AOCD 的顶点D 的坐标为(4, 4)．如图3-4，以A 为圆心，AO 为半径的圆与直线AB 有两个交点C (422,22)-和C ′(422,22)+-，点C 和C ′向左平移4个单位得到点D (22,22)-和D ′(22,22)-．图3-2 图3-3 图3-4例❹ 如图4-1，已知抛物线241633y x x =+与x 轴的负半轴交于点C ，点E 的坐标为(0,－3)，点N 在抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上，是否存在这样的点M 、N ，使得以M 、N 、C 、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1【解析】C (－4,0)、E (0,－3)两点是确定的，点N 的横坐标－2也是确定的．以CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：①如图4-2，当CE 为平行四边形的边时，由于C 、E 两点间的水平距离为4，所以M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点M 的横坐标为－6或2．将x ＝－6和x ＝2分别代入抛物线的解析式，得M (－6,16)或(2, 16)．②如图4-3，当CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M 16(2,)3--．图4-2 图4-3例❺如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），点D是第四象限内抛物线上的一点，直线AD与y轴负半轴交于点C，且CD＝4AC．设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．图5-1【解析】由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)．由CD＝4AC，得x D＝4．所以D(4, 5a)．已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，x P＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图5-2，如果AD为矩形的边，我们根据AD//QP，AD＝QP来两次平移坐标．由于A、D两点间的水平距离为5，所以点Q的横坐标为－4．所以Q(－4,21a)．由于A、D两点间的竖直距离为－5a，所以点P的纵坐标为26a．所以P(1, 26a)．根据矩形的对角线相等，得AP2＝QD2．所以22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以77a=-．此时P267(1)7-，．②如图5-3，如果AD为矩形的对角线，我们根据AP//QD，AP＝QD来两次平移坐标．由于A、P两点间的水平距离为2，所以点Q的横坐标为2．所以Q(2,－3a)．由于Q、D两点间的竖直距离为－8a，所以点P的纵坐标为8a．所以P(1, 8a)．再根据AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以12a=-．此时P(14)-，．我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系．上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程．如图5-2，如果∠ADP ＝90°，那么MA ND MD NP =；如图5-3，如果∠QAP ＝90°，那么GQ KA GA KP=．图5-2 图5-3例❻ 如图6-1，将抛物线c 1：233y x =-+沿x 轴翻折，得到抛物线c 2．现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．图6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A 、B 、D 、E 、M 、N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来（如图6-2），如果您看到了△MAB 和△NED 是边长为2的等边三角形，那么平移就简单了．如图6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM 与EN 保持平行且相等，所以四边形ANEM 保持平行四边形的形状，点O 为对称中心．【解法一】如果∠ANE ＝90°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE ＝2EN ＝4．而AE ＝AO ＋OE ＝2AO ，所以AO ＝2．已知AB ＝2，此时B 、O 重合（如图6-4），所以m ＝BO ＝1．【解法二】如果对角线MN ＝AE ，那么OM ＝OA ，此时△MAO 是等边三角形．所以等边三角形MAB 与△MAO 重合．因此B 、O 重合，m ＝BO ＝1．【解法三】在平移的过程中，(1,0)A m --、(1,0)B m -，M (3)m -，根据OA 2＝OM 2列方程(1＋m )2＝m 2＋3．解得m ＝1．图6-2 图6-3 图6-4 例❼如图7-1，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，E、H分别是AB、CD的中点，E、G分别在AD、BC上，且AE＝CG．（1）求证四边形EFGH是平行四边形；（2）当四边形EFGH是矩形时，求AE的长；（3）当四边形EFGH是菱形时，求AE的长．图7-1 【解析】（1）证明三角形全等得EF＝GH和FG＝HE大家最熟练了．（2）平行四边形EFGH的对角线FH＝4是确定的，当EG＝FH＝4时，四边形EFGH 是矩形．以FH为直径画圆，你看看，这个圆与AD有几个交点，在哪里？如图7-2．如图7-3，当E为AD的中点时，四边形ABGE和四边形DCGE都是平行四边形．如图7-4，当E与A重合时，△ABG与△DCE都是等边三角形．（3）如果平行四边形EFGH的对角线EG与FH互相垂直，那么四边形EFGH是菱形．过FH的中点O画FH的垂线，EG就产生了．在Rt△AOE中，∠OAE＝60°，AO＝2，此时AE＝1．又一次说明了如果会画图，答案就在图形中．图7-2 图7-3 图7-4 图7-5例❽如图8-1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A(4, 0)、B(0, 3)，点C的坐标为(0, m)，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD ＝2OC，连结DE，以DE、DA为边作平行四边形DEF A．（1）如果平行四边形DEF A为矩形，求m的值；（2）如果平行四边形DEF A为菱形，请直接写出m的值．图8-1【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图．我们注意到，点A和直线AB（直线l）是确定的．如图8-2，先画x轴，点A和直线l．在直线l上取点E，以AE为对角线画矩形DEF A．如图8-3，过点E画直线l的垂线．画∠MDN，使得DN＝2MN，MN⊥DN，产生点C．如图8-4，过点C画y轴，产生点O和点B．图8-2 图8-3 图8-4 您是否考虑到，画∠MDN时，还存在DM在x轴下方的情况？如图8-5．同样的，我们可以画如图8-6，如图8-7的两个菱形．图8-5 图8-6 图8-7。

挑战中考数学压轴题——平行四边形存在性问题

M点坐标为（﹣3，）或（，）或（，）；
（3）过点F作FT⊥BR于点T，如图2所示，
∵点B（m，n）在抛物线上，∴m2=4n，在Rt△BTF中，
BF= = = = ，
∵n＞0，∴BF=n+1，又∵BR=n+1，∴BF=BR．∴∠BRF=∠BFR，又∵BR⊥l，EF⊥l，
∴BR∥EF，∴∠BRF=∠RFE，∴∠RFE=∠BFR，同理可得∠EFS=∠CFS，∴∠RFS= ∠BFC=90°，
（2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标；
（3）设图象M的对称轴为l，点D（m，n）（﹣1＜m＜2）是图象M上一动点，当△ACD的面积为时，点D关于l的对称点为E，能否在图象M和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
∴2（1+m）=3，m= ．
（3）若A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，
∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），N（m，﹣ ）、M（﹣m，），
∴点A，E关于原点对称，点N，M关于原点对称，
∴A、N、E、M为顶点的四边形是平行四边形，
则AN⊥EN，KAN×KEN=﹣1，
∵A（﹣1﹣m，0），E（1+m，0），N（m，﹣ ），
三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点.
四、如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况.
灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便.
典型例题
例1．如图，抛物线：y= x2﹣x﹣ 与x轴交于A、B（A在B左侧），A（﹣1，0）、B（3，0），顶点为C（1，﹣2）

中考数学压轴题专题解析---平行四边形动点问题

中考数学压轴题专题解析---平行四边形动点问题这节课我们学什么1.动点平行四边形三定一动方法；2.动点平行四边形两定两动方法；知识框图典型例题分析1、动点平行四边形三定一动方法；例1.已知抛物线，过点，，三点2(0)y ax bx c a =++≠)0,3(-A )0,1(B )3,0(C （1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为，求正切值；P PAC ∠（3）若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．A P C M M 【答案：（1）由题意得：解得：∴⎪⎩⎪⎨⎧==++=+-30039c c b a c b a ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=321c b a 322+--=x x y （2）∴∴，，322+--=x x y 4)1(2++-=x )4,1(-P 52=PA 2=PC 23=AC ∵∴∴222AC PC PA +=090=∠PCA 31232tan ===∠AC PC PAC （3）∵直线的解析式是：AC 3+=x y 直线的解析式是：AP 62+=x y 直线的解析式是：PC 3+-=x y 当是平行四边形的一条对角线时：直线的解析式是：AC MC 32+=x y 直线的解析式是：∴AM 3--=x y )1,2(--M 当是平行四边形的一条对角线时：同理可得∴PC )7,2(M 当是平行四边形的一条对角线时：∴AP )1,4(-M∴或或】)1,2(--M )7,2(M )1,4(-M 例2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x 轴、y 轴分别交于点243y mx m =-A 、B ，点C 在线段AB 上，且．2AOB AOC S S ∆∆=（1）求点C 的坐标（用含有m 的代数式表示）；（2）将沿x 轴翻折，当点C 的对应点C ′恰好落在抛物线AOC ∆上时，求该抛物线的表达式；223y x mx m =++（3）设点M 为（2）中所求抛物线上一点，当以A 、O 、C 、M 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．【答案：（1）(3,2)Cm -（2）该抛物线的表达式为2y x x =（3）点M的坐标为(3,或(-或】2、动点平行四边形两定两动方法；例3.如图，抛物线与轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，32++=bx ax y y ，．31tan =∠OCA 6=∆ABC S （1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；（3）设点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，如果A 、C 、E 、F 构成平行四边形，请写出点E 的坐标（不必书写计算过程）．【答案：（1）(3,0)B -（2）把,顶点坐标223y x x =--+(1,4)-（3）①AC 为平行四边形的一边时123(1,0),(2(2E E E ---②AC 为平行四边形的对角线时E 4(3，0）】例4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为原点，点A 、C 的坐标分别为．将绕AC 的中点旋转180°，点O 落到点B 的位置，抛AOC ∆物线经过点A ，点D 是该抛物线的顶点．x ax y 322-=（1）求证：四边形ABCO 是平行四边形；（2）求a 的值并说明点B 在抛物线上；（3）若点P 是线段OA 上一点，且，求点P 的坐标；APD OAB ∠=∠（4）若点P 是x 轴上一点，以P 、A 、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y 轴上，写出点P 的坐标．【答案：（1）证明：∵绕AC 的中点旋转180°，AOC ∆点O 落到点B 的位置，∴C AOC AB≅∆∆∴，,AO C CB A O B ==∴四边形ABCO 是平行四边形．（2）解：，．3=a x x y 3232-=点B 的坐标为（3，3）,满足此函数解析式，点B 在此抛物3线上．（3）点P 的坐标为（，0）．34（4），，】)0,1(1P )0,1(2-P 3(3,0)P 例5.在平面直角坐标系xOy 中，经过点的抛物线与y 轴交(1,0)A -23y x bx =-++于点C ，点B 与点A 、点D 与点C 分别关于该抛物线的对称轴对称．（1）求b 的值以及直线AB 与x 轴正方形的夹角；（2）如果点E 是抛物线上一动点，过E 作EF 平行于x 轴交直线AD 于点F ，且F 在E 的右边，过点E 作与点G ，设E 的横坐标为m ，的周长EG AD ⊥EFG ∆为l ，试用m 表示l ；（3）点M 是该抛物线的顶点，点P 是y 轴上一点，Q 是坐标平面内一点，如果以点A 、M 、P 、Q 为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q 的坐标．【答案：（1），夹角为2b =45（2）21)1)2l m m =-++++ （3）】123417(0,2(0,2(2,),(2,22Q Q Q Q +-例6.在平面直角坐标系中，已知点A （4，0），点B （0，3）．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度向右平移，点Q 从点B 出发，以每秒2个单位的速度向右平移，又P 、Q 两点同时出发．（1）联结AQ ，当是直角三角形时，求点Q 的坐标；ABQ ∆（2）当P 、Q 运动到某个位置时，如果沿着直线AQ 翻折，点P 恰好落在线段AB 上，求这时的度数；AQP ∠（3）过点A 作，AC 交射线PQ 于点C ，联结BC ，D 是BC 的中AC AB ⊥点．在点P 、Q 的运动过程中，是否存在某时刻，使得以A 、C 、Q 、D 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，试求出这时的值；若不存在，试说明理由．ABC ∠cot【答案：（1） 1225(,3),(4,3)4Q Q （2）45AQP ∠=︒（3）当点C 在线段PQ 上时，延长BQ 与AC 的延长线交于点F ，∵AC AB⊥∴AOB FHA∆∆ ∴即FH AO FA AB =345=FA ∴415=FA ∵，DQ =AC ，且D 为BC 中点//DQ AC ∴FC=2DQ=2AC∴45=AC 在中，=4Rt BAC ∆ABC ∠cot 当点C 在PQ 的延长线上时，记BQ 与AC 的交点为F ，记AD 与BQ 的交点为G ，∵，CQ =AD 且D 为BC 中点//CQ AD ∴AD=CQ=2DG∴CQ=2AG=2PQ ∴FC=2AF∴在中，】445=AC Rt BAC ∆94cot =∠ABC课后练习练1.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A 、B ，此c bx x y -+=23-=x y 抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使的点P 的坐标；:5:4APC ACD S S ∆∆=（3）点M 为平面直角坐标系上一点，写出使点M 、A 、B 、D 为平行四边形的点M 的坐标．【答案：（1）抛物线的解析式是．322--=x x y （2）点P 的坐标为．12(4,5),(2,5)P P -（3）点M 的坐标为】123(2,1),(2,7),(4,1)M M M ---练2.如图，点A （2，6）和点B （点B 在点A 的右侧）在反比例函数的图像上，点C 在y 轴上，轴，，二次函数的图像经过A 、B 、C 三点．//BC x 2tan =∠ACB（1）求反比例函数和二次函数的解析式；（2）如果点D 在轴的正半轴上，点E 在反比例函数的图像上，四边形ACDEx 是平行四边形，求边CD的长．【答案：（1）反比例函数的解析式为． x y 12=二次函数的解析式为．23212++-=x x y （2）延长AC 交x 轴于G ，作轴，垂足为H ．．】EH x⊥CD =课后小测验1.已知一个二次函数的图像经过、、三点．()0,3A ()4,3B ()1,0C （1）求这个二次函数的解析式;（2）求tan 的值；BAC ∠（3）若点在轴上，点在（1）中所求出的二次函数的图像上，且以点D x E A、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点、的坐标．C D E D E 【答案：（1）243y x x =-+（2）tan tan 3BAC ACO ∠=∠=（3）或(5,0),(4,3)D E (3,0),(4,3)D E -。

中考数学专题17 函数动点问题中平行四边形存在性(解析版)

专题17 函数动点问题中平行四边形存在性类型一、平行四边形存在性结论：A C B D A C B Dx x x x yy y y +=+⎧⎨+=+⎩类型二、特殊平行四边形存在性1. 矩形存在性常用解题思路：构造一线三直角（借助相似或三角函数求解）；利用矩形对角线相等（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）借助勾股定理求解等.2. 菱形存在性常用解题思路：利用菱形四条边相等，对角线互相垂直，借助勾股定理等求解.3. 正方形存在性常用解题思路：兼具矩形和菱形二者.【例1】（2018·郑州预测卷）如图，直线y =与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =334x -+经过B 、C 两点.234ax x c ++（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一个动点，当△BEC 的面积最大时，求出点E 的坐标和最大值；（3）在（2）条件下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵直线y =与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，334x -+∴B (0,3)，C (4,0)，将B (0,3)，C (4,0)代入y = 得：234ax x c ++，解得：，16303a c c ++=⎧⎨=⎩383a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：.233384y x x =-++（2）过点E 作EF ⊥x 轴于F ，交BC 于M，设E （x ，），则M （x ，），233384x x -++334x -+∴ME =－（）=233384x x -++334x -+23382x x-+∴S △BEC =×EM ×OC 12=2EM=2()23382x x -+=,()23234x --+∴当x =2时，△BEC 的面积取最大值3，此时E (2，3).（3）由题意得：M (2，)，抛物线对称轴为：x =1，A (－2,0),32设P (m ，y )，y =，Q (1，n )233384m m -++①当四边形APQM 为平行四边形时，有：，解得：m =－3，212m -+=+即P (－3，)；218-②当四边形AMPQ 为平行四边形时，有：－2+m =2+1，即m =5即P (5, )；218-③当四边形AQMP 为平行四边形时，有：2－2=1+m ，得：m =－1，即P (－1，)；158综上所述，抛物线上存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为：(－3，)，(5, )，(－1，).218-218-158【变式1-1】（2018·河师大附中模拟）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A (－1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，－3).（1）求抛物线的解析式与顶点M 的坐标；（2）求△BCM 的面积与△ABC 面积的比；（3）若P 是x 轴上一个动点，过P 作射线PQ ∥AC 交抛物线于点Q ，随着P 点的运动，在x 轴上是否存在这样的点P ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (－1，0)，B (3，0)， C (0，－3)代入y =ax 2+bx +c ，得：，09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩解得：a =1，b =－2，c =－3，即抛物线的解析式为：y=x2－2x－3，顶点M的坐标为：（1，－4）；（2）连接BC，BM，CM，过M作MD⊥x轴于D，如图所示，S△BCM=S梯形ODMC+S△BDM－S△BOC=3，S△ACB=6，∴S△BCM：S△ACB=1：2；（3）存在.①当点Q在x轴上方时，过Q作QF⊥x轴于F，如图所示，∵四边形ACPQ为平行四边形，∴QP∥AC，QP=AC∴△PFQ≌△AOC，∴FQ=OC=3，∴3=x2﹣2x﹣3，解得x或x，∴Q，3)或，3)；②当点Q在x轴下方时，过Q作QE⊥x轴于E，如图所示，同理，得：△PEQ ≌△AOC ，∴EQ =OC =3，∴﹣3=x 2﹣2x ﹣3，解得：x =2或x =0(与C 点重合，舍去)，∴Q (2，﹣3)；综上所述，点Q 的坐标为：，3)或，3)或(2，﹣3).【例2】（2018·郑州三模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y =ax 2+bx －5与x 轴交于A (-1,0),B (5,0)两点，与y 轴交于点C .（1）求抛物线的解析式；（2）如图2所示，CE ∥x 轴与抛物线相交于点E ，点H 是直线CE 下方抛物线上的动点，过点H 且与y 轴平行的直线与BC 、CE 分别交于点F 、G ，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点H 的坐标及最大面积；（3）点M 是（1）中所求抛物线对称轴上一动点，点N 是反比例函数y =图象上一点，若以点B 、kxC 、M 、N 为动点的四边形是矩形，请直接写出满足条件的k 的值.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (-1,0),B (5,0)代入y =ax 2+bx －5得：，解得：，5025550a b a b --=⎧⎨+-=⎩14a b =⎧⎨=-⎩即抛物线的解析式为：y =x 2－4x －5.（2）在y =x 2－4x －5中，当x =0时，y =－5，即C (0，－5),∵CE ∥x 轴，则C 、E 关于直线x =2对称，∴E (4，－5), CE =4，由B （5,0）, C (0，－5)得直线BC 的解析式为：y =x －5，设H (m ，m 2－4m －5)，∵FH ⊥CE ，∴F (m ，m －5)，∴FH = m －5－（m 2－4m －5)= －m 2+5m ，S 四边形CHEF =·FH ·CE 12=（－m 2+5m ）×412=－2（m －）2+，52252当m =时，四边形CHEF 的面积取最大值，此时H (，).5225252354-（3）设M （2，m ），N (n ，)，B (5,0)，C (0，－5)，k n①当BC 为矩形对角线时，此时：2+n =5+0，m +=0－5，即n =3，kn设BC 与MN 交于点H ，则H (，)，MH =BC ，5252-12∴，22255222m ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：m =1或m =－6，当m =1时，k =－18；m =－6时，k =3，②当BC 为矩形边时，分两种情况讨论：（i ）当点M 在直线BC 下方时，即四边形BCMN 为矩形，则∠BCM =90°，2+5=n +0，m =－5，kn过M 作MH ⊥y 轴于H ，则由OB =OC 知，∠OCB =45°，∴∠MCH =∠CMH =45°，即CH =MH ，∴－5－m =2，解得：m =－7，n =7，k =－14；（ii ）当点M 在直线BC 上方时，即四边形BCNM 为矩形，则∠CBM =90°，n +5=2，=m －5，kn设对称轴与x 轴交于点H ，同理可得：BH =MH ，∴3=m ，n =－3，k =6；综上所述，k 的值为：－18，3，－14或6.【变式2-1】（2019·驻马店二模）如图，抛物线 y =-x 2+bx +c 经过 A (-1，0)，B (3，0)两点，且与 y 轴交于点 C ，点 D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 DE 交 x 轴于点 E ，连接BD ．（1）求经过 A ，B ，C 三点的抛物线的函数表达式．（2）点 P 是线段 BD 上一点，当 PE =PC 时，求点 P 的坐标．（3）在（2）的条件下，过点 P 作 PF ⊥x 轴于点 F ，G 为抛物线上一动点，M 为 x 轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F ，M ，G ，N 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线 y =-x 2+bx +c 经过 A (-1，0)，B (3，0)两点，∴，解得：，10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩23b c =⎧⎨=⎩即抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3.（2）由y =-x 2+2x +3知，C (0，3)，E (1，0)，D (1,4)，可得直线BD 的解析式为：y =-2x +6，设P （m ，-2m +6），由勾股定理得：PE 2=，PC 2=，()()22126m m -+-+()22263m m +-+-由PE =PC ，得：=，()()22126m m -+-+()22263m m +-+-解得：m =2，即P (2，2).（3）∵M 在x 轴上，N 在直线PF 上，∴∠NFM =90°，由四边形MFNG 是正方形，知MF =MG ，设M (n ，0)，则G (n ，-n 2+2n +3)，MG =|-n 2+2n +3|，MF =|n -2|，∴|-n 2+2n +3|=|n -2|，解得：n n n 或n ，故点M 0），，0），，0），，0）.【变式2-2】（2019·大联考）如图1，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），点P 在抛物线上，且在x 轴的上方，点P 的横坐标记为t .（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ，若MC 平分∠PMO ，求t 的值.（3）点D 在直线AC 上，点E 在y 轴上，且位于点C 的上方，那么在抛物线上是否存在点P ，使得以点C 、D 、E 、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出菱形的面积.图1图2【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），∴，解得：，301640c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩39434c b a ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩即抛物线的解析式为：y =x 2x +3.34-94-（2）由A (-4,0)，C (0,3)得直线AC 的解析式为：y =，334x +∵点P 的横坐标为t ，∴M (t , )，334t +∵PN ∥y 轴，∴∠PMC =∠MCO ，∵MC 平分∠PMO ，∴∠PMC =∠OMC ，∴∠MCO =∠OMC ，即OM =OC =3，∴OM 2=9，即，解得：t =0（舍）或t =，223394t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭7225∴当MC 平分∠PMO 时，t =.7225（3）设P (t , t 2t +3)，34-94-①当CE 为菱形的边时，四边形CEPD 为菱形，则PD ∥y 轴，CD =PD ，则D (t ，),334t +∴PD =t 2t +3－（）=t 2t ，34-94-334t +34-3-由勾股定理得：CD =，54t -∴t 2t =，解得：t =0（舍）或t =，34-3-54t -73-即PD =，菱形面积为：×=；351235127324536②当CE 为菱形的对角线时，此时P 与D 点关于y 轴对称，则D (-t , t 2t +3)，将D 点坐标代入y =，得：34-94-334x +t 2t +3=，解得：t =0（舍）或t =－2，34-94-()334t -+PD =4，CE =3，菱形的面积为：×4×3=6；12综上所述，菱形的面积为：或6.245361.（2019·南阳毕业测试）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB ＝4，矩形OBDC 的边CD ＝1，延长DC 交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵矩形OBDC 的边CD ＝1，∴OB ＝1，由AB ＝4，得OA ＝3，∴A （﹣3，0），B （1，0），∵抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，∴a +b +2=0，9a －3b +2=0，解得：a =，b =，23-43-∴抛物线解析式为y ＝x 2x +2；23-43-（2）以AC 为边或对角线分类讨论：A （﹣3，0），C （0，2），抛物线y ＝x 2x +2的对称轴为x ＝﹣1，23-43-设M (m , y M )，N (－1，n )，y M =m 2m +223-43-①当四边形ACMN 为平行四边形时，有：，312Mm y n -+=-⎧⎨=+⎩解得：m =2，y M =，即M (2，)；103-103-②当四边形ACNM 为平行四边形时，有：，312Mm y n --=⎧⎨+=⎩解得：m =－4，y M =，即M (－4，)；103-103-③当四边形AMCN 为平行四边形时，有：，312Mm y n -=-⎧⎨=+⎩解得：m =－2，y M =2，即M (－2，2)；综上所述，点M 的坐标为（2，）或（﹣4，）或（﹣2，2）．103-103-2.（2019·开封模拟）如图，直线y ＝﹣x +4与抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，12点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得∠ABP ＝90°，求出点P 坐标；（3）点E是抛物线对称轴上一点，点F 是抛物线上一点，是否存在点E 和点F 使得以点E ，F ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y ＝﹣x +4中，当x ＝0时， y ＝4，当y ＝0时，x ＝4，即点A 、B 的坐标分别为（0，4）、（4，0），将（0，4）、（4，0），代入二次函数表达式，并解得：b =1，c =4，抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+x +4；12（2）∵OA ＝OB ＝4，∴∠ABO ＝45°，∵∠ABP ＝90°，则∠PBO =45°，若直线PB 交y 轴于点M ，则OM =OB =4，可得直线BP 的解析式为：y =x －4，联立：y =x －4，y ＝﹣x 2+x +4，得：12x =4，y =0(即B 点)；x =－4，y =－8，即P (－4，－8).（3）存在；由y ＝﹣x 2+x +4知抛物线的对称轴为：x =1，12设E (1，m )，F (n ，﹣n 2+n +4)，O (0,0)，B (4,0)，12①当四边形OBEF 是平行四边形时，有：EF =4，∴n -1=-4，即n =-3，F 点坐标为（-3，）；72-②当四边形OBFE 是平行四边形时，有：EF =4，n -1=4，即n =5，F 点坐标为（5，）；72-③当四边形OFBE 是平行四边形时，有：,410Fnm y =+⎧⎨=+⎩即n =3，F 点坐标为（3，）；52综上所述：点F 的坐标为（5，），（﹣3，），（3，）．72-72-523.（2019·开封二模）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2与直线y ＝﹣x 交第二象限于点E ，与x 轴交于A （﹣3，0），B 两点，与y 轴交于点C ，EC ∥x 轴．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M，若以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知：A （﹣3，0），C （0，2），EC ∥x 轴∴点E 的纵坐标为2，∵点E 在直线y ＝﹣x 上，∴点E （﹣2，2），∵将A （﹣3，0）、E （﹣2，2）代入y ＝ax 2+bx +2，得：，解得：93204222a b a b -+=⎧⎨-+=⎩2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩抛物线的解析式为：；224233y x x =--+（2）由知，抛物线的对称轴为x =－1，224233y x x =--+设N (－1，n )，M (m ，)，224233m m --+∵A （﹣3，0），C （0，2），（1）当四边形ACNM 是平行四边形时，有：，得：m =－4，y M = ；312Mm n y --=⎧⎨=+⎩103-即M (－4，).103-（2）当四边形ACMN 是平行四边形时，有：，得：m =2，y M = ；312Mm n y -+=-⎧⎨+=⎩103-即M (2，).103-（3）当四边形ANCM 是平行四边形时，有：，得：m =－2，y M = 2；312Mmn y -=-+⎧⎨=+⎩即M (－2，2).综上所述，M 点的坐标是(－4，)，(2，)，(－2，2).103-103-4.（2019·名校模考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1（a ≠0）交x 轴于A ，B （1，0）两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF ⊥x 轴，交抛物线于点F（1）求抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系内存在点G ，使得G ，E ，D ，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）将y ＝0代入y ＝x +3，得x ＝﹣3．∴A （﹣3，0）．∵抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1交x 轴于A （﹣3，0），B （1，0）两点，∴，解得：109310a b a b +-=⎧⎨--=⎩1323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩抛物线的解析式为y ＝x 2+x ﹣1；1323（2）点G 的坐标为（2，1），（，﹣1），（，﹣1），（﹣4，3）．①当四边形DCEG 是菱形时，CD =CE =EG =4，设E (m ，m +3)，则G （m ，m +7），由C (0，－1)，E (m ，m +3)，得：CE 2=m 2+(m +4)2=16，解得：m =0（舍）或m =－4，此时G (－4,3)；②当四边形DCGE 是菱形时，CG 2=16,设E (m，m +3)，则G （m，m －1），即m 2+ m 2=16，解得：m =m =－此时，G (1)或G (－－1)；③当四边形DGCE 是菱形时，设E (m ，m +3)，则G （－m ，－m －1），此时E 在CD 的垂直平分线上，即m +3=1，m =－2，此时G (2，1);综上所述，点G 的坐标为：(－4,3)、(1)、(－－1)、(2，1).5.（2019·枫杨外国语三模）（2019·枫杨外国语三模）如图，抛物线 y ＝﹣x 2+bx +c 与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于点 C ，点 A 的坐标为(-1，0)，点 C 的坐标为(0，3)，点D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与 y 轴交于点 E ．（1）求抛物线的解析式；（2）点 M 是抛物线的顶点，点 P 是 y 轴上一点，点 Q 是坐标平面内一点，以 A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是以 AM 为边的矩形．若点 T 和点 Q 关于 AM 所在直线对称，求点 T 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）将 (-1，0)， (0，3)代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得：－1－b +c =0，c =3，解得：b =2，c =3，即抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3.（2）由y ＝﹣x 2+2x +3知，点M (1，4)，分两种情况讨论，①当四边形MAPQ 是矩形时，过M 作MH ⊥x 轴于H ，则MH =4，AH =2，易证得：∠APO =∠MAH ，∴tan ∠APO = tan ∠MAH ，即=2，OA MHOP AH∴OP =，12即P （0，－），12由A (-1，0)、M (1，4)，P （0，－）得：点Q 坐标为（2，），1272∵点 T 和点 Q 关于 AM 所在直线对称，即点Q 与点T 关于点M (1，4)对称，∴T (0，)；92②当四边形AMPQ 是矩形时，同理可得：T (0，)；12-综上所述，点 T 的坐标为(0，)，(0，).9212-6.（2019·焦作二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =x +b 的图象经过点A (-2，0)，与反比例函数（x >0）的图象交于点B (a ，4).ky x=（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M 是直线AB 上一点，过M 作MN ∥x 轴，交反比例函数（x >0）的图象于点N ，若以ky x=A ，O ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的横坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (-2,0)代入y =x +b ，得：b =2，即一次函数的解析式为：y =x +2，将B (a ，4)代入y =x +2，得：a =2，即B (2，4),将B (2，4)代入得：x =8，ky x=即反比例函数的解析式为：.8y x=（2）设M (m ，m +2)，则N (，m +2)，82m +由题意知，MN ∥OA ，则需MN =OA =2时，以A ，O ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，∴=2，82m m -+解得：m =或m =－（舍）或m =或m =－（舍），22-∴点M 的坐标为：（，，+2）.27.（2019·许昌月考）如图1，二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （3，0），B （﹣1，0）两点，43与y 轴交于点C ．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求△ACD 的面积（请在图1中探索）；（3）若点P ，Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P ，Q 运动到t 秒时，△APQ 沿PQ 所在的直线翻折，点A 恰好落在抛物线上E 点处，请直接判定此时四边形APEQ 的形状，并求出E 点坐标（请在图2中探索）．图1图2【答案】见解析．【解析】解：（1）∵二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （3，0），B （﹣1，0），43∴，解得：，493034103b c b c ⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯-+=⎪⎩834b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩即抛物线的解析式为：y =x 2﹣x ﹣4；4383（2）过点D 作DM ⊥y 轴于点M ，y =x 2﹣x ﹣44383=（x ﹣1）2﹣，43163∴点D （1，﹣）、点C （0，﹣4），163S △ACD =S 梯形AOMD ﹣S △CDM ﹣S △AOC=×（1+3）×﹣×（﹣4）×1﹣×3×4121631216312=4；（3）四边形APEQ 为菱形，理由如下：E 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作QF ⊥AP 于F ，由折叠性质知： AP =EP ，AQ =EQ ∵AP =AQ =t ，∴AP =AQ =QE =EP ，∴四边形AQEP 为菱形，∵FQ ∥OC ，∴，AF FQ AQOA OC AC ==∴345AF FQ t==∴AF =t ，FQ =t ，Q （3﹣t ，﹣t ），E （3﹣t ﹣t ，﹣t ），354535453545∵E 在二次函数y =x 2﹣x ﹣4上，4383∴﹣t =（3﹣t ）2﹣（3﹣t ）﹣4，4543858385∴t =或t =0（舍去），14564∴E （﹣，﹣）．5829168.（2018·新乡一模）如图，一次函数分别交y 、x 轴于A 、B 两点，抛物线122y x =-+过A ，B 两点.2y x bx c =-++（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直于x 轴的直线x ＝t，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N . 求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？（3）在(2)的情况下，以A ，M 、N 、D 为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D 的坐标.【答案】见解析【解析】解：（1）在得，当x =0时，y =2；y =0时，x =4，122y x =-+即A （0，2），B （4，0），把A (0，2)，B (4，0)代入，得：2y x bx c =-++，解得，21640c b c =⎧⎨++=⎩-722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线解析式为.2722y x x =-++（2）由题意知，，，1(,2)2M t t -+27(,2)2N t t t -++∴MN =2712(2)22t t t -++--+=，2(2)4t --+∴当t =2时，MN 有最大值4.（3）根据平行四边形的性质，得：D 点坐标为：（0，6），（0，-2）或（4，4）.9.（2019·周口二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设E 是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，再过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，得到矩形EFGH ．在点E 的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，直接写出该正方形的边长．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A (-1，0)，B (4，0)两点，∴，4016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得：，13a b =-⎧⎨=⎩即抛物线的解析式为：y =－x 2+3x +4.（2）∵四边形EFGH 是矩形，∴当EF =EH 时，四边形EFGH 是正方形，设E (m , －m 2+3m +4)，则F (3－m ，－m 2+3m +4)，m >，32∴EF =2m －3，EH =|－m 2+3m +4|，∴2m －3=|－m 2+3m +4|，解得：m或m（舍）或m或m（舍）∴正方形的边长EF －2，综上所述，正方形EFGH 的边长为：－2.10.（2019·郑州一中模拟）如图所示，平面直角坐标系中直线y =x +1交坐标轴于点A 、D 两点，抛物线y =ax 2+bx －3经过A 、C 两点，点C 坐标为（a ，5）. 点M 为直线AC 上一点，过点M 作x 轴的垂线，垂足为F ，交抛物线于点N .（1）求抛物线解析式；（2）是否存在点M ，使得以点D 、E 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，如果有，求点M 的坐标，如果没有，请说明理由.【解析】解：∵直线y =x +1交坐标轴于点A 、D 两点，∴A (－1,0)，D (0，1)，∵点C （a ，5）在直线y =x +1上，∴a =4，即C (4,5)，将A (－1,0)，C (4,5)代入y =ax 2+bx －3得：，解得：，3016435a b a b --=⎧⎨+-=⎩12a b =⎧⎨=-⎩∴抛物线的解析式为：y =x 2－2x －3.（2）存在，E （0，－3），∴DE =4，由题意知：DE ∥MN ，∴当DE =MN =4时，四边形DENM 是平行四边形，设N (m , m 2－2m －3)，则M (m , m +1)，∴| m +1-（m 2－2m －3）|=4，解得：m =0（舍）或m =3或m 或m ，综上所述，点M 的坐标为：（3,4），），）.11.（2019·郑州模拟）如图，已知二次函数的图象经过点A (4,0),与y 轴交于点23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭B ，在x 轴上有一动点C (m ,0) （0<m <4），过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，交该二次函数图象于点D .（1）求a 的值和直线AB 的解析式；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，设△ACE ，△DEF 的面积分别为S 1，S 2，若S 1=4S 2，求m 的值；（3）点H 是该二次函数图象上第一象限内的动点，点G 是线段AB 上的动点，当四边形DEGH 是平行四边形，且平行四边形DEGH 的周长取最大值时，求点G 的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (4,0)代入得：a =，23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭34-∴抛物线的解析式为：，239344y x x =-++设直线AB 的解析式为：y =kx +b ，∴4k +b =0，b =3，即k =，b =3，34-∴直线AB 的解析式为：y =x +3.34-（2）∵点C 的横坐标为m ，∴D (m , )，E (m , m +3)，239344m m -++34-AC =4－m ，DE =－(m +3)= ，239344m m -++34-2334m m -+∵BC ∥y 轴，∴，即，43AC OA CE OB ==443m CE -=∴CE =，AE =，()344m -()544m -∵∠DFA =∠DCA =90°，∠DBF =∠AEC ，∴△DFE ∽△ACE ，∵S 1=4S 2，∴AE =2DE ，即=2（），解得：m =4（舍）或m =，()544m -2334m m -+56即m 的值为.56（3）如图，过点G 作GM ⊥DC 于M ，设G 、H 点横坐标为n ，由DE =，得GH =，2334m m -+2334n n -+=，得：m =n （舍）或n =4－m ，2334m m -+2334n n -+∴MG =4-2m ，由得：EG =,45MG EG =()5424m -∴C 四边形DEGH =2()25342344m m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦=23102m m -++=，23161236m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭∴当m =时，C 最大，此时n =，13113即G (，)，E (，),1131413114由图象可知当E 、G 互换位置时满足题意，即G (，),E (，)，1311411314综上所述，G 点坐标为：(，)，(，).131141131413.（2018·郑州模拟）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接DB ．（1）求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是抛物线上的动点，设点M 的横坐标为m ．①当∠MBA ＝∠BDE 时，求点M 的坐标；②过点M 作MN ∥x 轴，与抛物线交于点N ，P 为x 轴上一点，连接PM ，PN ，将△PMN 沿着MN 翻折，得△QMN ，若四边形MPNQ 恰好为正方形，直接写出m 的值．【答案】见解析.【解析】解：（1）将点B （3，0），C （0，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，并解得：b =2，c =3，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3．顶点D （1，4）．（2）①过点M 作MG ⊥x 轴于G ，连接BM ．则∠MGB ＝90°，设M （m ，﹣m 2+2m +3），∴MG ＝|﹣m 2+2m +3|，BG ＝3﹣m ，∵DE ⊥x 轴，D （1，4），B （3，0），∴∠DEB ＝90°，DE ＝4，OE ＝1，BE ＝2，∵∠MBA ＝∠BDE ，∴tan ∠MBA ＝tan ∠BDE ＝，12∴＝2233m m m-++-12解得：m =或m =或m =3（舍）12-32-∴满足条件的点M 坐标（，）或（，）；12-7432-94-②∵MN ∥x 轴，∴点M 、N 关于抛物线的对称轴对称，∵四边形MPNQ 是正方形，∴OP ＝1，由∠QPM =∠MPO =45°，得：GM ＝GP ，即|﹣m 2+2m +3|＝|1﹣m |，解得：m 或m 或m 或m即满足条件的m .14.（2017·信阳二模）如图，抛物线y =ax 2+bx ﹣4与x 轴交于A （﹣2，0）、B （8，0）两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心做菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）将A （﹣2，0）、B （8，0）代入y =ax 2+bx ﹣4并解得：a =，b =，1432-即抛物线的解析式为：y =x 2x －4.1432-（2）由y =x 2x －4知，C (0，－4),1432-由菱形的性质可知：D （0，4），设直线BD 的解析式为：y =kx +n ，将点B （8,0）、D （0，4）代入得：k = ,n =4，12-即直线BD 的解析式为：y =x +4,12-由M （m ，m +4），Q （m ，m 2m －4）．12-1432-当MQ =DC 时，四边形CQMD 为平行四边形．∴m +4﹣（m 2m －4）=8，解得m =4或m =0（舍去）．12-1432-∴MD ∥CQ ，MD =CQ ，M （4，2），∴M 为BD 的中点，∴MD =MB ．∴CQ =MB ，又∵MB ∥CQ ，∴四边形CQBM 为平行四边形．。

专题04 特殊的平行四边形压轴题型汇总(解析版)

专题04 特殊的平行四边形压轴题型汇总一、单选题1．（2021·临沂第九中学）如图，在□ABCD中，对角线BD⊥AD，AB=10，AD=6，O为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连接DE、BF，下列结论不成立的是（）A．四边形DEBF为平行四边形B．若AE=3.6，则四边形DEBF为矩形C．若AE=5，则四边形DEBF为菱形D．若AE=4.8，则四边形DEBF为正方形【答案】D【分析】根据平行四边形的判定方法，矩形的判定方法，菱形的判定方法，正方形的判定方法解答即可．【详解】解：∵O为BD的中点，∵OB＝OD，∵四边形ABCD为平行四边形，∵DC//AB，∵∵CDO＝∵EBO，∵DFO＝∵OEB，∵∵FDO∵∵EBO（AAS），∵OE＝OF，∵四边形DEBF为平行四边形，故A选项不符合题意，若AE＝3.6，AD＝6，∵3.6365AEAD==，又∵63105ADAB==，∵AE ADAD AB=，∵∵DAE＝∵BAD，∵∵DAE∵∵BAD，压轴题型汇总1∵∵AED＝∵ADB＝90°．∵四边形DEBF为矩形．故B选项不符合题意，∵AB＝10，AE＝5，∵BE＝5，又∵∵ADB＝90°，AB＝5，∵DE＝12∵DE＝BE，∵四边形DEBF为菱形．故C选项不符合题意，∵AE＝3.6时，四边形DEBF为矩形，AE＝5时，四边形DEBF为菱形，∵AE＝4.8时，四边形DEBF不可能是正方形．故选项D符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．2．（2021·河南八年级期末）如图，菱形ABCD的边长是8，对角线交于点O，⊥ABC=120°，若点E是AB的中点，点M是线段AC上的一个动点，则BM+EM的最小值为（）A．4B．C．8D．16【答案】B【分析】连接DE交AC于M，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B和D关于AC对称，则MD = MB，ME十MB=ME+MD≥DE，即DE就是ME十M B的最小值．【详解】解：连接DE交AC于M，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则MD = MB，ME 十MB =ME +MD ≥DE ，即DE 就是ME 十MB 的最小值，∵∵ABC =120°，∵BAD = 60°，AD ＝ AB ＝8，∵ABD 是等边三角形，∵点E 是AB 的中点，∵AE = BE ＝4，DE ∵AB (等腰三角形三线合一的性质)，在Rt ∵ADE 中，由勾股定理可得： DE =，故选：B ．【点睛】本题考查菱形的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用，解题的关键确定M 的位置． 3．（2021·连云港市新海实验中学）如图，在Rt ABC 中，⊥ACB =90°，BC =2，⊥BAC =30°，将ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到⊥A 'B 'C '， M 是BC 的中点，P 是A 'B '的中点，连接PM ，则线段PM 的最大值是（）A ．4B ．2C ．3D ．【答案】C【分析】连接PC ，分别求出PC ，CM 的长，然后根据PM MC PC ≤+即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接PC ，∵∵ACB =90°，BC =2，∵BAC =30°，∵AB =2BC =4，由旋转的性质可知：=90A CB ACB ''=∠∠，4A B AB ''==，∵P 、M 分别是A B ''、BC 的中点， ∵122PC A B ''==，112CM BC ==， ∵3PM MC PC ≤+=，∵PM 的最大值为3，且此时P 、C 、M 三点共线，故选C ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形斜边的中线，三角形三边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．4．（2021·山东济宁学院附属中学九年级）如图，矩形纸片ABCD ，6cm AB =，8cm BC =，E 为边D 上一点，将BCE 沿BE 所在的直线折叠，点C 恰好落在AD 边上的点F 处，过点F 作FM BE ⊥，垂足为点M ，取AF 的中点N ，连接MN ，则MN =（）cm ．A ．5B ．6C ．245D ．【答案】A【分析】连接AC ，MC ，可求得M 为CF 的中点，根据中位线的性质可得12MN AC =，勾股定理求得AC 即可．【详解】解：连接AC ，MC由折叠的性质可得CF EB ⊥，CE EF =又∵FM BE ⊥∵点M 在线段FC 上，90EMF EMC ∠=∠=︒又∵ME ME =∵()EMF EMC HL △≌△∵FM MC =又∵AF 的中点N∵MN 为ACF 的中位线 ∵12MN AC =在Rt ACB 中，10cm AC =∵5cm MN =故选A【点睛】此题考查了折叠的性质，矩形的性质以及三角形中位线的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．5．（2021·珠海市九洲中学）如图所示，矩形ABCD 中，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，15CAE ∠=︒，则下面的结论：①ODC △是等边三角形；②2BC AB =；③AOB BOC S S =△△；④AOE COE S S =，其中正确的有（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】C【分析】由矩形的性质得OA ＝OD ＝OC ＝OB ，再证∵ACD ＝60°，得∵ODC 是等边三角形，故①正确；然后由含30°角的直角三角形的性质得AC ＝2AB ，则2AB ＞BC ，故②错误；然后由OA ＝OC得AOB BOC S S =△△，AOE COE SS =，故③④正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∵AD //BC ，∵BAD ＝∵ABC ＝∵ADC ＝90°，OA ＝OC ，OD ＝OB ，AC ＝BD ，∵OA ＝OD ＝OC ＝OB ，∵AE 平分∵BAD ，∵∵DAE ＝45°，∵∵CAE ＝15°，∵∵DAC ＝45°−15°＝30°，∵∵ACD ＝90°−∵DAC ＝90°−30°＝60°，∵OD ＝OC ，∵∵ODC 是等边三角形，故①正确；∵AD //BC ，∵∵ACB ＝∵DAC ＝30°，∵∵ABC ＝90°，∵AC ＝2AB ，∵2AB ＞BC ，故②错误；∵OA ＝OC ，∵AOB BOC S S =△△，AOE COE SS =，故③④正确；故答案为：C.【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质，证出OA ＝OD ＝OC 是解题的关键．6．（2021·西安市铁一中学九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系xoy 中，()4,4P ，A 、B 分别是x 轴正半轴、y 轴正半轴上的动点，且ABO 的周长是8，则P 到直线AB 的距离是（）A ．4B ．3C ．2.5D ．2【答案】A【分析】构造正方形DPCO ，将∵PA 'C 沿PA'折叠得到∵PA 'E ，再证明∵PB 'D ∵∵PB 'E ，得到''A B O 的周长等于8，于是∵A 'B'O 即∵ABO ，故可得到P 到直线AB 的距离为PE =4，即可求解．【详解】如图，∵()4,4P∵构造正方形DPCO ，边长等于4，故PD =PC =4将∵PA 'C 沿PA'折叠得到∵PA 'E ，延长A'E 交y 轴于点B'，∵PC =PE ，A 'C =A 'E ，∵PCA'=∵PEA'=90°，∵PD =PE又∵PDB'=∵PEB'=90°，PB'=PB'∵∵PB 'D ∵∵PB'E （HL ）∵B 'D =B'E∵''A B O 的周长等于A 'O +OB'+A 'B'=A'O +B'O +B'E +A'E = A 'O +B'O +B'D +A 'C =OC +DO =8故∵A 'B 'O 符合题意中的∵ABO ，∵P 到直线AB 的距离为PE =4故选A ．【点睛】此题主要考查正方形的判定与性质，解题的关键是根据题意构造正方形，利用全等三角形的性质求解．7．（2021·浦江县教育研究和教师培训中心）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，AE BF ⊥，交点为G ，CH BF ⊥，交BF 于点H ．若CH HG =，1CFH S =△，那么正方形的面积为（）A ．15B ．20C ．22D ．24【答案】B【分析】根据AE BF ⊥，利用同角的余角相等得出EAB FBC ∠=∠，再根据AAS 即可证出ABG BCH ≌△△，得BG CH =，设CH x =，算出BC ，设FH 为y ，分别在CFH △和CFB 中使用勾股定理得12y x =，再由1CFH S =△得2x =，即可求出正方形的面积．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABE BCF ∠=∠=︒， AE BF ⊥，90ABC ∠=︒，90BAE GBA ∴∠+∠=︒，90FBC GBA ∠+∠=︒，BAE CBF ∴∠=∠，CH BF ⊥，90BHC AGB ∴∠=︒=∠，在ABG 与BCH 中，BGA BHC BAE CBF AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABG BCH AAS ∴△≌△，BG CH ∴=，设CH x =，则HG BG x ==，2BH x ∴=，BC ∴，设FH 为y ，CH BF ⊥，在CFH △中，22222CF FH CH x y =+=+，在CFB 中，22222(2)5CF BF BC x y x =-=+-，2222(2)5x y x y x ∴+=+-，解得：12y x =， ∴211124CFH S FH CH x =⋅==△，2x ∴=（舍负），∴正方形的面积为2220BC ==．故选：B ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，分别在CFH △和CFB 中使用勾股定理是本题的关键．8．（2021·四川绵阳市·中考真题）如图，在等腰直角ABC 中，90C ∠=︒，M 、N 分别为BC 、AC 上的点，50CNM ∠=︒，P 为MN 上的点，且12PC MN =，117BPC ∠=︒，则ABP ∠=（）A ．22︒B ．23︒C ．25︒D ．27︒【答案】A【分析】作辅助线，构建矩形，得P 是MN 的中点，则MP ＝NP ＝CP ，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可解答．【详解】解：如图，过点M 作MG ∵BC 于M ，过点N 作NG ∵AC 于N ，连接CG 交MN 于H ，∵∵GMC＝∵ACB＝∵CNG＝90°，∵四边形CMGN是矩形，∵CH＝12CG＝12MN，∵PC＝12MN，存在两种情况：如图，CP＝CP1＝12MN，①P是MN中点时，∵MP＝NP＝CP，∵∵CNM＝∵PCN＝50°，∵PMN＝∵PCM＝90°−50°＝40°，∵∵CPM＝180°−40°−40°＝100°，∵∵ABC是等腰直角三角形，∵∵ABC＝45°，∵∵CPB＝117°，∵∵BPM＝117°−100°＝17°，∵∵PMC＝∵PBM＋∵BPM，∵∵PBM＝40°−17°＝23°，∵∵ABP ＝45°−23°＝22°．②CP 1＝12MN ，∵CP ＝CP 1，∵∵CPP 1＝∵CP 1P ＝80°，∵∵BP 1C ＝117°，∵∵BP 1M ＝117°−80°＝37°，∵∵MBP 1＝40°−37°＝3°，而图中∵MBP 1＞∵MBP ，所以此种情况不符合题意．故选：A ．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，作出辅助线构建矩形CNGM 证明P 是MN 的中点是解本题的关键．9．（2021·四川绵阳市·中考真题）如图，在边长为3的正方形ABCD 中，30∠=︒CDE ，DE CF ⊥，则BF 的长是（）A ．1B C D ．2【答案】C【分析】由正方形的性质得出DC CB =，90DCE CBF ∠=∠=︒，由ASA 证得DCE CBF △≌△，即可得出答案．【详解】解：四边形ABCD 是正方形，90FBC DCE ∴∠=∠=︒，3CD BC ==，∵在Rt DCE 中，30∠=︒CDE ，12CE DE ∴=，设CE x =，则2DE x =，根据勾股定理得：222DC CE DE +=，即2223(2)x x +=，解得：x =， 3CE ，DE CF ⊥，90DOC ∴∠=︒，60DCO ∴∠=︒，906030BCF CDE ∴∠=︒-︒=︒=∠，DCE CBF ∠=∠，CD BC =，()DCE CBF ASA ∴△≌△，BF CE ∴=故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30角的直角三角形的性质等知识，证明DCE CBF △≌△是解题的关键．10．（2021·河南濮阳县·八年级期中）如图，AD 是ABC 的中线，过点A 作//AM BC ，在AM 上截取AE DC =，连接CE ，则下列命题中，假命题是（）A ．若AB AC =，则四边形ADCE 是矩形B ．若AD 平分BAC ∠，则四边形ADCE 是矩形C ．若ABC ∠与ACB ∠互余，则四边形ADCE 是菱形D ．若222AB BC AC +=，则四边形ADCE 是菱形【答案】D【分析】先推出四边形ADCE 是平行四边形，结合等腰三角形的性质，可得AD ∵BC ，进而即可判断A ；过点D 作DG ∵AB ，DH ∵AC ，推出ABC 是等腰三角形，进而可判断B ，根据直角三角形的性质，可判断C ；先推出ABC 是直角三角形且∵B =90°，进而判断D ．【详解】解：∵//AM CD ，AE DC =，∵四边形ADCE 是平行四边形，∵当AB AC =时，AD 是ABC 的中线，∵AD ∵BC ，即∵ADC =90°，∵四边形ADCE 是矩形，故A 是真命题；∵当AD 平分BAC ∠，过点D 作DG ∵AB ，DH ∵AC ，∵DG =DH ，∵AD 是ABC 的中线，∵BD =CD ，∵BDG CDH ≌（HL ），∵∵ABC =∵ACB ，∵ABC 是等腰三角形，∵AD ∵BC ，即：∵ADC =90°，∵平行四边形ADCE 是矩形，故B 是真命题；∵ABC ∠与ACB ∠互余，即ABC ∠+ACB ∠=90°，∵ABC 是直角三角形，∵AD 是ABC 的中线，∵AD =12BC =DC ，∵平行四边形ABCD 是菱形，故C 是真命题；∵当222AB BC AC +=时，∵ABC 是直角三角形且∵B =90°，∵AD 是ABC 的中线，∵AD ≠12BC =DC ，∵四边形ABCD 不是菱形，故D 是假命题【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，矩形，菱形的判定定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，矩形，菱形的判定定理是解题的关键．11．（2021·诸暨市开放双语实验学校八年级期中）如图，正方形ABCD的面积为s，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A B．C D．s【答案】A【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，BE与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边∵ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为s，可求出AB的长，从而得出结果．【详解】解：连接BD，设BE与AC交于点F，连接PD∵点B与D关于AC对称，∵PD=PB，∵PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为s，∵AB又∵∵ABE是等边三角形，∵BE=AB∵故选：A．此题主要考查了轴对称--最短路线问题，难点主要是确定点P 的位置．注意充分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点P 的位置即可．要灵活运用对称性解决此类问题．二、填空题12．（2021·哈尔滨市第四十七中学八年级月考）ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，若5AB =，8AC =，6BD =，则DCO 的周长为________．【答案】12【分析】首先由勾股定理的逆定理证明∵AOB 为直角三角形，从而得到AC ∵BD ，然后根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形判定进而解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，且AC ＝8，BD ＝6，∵AO ＝4，BO ＝3，∵AB ＝5，∵AB 2＝AO 2＋BO 2．∵∵OAB 是直角三角形．∵AC ∵BD ．又∵四边形ABCD 为平行四边形，∵四边形ABCD 为菱形．∵∵DCO 的周长＝CD ＋OC ＋OD ＝5＋4＋3＝12，故答案为：12【点睛】本题主要考查的是菱形的判定、平行四边形的性质等知识，掌握勾股定理的逆定理的应用、菱形的判定是解题的关键．13．（2021·哈尔滨德强学校八年级月考）在矩形ABCD 中，12AB =，7BC =，点E 在CD 边上，点F 在AB 边上，连接EF 、DF ，若3CE DE =，EF =DF 的长为_______．【分析】根据矩形的性质及勾股定理的应用对该问题进行分类讨论，分点E 在点G 的左边和点E 在点G 的右边讨论．【详解】解：如图所示，作FG DC ⊥于点G ，则90FGC ∠=︒，四边形ABCD 为矩形，12,90DC AB B C ∴==∠=∠=︒，∴四边形FGCB 为矩形，7FG BC ∴==， 5EF =1EG ∴==， 3CE DE =，1112344DE DC ∴==⨯=， 314DG DE EG ∴=+=+=，DF ∴==如图，作FG DC ⊥于点G ，则90FGC ∠=︒，四边形ABCD 为矩形，12,90DC AB B C ∴==∠=∠=︒，∴四边形FGCB 为矩形，7FG BC ∴==， 5EF =1EG ∴==， 3CE DE =，1112344DE DC ∴==⨯=， 312DG DE EG ∴=-=-=，DF ∴【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是掌握相关的性质定理，利用分类讨论的思想进行求解．14．（2021·哈尔滨德强学校八年级月考）如图，四边形ABCD 是正方形，以CD 为边向外作等边CDE △，BE 与AC 相交于点M ，则AMB ∠的度数是________°．【答案】60【分析】易得ABM ∆与ADM ∆全等，AMD AMB ∠=∠，因此只要求出15CBE ∠=︒的度数即可．【详解】解：连接DM ，四边形ABCD 是正方形．AB AD ∴=，BAM DAM ∠=∠．又AM=AMABM ∴∆与ADM ∆全等．AMD AMB ∴∠=∠．CB CE =，CBE CEB ∴∠=∠．9060150BCE BCD DCE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，15CBE ∴∠=︒．45ACB =︒∠，60AMB ACB CBE ∴∠=∠+∠=︒．故答案为：60．【点睛】此题考查正方形的性质，三角形的外角的性质、三角形全等，解题的关键是熟练掌握正方形及等边三角形的性质，会运用其性质进行一些简单的转化．15．（2021·江苏姑苏区·苏州市振华中学校）如图，矩形ABCD 中，2AC AB =，将矩形ABCD 绕点A 旋转得到矩形AB C D '''，使点B 的对应点B '落在AC 上，在'B C '上取点F ，使'B F AB =．则'FBB ∠的度数为_________°．【答案】15【分析】连接BB '，根据矩形的性质及旋转的性质得到90ABC AB C ''∠=∠=︒，AB AB '=，由已知条件及直角三角形的性质得到BB AB B C AB '''===，可证ABB '是等边三角形，再由已知证明B F BB ''=，最后由等腰三角形的性质求解即可．【详解】如图，连接BB '，∵四边形ABCD 是矩形，∵∵ABC =90°，由旋转的性质可知：90ABC AB C ''∠=∠=︒，AB AB '=，∵AC =2AB ，∵2AC AB AB B C '''==+，∵AB B C ''=，∵∵ABC =90°，∵BB AB B C AB '''===，∵ABB '是等边三角形，∵60AB B '∠=︒，∵150BB F '∠=︒，∵B F AB '=，∵B F BB ''=，∵15B BF B FB ''∠=∠=︒．故答案为：15．【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，熟练运用各性质及判定定理进行推理是解题的关键．16．（2021·重庆实验外国语学校）如图，在矩形ABCD 中，点E 是线段AB 上的一点，AE AB <，DE CE ⊥，将BCE 沿CE 翻折，得到FCE △，连接DF ，若3AD =，10AB =，则线段DF 的长度为______．【分析】过点F 作FH CD ⊥，根据矩形和折叠的性质得到FEC BEC GCE ∠=∠=∠，从而得到G 为CD 的中点，求得EG 、FG 的长度，勾股定理求得GC ，等面积法求得FH ，勾股定理即可求得DF ．【详解】解：过点F 作FH CD ⊥，如下图：在矩形ABCD 中，10CD AB ==，3AD BC ==，//CD AB ，90B ∠=︒ ∵BEC GCE ∠=∠由折叠的性质可得：3CF BC ==，FEC BEC ∠=∠，90GFC B ∠=∠=︒ ∵FEC BEC GCE ∠=∠=∠∵=EG CG又∵DE CE ⊥∵90DEC ∠=︒∵90,90GEC DEG GDE DCE ∠+∠=︒∠+∠=︒∵GDE DEG ∠=∠ ∵152DG GE GC CD ====，即G 为CD 的中点在Rt GFC 中，由勾股定理得4FG = 1122GFC S FC FG GC FH =⨯=⨯△得125FC FG FH GC ⨯==由勾股定理得165GH =415DH DG GH =+=由勾股定理得DF【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．17．（2021·哈尔滨市虹桥初级中学校八年级期中）如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 边上一点，AF AE ⊥交CD 延长线于点F ，2BE =，EFD BAE ∠=∠，则BG =_________．【答案】2+【分析】先证明∵EAF 是等腰直角三角形，过点E 作EH ∵BC 于点E ，交BD 于点H ，证明∵AEH =∵HEG =12∵AEF =22.5°，得到EG =HG =BE =2，即可求解．【详解】解：∵正方形ABCD 中，AF ∵AE ，∵∵BAD =∵EAF =90°，AB =AD ，∵∵BAE+∵EAD =∵DAF+∵EAD =90°，∵∵BAE =∵DAF ，又∵∵ABE =∵ADF =90°，∵∵BAE ∵∵DAF (ASA )，∵AE =AF ，∵∵EAF 是等腰直角三角形，∵∵AEF =∵AFE =45°，过点E 作EH ∵BC 于点E ，交BD 于点H ，如图：∵四边形ABCD 是正方形，∵∵HBE =45°，∵∵HBE 是等腰直角三角形，且BE =EG =2，∵HB BE∵EH ∵BC ，∵EFD =∵BAE ，∵∵FEC =∵AEB ，∵∵AEH =∵HEG =12∵AEF =22.5°，∵∵BHE =∵HEG +∵HGE =45°，∵∵HEG =∵HGE =22.5°，∵HG =HE =BE =2，∵BG故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明∵AEH =∵HEG =12∵AEF =22.5°．18．（2021·苏州高新区实验初级中学八年级月考）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，5AB =，12AC =，P 为边BC 上一动点（P 不与B 、C 重合），PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的取值范围是______．【答案】30613AM < 【分析】首先连接AP ，由在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，可证得四边形AEPF 是矩形，即可得AP EF =，即2=AP AM ，然后由当⊥AP BC 时，AP 最小，可求得AM 的最小值，又由AP AC <，即可求得AM 的取值范围．【详解】解：连接AP ，PE AB ⊥，PF AC ⊥，90AEP AFP ∴∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，∴四边形AEPF 是矩形，AP EF ∴=，90BAC ∠=︒，M 为EF 中点，1122AM EF AP ∴==，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，5AB =，12AC =，13BC ∴=，当⊥AP BC 时，AP 值最小，此时115121322BAC S AP ∆=⨯⨯=⨯⨯，6013AP ∴=，即AP 的范围是6013AP， 60213AM ∴， AM ∴的范围是3013AM ，AP AC <，即12AP <，6AM ∴<， ∴30613AM <．故答案为：30613AM <．【点睛】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理以及直角三角形的面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意当⊥AP BC 时，AP 最小，且AP AC <．三、解答题19．（2021·吉林德惠市·七年级期末）如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上一点，4AB =， 1.5AE =，DAE △逆时针旋转后能够与DCF 重合．（1）旋转中心是哪一点，旋转角为多少度？（2）请你判断DFE △的形状，并说明理由；（3）求四边形ABFD 的面积．【答案】（1）点D ，90°；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）19【分析】（1）依据DAE △逆时针旋转后能够与DCF 重合，即可得到旋转中心以及旋转角的度数；（2）根据旋转可得DE DF =，90EDF ADC ∠=∠=︒，即可得到DFE △是等腰直角三角形；（3）根据旋转的性质可得ADE CDF ≌，再由CDF ABCD ABFD S S S =+△正方形四边形即可得到答案．【详解】解：（1）DAE △旋转后能与DCF 重合，∴旋转中心是点D ，四边形ABCD 是正方形，90ADC ∴∠=︒，∴旋转角为90︒；（2）DFE △是等腰直角三角形．理由如下：根据旋转可得DE DF =，90EDF ADC ∠=∠=︒，所以DFE △是等腰直角三角形．（3）四边形ABCD 是正方形，90A BCD ∴∠=∠=︒，4AD AB ==，4416ABCD S =⨯=正方形，根据旋转可得：ADE CDF ≌，90DCF DAE ∴∠=∠=︒，180DCF BCD ∴∠+∠=︒，114 1.5322CDF ADE S S AD AE ∴==⋅=⨯⨯=△△， 16319CDF ABCD ABFD S S S ∴=+=+=△正方形四边形．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定，掌握“旋转不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置，旋转前后两个图形全等”是解题的关键．20．（2021·海南海口市·）如图1，在正方形ABCD 中，点P 是线段BC 上一个动点（与点B 、C 不重合），将线段AP 绕着点P 顺时针旋转90°得到线段PE ，连接DE ，过点D 作//DF EP ，交AB 于点F ，交AP 于点G ，连接FP ．（1）求证：①ABP DAF ≅△△；②四边形PEDF 是平行四边形；（2）如图2，点M 是BC 延长线上一点，当点P 在线段BC 上运动时，求证：点E 始终在DCM ∠的角平分线上．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）点E 始终在DCM ∠的角平分线上，见解析．【分析】（1）由正方形的性质得出AB DA =，90B DAF ∠=∠=︒，推出//DF EP ，证得BAP ADF ∠=∠，根据ASA 即可证得答案；（2）由全等三角形的性质可得AP DF =，等量代换可得DF PE =，再根据平行四边形的判定定理即可证得答案；（3）过点E 作EH DC ⊥于点H ，EI BM ⊥于点I ，先证明四边形CIEH 是矩形，根据AAS 证ABP PIE ≅，得到AB PI =，BP IE =，再通过证四边形CIEH 是正方形．即可证得答案．【详解】（1）①证明：∵四边形ABCD 是正方形，∵AB DA =，90B DAF ∠=∠=︒．∵90APE ∠=︒，//DF EP ，∵90AGD ∠=︒，∵ADF DAP BAP DAP ∠+∠=∠+∠，∵BAP ADF ∠=∠，∵()ASA ABP DAF ≅．②由ABP DAF ≅△△，可知AP DF =．∵AP PE =，∵DF PE =．∵//DF EP ，∵四边形PEDF 是平行四边形．（2）如图，过点E 作EH DC ⊥于点H ，EI BM ⊥于点I ，则90EHC CIE ∠=∠=︒，∵90HCI ∠=︒，∵四边形CIEH 是矩形．∵90APE ∠=︒，∵90APB EPI ∠+∠=︒，∵90PEI EPI ∠+∠=︒，∵APB PEI ∠=∠．∵90B PIE ∠=∠=︒，AP PE =，∵()AAS ABP PIE ≅．∵AB PI =，BP IE =．∵AB BC =，∵BC PI =，即BP PC CI PC +=+，∵BP CI =，∵IE CI =，∵四边形CIEH 是正方形．∵点E 始终在DCM ∠的角平分线上．【点睛】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握三角形全等的判定和性质，正方形的判定与性质以及平行四边形、矩形的判定是解题的关键．21．（2021·新余市第一中学九年级）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，且BE CF =，连接AE 、BF ，其相交于点G ，将BCF △沿BF 翻折得到BC F '△，延长FC '交BA 延长线于点H ．（1）求证：AE BF =；（2）若3AB =，2EC BE =，求BH 的长．【答案】（1）见解析；（2）5．【分析】（1）根据正方形的性质得到BA BC =，90ABC BCD ∠=∠=︒，利用SAS 定理证明ABE BCF △△≌，根据全等三角形的性质证明结论；（2）根据折叠的性质得到C BF CBF ∠'=∠，90BC F BCF ∠'=∠=︒，证明HB HF =，根据勾股定理列式计算即可．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，BA BC ∴=，90ABC BCD ∠=∠=︒，在ABE △和BCF △中，AB BC ABE BCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE BCF SAS ∴△≌△，AE BF ∴=；（2）解：3BC AB ==，2EC BE =，2EC ∴=，1BE =，1C F CF ∴'==，由折叠的性质可知，C BF CBF ∠'=∠，90BC F BCF ∠'=∠=︒，90C FB C BF ∠'+∠'=︒，90HBF FBC ∠+∠=︒，C FB HBF ∴∠'=∠，HB HF ∴=，312HC HF C F HB C F AH AH ∴'=-'=-'=+-=+，在Rt HBC '△中，222HB C B C H ='+'，即222(3)3(2)AH AH +=++，解得：2AH =，5BH AH AB ∴=+=．【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质定理是解题的关键．22．（湖北省黄冈市2020-2021学年八年级下学期期末数学试题）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，在四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，中点四边形EFGH 是．（2）如图2，点P 是四边形ABCD 内一点，且满足PA ＝PB ，PC ＝PD ，⊥APB ＝⊥CPD ，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．猜想中点四边形EFGH 的形状，并证明你的猜想．（3）若改变（2）中的条件，使⊥APB ＝⊥CPD ＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH 的形状（不必证明）．【答案】（1）平行四边形；（2）菱形，见解析；（3）正方形【分析】（1）连接BD ，根据三角形中位线定理证明EH ∵FG ，EH =FG ，根据平行四边形的判定定理证明即可；（2）证明∵APC∵∵BPD，根据全等三角形的性质得到AC=BD，再证明EF=FG，根据菱形的判定定理证明结论；（3）证明∵EHG=90°，利用∵APC∵∵BPD，得到∵ACP=∵BDP，即可证明∵COD=∵CPD=90°，再根据平行线的性质证明∵EHG=90°，根据正方形的判定定理证明即可．【详解】解：（1）如图1，连接BD，∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∵EH∵BD，EH=12 BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∵FG∵BD，FG=12 BD，∵EH∵FG，EH=GF，∵中点四边形EFGH是平行四边形，故答案为：平行四边形；（2）结论：四边形EFGH是菱形，理由：如图2，连接AC，BD．∵∵APB=∵CPD，∵∵APB+∵APD=∵CPD+∵APD，即∵APC=∵BPD，在∵APC和∵BPD中，AP BP APC BPD PC PD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵APC ∵∵BPD （SAS ），∵AC =BD ，∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∵EF =12AC ，FG =12BD ， ∵EF =FG ，由（1）知中点四边形EFGH 是平行四边形，∵平行四边形EFGH 是菱形；（3）结论：四边形EFGH 是正方形，理由：如图2，设AC 与BD 交于点O ．AC 与PD 交于点M ，∵∵APC ∵∵BPD ，∵∵ACP =∵BDP ，∵∵DMO =∵CMP ，∵∵COD =∵CPD =90°，∵EH ∵BD ，AC ∵HG ，∵∵EHG =∵DOC =90°，由（2）知中点四边形EFGH 是菱形，∵菱形EFGH 是正方形．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线． 23．（2021·吉林梅河口市·八年级期末）如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 上的点，ABE △沿BE 折叠，点A 的对应点为点G ．（1）如图1，当点G 恰好在BC 边上时，四边形ABGE 的形状是_______；（2）如图2，当E是AD的中点，G在矩形ABCD内部时，延长BG交DC边于点F．①求证：BF AB DF=+；②若AD=，试探索线段DF与FC的数量关系．【答案】（1）正方形；（2）①见解析；②CF=DF，理由见解析【分析】（1）先根据有三个角是直角得四边形ABGE是矩形，根据折叠的性质和矩形的性质可以得到AE=BG=AB，从而得四边形ABGE是正方形；（2）①连接EF，在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∵A＝∵C＝∵D＝90°，由∵ABE沿BE折叠得到∵GBE，可得BG＝AB，EG＝AE＝ED，∵A＝∵BGE＝90°，进而可证∵EGF∵∵EDF，由此求解即可；②设AB＝DC＝a，则DF＝b，在Rt∵BCF中，由勾股定理可得4ab＝2a²，进而可得2=，CD DF =．则DF FC【详解】解：（1）正方形，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∵∵A＝∵ABC＝90°，由折叠得：∵BGE＝∵A＝90°，∵ABE＝∵EBG＝45°，AB=BG∵四边形ABGE是矩形，∵AE=BG=AB，∵矩形ABGE是正方形；故答案为：正方形；（2）①证明：如图，连接EF，在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，∵A ＝∵C ＝∵D ＝90°，∵E 是AD 的中点，∵ AE ＝ DE ，∵∵ABE 沿BE 折叠得到∵GBE ，∵BG ＝ AB ， EG ＝ AE ＝ ED ，∵A ＝∵BGE ＝90°，∵∵EGF ＝∵D ＝90°，在Rt ∵EGF 和Rt ∵EDF 中，∵EG ＝ED ，EF ＝EF ，∵∵EGF ∵∵EDF （HL ）∵GF =DF ，∵BF =BG +GF =AB +DF ；②DF FC =，理由如下设AB ＝DC ＝a ，DF ＝b ，∵AD ＝BC ，由①得：BF ＝AB ＋DF ，∵BF ＝a ＋b ，CF ＝a -b ，在Rt ∵BCF 中，由勾股定理得：222BC B F F C =+，∵())()222a b a b +=+-，∵4ab ＝2a ²，∵a ≠0，∵2b ＝a ，∵2DF=CD ，∵CF CD DF DF =-=．【点睛】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：矩形的性质与判定，折叠的性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．1．如图，正方形ABCD 中，2AB =，E 为BC 中点，两个动点M 和N 分别在边CD 和AD 上运动，且1MN =，若ABE △与以D 、M 、N 为顶点的三角形相似，则DM =（）A ．13BC ．13或23D 【答案】D【分析】根据条件求出AE ，再根据相似三角形的性质求解即可；【详解】∵E 为BC 中点，∵1BE =．由勾股定理得，AE =当ABE MDN ∽时，AB AE DM MN =，即21DM =，解得5DM =；∽时，DM=同理，当ABE NDM∵DM．故选D．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质，准确计算是解题的关键．2．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E是边AD的中点，P为对角线BD上一动点，则+的最小值为（）AP PEA B．C．D．【答案】B【分析】连接EC，PC，由AP＋PE＝PC＋PE≥EC得EC就是AP＋PE的最小值，求出EC即可．【详解】解：如图，连接EC，PC，∵AP＋PE＝PC＋PE≥EC，∵EC就是AP＋PE的最小值，∵正方形ABCD的边长为4cm，点E是边AD的中点，∵CD＝4cm，ED＝2cm，∵CE＝2225+=，ED CD cm∵AP＋PE的最小值是25cm．故选：B．【点睛】本题考查正方形的性质、最短路径问题，解决此题的关键是将AP＋PE转化为PC＋PE．3．如图是将正方形ABCD 和正方形CEFG 拼在一起的图形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连结BD ，BF ．若阴影部分BDF ∆的面积为8，则正方形ABCD 的边长为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【分析】连接CF ，根据题意可得DB //CF ，再利用平行线之间的距离都相等可得：S ∵BDF =S ∵BDC =8，进而可得出边长．【详解】如图，连接CF ，∵四边形ABCD 和四边形CGFE 都是正方形，∵∵BDC =45°，∵GCF =45°，∵∵BDC =∵GCF ，∵BD ∵CF ，∵S ∵BDF =S ∵BCD =8，∵S ∵BDF =BC ×BC ÷2=8．∵BC =4，故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质、平行线、等腰三角形的性质，三角形面积公式等知识，能根据平行线之间的距离相等进而得出三角形面积相等是解题的关键．4．如图，在矩形AOBC 中，()()4,0,0,2A B -，若正比例函数y kx =的图象经过点C ，则k 的值为（）A．2-B．12-C．52D．5【答案】B【分析】根据矩形的性质得出点C的坐标，再将点C坐标代入解析式求解可得．【详解】解：∵A（−4，0），B（0，2）．∵OA＝4、OB＝2，∵四边形AOBC是矩形，∵AC＝OB＝2、BC＝OA＝4，则点C的坐标为（−4，2），将点C（−4，2）代入y＝kx，得：2＝−4k，解得：k＝12 -，故选：B．【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握矩形的性质和待定系数法求函数解析式．5．在正方形ABCD中，AD＝6，点M在边DC上，连接AM，⊥ADM沿直线AM翻折后点D 落到点N，过点N作NE⊥CD，垂足为点E．如图，如果ED＝2EC，则DM＝（）A．B．C．9﹣D．6﹣【答案】C【分析】过点N 作NH ∵AD 于H ，先证明四边形NEDH 为矩形，得到HD =NE ，NH =DE ，根据ED =2EC ，ED +EC =CD =6，可以得到ED =HN =4，再利用勾股定理求出AH ，即可得到NE 的值，最后再直角三角形MNE 中用勾股定理求解即可.【详解】解：如图所示，过点N 作NH ∵AD 于H ，∵四边形ABCD 是正方形，AD =6∵AD =CD =6，∵D =90°，∵NE ∵CD ，NH ∵AD ，∵∵NED =∵NHD =∵NHA =90°，∵四边形NEDH 为矩形，∵HD =NE ，NH =DE ，∵ED =2EC ，ED +EC =CD =6，∵ED =HN =4，由翻折的性质可得AD =AN =6，DM =MN∵AH ==∵6NE DH ==-设DM =MN =x ，则ME =4-x ,则222MN NE ME =+,∵(()22264x x =-+-，解得9x =-∵9DM =-故选C.【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.6．在正方形ABCD 中，90AEB CFD ∠=∠=︒，3AE CF ==，8BE DF ==，则点E 、F 之间的距离是（）A．B．C ．5 D ．6【答案】A【分析】由正方形的性质得出90BAD ABC BCD ADC ∠=∠=∠=∠=︒，AB BC CD AD ===，由SSS 证明ABE CDF ∆≅∆，得出ABE CDF ∠=∠，证出ABE DAG CDF BCH ∠=∠=∠=∠，由AAS 证明ABE ADG ∆≅∆，得出AE DG =，BE AG =，同理：3AE DG CF BH ====，8BE AG DF CH ====，得出EG GF FH EF ===，证出四边形EGFH 是正方形，即可得出结果．【详解】解：如图所示：四边形ABCD 是正方形，90BAD ABC BCD ADC ∴∠=∠=∠=∠=︒，AB BC CD AD ===，90BAE DAG ∴∠+∠=︒，在ABE ∆和CDF ∆中，AB CD AE CF BE DF =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ()ABE CDF SSS ∴∆≅∆，ABE CDF ∴∠=∠，90AEB CFD ∠=∠=︒，90ABE BAE ∴∠+∠=︒，ABE DAG CDF ∴∠=∠=∠，同理：ABE DAG CDF BCH ∠=∠=∠=∠，90DAG ADG CDF ADG ∴∠+∠=∠+∠=︒，即90DGA ∠=︒，同理：90CHB ∠=︒，在ABE ∆和ADG ∆中，90ABE DAG AEB DGA AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ()ABE ADG AAS ∴∆≅∆，AE DG ∴=，BE AG =，同理：3AE DG CF BH ====，8BE AG DF CH ====，835EG GF FH EF ∴====-=，1809090GEH ∠=︒-︒=︒，∴四边形EGFH 是正方形，EF ∴=故选：A ．【点评】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等．7．如图，矩形ABCD 中，AE BD ⊥垂足为E ，若4DAE BAE ∠=∠，则EAC ∠的度数为（）A ．54°B ．45°C ．36°D ．18°【答案】A【分析】由矩形的性质和已知条件得出OA =OB ，∵OAB =∵OBA ，∵BAE =15∵BAD =18°，再求出∵OAB ，即可得出∵EAC 的度数．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∵∵BAD =90°，OA =12AC ，OB =12BD ，AC =BD ，。

专题08 二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法(解析版)-2024年常考压轴题攻略(9上人教版)

专题08二次函数中特殊四边形存在性问题的四种考法类型一、平行四边形存在性问题(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点(3)如图2，设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为边形CDPM 是平行四边形？若存在，直接写出点【答案】(1)22y x=-(2)①23922S t t =-+；②点P 到直线BC 的距离的最大值为(3)存在，()1,6M 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）①在图1中，过点P 作PF y ∥轴，交BC 于点P 的坐标为()2,23t t t -++，则点F 的坐标为(t 2139222S PF OB t t =⋅=-+；②根据二次函数的性质得出当32t =时，S 取最大值，最大值为面积法求得点P 到直线BC 的距离，进而得出P （3）如图2，连接PC ，交抛物线对称轴l 于点设直线BC 的解析式为将()3,0B 、()0,3C 代入30,3m n n +=⎧⎨=⎩，解得：∴直线BC 的解析式为∵点P 的坐标为(,t t -∴点F 的坐标为(,t -∴(223PF t t =-++-∴1322S PF OB =⋅=-②12S PF OB =⋅=-∵302-<，∴当32t =时，S 取最大值，最大值为抛物线2y x bx =-++∴抛物线的对称轴为直线 1D C x x -=，∴1P M x x -=，∴2P x =，()2,3P ∴，在223y x x =-++中，当()0,3C ∴，∴3C D y y -=，∴3M P y y -=，∴6M y =，∴点M 的坐标为()1,6；当2P x ¹时，不存在，理由如下，若四边形CDPM 是平行四边形，则点C 的横坐标为0，点∴点P 的横坐标12t =⨯又 2P x ¹，(1)求点C 的坐标；(2)点P 为直线AC 下方抛物线上一点，过点此时点P 的坐标；(3)抛物线顶点为M ，在平面内是否存在点若存在请求出N 点坐标并在备用图中画出图形；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()4,5C (2)315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，点N 的坐标为：()154N -，，【详解】（1）解：在2=23y x x --中，令解得：11x =-，23x =，()()1,0,3,0A B ∴-，直线y x m =+经过点()1,0A -，∴01m =-+，解得：1m =，∴直线AC 的解析式为1y x =+，联立方程组，得2123y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得：1110x y =-⎧⎨=⎩，2245x y =⎧⎨=⎩()4,5C ∴；（2）如图1，设点2(,23)P n n n --，则点∴2212334()PE n n n n n =+---=-++ 10-<，∴当32n =时，PE 取得最大值254，此时，（3） 2223(1)4y x x x =--=--，∴抛物线顶点为()14M -，，如图2，点,,,A B M N 为顶点的四边形是平行四边形时，设①BM 为对角线时，AN 的中点与BM ∴(1)3122m +-+=，04022n +-+=，解得：∴()154N -，，②AM 为对角线时，BN 的中点与AM ∴31122m +-+=，04022n +-+=，解得：(1)求此拋物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P ，使得PA PC +值最小，求最小值；(3)点M 为x 轴上一动点，在拋物线上是否存在一点N ，使以边形为平行四边形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)215222y x x =--(2)552(3)54,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，5214,2⎛⎫+ ⎪⎝⎭，5214,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）把()1,0A -，()5,0B 两点代入求出a 、b 的值即可；（2）因为点A 关于对称轴对称的点B 的坐标为()5,0，连接BC 点坐标即可；（3）分点N 在x 轴下方或上方两种情况进行讨论．拋物线的解析式为212y x =-∴其对称轴为直线2b x a =-=-当0x =时，52y =-，50,2C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，又()5,0B ，∴设BC 的解析式为(y kx b =+5052k b b +=⎧⎪∴⎨=-⎪⎩，解得：12k =，52b =-，∴BC 的解析式为1522y x =-，当2x =时，1532222y =⨯-=-，①当点N 在x 轴下方时，抛物线的对称轴为2x =，0,C ⎛- ⎝154,2N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，②当点N 在x 轴上方时，如图，过点在2AN D △和2M CO △中，22N AD AN N DA ∠⎧⎪⎨⎪∠⎩252N D OC ∴==，即2N 点的纵坐标为21552222x x ∴--=，解得：2x =+25214,2N ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，35214,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述符合条件的N 的坐标有⎛ ⎝【点睛】本题考查的是二次函数综合题，式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，两点间距离的求解，在解答（意进行分类讨论．(1)求抛物线的解析式：(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E 在x 轴上运动，点F 在抛物线上运动，当以点B ，C ，E ，F 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点E 的坐标．【答案】(1)213222y x x =-++(2)存在，3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)541,02⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭或541,02⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或(7,0)或(1,0)【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）分两种情况：以C 为顶点，即CP CD =；以D 为顶点，即CD =等腰三角形的定义建立方程即可完成；（3）分三种情况：当BC 是对角线时；当BE 是对角线时；当BF 是对角线时；分别设点与F 的坐标，利用中点坐标公式即可求解．【详解】（1）解：∵点B 的坐标是(40)，，点C 的坐标是(02)，，∴16602a c c ++=⎧⎨=⎩，解得：122a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴所求抛物线解析式为213222y x x =-++；（2）解：存在(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为(3)在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G ，使以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是菱形，且存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)232333y x x =-++(2)()2,33E 2039⎫⎪⎭或532,339⎛⎫⎪⎝⎭）根据待定系数法求解即可；∵232333y x x =-++()23143x =--+，∴()1,43D ．令232333y x x =-++中0y =，则解得=1x -或3x =，抛物线的对称轴与x轴交于点M，过点∵四边形EFGH 是菱形，EFG ∠∴EF FG GH EG ===，∵60EFG ∠=︒，∴EFG 是等边三角形．∴60FEG EF FG ∠=︒=，，∵()2,33E ，()0,33C ，(1,4D ∴2CE CD ==，()24333-+同理可证： EFG 是等边三角形，∵CF FE =，=GE FE ，∴DG ∴CDG CEG ∆∆≌．∴DCG ∠=∴直线CG 的表达式为：33y =与抛物线表达式联立得33y y ⎧=⎪⎨⎪=-(1)求抛物线的表达式；(2)若点D 是直线AC 上方拋物线上一动点，连接BC ，AD ADM △的面积为1S ，BCM 的面积为2S ，当121S S -=时，求点(3)如图2，若点P 是抛物线上一动点，过点P 作PQ x ⊥轴交直线上是否存在点E ，使以P ，Q ，E ，C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)223y x x =-++(2)271,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或271,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．(3)符合条件的点E 有三个，坐标为：()0,1E ，(10,132E -【分析】（1）把点()30A ，和()10B -，代入解析式求解即可；（2）由121S S -=得121S S =+从而121ABM ABM S S S S +=++ 程求解即可；（3）分类当CQ 为对角线和菱形边时，利用直线AC 与x 轴成标的方程，进而求出点的坐标．【详解】（1）把点()3,0A 和()1,0B -代入得：93330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =-++；（2）设(),D x y ，对于抛物线223y x x =-++，令0x =，则()0,3C ∴．121S S -= ，121S S ∴=+．∵()30A ，，()0,3C ，∴3OA OB ==，45OCA ∴∠=︒，此时四边形CEQP 是正方形．PQ EQ ∴=．设()2,23P m m m -++，则23PQ m m =-+，23m m m ∴-+=，解得m =此时32OE OC m =-=-=②当CQ 为菱形的边时，如图设()2,23P m m m -++，则∴HQ m =，2PQ m =-+作QH OC ⊥于点H ，45OCA ∠︒= ，∴22CQ HQ m ==．∴23CE PQ m m ==-+=解得：132m =-，23m =()323213OE =+-=+()10,132E ∴-，(20,1E +综上所述，符合条件的点【点睛】本题考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键．【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，点（点A 在点B 左侧），与(1)求ABC 的面积；（3）解：∵抛物线212y x x =--∴()211942212y x x x =--+=-2＋＋∵将抛物线2142y x x =--+沿着水平方向向右平移∴新抛物线为：()112y x =--2＋∴原抛物线与新抛物线的交点，∴()()1111992222x x -=--22＋＋＋，∴解得：0x =，【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数与特殊图形，二次函数的平移规律，掌握二次函数与特殊图形的位置关系是解题的关键．类型三、矩形存在性问题(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 是抛物线上位于直线直线AC 于点D ，交x 轴于点E ，(3)在抛物线上是否存在点M ，对于平面内任意点一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出【答案】(1)2142y x x =--(2)335,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；254(3)()4,8M -、()8,4N -【分析】（1）把点()4,0A 和点B a 、b 的值；（2）先用待定系数法求出直线2211,422D t t t t ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，然后求出最大值时t 的值，即可求出点P （3）假设抛物线上是存在点M ，一条边的四边形为矩形，过点O 点A 且与OH 平行的直线解析式，经计算验证可得过点立方程可求得M 的坐标，通过平移即可求得点【详解】（1）解：把点()4,0A 和点∵()4,0A ，()0,4C -，∴OAC 为等腰直角三角形，∴点H 为AC 的中点，即(H 则OH 所在的直线方程为y =∵四边形AMNC 为矩形，∴过A 与直线AC 相垂直的直线函数解析式中的∴设AM 所在的直线解析式为∵点A 在直线AM 上，(1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)将抛物线L 向右平移1个单位，得到新抛物线对称轴l 上是否存在点D ，使得以点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()1,0A -，()3,0B (2)存在，点D 的坐标为()2,1或【分析】（1）分别令0y =和x （2）先求得平移后的抛物线L 角线时，根据矩形的性质求解即可．【详解】（1）解：令0y =，则解得11x =-，23x =，当AD 为对角线时，连接AC ，过点 ()1,0A -，()0,1C -，∴1OA OC ==，∴45OCA ∠=︒∴45OCG ∠=︒∴1OG OC ==，∴()1,0G ．设CG 所在直线解析式为y kx =+将()0,1C -，()1,0G 代入得，⎧⎨⎩解得11k b =⎧⎨=-⎩，∴CG 所在直线解析式为1y x =-当2x =时，1211y x =-=-=．∴()2,1D ．当AD 为边时，同理过点A 作AC 易得AH 所在直线解析式为y =当AC 为对角线时，DE 也为对角线，∴此种情况不存在．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P 为第一象限内抛物线上的一点，设PBC 的面积为S ，求S 坐标；(3)已知M 是抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点N ，使以B 的四边形是矩形？若存在，直接写出N 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)22+3y x x =-+(2)S 最大值为278，315(,)24P (3)存在，点1(2,(317))2N +或1(2,(317))2-或(2,1)-或(4,1)．【分析】（1）运用抛物线交点式解析式求解，设抛物线(1)(y a x x =+解；（2）如图，过点P 作PD AC ⊥，垂足为点D ，交BC 于点E ，设(,P m 的解析式3y x =-+，于是23PE m m =-+，从而13(22S PE OC m ==- 时，S 最大值为278，进而求得315(,)24P ；设2(,23)P m m m -++设直线BC 的解析式为y kx =033k hh =+⎧⎨=⎩，解得13k h =-⎧⎨=⎩∴3y x =-+则点(,3)E m m -+，2PE m =-∴2113(22S PE OC m ==´-+ ∴当32m =时，S 最大值为2782915233344m m -++=-++=∴315(,)24P ；（3）存在．设(1,)M p ，如图，223BC =222(13)(0)CM p p =-+-=如图，当BM 为对角线时，∠222BM CM BC =+，即26p p -+01330n p q +=+⎧⎨+=+⎩解得21n q =-⎧⎨=⎩∴点(2,1)N -如图，当CM 为对角线时，MBC ∠222BM BC CM +=，即26p p -+(1)求抛物线的对称轴方程；(2)若点P 满足PAB PBA ∠=∠，求点P 的坐标；(3)设M 是抛物线的对称轴上一点，N 是坐标平面内一点，正方形的面积．【答案】(1)32x =-(2)()51,51P --+(3)正方形AMPN 的面积为172或372【分析】（1）由4y x =+可知()4,0A -，()0,4B ，进而求得抛物线解析式为即可得抛物线的对称轴方程；（2）由题意可知PAB PBA ∠=∠，可知PA PB =，进而值OP 其与AB 交于点Q ，可得()2,2Q -，可求得OP 的解析式为则90PDM ACM ∠=∠=︒∴DPM PMD PMD ∠+∠=∠∴(AAS PDM MCA △≌△∴PD MC =，MD AC =，∵()4,0A -，3,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴35422MD AC ==-=，则90PEM ACM ∠=∠=︒∴EPM PME PME ∠+∠=∠∴(AAS PEM MCA △≌△∴PE MC =，ME AC =，∵()4,0A -，3,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴35422ME AC ==-=，则P y CE MC ME ==+=即：32P x m =-，P y m =-(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线(2)在点P 的运动过程中，求使四边形(3)点N 为平面内任意一点，在（2N 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点【答案】(1)()1,0A -，()3,0B ，C (2)32m =-(3)()1221,2Q +，2252,2Q ⎛+ ⎝【分析】（1）分别令0y =，0x =，可求出点∵()3,0B ，()0,3C ，∴3OB OC ==，∴BOC 是等腰直角三角形，∴点()221,2Q +，∴()22132322EQ =+--=-∴PE EQ =，此时点()221,2Q +使得以P ，E 如图，过点E 作EQ PM ⊥于点Q ，过点由（2）得：45BED ∠=︒，∵PM BC ∥，∴45BED DPQ ∠=∠=︒，∴PEQ ，PSQ 是等腰直角三角形，∴此时点Q 使得以P ，E ，Q ，N 为顶点的四边形是正方形；∴132222PS SE PE -===，∴点5232,12S ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，对于321y x =-++，当5212y =-时，222x =+，(1)求抛物线的解析式；(2)点E 在第一象限内，过点E 作EF y ∥轴，交BC 于点F ，作EH 点H 在点E 的左侧，以线段,EF EH 为邻边作矩形EFGH ，当矩形求线段EH 的长；(3)点M 在直线AC 上，点N 在平面内，当四边形OENM 是正方形时，请直接写出点标．【答案】(1)抛物线的解析式为2142y x x =-++；(2)4EH =；(3)点N 的坐标为()44，或7322⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC 的解析式为4y x =-+，设2142x E x x ⎛ ⎝-++，对称性质求得21422H x x x ⎛⎫- ⎪+⎝-+⎭，，推出2122GH EF x -=-+矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解；（3）先求得直线AC 的解析式为24y x =+，分别过点M 、E 作90OPE MQO ∠=∠=︒，90OEP ∠=︒∴OEP MOQ ≌△△，∴PE OQ =，PO MQ =，设2142m E m m ⎛⎫ ⎪⎝-++⎭，，∴PE OQ m ==-，12P m O M Q ==-∵点M 在直线AC 上，∴244212m m m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，解得m =当4m =时，()04M ，，()40E ，，即点M 与点C 重合，点E 与点B 重合时，四边形当1m =-时，512M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，512E ⎛- ⎝，点O 向左平移52个单位，再向下平移则点E 向左平移52个单位，再向下平移∴551122N ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，，即7322N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．课后训练(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P 、Q 为直线BC 下方抛物线上的两点，点Q 的横坐标比点过点P 作PM y ∥轴交BC 于点M ，过点Q 作QN y ∥轴交BC 于点N ，求值及此时点Q 的坐标；(3)如图3，将抛物线()230y ax bx a =+-≠先向右平移1个单位长度，再向下平移长度得到新的抛物线y '，在y '的对称轴上有一点D ，坐标平面内有一点E D 、E 为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为2=23y x x --(2)当1a =时，max ()4PM QN +=，()2,3Q -(3)()1,2E --或()5,2-或3171,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；（2）设()2,23P a a a --，则()21,4Q a a +-，进而得到(),3M a a -，(N 出222422(1)4PM QN a a a +=-++=--+，最后根据二次函数的性质即可解答；（3）分以BC 为矩形一边和对角线两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可．【详解】（1）解：把()1,0A -和()3,0B 代入()230y ax bx a =+-≠，得309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得1a =，2b =-∴222422(1)4PM QN a a a +=-++=--+∴当1a =时，max ()4PM QN +=∴()2,3Q -．（3）解：由题意可得：()()()222=1213152x y x x x x --'---=---=-，∴y '的对称轴为2x =∵抛物线()230y ax bx a =+-≠与y 轴交于点C ．∴()0,3C -,∵()3,0B ,∴3OC OB ==,45BCO CBO ∠=∠=︒；如图：当BC 为矩形一边时，且点D 在x 轴的下方，过D 作DF y ⊥轴，∵D 在y '的对称轴为2x =，∴2FD =，∴2CF FD ==,325OF =+=,即点()2,5D -，∴点C 向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到点D ，则点B 向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到()5,3E -；如图：当BC 为矩形一边时，且点D 在x 轴的上方，y '的对称轴为2x =与x 轴交于F ，∵D 在y '的对称轴为2x =，∴2FO =，∴321BF =-=，∵45CBO ∠=︒，即45DBO ∠=︒，∴321BF FD ==-=,即点()2,1D ，∴点B 向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D ，则点C 向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点()1,2E --；如图：当BC 为矩形对角线时，设∴BC 的中点F 的坐标为32⎛ ⎝∴2322322m d n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得：m d =⎧⎨+⎩又∵DE BC =,∴()()22222133d n -+-=+联立173d n d n ⎧-=±⎪⎨+=⎪⎩，解得：∴点E 的坐标为3171,2⎛-- ⎝综上，存在()1,2E --或(5,的四边形是矩形．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y 轴交于点C ，点P 为抛物线上的动点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点D 为直线y x =上的动点，当点P 在第四象限时，求四边形PBDC 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)已知点E 为x 轴上一动点，点Q 为平面内任意一点，是否存在以点P ，C ，E ，Q 为顶点的四边形是以PC 为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)2=23y x x --(2)278，315,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)3333,2⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭；3333,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭；(3,3)-；(3,2)【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）作直线BC ，过P 作PH x ⊥轴于点G ，交BC 于点H ．设()2,23P m m m --，则(,3)H m m -，23PH m m =-+，则2139()228BPC S t ∆=--+，当32t =时，BPC △的面积最大值为从而求出此时四边形PBDC 面积的最大值，P 点坐标；（3）设()2,23P m m m --，(,0)E n ，分四种情况画出图形，利用正方形性质求解即可．【详解】（1）解：将(1,0)A -，(3,0)B 代入23y ax bx =+-中，得309330a b a b --=⎧⎨+--⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩．∴该抛物线的函数表达式为2=23y x x --．（2）解：作直线BC ，过P 作PH x ⊥轴于点G ，交BC 于点H ．设直线BC 的表达式为：y kx =+得303k n n +=⎧⎨=-⎩，解得13k n =⎧⎨=-⎩，3y x ∴=-．设()2,23P m m m --，则(,H m m ∵BPC CPH BPHS S S =+△△△∴1122BPC S PH OG PH BG =⋅+⋅△∴(21322BPC S PH OB m =⨯=-+△∴28323272BPC S m ⎛⎫=-+ ⎪⎝-⎭△，∴当32m =时，BPC △面积的最大值为BC 与直线y x =平行，1122DBC OBC S S OB OC ∴==⋅=△△∴四边形PBDC 面积的最大值为当32m =时，2332322y ⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=315,24P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭（3）解：设()2,23P m m m --，I.如图，当点E 在原点时，即点∵四边形PECQ 为正方形，∴点3(3,)Q -，II.如解图3-2，当四边形PECQ 作PI x ⊥轴，垂足为I ，作QH ⊥又∵90CEO OCE ∠+∠=︒，∴OCE PEO ∠=∠，∴(ASA)OCE PEI ≅ △∴3CO IE ==，22EO IP m ==-同理可得：3QH CO IE ===，∴3OE OI IE m =+=+，HO IO=∴2323m m m +=--，解得：m ∴3332HO IO +==，∴点)33(3,32Q +-，同理可得：PI OE CH ==，IE QH =∴3OE IE IO m =-=+，∴2233m m m =---，解得：m =∴3332HO IO -+==，∴点3,(Q -IV.如解图3-4，当四边形PECQ 为正方形时，同理可得：PI OE CH ==，EI HQ =∴2323m m m -=--，解得：m =∴2HO IO ==，∴点(3,2)Q ，综上所述：点Q 坐标为3333,2⎛+- ⎝【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、数解析式、正方形性质、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的解法、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．3．如图，抛物线212y x bx c =++与物线交于A 、D 两点，与y 轴交于点综上所述，341,22N ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或341,22N ⎛- ⎝【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，面积问题，平行四边形的性质，熟练掌握是二次函数的性质解题的关键．4．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax =(1)求抛物线的表达式；(2)若直线x m =与x 轴交于点求出抛物线上点M 的坐标；(3)若点P 为抛物线y ax =位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点，在（构成平行四边形？若能构成，求出【答案】(1)223y x x =-++(2)315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)1(2-，15)4或3(2-，7)4或【分析】（1）利用待定系数法，即可求出抛物线的表达式；（2）由“直线x m =与x 轴交于点的坐标，进而可得出AN 再利用二次函数的性质，即可求出（3）利用平移的性质，可得出平移后抛物线的表达式为点的坐标特征，可求出点点P 的坐标为(1,)m ，点Q 线三种情况考虑，由平行四边形的对角线互相平分，可得出关于得出n 值，再将其代入点【详解】（1）解：将(1,0)-09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：∴抛物线的表达式为y =-（2）直线x m =与x 轴交于点∴点M 的坐标为2(,m m -。

专题03 特殊平行四边形中的三种几何动点问题(原卷版)-2024年常考压轴题攻略(9年级上册人教版)

专题03特殊平行四边形中的三种几何动点问题类型一、面积问题例．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90BCD ∠= ，10cm AB AD ==，=8cm BC ．点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线ABC 方向运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动．已知动点P ，Q 同时发，当点Q 运动到点C 时，P ，Q 运动停止，设运动时间为t ．(1)直接写出CD 的长（cm ）；(2)当四边形PBQD 为平行四边形时，直接写出四边形PBQD 的周长（cm ）；(3)在点P 、点Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BPQ V 的面积为215cm ？若存在，请求出所有满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，在四边形ABCD 中，,90,120,12cm,15cm AD BC A B ADC AD BC ∠=∠=︒∠=︒==∥，点P 自点A 沿折线AD DC -以1cm/s 的速度运动，点Q 自点C 沿向CB BA -以1cm/s 的速度运动．点P ，Q 同时出发，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动．设运动时间为(s)t ．(1)当P 在AD 边上，点Q 在BC 边上时，如图1．①用含t 的代数式表示：DP =___________，BQ =___________；②若四边形APQB 是平行四边形，求t 的值？(2)求BPQ V 的面积S 与运动时间t 之间的数量关系式，并写出t 的取值范围．【变式训练2】如图，在矩形ABCD 中，AB =12，BC =18，点P 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿类型二、几何图形存在性问题长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D E ，运动的时间是t 秒()0t >．过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE ，EF ．(1)求AB AC ，的长；(2)求证：AE DF =；(3)当t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由．例2．如图，已知正方形ABCD 的边长为4cm ，动点P 从点B 出发，以2cm /s 的速度沿B C D →→方向向点D 运动，动点Q 从点A 出发，以1cm /s 的速度沿A B →方向向点B 运动，若P 、Q 两点同时出发运动时间为s t ．(1)连接PD 、PQ 、DQ ，求当t 为何值时，PQD △的面积为27cm ？(2)当点P 在BC 上运动时，是否存在这样的t 使得PQD △是以PD 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．例3．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝8cm ，AD ＝12cm ，BC ＝18cm ，点P 从点A 出发以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以2cm/s 的速度向点B 运动，当点Q 到达点B 时，(1)填空：AB =；菱形ABCD 的面积S =；菱形的高h =．(2)若点M 的速度为每秒1个单位，点N 的速度为每秒a 个单位（其中52a <），当4t =时在平面内存在点得以A ，M ，N ，E 为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的a 的值．类型三、直线位置关系问题例1．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，5AC =，4BC =，点D 是边AB 的中点，动点P 从点A 出发(1)直接写出AB的长．(2)当点Q落在AB边上时，用含t的代数式表示(1)分别求BD和BE的长度；(2)连接PQ，当95t=时，判断PQ与AD是否垂直，并说明理由；(3)试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，DC 点以1cm /s 的速度运动，动点Q 从点B 开始沿BA 向A 点以3cm /s 的速度运动，P ，Q 分别从点D ，B 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为t 秒．(1)t 为何值时，四边形DPQA 为矩形？(2)t 为何值时，四边形PQBC 为平行四边形？2．如图，在ABC 中，6cm AC =，=8cm BC ，点O 以每秒1cm 的速度由点A 向点C 运动(不与点C 重合)，过点O 作直线MN BC ∥，BCA ∠的外角平分线CF 于点F ，ACB ∠的平分线CE 于点.E 设运动时间为t 秒．发现：(1)在点O 的运动过程中，OE 与OF 的关系是______，请写出理由．(2)当=2t 时，=EF ______cm ．探究：当=t ______时，四边形AECF 是矩形，并证明你的结论．拓展：若点O 在运动过程中，能使四边形AECF 是正方形，试写出线段AB 的长度．(直接写出结论即可)3．已知正方形ABCD 中，8AB BC CD DA ====，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒．动点P 以每秒2个单位速度从点B 出发沿线段BC 方向运动，动点Q 同时以每秒8个单位速度从B 点出发沿正方形的边(1)当运动时间为秒时，点P与点Q相遇；∥时，求线段DQ的长度；(2)当BQ PD全等时，求t的值．(3)连接PA，当PAB和QAD(1)CB的长为______．(2)用含t的代数式表示线段QB的长．(3)连接PQ，=；(1)求证：PE DQ(1)=a______cm，b=______cm；(2)t为何值时，EP把四边形BCDE的周长平分？(1)当2t =时，BP =___________cm ；(2)当t 为何值时，连接,,CP DP CDP △是等腰三角形；(3)Q 为AD 边上的点，且6DQ =，P 与Q 不重合，当t 为何值时，以长方形的两个顶点及点P 为顶点的三角形与DCQ 全等．。

专题14点线式秒杀函数压轴题03(平行四边形的存在性)(原卷版)

专题14 点线式秒杀函数压轴题03（平行四边形的存在性）二次函数与平行四边形的存在性的融合，是中考数学的经典的压轴大题的重要分支之一，图形的存在性，也有专门的套路，只要用好点线式，存在性问题即可秒解。

一、函数动点题的钥匙：点线式，三步曲。

点：（即所用到的点的坐标），线：用点的坐标表示出：两点间距离，图像函数表达式，中点的坐标等。

式：分情况列出函数关系式或方程。

平行四边形的存在性法一：中点公式法黄金公式五：中点公式，和的一半法二：平移大法—距离相等得方程。

（先画图，定方向）。

如图，抛物线y=12x2+bx+c与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中B（6，0），C（0，﹣6）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；（3）在（2）中△PBC面积取最大值的条件下，点M是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点N，使得以A、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．典例分析解题思路：（1）把B （6，0），C （0，﹣6）代入y =12x 2+bx +c ，用待定系数法可得该抛物线的函数表达式为y =12x 2−2x ﹣6；（2）过P 作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，由B （6，0），C （0，﹣6）可得直线BC 解析式为y ＝x ﹣6，根据P （m ，12m 2﹣2m ﹣6），Q （m ，m ﹣6），得PQ =−12m 2+3m ，即得S △PBC =12PQ•|x B ﹣x C |=12（−12m 2+3m ）×6=−32（m ﹣3）2+272，由二次函数性质得当m 取3时，△PBC 的面积最大，△PBC 面积的最大值是272；（3）由（2）知，m ＝3，P （3，−152），由12x 2−2x ﹣6＝0可得A （﹣2，0），设M （2，p ），N （q ，12q 2﹣2q ﹣6），点分三种情况：①若P A ，MN 为对角线，则P A ，MN 的中点重合，有{3−2=2+q −152+0=p +12q 2−2q −6（线式）即中点重合，可得N （﹣1，−72），②若PM ，AN 为对角线，同理可得N （7，92），③若PN ，AM 为对角线，同理可得N （﹣3，3）．答案详解：解：（1）把B （6，0），C （0，﹣6）代入y =12x 2+bx +c 得：{12×36+6b +c =0c =−6，解得{b =−2c =−6，∴该抛物线的函数表达式为y =12x 2−2x ﹣6；（2）过P 作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，如图：由B （6，0），C （0，﹣6）可得直线BC 解析式为y ＝x ﹣6， ∵n =12m 2﹣2m ﹣6，∴P （m ，12m 2﹣2m ﹣6），则Q （m ，m ﹣6），（点）∴PQ ＝（m ﹣6）﹣（12m 2﹣2m ﹣6）=−12m 2+3m ，（线）∴S △PBC =12PQ •|x B ﹣x C |=12（−12m 2+3m ）×6=−32m 2+9m =−32（m ﹣3）2+272，（式） ∵−32＜0，∴m ＝3时，S △PBC 取最大值，最大值为272，∴当m ＝3时，△PBC 的面积最大，△PBC 面积的最大值是272；（3）由（2）知，m ＝3，P （3，−152），由12x 2−2x ﹣6＝0得x 1＝﹣2，x 2＝6，∴A （﹣2，0），点抛物线y =12x 2−2x ﹣6的对称轴是直线x =−−22×12=2，设M （2，p ），N （q ，12q 2﹣2q ﹣6），点① 若P A ，MN 为对角线，则P A ，MN 的中点重合， ∴{3−2=2+q−152+0=p +12q 2−2q −6，（线式）即中点重合解得{p =−4q =−1，∴N （﹣1，−72），②若PM ，AN 为对角线，同理可得{p =12q =7，∴N （7，92），③若PN ，AM 为对角线，同理可得{p =−3q =−3，∴N（﹣3，3），综上所述，点N的坐标为（﹣1，−72）或（7，92）或（﹣3，3）．1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点B（3，0）和点C （0，3），抛物线y＝﹣x2+bx+c恰好经过B，C两点，与x轴的另一交点为A，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P在第一象限，连接OP，交直线BC于点D，且PDOD =23，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为M，抛物线的对称轴交直线BC于点N，Q是直线BC上一动点．是否存在以点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A 在点B左侧，点B的坐标为（1，0），点C的坐标为为（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数关系式；实战训练（2）若点D 是x 轴上的一点，在抛物线上是否存在点E ，使以A 、C 、D 、E 为顶点且以AC 为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c ，其对称轴为x ＝1，与x 轴的一个交点为A （﹣1，0），另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，若点M 为抛物线上第一象限内一动点，连接OM ，交BC 于点N ，当MN ON最大时，求点M 的坐标；（3）如图2，点P 为抛物线上一点，且在x 轴上方，一次函数y =32x +n 过点A ，点Q 是一次函数图象上一点，若四边形OAPQ 为平行四边形，这样的点P 、Q 是否存在？若存在，分别求出点P 、Q 的坐标；若不存在，说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x +2与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ．点C 的坐标为（m ，0），将线段BC 绕点C 顺时针旋转90°，并延长一倍得CD ，过D 作x 轴的垂线，垂足为F ，交直线AB ，（1）当m ＝3时，求出CF ，DF 的长；（2）当0＜m ＜6时，①求DE 的长（用含m 的代数式表示）；②请在直线AB 上找点P ，使得以C ，D ，E ，P 为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点P 的坐标．5．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点在点B 左侧），与y 轴交于点C （0，﹣1），顶点为点D ．（1）如图，若点D坐标为(1，−43 )，①求抛物线的解析式；②点P为线段AB上一点，过P作PH∥y轴分别与抛物线，直线y=13x+1交于G，H两点，抛物线上是否存在点Q，使得四边形CGQH为平行四边形，若存在，请求出点H 的坐标，若不存在，请说明理由；（2）已知，点M的坐标为（2，0），点N的坐标为（﹣2，0），若顶点D恰好在直线y ＝﹣x﹣2上，抛物线经过四个象限，且与线段MN有且只有一个公共点，直接写出b的取值范围．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标；（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知抛物线y=12x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），对称轴是直线x＝3．直线y=12x+m与抛物线交于B，C两点（点B在点C的左侧），点Q是直线BC下方抛物线上的一个动点，点P在抛物线对称轴上．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在x轴上，且△ABC和△PBC的面积相等时，求m的值；（3）求证：当四边形QBPC是平行四边形时，不论m为何值，点Q的坐标不变．8．在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，抛物线L1＝y＝ax2+bx+c的顶点为A（﹣1，4），且与y轴交于点C（0，3），抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线L2．（1）求抛物线L2的表达式；（2）是否在抛物线L1上存在点P，在抛物线L2上存在点Q，使得以O、C、P、Q为顶点的四边形是以OC为边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图所示，一次函数y=32x+3与反比例函数y=k x(x＞0)的图象在第一象限交于点P，且点P的横坐标为2．（1）求反比例函数的解析式；（2）在第一象限内是否存在点Q，使得以B、O、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由．10．如图，一次函数y＝x+2与反比例函数y=kx（k≠0）的图象相交于A（a，4），B两点，连接OA，OB．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若点M在第一象限内反比例函数图象上，点N在x轴上方且在一次函数y＝x+2图象上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．11．如图，将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为坐标原点．点A在y轴上，点C 在x轴上，OA，OB的长是x2﹣16x+60＝0的两个根，P是边AB上的一点，将△OAP沿OP折叠，使点A落在OB上的点Q处．（1）求点B的坐标；（2）求直线PQ的解析式；（3）点M在直线OP上，点N在直线PQ上，是否存在点M，N，使以A，C．M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，一次函数y ＝kx +b 与反比例函数y =k 2x第一象限交于M （1，6）、N （6，m ）两点，点P 是x 轴负半轴上一动点，连接PM ，PN ．（1）求一次函数的表达式；（2）若△PMN 的面积为452，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点E 为直线PM 上一点，点F 为y 轴上一点，是否存在这样的点E 和点F ，使得四边形EFNM 是平行四边形？若存在，直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，已知抛物线y ＝ax 2+3ax +c （a ＞0）与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，点A 在点B 左侧，点B 的坐标为（1，0），OC ＝3OB ．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若点D 是x 轴上的一点，在抛物线上是否存在点E ，使以A ，C ，D ，E 为顶点且以AC 为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．14．综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C两点，其中点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，﹣4）．（1）求二次函数的表达式和点B的坐标．（2）若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形OBPQ为平行四边形时，求点P的坐标．（3）如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接AD，BD，在抛物线上是否存在点M，使∠MAB＝∠ADB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，直线y＝kx+2与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=−43x2+bx+2经过点A，B．（1）求k的值和抛物线的解析式．（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．若以O，B，N，P为顶点的四边形是平行四边形，求m的值．16．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点N为抛物线上的一点，点M为抛物线的顶点，B（3，0）、N（2，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）直线CM与x轴交于点D，求△ADM的面积；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点E，坐标平面内是否存在一点F，使以点C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由．。

专题04 特殊平行四边形梯形压轴题(六大题型)(原卷版)

专题04特殊平行四边形梯形压轴题（六大题型）目录：题型1：解答证明题题型2：最值问题题型3：四边形与平面直角坐标系题型4：四边形与列函数关系式问题题型5：动态问题（动点、旋转、折叠）题型6：定值问题题型1：解答证明题1．在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交边BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ．(1)如图1，求证：CE CF =；(2)如图2，,=∥FG BC FG EC ，连接DG 、EG ，当120ABC ∠=︒时，求证：60BDG ∠=︒；(3)如图3，在（2）的条件下，当2,==BE CE AE BD 的长．2．如图，已知在正方形ABCD 中，4AB =，点P 是边CD 上一点（不与点C 、D 重合），连接AP 交BD 于点E ，延长AP 交BCD ∠的外角角平分线于点F ，连接DF ．(1)当CF =ADF △的面积；(2)求证：AE EF =；(3)连接CE ，当CE DF ∥时，求CF 的长．3．如图1，四边形ABCD 中，90BAD ABC ∠=∠=︒，M 是边CD 的中点．已知2AD =，4CD =．(1)连接AM ，求证DAM MBC ∠=∠；(2)如图2，当50C ∠=︒时，求BMD ∠的度数；(3)当BDM 为直角三角形时，求边BC 的长．题型2：最值问题4．在正方形ABCD 中，点E 为射线BC 上的一个动点，点F 在射线CD 上，且45EAF ∠=︒．(1)如图1，当点E 在边BC 上时，请直接写出BE 、DF 、EF 三条线段之间的数量关系；(2)如图2，当点E 在边BC 的延长线上时，请你判断BE 、DF 、EF 三条线段之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，若6AB =，点G 在边AB 上，且2AG =，点P 为AF 的中点，在点E 从点B 沿射线BC 运动的过程中，PAG △的周长的最小值为___________（直接写出结果）．5．在矩形ABCD 中，6,8AB BC ==．(1)将矩形纸片沿BD 折叠，使点A 落在点F 处（如图①），设DF 与BC 相交于点G ，求证：BG =DG ；(2)将矩形沿直线EF 折叠，使点B 的对应点B '落在CD 边上（如图②），点A 的对应点为A '，连接BB '交EF 于点O ．当2DB '=时，求EF 、OF 的长；(3)点M 在线段AB 上，点N 在线段BC 上，（如图③）若按MN 折叠后，点B 落在矩形ABCD 的AD 边上H 点，请求AH 的最大值和最小值．6．如图，在长方形ABCD 中，AB CD ，BC AD ∥，90B Ð=°，6AB =，8AD =，点P 在边BC 上，且不与点B 、C 重合，直线AP 与DC 的延长线交于点E ．(1)当点P 是BC 的中点时，求证：ABP ECP △≌△；(2)将APB △沿直线AP 折叠得到APB ' ，点B '落在长方形ABCD 的内部，延长PB '交直线AD 于点F ．①证明FA FP =，并求出在（1）条件下AF 的值；②连接B C '，直接写出PCB '△周长的最小值．题型3：四边形与平面直角坐标系7．如图，边长为5的菱形ABCD 如图所示放置在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，点D 在x轴负半轴上，点()0,4B ．(1)求AB 所在直线的解析式；(2)如果直线l 经过点C 且与直线y x =平行，点()0,P t 是y 轴上的一个动点．①当点P 在线段OB 上（点P 不与O 、B 重合），过点P 作平行于x 轴的直线分别交线段AB 于M 、交直线l 于N ．设线段MN 的长度为d ，求d 关于t 的函数解析式，并写出它的定义域；②当点P 在y 轴正半轴上，如PCD 是等腰三角形，求t 的值．8．如图，已知点()1,0A ，点()4,0B ，点C 在y 轴负半轴上，6ABC S = ，点P 为直线BC 上一点．(1)求直线BC 的解析式；(2)点Q 为平面内任一点，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是正方形，求点Q 的坐标；(3)当直线AP 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，直接写出点P 的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，已知点()0,4A ，点P 是x 轴上一动点，以线段AP 为一边，在其一侧作等边APQ △．当点P 运动到原点O 处时，记Q 的位置为B ．(1)求点B的坐标；(2)当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，求证：90∠=︒；ABQ(3)是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型4：四边形与列函数关系式问题10．如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，AC＝3M是AC上一点，点N在射线CB上，且MB＝MN，联结DN，设AM＝x．(1)当点M、N（N在边BC上）运动时，∠MND的大小是否会变化？若不变请求出度数，若变化请说明理由．(2)若∠BMN＝30°，求AM的值．(3)当N在线段BC上时，设DN＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域．11．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AB＝8，BC＝14，点E、F分别在边AB、CD上，EF∥AD，点P与AD在直线EF的两侧，∠EPF＝90°，PE＝PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE＝x，MN＝y．(1)求边AD的长；(2)如图，当点P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；(3)如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．AB=，点E在CB的延长线上，点F在边CD上（点F与C、D不重合），12．如图1，在正方形ABCD中，8且FA AE⊥，联结EF．（1）求AFE ∠的度数；（2）联结BD 交EF 于点M ，①如图2，如果3FC DF =，求FM 的长；②设BE x =，BM y =，直接写出y 关于x 的函数解析式及定义域．13．如图，已知直角梯形ABCD ，//AD BC ，90DCB ∠=︒，过点A 作AH BC ⊥，垂足为点H ，4CD =，2BH =，点F 是CD 边上的一动点，过F 作线段AB 的垂直平分线，交AB 于点E ，并交射线BC 于点G ．（1）如图1，当点F 与点C 重合时，求BC 的长；（2）设AD x =，DF y =，求y 与x 的函数关系式，并写出定义域；（3）如图2，联结DE ，当DEF 是等腰三角形时，求AD 的长．题型5：动态问题（动点、旋转、折叠）14．如图，在四边形ABCD 中，90D Ð=°，AD BC ∥，8AD =，4BC =，3CD =，过点B 作BE AD ⊥于点E ．若动点P 从点A 出发，沿折线AB BC -以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 不与点A 、B 重合时，连结PE ，作点B 关于直线PE 的对称点B '，连结B E '、B P '，设点P 的运动时间为t 秒．（0t >）(1)AB 的长为______；(2)用含t 的代数式表示线段BP 的长；(3)当BEP △是以BE 为腰的等腰三角形时，求t 的值；(4)当B E '与四边形ABCD 的某条边平行时，直接写出t 的值．15．如图1，四边形ABCD 和四边形CEFG 都是菱形，其中点E 在BC 的延长线上，点G 在DC 的延长线上，点H 在BC 边上，连结AC ，AH ，HF ．已知AB ＝2，∠ABC ＝60°，CE ＝BH ．（1）求证：△ABH ≌△HEF ；（2）如图2，当H 为BC 中点时，连结DF ，求DF 的长；（3）如图3，将菱形CEFG 绕点C 逆时针旋转120°，使点E 在AC 上，点F 在CD 上，点G 在BC 的延长线上，连结EH ，BF ．若EH ⊥BC ，请求出BF 的长．16．正方形ABCD 中，点E 在边BC 、CD 上运动（不与正方形顶点重合），作射线AE ，将射线AE 绕点A 逆时针旋转45︒，交射线CD 于点F ．(1)如图，当点E 在边BC 上时，①若BE DF =，则图中与线段AE 相等的线段是________．②过点E 作EG AF ^，垂足为G ，连接DG ，求GDC ∠的度数．③求证：在②的条件下，AB BE +=．(2)当点E 在边CD 上，点F 在边CD 延长线上时，仍过点E 作EG AF ^于点G ，再过点G 作GN EF ⊥于点N ，连接DG ，若DF DG =，求EN GN的值．17．在四边形ABCD 中，90A B C D ∠=∠=∠=∠=︒，10AB CD ==，8BC AD ==，P 为射线BC 上一点，将ABP 沿直线AP 翻折至AEP △的位置，使点B 落在点E 处．(1)若P 为线段BC 上一点．①如图1，当点E 落在边CD 上时，求CE 的长；②如图2，连接CE ，若CE AP ∥，则BP 与BC 有何数量关系？请说明理由；(2)如果点P 在BC 的延长线上，当PEC 为直角三角形时，求PB 的长．题型6：定值问题18．小明同学在做作业时，遇到如下问题：如图1，已知：等边ABC ，点D 在BC 上，以AD 为边作等边ADE V ，连接CE ，求证：60ACE ∠=︒．(1)请你解答小明的这道题；(2)在这个问题中，当D 在BC 上运动时，点E 是否在一条线段上运动？（直接答“是”或“不是”）(3)如图2，正方形ABCD 的边长为2，E 是直线BC 上的一个动点，以DE 为边作正方形(DEFG DEFG 按逆时针排列）．当E 在直线BC 上运动时，点G 是否在一条直线上运动？如果是，请你画出这条直线并证明；如果不是，也请说明理由；(4)连接AG ，CG ．①求证：22AG CE -是定值；②求AG CG +的最小值（直接写出答案即可）．19．在平面直角坐标系中，()0,8A 、()8,0C ，四边形AOCB 是正方形，点(),0D a 是x 轴正半轴上一动点，90ADE ∠=︒，DE 交正方形AOCB 外角的平分线CE 于点E ．(1)如图1，当点D 是OC 的中点时，求证：AD DE =；(2)点(),0D a 在x 轴正半轴上运动，点P 在y 轴上．若四边形PDEB 为菱形，求直线PB 的解析式．(3)连AE ，点F 是AE 的中点，当点D 在x 轴正半轴上运动时，点F 随之而运动，点F 到CE 的距离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由．。

【常考压轴题】专题04 一次函数中的特殊平行四边形存在性问题(原卷版)九年级数学上册压轴题攻略

专题04一次函数中的特殊平行四边形存在性问题类型一、菱形问题(1)如图1，请直接写出点A 的坐标，并求出直线AB 的解析式．(2)如图2，直线2y x b =+是线段AB 的垂直平分线，垂足为点D ，且交线CD 上的一动点，当点P 使得32ACP ACD S S =△△时，请求出符合条件的点(3)在（2）的条件下，若点P 在直线CD 上且在第三象限内，在平面内是否存在其它点P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求A C 、两点坐标；(2)若点M 是直线CB 上一点，且(3)点P 是y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点直接写出点Q 坐标，若不存在，请说明理由．【变式训练】将一个矩形纸片OABC 放置于平面直角坐标系中，点O ()0,0，点B ()10,6，点A 在x 轴，点C 在y 轴．在AB 边上取一点D ，将CBD △沿CD 翻折，点B 恰好落在边OA 上的点E 处．(1)如图1，求点E 坐标和直线CE 的解析式；(2)点P 为x 轴正半轴上的动点，设OP t =．①如图2，当点P 在线段OA （不包含端点A ，O ）上运动时，过点P 作直线l ∥y 轴，直线l 被CED △截得的线段长为d ．求d 关于t 的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围；②在该坐标系所在平面内找一点G ，使以点C ，E ，P ，G 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标．类型二、矩形存在性问题例．（两个动点）如图，四边形OABC 是矩形，点A 、C 在坐标轴上，ODE 是由OCB 绕点O 顺时针旋转90︒得到的，点D 在x 轴上，直线BD 交y 轴于点F ，交OE 于点H ，线段BC OC 、的长是2和4；(1)求直线BD 的表达式；(2)求OFH 的面积；(3)点M 在坐标轴上，平面内是否存在点N ，使以点D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图，A ，B 是直线6y x =-+与两坐标轴的交点，直线2y x m =+过点A ，与x 轴交于点C ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标；(2)点D 是折线B A C --上一动点．①如图（1），当点D 是线段AB 的中点时，在y 轴上找一点E ，使ED EB +最小；用直尺和圆规画出点E 的位置（保留作图痕迹，不要求写作法和证明），并求出点E 的坐标；②是否存在点D ，使BCD △为直角三角形，若存在，直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．类型三、正方形存在性问题(1)求点A ，点B 的坐标；(2)若AOC BCP S S =△△，求点P 的坐标；(3)若点E 是直线54y x =上的一个动点，在平面内是否存在点F ，使四边形APEF 点E 的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求直线CD 的解析式；(2)连接OP 、BC ，若直线AB 上存在一点Q ，使得(3)将直线CD 向下平移1个单位长度得到直线，直线角坐标系中，是否存在点M ，使以点O ，E ，N ，M 标；若不存在，请说明理由．(1)求直线l 的解析式；(2)求证：ABC 是等腰直角三角形；(3)将直线l 沿y 轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与存在点P ，使得A B P ''△是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点(1)求直线1l 的解析式；(2)设2P m （，），求ABP 的面积S (3)当ABP 的面积为3时，则以点2．如图1，在平面直角坐标系中，△3．如图，在平面直角坐标系中，直线6y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点D 、C ，直线AB 与y 轴交于点()0,3B -，与直线CD 交于点(),3A m ．(1)求直线AB 的解析式；(2)点E 是射线CD 上一动点，过点E 作EF y ∥轴，交直线AB 于点F ．若以O 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E 的坐标；(3)设P 是射线CD 上一点，在平面内是否存在点Q ，使以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线轴上方，点C 在x 轴正半轴上，且5OC OA =，连接，BC CD ，已知2ADC ABC S S =△△．(1)求直线AB 的表达式；(2)求点D 的坐标；(3)在线段AD CD ，上分别取点M ，N ，使得MN x ∥轴，在x 轴上取一点P ，连接MN NP MP ，，，是否存在点M ，使得MNP △为等腰直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：()0y kx b k =+≠与直线2l ：y x =交于点()2,A a ，与y 轴交于点()0,6B ，与x 轴交于点C ．(1)求直线1l 的函数表达式；(2)在平面直角坐标系中有一点()5,P m ，使得AOP AOC S S = ，请求出点P 的坐标；(3)点M 为直线1l 上的动点，过点M 作y 轴的平行线，交2l 于点N ，点Q 为y 轴上一动点，且MNQ △为等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点M 的坐标．。

2020年中考数学压轴题精品专题函数动点问题中平行四边形存在性(解析版)

函数动点问题中平行四边形存在性类型一、平行四边形存在性结论：A C B D A C B Dx x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩ 类型二、特殊平行四边形存在性1. 矩形存在性常用解题思路：构造一线三直角（借助相似或三角函数求解）；利用矩形对角线相等（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）借助勾股定理求解等.2. 菱形存在性常用解题思路：利用菱形四条边相等，对角线互相垂直，借助勾股定理等求解.3. 正方形存在性常用解题思路：兼具矩形和菱形二者.【例1】（2018·郑州预测卷）如图，直线y =334x -+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =234ax x c ++经过B 、C 两点. （1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一个动点，当△BEC 的面积最大时，求出点E 的坐标和最大值；（3）在（2）条件下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵直线y =334x -+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，∴B (0,3)，C (4,0)，将B (0,3)，C (4,0)代入y = 234ax x c ++得：16303a c c ++=⎧⎨=⎩，解得：383a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为：233384y x x =-++.（2）过点E 作EF ⊥x 轴于F ，交BC 于M ，设E （x ，233384x x -++），则M （x ，334x -+），∴ME =233384x x -++－（334x -+）=23382x x -+∴S △BEC =12×EM ×OC=2EM =2(23382x x -+) =()23234x --+,∴当x =2时，△BEC 的面积取最大值3，此时E (2，3).（3）由题意得：M (2，32)，抛物线对称轴为：x =1，A (－2,0),设P (m ，y )，y =233384m m -++，Q (1，n )①当四边形APQM 为平行四边形时，有：212m -+=+，解得：m =－3，即P (－3，218-)；②当四边形AMPQ 为平行四边形时，有：－2+m =2+1，即m =5即P (5, 218-)；③当四边形AQMP 为平行四边形时，有：2－2=1+m ，得：m =－1，即P (－1，158)；综上所述，抛物线上存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为：(－3，218-)，(5, 218-)，(－1，158). 【变式1-1】（2018·河师大附中模拟）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A (－1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，－3).（1）求抛物线的解析式与顶点M 的坐标；（2）求△BCM 的面积与△ABC 面积的比；（3）若P 是x 轴上一个动点，过P 作射线PQ ∥AC 交抛物线于点Q ，随着P 点的运动，在x 轴上是否存在这样的点P ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (－1，0)，B (3，0)， C (0，－3)代入y =ax 2+bx +c ，得：09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得：a=1，b=－2，c=－3，即抛物线的解析式为：y=x2－2x－3，顶点M的坐标为：（1，－4）；（2）连接BC，BM，CM，过M作MD⊥x轴于D，如图所示，S△BCM=S梯形ODMC+S△BDM－S△BOC=3，S△ACB=6，∴S△BCM：S△ACB=1：2；（3）存在.①当点Q在x轴上方时，过Q作QF⊥x轴于F，如图所示，∵四边形ACPQ为平行四边形，∴QP∥AC，QP=AC∴△PFQ≌△AOC，∴FQ=OC=3，∴3=x2﹣2x﹣3，解得x或x=1，∴Q，3)或(1，3)；②当点Q在x轴下方时，过Q作QE⊥x轴于E，如图所示，同理，得：△PEQ≌△AOC，∴EQ=OC=3，∴﹣3=x2﹣2x﹣3，解得：x=2或x=0(与C点重合，舍去)，∴Q(2，﹣3)；综上所述，点Q的坐标为：，3)或(1，3)或(2，﹣3).【例2】（2018·郑州三模）如图所示，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx－5与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）如图2所示，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC、CE分别交于点F、G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；（3）点M是（1）中所求抛物线对称轴上一动点，点N是反比例函数y=kx图象上一点，若以点B、C、M、N为动点的四边形是矩形，请直接写出满足条件的k的值.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (-1,0),B (5,0)代入y =ax 2+bx －5得：5025550a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：14a b =⎧⎨=-⎩，即抛物线的解析式为：y =x 2－4x －5.（2）在y =x 2－4x －5中，当x =0时，y =－5，即C (0，－5),∵CE ∥x 轴，则C 、E 关于直线x =2对称，∴E (4，－5), CE =4，由B （5,0）, C (0，－5)得直线BC 的解析式为：y =x －5，设H (m ，m 2－4m －5)，∵FH ⊥CE ，∴F (m ，m －5)，∴FH = m －5－（m 2－4m －5)= －m 2+5m ，S 四边形CHEF =12·FH ·CE =12（－m 2+5m ）×4=－2（m －52）2+252，当m =52时，四边形CHEF 的面积取最大值252，此时H (52，354-).（3）设M （2，m ），N (n ，kn )，B (5,0)，C (0，－5)，①当BC 为矩形对角线时，此时：2+n =5+0，m +kn =0－5，即n =3，设BC 与MN 交于点H ，则H (52，52-)，MH =12BC =2，∴222552222m ⎛⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：m =1或m =－6，当m =1时，k =－18；m =－6时，k =3，②当BC 为矩形边时，分两种情况讨论：（i ）当点M 在直线BC 下方时，即四边形BCMN 为矩形，则∠BCM=90°，2+5=n+0，m=kn－5，过M作MH⊥y轴于H，则由OB=OC知，∠OCB=45°，∴∠MCH=∠CMH=45°，即CH=MH，∴－5－m=2，解得：m=－7，n=7，k=－14；（ii）当点M在直线BC上方时，即四边形BCNM为矩形，则∠CBM=90°，n+5=2，kn=m－5，设对称轴与x轴交于点H，同理可得：BH=MH，∴3=m，n=－3，k=6；综上所述，k的值为：－18，3，－14或6.【变式2-1】（2019·驻马店二模）如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1，0)，B(3，0)两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式．（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N 为直线 PF 上一动点，当以 F ，M ，G ，N 为顶点的四边形是正方形时，请求出点 M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线 y =-x 2+bx +c 经过 A (-1，0)，B (3，0)两点，∴10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，即抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3.（2）由y =-x 2+2x +3知，C (0，3)，E (1，0)，D (1,4)，可得直线BD 的解析式为：y =-2x +6，设P （m ，-2m +6），由勾股定理得：PE 2=()()22126m m -+-+，PC 2=()22263m m +-+-，由PE =PC ，得：()()22126m m -+-+=()22263m m +-+-，解得：m =2，即P (2，2).（3）∵M 在x 轴上，N 在直线PF 上，∴∠NFM =90°，由四边形MFNG 是正方形，知MF =MG ，设M (n ，0)，则G (n ，-n 2+2n +3)，MG =|-n 2+2n +3|，MF =|n -2|，∴|-n 2+2n +3|=|n -2|，解得：n n n n ，故点M 的坐标为：（32+，0），（32，0），（12，0），（12-，0）. 【变式2-2】（2019·大联考）如图1，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），点P 在抛物线上，且在x 轴的上方，点P 的横坐标记为t .（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点P 作y 轴的平行线交直线AC 于点M ，交x 轴于点N ，若MC 平分∠PMO ，求t 的值.（3）点D 在直线AC 上，点E 在y 轴上，且位于点C 的上方，那么在抛物线上是否存在点P ，使得以点C 、D 、E 、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出菱形的面积.图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A (-4,0)，B (1,0)，C （0,3），∴301640c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：39434c b a ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，即抛物线的解析式为：y =34-x 294-x +3.（2）由A (-4,0)，C (0,3)得直线AC 的解析式为：y =334x +，∵点P 的横坐标为t ，∴M (t , 334t +)，∵PN ∥y 轴，∴∠PMC =∠MCO ，∵MC 平分∠PMO ，∴∠PMC =∠OMC ，∴∠MCO =∠OMC ，即OM =OC =3，∴OM2=9，即223394t t⎛⎫++=⎪⎝⎭，解得：t=0（舍）或t=7225，∴当MC平分∠PMO时，t=72 25.（3）设P(t,34-t294-t+3)，①当CE为菱形的边时，四边形CEPD为菱形，则PD∥y轴，CD=PD，则D(t，33 4t+),∴PD=34-t294-t+3－（334t+）=34-t23-t，由勾股定理得：CD=54t -，∴34-t23-t=54t-，解得：t=0（舍）或t=73-，即PD=3512，菱形面积为：3512×73=24536；②当CE为菱形的对角线时，此时P与D点关于y轴对称，则D (-t , 34-t 294-t +3)，将D 点坐标代入y =334x +，得： 34-t 294-t +3=()334t -+，解得：t =0（舍）或t =－2， PD =4，CE =3，菱形的面积为：12×4×3=6；综上所述，菱形的面积为：24536或6.1.（2019·南阳毕业测试）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB ＝4，矩形OBDC 的边CD ＝1，延长DC 交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵矩形OBDC 的边CD ＝1，∴OB ＝1，由AB ＝4，得OA ＝3，∴A （﹣3，0），B （1，0），∵抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴交于A ，B 两点，∴a +b +2=0，9a －3b +2=0，解得：a =23-，b =43-， ∴抛物线解析式为y ＝23-x 243-x +2；（2）以AC 为边或对角线分类讨论：A （﹣3，0），C （0，2），抛物线y ＝23-x 243-x +2的对称轴为x ＝﹣1，设M (m , y M )，N (－1，n )，y M =23-m 243-m +2 ①当四边形ACMN 为平行四边形时，有：312Mm y n -+=-⎧⎨=+⎩，解得：m =2，y M =103-，即M (2，103-)； ②当四边形ACNM 为平行四边形时，有：312Mm y n --=⎧⎨+=⎩，解得：m =－4，y M =103-，即M (－4，103-)； ③当四边形AMCN 为平行四边形时，有：312Mm y n -=-⎧⎨=+⎩，解得：m =－2，y M =2，即M (－2，2)；综上所述，点M 的坐标为（2，103-）或（﹣4，103-）或（﹣2，2）． 2.（2019·开封模拟）如图，直线y ＝﹣x +4与抛物线y ＝﹣12x 2+bx +c 交于A ，B 两点，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴下方的抛物线上存在一点P ，使得∠ABP ＝90°，求出点P 坐标；（3）点E 是抛物线对称轴上一点，点F 是抛物线上一点，是否存在点E 和点F 使得以点E ，F ，B ，O 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）在y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，即点A、B的坐标分别为（0，4）、（4，0），将（0，4）、（4，0），代入二次函数表达式，并解得：b=1，c=4，抛物线的解析式为：y＝﹣12x2+x+4；（2）∵OA＝OB＝4，∴∠ABO＝45°，∵∠ABP＝90°，则∠PBO=45°，若直线PB交y轴于点M，则OM=OB=4，可得直线BP的解析式为：y=x－4，联立：y=x－4，y＝﹣12x2+x+4，得：x=4，y=0(即B点)；x=－4，y=－8，即P(－4，－8).（3）存在；由y＝﹣12x2+x+4知抛物线的对称轴为：x=1，设E(1，m)，F(n，﹣12n2+n+4)，O(0,0)，B(4,0)，①当四边形OBEF是平行四边形时，有：EF=4，∴n-1=-4，即n=-3，F点坐标为（-3，72 -）；②当四边形OBFE是平行四边形时，有：EF=4，n-1=4，即n=5，F点坐标为（5，72 -）；③当四边形OFBE 是平行四边形时，有：410Fn m y =+⎧⎨=+⎩, 即n =3，F 点坐标为（3，52）；综上所述：点F 的坐标为（5，72-），（﹣3，72-），（3，52）． 3.（2019·开封二模）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2与直线y ＝﹣x 交第二象限于点E ，与x 轴交于A （﹣3，0），B 两点，与y 轴交于点C ，EC ∥x 轴．（1）求抛物线的解析式；（2）如果点N 是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线上存在一动点M ，若以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知：A （﹣3，0），C （0，2），EC ∥x 轴∴点E 的纵坐标为2，∵点E 在直线y ＝﹣x 上，∴点E （﹣2，2），∵将A （﹣3，0）、E （﹣2，2）代入y ＝ax 2+bx +2，得：93204222a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩抛物线的解析式为：224233y x x =--+；（2）由224233y x x =--+知，抛物线的对称轴为x =－1，设N (－1，n )，M (m ，224233m m --+)， ∵A （﹣3，0），C （0，2），（1）当四边形ACNM 是平行四边形时，有：312Mm n y --=⎧⎨=+⎩，得：m =－4，y M = 103-；即M (－4，103-). （2）当四边形ACMN 是平行四边形时，有：312Mm n y -+=-⎧⎨+=⎩，得：m =2，y M = 103-；即M (2，103-). （3）当四边形ANCM 是平行四边形时，有：312Mm n y -=-+⎧⎨=+⎩，得：m =－2，y M = 2；即M (－2，2).综上所述，M 点的坐标是(－4，103-)，(2，103-)，(－2，2). 4.（2019·名校模考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1（a ≠0）交x 轴于A ，B （1，0）两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF ⊥x 轴，交抛物线于点F（1）求抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系内存在点G ，使得G ，E ，D ，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）将y ＝0代入y ＝x +3，得x ＝﹣3．∴A（﹣3，0）．∵抛物线y＝ax2+bx﹣1交x轴于A（﹣3，0），B（1，0）两点，∴109310a ba b+-=⎧⎨--=⎩，解得：1323ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；（2）点G的坐标为（2，1），（﹣，﹣1），（﹣1），（﹣4，3）．①当四边形DCEG是菱形时，CD=CE=EG=4，设E(m，m+3)，则G（m，m+7），由C(0，－1)，E(m，m+3)，得：CE2=m2+(m+4)2=16，解得：m=0（舍）或m=－4，此时G(－4,3)；②当四边形DCGE是菱形时，CG2=16,设E(m，m+3)，则G（m，m－1），即m2+ m2=16，解得：m=m=－此时，G(1)或G(－－1)；③当四边形DGCE是菱形时，设E(m，m+3)，则G（－m，－m－1），此时E在CD的垂直平分线上，即m+3=1，m=－2，此时G(2，1);综上所述，点G的坐标为：(－4,3)、(1)、(－－1)、(2，1).5.（2019·枫杨外国语三模）（2019·枫杨外国语三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为(-1，0)，点C的坐标为(0，3)，点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形．若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）将(-1，0)，(0，3)代入y＝﹣x2+bx+c，得：－1－b+c=0，c=3，解得：b=2，c=3，即抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3.（2）由y＝﹣x2+2x+3知，点M(1，4)，分两种情况讨论，①当四边形MAPQ是矩形时，过M作MH⊥x轴于H，则MH=4，AH=2，易证得：∠APO=∠MAH，∴tan∠APO= tan∠MAH，即OA MHOP AH=2，∴OP=12，即P（0，－12），由A(-1，0)、M(1，4)，P（0，－12）得：点Q坐标为（2，72），∵点T和点Q关于AM所在直线对称，即点Q与点T关于点M(1，4)对称，∴T(0，92 )；②当四边形AMPQ是矩形时，同理可得：T(0，12 -)；综上所述，点T的坐标为(0，92)，(0，12-).6.（2019·焦作二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象经过点A(-2，0)，与反比例函数kyx=（x>0）的图象交于点B(a，4).（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数kyx=（x>0）的图象于点N，若以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的横坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A(-2,0)代入y=x+b，得：b=2，即一次函数的解析式为：y=x+2，将B(a，4)代入y=x+2，得：a=2，即B(2，4),将B(2，4)代入kyx=得：x=8，即反比例函数的解析式为：8 yx =.（2）设M(m，m+2)，则N(82m+，m+2)，由题意知，MN∥OA，则需MN=OA=2时，以A，O，M，N为顶点的四边形是平行四边形，∴82mm-+=2，解得：m=2或m=－2（舍）或m=m=－（舍），∴点M的坐标为：（2，+2）.7.（2019·许昌月考）如图1，二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该二次函数的解析式；（2）设该抛物线的顶点为D，求△ACD的面积（请在图1中探索）；（3）若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在抛物线上E点处，请直接判定此时四边形APEQ的形状，并求出E点坐标（请在图2中探索）．图1 图2【答案】见解析．【解析】解：（1）∵二次函数y=43x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），∴493034103b cb c⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯-+=⎪⎩，解得：834bc⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，即抛物线的解析式为：y=43x2﹣83x﹣4；（2）过点D作DM⊥y轴于点M，y =43x 2﹣83x ﹣4 =43（x ﹣1）2﹣163，∴点D （1，﹣163）、点C （0，﹣4），S △ACD =S 梯形AOMD ﹣S △CDM ﹣S △AOC =12×（1+3）×163﹣12×（163﹣4）×1﹣12×3×4=4；（3）四边形APEQ 为菱形，理由如下：E 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作QF ⊥AP 于F ，由折叠性质知： AP =EP ，AQ =EQ∵AP =AQ =t ，∴AP =AQ =QE =EP ，∴四边形AQEP 为菱形，∵FQ ∥OC ， ∴AF FQ AQOA OC AC ==， ∴345AFFQ t==∴AF =35t ，FQ =45t ，Q （3﹣35t ，﹣45t ），E （3﹣35t ﹣t ，﹣45t ）， ∵E 在二次函数y =43x 2﹣83x ﹣4上， ∴﹣45t =43（3﹣85t ）2﹣83（3﹣85t ）﹣4， ∴t =14564或t =0（舍去）， ∴E （﹣58，﹣2916）． 8.（2018·新乡一模）如图，一次函数122y x =-+分别交y 、x 轴于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =-++过A ，B 两点.（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直于x 轴的直线x ＝t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N . 求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？（3）在(2)的情况下，以A ，M 、N 、D 为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D 的坐标.【答案】见解析【解析】解：（1）在122y x =-+得，当x =0时，y =2；y =0时，x =4，即A （0，2），B （4，0），把A (0，2)，B (4，0)代入2y x bx c =-++，得：21640c b c =⎧⎨++=⎩-，解得722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线解析式为2722y x x =-++. （2）由题意知，1(,2)2M t t -+，27(,2)2N t t t -++， ∴MN =2712(2)22t t t -++--+=2(2)4t--+，∴当t=2时，MN有最大值4.（3）根据平行四边形的性质，得：D点坐标为：（0，6），（0，-2）或（4，4）.9.（2019·周口二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F，过点E作EH⊥x轴于点H，再过点F作FG⊥x轴于点G，得到矩形EFGH．在点E的运动过程中，当矩形EFGH为正方形时，直接写出该正方形的边长．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(-1，0)，B(4，0)两点，∴40 16440a ba b-+=⎧⎨++=⎩，解得：13ab=-⎧⎨=⎩，即抛物线的解析式为：y=－x2+3x+4.（2）∵四边形EFGH是矩形，∴当EF=EH时，四边形EFGH是正方形，设E(m, －m2+3m+4)，则F(3－m，－m2+3m+4)，m>32，∴EF=2m－3，EH=|－m2+3m+4|，∴2m－3=|－m2+3m+4|，解得：m或m（舍）或m或m（舍）∴正方形的边长EF2，综上所述，正方形EFGH的边长为：2.10.（2019·郑州一中模拟）如图所示，平面直角坐标系中直线y=x+1交坐标轴于点A、D两点，抛物线y=ax2+bx－3经过A、C两点，点C坐标为（a，5）. 点M为直线AC上一点，过点M作x轴的垂线，垂足为F，交抛物线于点N.（1）求抛物线解析式；（2）是否存在点M，使得以点D、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形，如果有，求点M的坐标，如果没有，请说明理由.【解析】解：∵直线y =x +1交坐标轴于点A 、D 两点，∴A (－1,0)，D (0，1)，∵点C （a ，5）在直线y =x +1上，∴a =4，即C (4,5)，将A (－1,0)，C (4,5)代入y =ax 2+bx －3得：3016435a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为：y =x 2－2x －3.（2）存在，E （0，－3），∴DE =4，由题意知：DE ∥MN ，∴当DE =MN =4时，四边形DENM 是平行四边形，设N (m , m 2－2m －3)，则M (m , m +1)，∴| m +1-（m 2－2m －3）|=4，解得：m =0（舍）或m =3或m =或m = ，综上所述，点M 的坐标为：（3,4），，）. 11.（2019·郑州模拟）如图，已知二次函数23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭的图象经过点A (4,0),与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点C (m ,0) （0<m <4），过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，交该二次函数图象于点D .（1）求a 的值和直线AB 的解析式；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，设△ACE ，△DEF 的面积分别为S 1，S 2，若S 1=4S 2，求m 的值；（3）点H 是该二次函数图象上第一象限内的动点，点G 是线段AB 上的动点，当四边形DEGH 是平行四边形，且平行四边形DEGH 的周长取最大值时，求点G 的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将A (4,0)代入23234y ax a x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭得：a =34-， ∴抛物线的解析式为：239344y x x =-++，设直线AB 的解析式为：y =kx +b ，∴4k +b =0，b =3，即k =34-，b =3，∴直线AB 的解析式为：y =34-x +3.（2）∵点C 的横坐标为m ，∴D (m , 239344m m -++)，E (m , 34-m +3)，AC =4－m ，DE =239344m m -++－(34-m +3)= 2334m m -+，∵BC ∥y 轴， ∴43AC OA CE OB ==，即443mCE -=，∴CE =()344m -，AE =()544m -，∵∠DF A =∠DCA =90°，∠DBF =∠AEC ，∴△DFE ∽△ACE ，∵S 1=4S 2，∴AE =2DE ，即()544m -=2（2334m m -+），解得：m =4（舍）或m =56，即m 的值为56.（3）如图，过点G 作GM ⊥DC 于M ，设G 、H 点横坐标为n ，由DE =2334m m -+，得GH =2334n n -+，2334m m -+=2334n n -+，得：m =n （舍）或n =4－m ，∴MG =4-2m ，由45MG EG =得：EG =()5424m -, ∴C 四边形DEGH =2()25342344m m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦ =23102m m -++ =23161236m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ∴当m =13时，C 最大，此时n =113，即G (113，14)，E (13，114), 由图象可知当E 、G 互换位置时满足题意，即G (13，114),E (113，14)，综上所述，G 点坐标为：(13，114)，(113，14). 13.（2018·郑州模拟）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A 和点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3），点D 是抛物线的顶点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为E ，连接DB ．（1）求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点M 是抛物线上的动点，设点M 的横坐标为m ．①当∠MBA ＝∠BDE 时，求点M 的坐标；②过点M 作MN ∥x 轴，与抛物线交于点N ，P 为x 轴上一点，连接PM ，PN ，将△PMN 沿着MN 翻折，得△QMN ，若四边形MPNQ 恰好为正方形，直接写出m 的值．【答案】见解析.【解析】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，并解得：b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．顶点D（1，4）．（2）①过点M作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB＝90°，设M（m，﹣m2+2m+3），∴MG＝|﹣m2+2m+3|，BG＝3﹣m，∵DE⊥x轴，D（1，4），B（3，0），∴∠DEB＝90°，DE＝4，OE＝1，BE＝2，∵∠MBA＝∠BDE，∴tan∠MBA＝tan∠BDE＝12，∴2233m mm-++-＝12解得：m=12-或m=32-或m=3（舍）∴满足条件的点M坐标（12-，74）或（32-，94-）；②∵MN∥x轴，∴点M、N关于抛物线的对称轴对称，∵四边形MPNQ是正方形，∴OP＝1，由∠QPM=∠MPO=45°，得：GM＝GP，即|﹣m2+2m+3|＝|1﹣m|，解得：m或m或m或m即满足条件的m.14.（2017·信阳二模）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心做菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N，试探究m为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）将A（﹣2，0）、B（8，0）代入y=ax2+bx﹣4并解得：a=14，b=32-，即抛物线的解析式为：y=14x232-x－4.（2）由y=14x232-x－4知，C(0，－4),由菱形的性质可知：D（0，4），设直线BD的解析式为：y=kx+n，将点B（8,0）、D（0，4）代入得：k=12-,n=4，即直线BD的解析式为：y=12-x+4,由M（m，12-m+4），Q（m，14m232-m－4）．当MQ=DC时，四边形CQMD为平行四边形．∴12-m+4﹣（14m232-m－4）=8，解得m=4或m=0（舍去）．∴MD∥CQ，MD=CQ，M（4，2），∴M为BD的中点，∴MD=MB．∴CQ=MB，又∵MB∥CQ，∴四边形CQBM为平行四边形．。