小学奥数《等差数列公式》及其练习

等差数列练习

知识点

1、数列定义：若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项（我们将用 1a 来表示），第二个数叫做第二项 以此类推，最后一个数叫做

这个数列的末项（我们将用 n a 来表示），数列中数的个数称为项数，我们将用 n 来表示。如：2，

4，6，8， ，100

2、等差数列：从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。我们将这个差称为公差（我们用 d 来表示），即： 1122312----=-==-=-=n n n n a a a a a a a a d

例如：等差数列：3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。（省略号表示什么）

练习1：试举出一个等差数列，并指出首项、末项、项数和公差。

3、 计算等差数列的相关公式：

（1）通项公式：第几项＝首项＋（项数－1）×公差

即：d n a a n ⨯-+=)1(1

（2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1

即：1)(1+÷-=d a a n n

（3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2

即：()21321÷⨯+=+++n a a a a a a n n

在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。

例1：求等差数列3，5，7， 的第 10 项，第 100 项，并求出前 100 项的和。

【解析】我们观察这个等差数列，可以知道首项 1a =3，公差d=2，直接代入通项公式，即可求得

21293)110(110=⨯+=⨯-+=d a a ，2012993)1100(1100=⨯+=⨯-+=d a a . 同样的，我们知道了首项3，末项201以及项数100，利用等差数列求和公式即可求和：3+5+7+ 201=（3+201）⨯100÷2=10200.

解：由已知首项 1a =3，公差d=2，

所以由通项公式d n a a n ⨯-+=)1(1，得到21293)110(110=⨯+=⨯-+=d a a

2012993)1100(1100=⨯+=⨯-+=d a a 。

同理，由已知，1a =3，100a =201，项数n=100

代入求和公式得3+5+7+ 201=（3+201）⨯100÷2=10200.

练习2：1、求出你已经写出的等差数列的各项和。

2、有一个数列，4、10、16、22……52，这个数列有多少项

3、一个等差数列，首项是3，公差是2，项数是10。它的末项是多少

4、求等差数列1、4、7、10……，这个等差数列的第30项是多少

例2：在211、2

12两数之间插入一个数，使其成为一个等差数列。

解：根据第几项＝首项＋（项数－1）×公差，

那么第三项 3a =1a +2d ，即：212=2

11+2d ，所以d=0.5 故等差数列是，211、2、212。

拓展：1、在12 与 60 之间插入3个数，使这5个数成为一个等差数列。

2、在6和38 之间插入7个数，使他们成为等差数列，求这9 个数的和是多少

例3：有10个朋友聚会，见面时如果每人都要和其余的人握一次手，那么共握了多少次手

练习：1、某班有51个同学，毕业时每人都要和其他同学握一次手，那么这个班共握了多少次手

2、有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次

例4：4个连续整数的和是94，求这4个数。

解：由于4个数是连续的整数，那么这4个数就是公差d=1的等差数列，不妨设第一个数为1a ，那么第二个数就是1a +1，

同理：第3个数，第4个数分别是1a +2，1a +3那么由已知，这四个整数的和是94，所以1a +（1a +1）+（1a +2）+（1a +3）=94，因此1a =22，所以这4个连续分别是22、23、24、25.

练习：1、3连续整数的和是20，求这3个数。

2、5个连续整数的和是180，求这5个数。

3、6个连续偶数中，第一个数和最后一个数的和是78，求这6个连续偶数各是多少

例5：丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了16个。丽丽在这些天中共学会了多少个单词

解：因为丽丽从第二天开始，每天都比前一天多学会1个单词，因此丽丽每天学会的单词个数是一

个等差数列，并且这个等差数列的首项

a=6, 公差d =1，末项n a=16，若想求和，必须先算出项

1

数n，根据公式项数＝（末项－首项）÷公差＋1 ，即n=（16-6）÷1+1=11

那么丽丽在这些天中共学会的单词个数为：6+7+8+……+16 = （6+16） 11÷2=121

练习：有一家电影院，共有30排座位，后一排都比前一排多两个位置，已知第一排有28个座位，那么这家电影院共可以容纳多少名观众

2、一个家具厂生产书桌，从第二个月起，每个月增加10件，一年共生产了1920件，那么这一年的12月份共生产了多少书桌

巩固练习：

1、6＋7＋8＋9＋……＋74＋75＝（）

2、2＋6＋10＋14＋……＋122＋126＝（）

3、已知数列2、5、8、11、14……，47应该是其中的第几项

4、有一个数列：6、10、14、18、22……，这个数列前100项的和是多少

5、在等差数列1、5、9、13、17……401中，401是第几项第50项是多少

6、1＋2＋3＋4＋……＋2007＋2008＝（）

7、（2＋4＋6＋……＋2000）－（1＋3＋5＋……＋1999）＝

8、1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋……＋58＋59－60＝

9、有从小到大排列的一列数，共有100项，末项为2003，公差为3，求这个数列的和。

10、求1——99个连续自然数的所有数字的和。