4动量和角动量习题思考题

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s 习题4

4-1．如图所示的圆锥摆，绳长为l ，绳子一端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求：

（1）质点所受合外力的冲量I

；

（2）质点所受张力T 的冲量T I

。

解：（1）设周期为τ，因质点转动一周的过程中，

速度没有变化，12v v =

，由I mv =∆ ，

∴旋转一周的冲量0I =

；

（2）如图该质点受的外力有重力和拉力，

且cos T mg θ=，∴张力T 旋转一周的冲量：

2cos T I T j mg j πθτω

=⋅=⋅

所以拉力产生的冲量为2mg

πω

，方向竖直向上。

4-2．一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度4/v m s =。已知其中一力

F

方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求：

（1）力F

在1s 到3s 间所做的功；

（2）其他力在1s 到3s 间所做的功。

解：（1）半椭圆面积⋅====⋅=⎰⎰⎰⎰v t F v t Fv x F x F A d d d d

J 6.125402012

1

4==⨯⨯⨯=ππ

（2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的

总功为零，所以当该F

做的功为125.6J 时，其他的力 的功为-125.6J 。

4-3．质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为

cos sin r a t i b t j ωω=+

，求：

（1）质点在任一时刻的动量；

（2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量。

解：（1）根据动量的定义：P mv = ，而dr

v dt

== sin cos a t i b t j ωωωω-+ ， ∴()(sin cos )P t m a t i b t j ωωω=-- ；

（2）由

2()(0)0I mv P P m b j m b j πωωω

=∆=-=-= ， 所以冲量为零。

4-4．质量为M =2.0kg 的物体（不考虑体积），用一根长为l =1.0m 的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m =20g 的子弹以0v =600m/s 的水平速度射穿物体。刚射出物体时子弹的速度大小v =30m/s ，设穿透时间极短。求： （1）子弹刚穿出时绳中张力的大小； （2）子弹在穿透过程中所受的冲量。 解：（1）解：由碰撞过程动量守恒可得：01mv mv M v =+

∴01 5.7mv mv

v M

-=

=/m s 根据圆周运动的规律：21v T Mg M l -=，有：2

184.6v T Mg M N l

=+=；

（2）根据冲量定理可得：00.0257011.4I mv mv N s =-=-⨯=-⋅。

4-5．一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为m/s kg 102.122

⋅⨯-，中微子的动量为236.410kg m/s -⨯⋅，两动量方向彼此垂直。（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为

kg 108.526-⨯，求其反冲动能。

解：由碰撞时，动量守恒，分析示意图，有： （1

）22

10

P -=

=核 22

1.3610

/kgm s -=⨯

又∵0.64tan 1.2P P α==中微子电子

，∴0

28.1α= ，

所以221.410

/P kgm s -=⨯核 ，

9.151=-=απθ ； （2）反冲的动能为：2

180.17102k P E J m -==⨯核

核

。

4-6．一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为54

40010()3

F t N =-

⨯，子弹从枪口射出时的速率为300/m s 。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：

（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t ；

（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I ； （3）子弹的质量。

解：（1）由于离开枪口处合力刚好为零，有：54

4001003

t -⨯=， 得：3

310t s -=⨯；

（2）由冲量定义：0

t

I F dt =

⎰有：

0.0035520.003004240010(40010)0.633

I t dt t t N s =-⨯=-⨯=⋅⎰（） （3）再由I

m v

=，有：30.6/300210m kg -==⨯。

4-7．有质量为m 2的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为c x 。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。

解：利用质心运动定理，在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为c x 。

112212c m x m x x +=，而12m m m ==， 12c x x =，

水平方向质心不变，总质心仍为c x ，所以

c c c x x m mx m x x 2

3

221

22

=⇒+=

4-8．两个质量分别为1m 和2m 的木块B A 、，用一劲度系数为k 的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。A 紧靠墙。今用力推B 块，使弹簧压缩0x 然后释放。（已知m m =1，m m 32=）求：（1）释放后B A 、两滑块速度相等时的瞬时速度的大小；（2）弹簧的最大伸长量。

解：分析题意，首先在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为B 木块的动能，然后B 带动A 一起运动，此时动量守恒，两者具有相同的速度v 时，弹簧伸长最大，由机械能守恒可算出其量值。

（1） 22

2200220121

122

m v kx m v m m v

==+（） c

c x