中考数学探索规律训练专题.doc
含答案 中考数学复习专题六 规律探索题
专题六 规律探索题类型一 数式规律1. 设a n 为正整数n 4的末位数，如a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，…，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＋a 2020＋a 2021＝________．2. 如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．则第5个台阶上的数x ＝________，从下到上前35个台阶上数的和＝________．第2题图3. 将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如：位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是________．第3题图4. 如图，下列各正方形中的四个数具有相同的规律，根据规律，x 的值为________．第4题图5. 已知a ＞0，S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1，S 3＝1S 2，S 4＝－S 3－1，S 5＝1S 4，…(即当n 为大于1的奇数时，S n ＝1S n －1；当n 为大于1的偶数时，S n ＝－S n －1－1)，按此规律，S 2018＝________(用含a 的代数式表示)．6. 观察下列等式：(x －1)(x ＋1)＝x 2－1；(x －1)(x 2＋x ＋1)＝x 3－1；(x －1)(x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 4－1；(x －1)(x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 5－1；…根据以上规律，计算22020＋22019＋22018＋…＋23＋22＋2＋1的结果是________，个位数字是________．7. 人们把5－12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a ＝5－12，b ＝5＋12，得ab ＝1，记S 1＝11＋a ＋11＋b ，S 2＝11＋a 2＋11＋b 2，…，S 10＝11＋a 10＋11＋b 10.则S 1＋S 2＋…＋S 10＝________． 8.如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是________．第8题图9.观察下列等式：x 1＝1＋112＋122＝32＝1＋11×2； x 2＝1＋122＋132＝76＝1＋12×3； x 3＝1＋132＋142＝1312＝1＋13×4； …根据以上规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2020－2021＝________.10.“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”；“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅…癸酉；甲戌、乙亥、丙子…癸未；甲申、乙酉、丙戌…癸巳；…共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2050年是“干支纪年法”中的________．类型二 图形变化规律1. 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝3x 和y ＝－x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点(1，0)作x 轴的垂线交l 1于点A 1，过点A 1作y 轴的垂线交l 2于点A 2，过点A 2作x 轴的垂线交l 1于点A 3，过点A 3作y 轴的垂线交l 2于点A 4，…，依次进行下去，则点A 6的坐标为________，点A2022的坐标为________．第1题图2. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延长CD至A1，使DA1＝CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2，…，按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2，…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021＝________．第2题图3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC 绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋3，…，按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于________．第3题图4. 已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O.以点O 为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A n的坐标为________．第4题图5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，连接AC ，过点D 作DC 1⊥AC 于C 1；以C 1A 、C 1D 为邻边作矩形AA 1DC 1，连接A 1C 1，交AD 于O 1，过点D 作DC 2⊥A 1C 1于C 2，交AC 于M 1，以C 2A 1，C 2D 为邻边作矩形A 1A 2DC 2，连接A 2C 2，交A 1D 于O 2，过点D 作DC 3⊥A 2C 2于C 3，交A 1C 1于M 2；以C 3A 2，C 3D 为邻边作矩形A 2A 3DC 3，连接A 3C 3，交A 2D 于O 3，过点D 作DC 4⊥A 3C 3于C 4，交A 2C 2于M 3；…若四边形AO 1C 2M 1的面积为S 1，四边形A 1O 2C 3M 2的面积为S 2，四边形A 2O 3C 4M 3的面积为S 3，…，四边形A n －1O n C n ＋1M n 的面积为S n ，则S n ＝________．(结果用含正整数n 的式子表示)第5题图6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OC 在x 轴的正半轴上，且点C 的坐标为(2，0)，∠OCB ＝45°，将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到菱形OA 1B 1C 1，…，依此方式，绕点O 连续旋转2021次后得到菱形OA 2021B 2021C 2021，则点A 2021的坐标为________．第6题图7. 如图，在平面直角坐标系中，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－34x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2也落在直线y ＝－34x 上，以此进行下去…，若点B 的坐标为(0，3)，则点B 21的纵坐标．．．为________．第7题图专题六 规律探索题类型一 数式规律1. 6667 【解析】∵a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，a 5＝5，a 6＝6，a 7＝1，a 8＝6，a 9＝1，a 10＝0，…，即每10个数一循环，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1＋6＋1＋6＋5＋6＋1＋6＋1＋0＝33，2021÷10＝202……1，∴33×202＋1＝6667.2. －5；18 【解析】第1个至第4个台阶上数的和为－5＋(－2)＋1＋9＝3，∵任意相邻四个台阶上数的和都相等，∴－2＋1＋9＋x ＝3，解得x ＝－5，则第5个台阶上的数x 是－5.由题意知，台阶上的数字每4个一循环，∵35÷4＝8……3，∴从下到上前35个台阶上数的和为8×3－5－2＋1＝18.3. 2023 【解析】观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数为2n (n －1)＋1，∴第32行，第32列的数为2×32×(32－1)＋1＝1985，根据排列规律，偶数行的数从右往左依次增加2，∴第32行，第13列的数为1985＋2×(32－13)＝2023.4. 170 【解析】分析题目可得4＝2×2，6＝3×2，8＝4×2；2＝1＋1，3＝2＋1，4＝3＋1；∴18＝2b ，b ＝a ＋1.∴a ＝8，b ＝9.∵9＝2×4＋1，20＝3×6＋2，35＝4×8＋3，∴x ＝18b ＋a ＝18×9＋8＝170.5. －a ＋1a 【解析】S 1＝1a ，S 2＝－1a －1＝－a ＋1a ，S 3＝－a a ＋1，S 4＝－1a ＋1，S 5＝－(a ＋1)，S 6＝a ，S 7＝1a ，…，∴每6个数是一个循环，∵2018÷6＝336……2，∴S 2018＝S 2＝－a ＋1a .6. 22021－1 ；1 【解析】根据题意得：(x －1)(x n ＋x n －1＋…＋x ＋1)＝x n ＋1－1，∵(2－1)×(22020＋22019＋…＋2＋1)＝22020＋1－1，∴22020＋22019＋…＋2＋1＝22021－1，∵21＝2，个位数字是2，22＝4，个位数字是4，23＝8，个位数字是8，24＝16，个位数字是6，25＝32，个位数字是2，…，∵2021÷4＝505……1，∴22021的个位数字是2，∴22021－1的个位数字是1. 7. 10 【解析】∵a ＝5－12，b ＝5＋12，∴ab ＝5－12×5＋12＝1，∵S n ＝11＋a n ＋11＋b n ＝2＋a n ＋b n （1＋a n ）（1＋b n ）＝2＋a n ＋b n 1＋（ab ）n ＋a n ＋b n ＝2＋a n ＋b n2＋a n ＋b n ＝1，∴S 1＝S 2＝S 3＝…＝S n ＝1，∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝10.8. 556个 【解析】∵前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，∴前区最后一排座位数为20＋2×(8－1)＝34，∴前区座位数为(20＋34)×8÷2＝216，∵前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，∴后区的座位数为10×34＝340，∴该礼堂的座位总数是216＋340＝556个．9. －12021 【解析】x 1＝1＋11×2＝1＋1－12，x 2＝1＋12×3＝1＋12－13，x 3＝1＋13×4＝1＋13－14，…，x n ＝1＋1n （n ＋1）＝1＋1n －1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－14＋…＋1＋1n －1n ＋1＝n ＋1－1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2020－2021＝2020＋1－12021－2021＝－12021.10. 庚午年 【解析】公元纪年换算成干支纪年方法如下：天干算法：用公元纪年数减3，除以10(不管商数)所得余数，就是天干所对应的位数，地支算法：用公元纪年数减3，除以12(不管商数)所得余数，就是地支所对应的位数，2050－3＝2047，2047÷10余数为7，∴天干为“庚”，2047÷12余数为7，∴地支为“午”，∴2050年为“庚午”年．类型二 图形变化规律1. (－27，27)，(－31011，31011) 【解析】当x ＝1时，y ＝3x ＝3，∴点A 1的坐标为(1，3)；当y ＝－x ＝3时，x ＝－3，∴点A 2的坐标为(－3，3)；同理可得A 3(－3，－9)，A 4(9，－9)，A 5(9，27)，A 6(－27，27)，A 7(－27，－81)，…，∴A 4n ＋1(32n ，32n ＋1)，A 4n ＋2(－32n ＋1，32n ＋1)，A 4n ＋3(－32n ＋1，－32n ＋2)，A 4n ＋4(32n ＋2，－32n ＋2)(n 为自然数)．∵2022＝505×4＋2，∴点A 2022的坐标为(－31011，31011)．2. 24038· 3 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝1，AD ∥BC ，AB ∥CD ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∴∠ADA 1＝∠BCD ＝60°，∵DA 1＝CD ，∴DA 1＝AD ，∴△ADA 1为等边三角形，同理可得△A 1D 1A 2，…，△A 2020D 2020A 2021都为等边三角形，如解图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∴BE ＝BC ·sin ∠BCD ＝32＝A 1D ，∴S 1＝12A 1D ·BE ＝34A 1D 2＝34，同理可得，S 2＝34A 2D 12＝34×22＝3，S 3＝34A 3D 22＝34×42＝43，…，∴由此规律可得，S n ＝3·22n －4，∴S 2021＝3×22×2021－4＝24038· 3.第2题解图3. 2021＋673 3 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴AB ＝2，BC ＝3，∴将△ABC 绕点A 顺时针旋转到①，可得到点P 1，此时AP 1＝2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3＝3＋3，…，∵2020÷3＝673……1，∴AP 2020＝673×(3＋3)＋2＝2021＋673 3.4. (3n －1，0) 【解析】根据题意得△A 1B 1C 1是等边三角形，∴A 1C 1＝2，则点A 1的坐标是(1，0)，B 1O ＝3，在Rt △A 2OB 1中，tan30°＝B 1O A 2O ，得A 2O ＝3，则点A 2的坐标为(3，0)，同理求出点A 3的坐标是(9，0)，A 4的坐标是(27，0)，…，即点A 3(32，0)，A 4(33，0)，…，∴点A n 的坐标为(3n －1，0)5. 9×4n －15n ＋1 【解析】∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，∴AC ＝5，∵DC 1⊥AC ，∴DC 1＝AD ·CD AC ＝255，∴CC 1＝CD 2－DC 21＝12－（255）2＝55，∴AC 1＝455，∵四边形AA 1DC 1是矩形，∴AA 1＝DC 1＝255，∵DC 2⊥A 1C 1，∴∠AC 1A 1＝∠C 1DM 1，∴tan ∠AC 1A 1＝tan ∠C 1DM 1＝AA 1AC 1＝C 1C 2DC 2＝12，∴由勾股定理可得C 1C 2＝25，∴M 1C 2＝15，∵点O 1是矩形AA 1DC 1对角线的交点，∴点O 1到AC 1的距离＝12DC 1＝55，∴S 1＝S △AO 1C 1－S △C 1C 2M 1＝12×455×55－12×15×25＝925＝9×152；同理可得A 1C 2＝85，DC 2＝45，C 2C 3＝4525，M 2C 3＝2525，点O 2到A 1C 1的距离＝12DC 2＝25，∴S 2＝S △A 1O 2C 2－S △C 2C 3M 3＝12×85×25－12×4525×2525＝36125＝9×453；同理可得S 3＝9×4254，S 4＝9×4355，…，以此类推可得S n ＝9×4n －15n ＋1.6. (0，－2) 【解析】如解图，∵四边形OABC 是菱形，且OC ＝2，∴OA ＝2，又∵∠OCB ＝45°，∴∠OAB ＝45°，∴A (－1，1)，由旋转的性质得OA ＝OA 1＝OA 2＝…＝OA 7＝ 2.∵菱形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到菱形OA 1B 1C 1，相当于将线段OA 绕点O 顺时针旋转45°得到线段OA 1，易知点A 与A 2关于y 轴对称，点A 2与A 4关于x 轴对称，点A 与点A 6关于x 轴对称，其余点均在x 轴、y 轴上，∴A (－1，1)，A 1(0，2)，A 2(1，1)，A 3(2，0)，A 4(1，－1)，A 5(0，－2)，A 6(－1，－1)，A 7(－2，0)，….∵360°÷45°＝8，∴图形在旋转过程中每8次为一个循环，∵2021÷8＝252……5，∴点A 2021的坐标与点A 5的坐标相同，∴点A 2021的坐标为(0，－2)．第6题解图7. 3875 【解析】∵AB ⊥y 轴，点B (0，3)，∴OB ＝3，则点A 的纵坐标为3，将y ＝3代入y ＝－34x ，解得x ＝－4，即A (－4，3)，∴OB ＝3，AB ＝4，OA ＝32＋42＝5，由旋转可知：OB ＝O 1B 1＝O 2B 1＝O 2B 2＝...＝3，OA ＝O 1A ＝O 2A 1＝...＝5，AB ＝AB 1＝A 1B 1＝A 2B 2＝ (4)∴OB 1＝OA ＋AB 1＝5＋4＝9，B 1B 3＝3＋4＋5＝12，∴OB 21＝OB 1＋B 1B 21＝9＋(21－1)÷2×12＝129，设B 21(a ，－34a )，则OB 21＝a 2＋（－34a ）2＝129, 解得a ＝－5165或5165(舍)，则－34a ＝－34×(－5165)＝3875， 即点B 21的纵坐标为3875.。
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题(含答案解析)
2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题（含答案解析）类型一数式规律1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB1n -CnD1n -【答案】Ca ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第nn ，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．2．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111n n na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1xf x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+…2100200(100)1100101f ⨯==+，1212100()11001011100f ⨯==+，1(100)(2100f f +=，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．5.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（）A．23-B．13C．12-D．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+ ，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．6.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．8.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．10．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…∴第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-，故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．11．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．12．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，又∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.16.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．18.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311 212x===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-= ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．19.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯，第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯，第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯，第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．20.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12nn +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设12a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++= _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解： 12a =，b =11122ab =⨯=∴，1112211112a ba ba b b ba bS a a ++++=+==+++++++ ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++= 121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．22.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．23.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．24.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律25．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341…，⨯-=；所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31n -是解题的关键.27．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B 【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．28.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．29.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．30.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答31.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【答案】1226C H 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．33．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，∴第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．35.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．36.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．37.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n ×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．38.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．类型三与函数有关规律39．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）。
2024海南中考数学二轮专题训练 题型六 规律探索题 (含答案)
2024海南中考数学二轮专题训练题型六规律探索题类型一数式规律(热身小练)(1)若一列正整数：1，2，3，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(2)若一列数：1，3，5，7，9，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(3)若一列数：2，4，6，8，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(4)若一列数：－1，1，－1，1，－1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(5)若一列数：1，－1，1，－1，1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(6)若一列数：1，4，9，16，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(7)若一列数：2，5，10，17，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(8)若一列数：0，3，8，15，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(9)若一列数：4，7，10，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．(典例精讲)例观察下列一组数据，其中绝对值依次增加2，且每两个正数之间有两个负数：1，－3，－5，7，－9，－11，13，…，则第10个数是________，第3n个数是________．(n为正整数).(满分技法)解答数式递推规律的方法：一般通过题中前几项的数字或数式找出每项数字或数式间的关系求解，步骤为：第一步：标序数；第二步：对比序数(1，2，3，…，n)与所给数字或数式的关系，把每一部分与序数之间的关系用含序数的式子表示出来；第三步：根据找出的规律求出第n个式子，并检验；第四步：若求出的数字或式子前面的符号是正(＋)、负(－)交替出现时，根据正负号的变化规律，则第n个数字(或式子)的符号用(－1)n或(－1)n＋1表示．(针对训练)1.观察下列各等式：①223＝2＋23；②338＝3＋38；③4415＝4＋415；…根据以上规律，请写出第5个等式：______________；第n 个等式为________________．2.一组按规律排列的代数式：a ＋2b ，a 2－2b 3，a 3＋2b 5，a 4－2b 7，…，则第7个代数式为________，第个代数式为________．3.观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：____________，第组勾股数为________________．4.按一定规律排列的一列数依次为－a 22，a 53，－a 84，a 115，…(a ≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第9个数是________，第n 个数是________．5.按规律排列的一列数：－12，25，－38，411，－514，…，则第20个数是________，第n 个数是________．(用含n 的式子表示)6.把正整数1，2，3，4，…，排列成如图所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、…，按此规律，2020排在第______行、第________列；排在第m 行、第n 列的数为________，其中m ≥1，1≤n ≤8，且m ，n 都是正整数．第6题图类型二图形规律(典例精讲)例用形状大小完全相同的等边三角形和正方形按如图所示的规律拼图案，即从第2个图案开始每个图案比前一个图案多4个等边三角形和1个正方形，以此规律，回答下列问题：例题图(1)第5个图案中正方形有________个，等边三角形有________个；(2)第n个图案中正方形有________个，等边三角形有________个；(3)第2021个图案中等边三角形一共有______个；(4)第n个图案中等边三角形比正方形多______个；(5)若第n个图案中一共有62个等边三角形，则n的值为________．(满分技法)解答图形累加规律探索题具体步骤如下：第一步：写序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”；第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要标记出每组图形的个数；第三步：寻找图形数量与序数n的关系：针对寻找第n个图形数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行对比，通常作差来观察是否有恒定量的变化，一般分为两种情况：①相邻图形个数的差值相同，则第n个图形的个数m是最高次项为一次的整式m＝an＋b，然后代入2组数据即可求出a，b的值；②相邻图形个数的差值不同，则第n个图形的个数m是最高次项为二次的整式m＝an2＋bn ＋c，然后代入3组数据即可求出a，b，c的值；第四步：验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．(针对训练)1.如图是一组有规律的图案，它们是由相同的矩形拼接而成，已知矩形的长为a，宽为b，则第⑪个图案的周长为________，第个图案的周长为________．第1题图2.如图，将图①的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图②，得到5个正方形；第2次将图②左上角正方形按上述方法再分割如图③，得到9个正方形，…，按此规律进行下去，则第8次操作后，得到正方形的个数为________，第次操作后，得到正方形的个数为________．第2题图3.如图，观察下列图形，它们是按一定规律排列的，其中第①个图形有2个太阳，第②个图形有4个太阳，第③个图形有7个太阳，第④个图形有12个太阳，…，按照此规律，则第⑤个图形有________个太阳，第个图形有________太阳．第3题图4.如图的三角形图案为谢宾斯基(Sierpinski)三角形，在下列四个三角形图案中，涂有阴影的三角形个数依次为：第1个图案中有1个，第2个图案中有3个，第3个图案中有9个，第4个图案中有27个，…，按此规律，第6个图案中有________个涂有阴影的三角形，第n 个图案中有________个涂有阴影的三角形．第4题图5.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有________个交点，n条直线两两相交最多有________个交点．第5题图6.如图是小强用铜币摆放的4个图案，其中第1个图案中铜币个数有3个，第2个图案中铜币个数有5个，第3个图案中铜币个数有8个，第4个图案中铜币个数有12个，…，按此摆放图案的规律，第19个图案中需要______个铜币，第n个图案中需要__________个铜币．第6题图7.如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的☆摆放而成，第(1)个图案有3个☆，第(2)个图案有7个☆，第(3)个图案有13个☆，第(4)个图案有21个☆，…按此规律摆下去，第(6)个图案有________个☆，第(n)个图案有________个☆(用含n的代数式表示).第7题图类型三周期规律(典例精讲)例如图，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9，…，△A3n－2A3n－1A3n(n为正整数)均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9，…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，则点A2016的坐标为________．例题图【解题步骤】①确认周期：观察图形可知，三角形的顶点______个为一个循环；②确定A2016的位置：∵2016÷______＝______，∴点A2016在y轴上，且是第________个三角形的顶点；③求A2016的坐标：在△A1A2A3中，A1A2＝2，∴△A1A2A3的高为________．∵点O是△A1A2A3的中心，∴OA3＝________，同理得OA6＝________，OA9＝________，…，∴点A2016的坐标为________．(针对训练)1.在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边OA1A2A3运动，设第n 秒运动到P n(n为正整数)，则第58个等边三角形在第________象限，点P2019的坐标是________．第1题图2.有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第1个数是0，第2个数是1，那么前6个数的和是________，这2021个数的和是________．3.如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n，则a n＝________，a3＋a100＝________．第3题图4.将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，…，按如图所示有序排列．第4题图根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置(C的位置)是有理数4，那么(1)“峰6”中D的位置是有理数________；(2)－2019应排在A，B，C，D，E中的________位置．参考答案类型一数式规律热身小练(1)n ；(2)2n －1；(3)2n ；(4)(－1)n ；(5)(－1)n ＋1或(－1)n －1；(6)n 2；(7)n 2＋1；(8)n 2－1；(9)3n ＋1.例19，－6n ＋1.针对训练1.6635＝6＋635；(n ＋1)·n ＋1n （n ＋2）＝n ＋1＋n ＋1n （n ＋2）【解析】第5个等式，等号左边根号外面是6，二次根式的分子也是6，分母是62－1，等号右边是这个整数与这个分数的和的算术平方根，∴第5个式子为6635＝6＋635；∴第n 个式子为(n ＋1)·n ＋1（n ＋1）2－1＝（n ＋1）＋n ＋1（n ＋1）2－1，化简得(n ＋1)·n ＋1n （n ＋2）＝（n ＋1）＋n ＋1n （n ＋2）.2.a 7＋2b 13，a n ＋(－1)n ＋1·2b 2n －1【解析】∵第1个代数式为a 1＋(－1)1＋1×2b 1，第2个代数式为a 1×2＋(－1)1＋2×2b 2×2－1，第3个代数式为a 1×3＋(－1)1＋3×2b 2×3－1，第4个代数式为a 1×4＋(－1)1＋4×2b 2×4－1，…，则第7个代数式为a 1×7＋(－1)1＋7×2b 2×7－1＝a 7＋2b 13，∵当n 为奇数时，(－1)n ＋1＝1，当n 为偶数时，(－1)n ＋1＝－1，∴第n 个式子是：a n ＋(－1)n ＋1·2b 2n －1.3.16，63，65；2(n ＋1)，n (n ＋2)，(n ＋1)2＋1【解析】观察前4组数据的规律可知：第一个数是2(n ＋1)；第二个数是n (n ＋2)；第三个数是(n ＋1)2＋1.∴第⑦组勾股数为16，63，65.第n 组勾股数为2(n ＋1)，n (n ＋2)，(n ＋1)2＋1.4.－a 2610，(－1)n a 3n －11＋n 【解析】第1个数为－a 22＝(－1)1a 1×3－11＋1，第2个数为a 53＝(－1)2a 2×3－11＋2，第3个数为－a 84＝(－1)3a 3×3－11＋3，第4个数为a 115＝(－1)4a 4×3－11＋4，…，由此规律可知第9个数是(－1)9a 9×3－11＋9＝－a 2610.第n 个数是(－1)n a n ×3－11＋n ＝(－1)n a 3n －11＋n.5.2059，(－1)n n 3n －1【解析】∵－12＝(－1)1×13×1－1，25＝(－1)2×23×2－1，－38＝(－1)3×33×3－1，411＝(－1)4×43×4－1，－514＝(－1)5×53×5－1，…，∴第20个数是(－1)20·203×20－1＝2059，第n 个数是(－1)n ·n3n －16.253，4；8m ＋n －8【解析】∵2020＝8×252＋4，∴2020排在第253行第4列；根据数字排列规律：第m 行最后一列数字为8m ，∴排在第m 行第n 列的数为8m ＋n －8.类型二图形规律例(1)5，18；(2)n ，4n －2；【解析】第n 个图案有n 个正方形，当n ＝1时，等边三角形个数为2，当n ＝2时，等边三角形个数为2＋4×1＝6，当n ＝3时，等边三角形个数为2＋4×2＝10，当n ＝4时，等边三角形个数为2＋4×3＝14，∴第n 个图案中等边三角形的个数为2＋4(n －1)＝4n －2.(3)8082；(4)3n －2；(5)16.针对训练1.22a ＋2b ，2na ＋2b 【解析】观察图案的变化可知第①个图案的周长为2(a ＋b )，第②个图案的周长为2×2(a ＋b )－2×(2－1)b ，第③个图案的周长为3×2(a ＋b )－2×(3－1)b ，…，则第个图案的周长为n ×2(a ＋b )－2(n －1)b ，∴第⑪个图案的周长为11×2(a ＋b )－2×(11－1)b ＝22a ＋2b ，第个图案的周长为n ×2(a ＋b )－2×(n －1)b ＝2na ＋2b .2.33，4n ＋1【解析】逐部分分析如下：次数第一次第二次第三次…正方形个数5＝4×1＋19＝4×2＋113＝4×3＋1…由表可以看出，每个图案中正方形的个数＝4×(图形序数－1)＋1，，则第8次操作后，得到的正方形个数为4×8＋1＝33，第n 次操作后，得到的正方形个数为4n ＋1.3.21，n ＋2n －1【解析】如解图，将每个图形沿虚线分成上下两部分：第3题解图逐部分分析如下表：序数①②③④…太阳个数上部分1234…下部分1＝202＝214＝228＝23…总数24712…由表可以看出，上部分太阳的个数等于图形序数，下部分太阳的个数等于2的图形序数减1次方，故第⑤个图形中太阳的个数为5＋24＝21；第个图形中太阳的个数为n ＋2n －1.4.243，3n －1【解析】∵第1个图案中有1＝30个涂有阴影的三角形，第2个图案中有3＝31个涂有阴影的三角形，第3个图案中有9＝32个涂有阴影的三角形，第4个图案中有27＝33个涂有阴影的三角形，依次类推，第6个图案有243＝35个涂有阴影的三角形，∴第n 个图案中有3n －1个涂有阴影的三角形．5.190，12n (n －1)【解析】2条直线相交最多有1个交点；3条直线相交最多有1＋2＝3＝12×3×2个交点；4条直线相交最多有1＋2＋3＝6＝12×4×3个交点；5条直线相交最多有1＋2＋3＋4＝10＝12×5×4个交点；…；20条直线相交最多有12×20×19＝190个交点．n 条直线相交最多有12n (n －1)个交点．6.192，(12n 2＋12n ＋2)【解析】第1个图案中铜币个数为2＋1＝3；第2个图案中铜币个数为2＋1＋2＝5；第3个图案中铜币个数为2＋1＋2＋3＝8；第4个图案中铜币个数为2＋1＋2＋3＋4＝12；…，第n 个图案中铜币个数为2＋1＋2＋3＋4＋…＋n ＝12n (n ＋1)＋2，当n ＝19时，12n (n ＋1)＋2＝12×19×20＋2＝192.7.43，(n 2＋n ＋1)【解析】∵第1个图案有(12＋1＋1)＝3个☆，第2个图案有(22＋2＋1)＝7个☆，第3个图案有(32＋3＋1)＝13个☆，第4个图案有(42＋4＋1)＝21个☆，第5个图案有(52＋5＋1)＝31个☆，∴第6个图案有(62＋6＋1)＝43个☆，第n 个图案有(n 2＋n ＋1)个☆.类型三周期规律例(0，4483)【解题步骤】①3；②3，672,672；③3，233，433，23，(0，4483)．针对训练1.一，(20192，32)【解析】由题图可知，3个等边三角形为一个周期，则58÷3＝19……1，∴第58个等边三角形和第一个等边三角形在同一个象限内，都在第一象限；如解图，作A 1H ⊥x 轴于点H ，∵△OA 1A 2是等边三角形，∴∠A 1OH ＝60°，OH ＝12OA 2＝12，∴A 1H ＝A 1O ·sin60°＝1×32＝32，∴A 1(12，32)，A 2(1，0)，同理可得A 3(32，32)，A 4(2，0)，A 5(52，－32)，A 6(3，0)，A 7(72，32)，由上可知，每一个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每6个点依次为：32，0，32，0，－32，0这样循环，∴2019÷6＝336……3，∴A 2019(20192，32)．第1题解图2.0，1【解析】由题意知，第1个数是0，第2个数是1，且任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和，那么就有0，1，1，0，－1，－1，0，1，1，0，－1，－1，0，…，按此规律，6个数一个周期，且前6个数的和为0，∵2021÷6＝336……5，而5个数的和为1，∴这2021个数的和为1.3.12n (n ＋1)，5056【解析】观察“杨辉三角”可知第n 个数记为a n ＝(1＋2＋…＋n )＝12n (n ＋1)，则a 3＋a 100＝12×3×(3＋1)＋12×100×(100＋1)＝5056.4.(1)30；(2)C 【解析】(1)∵每个峰需要5个数，∴5×5＝25，25＋1＋3＝29，∴“峰6”中D 位置的有理数是30；(2)∵(2019－1)÷5＝403……3，∴－2019为“峰404”的第三个数，排在C 的位置．。
中考数学题型5 规律探索题
图(1)
图(2)
图(3)
【规律总结】
(1)若人行道上每增加1块正方形地砖,则等腰直角三角形地砖增加
块.
(2)若一条这样的人行道一共有n(n为正整数)块正方形地砖,则等腰直角三角形地砖的块数为
.(用含n的代数式表示).
【问题解决】
(3)现有2 021块等腰直角三角形地砖,若按此规律再建一条人行道,要求等腰直角三角形地砖剩
类型 1 数与式的规律探索
高分技法
解答数字规律探索题的一般步骤 在解答数字规律探索题时,分三种情况. 1.若题中给出的是一组数字且这组数字均为整数,则一般步骤如下. (1)得出数字规律:观察这组数字是自然数列、正整数列、奇数列、偶数列还是 整数列经过和、差、平方、平方和、平方差、平方和加1、平方和减1等运算后 得到的数列;观察每个数字与其对应的序号、相邻两个数字之间的关系; (2)得出符号规律:看这组数字的符号,判断是正负号交替出现,还是只出现一个 符号,如果是交替出现,若奇数项为负,则用(-1)n表示数字的符号;若偶数项为 负,则用(-1)n+1表示数字的符号; (3)得结果:将数字规律和符号规律结合起来得出结果,并进行检验.
类型 1 数与式的规律探索
高分技法
2.当所给的一组数字既有整数又有分数时,把这组数据的所有整数化成分数,然后根据整 数的数字规律(具体方法同1),分别得出分子、分母和符号的规律,最后得到该组数据的规 律. 3.若题中给出的数字按照一定的形式排列成数阵(如杨辉三角),则此类题型的解题方法如 下. (1)分析数阵中数字的排列方式:若行、列中存在整数和算术平方根(或立方根),可先将整 数化为带有相应根号的平方数(或立方数);看每行的个数、每列的个数;看相邻数据的变 化特点,并且观察某一行或者某一列数据是否具有某些特殊的性质(如完全平方数、奇偶 数等); (2)找出该行或该列上的数字与其所在的行数和列数的关系; (3)使用(1)中找出的具有特殊性质的数字,根据(2)中的性质定位,求得答案,并注意检验.
中考数学《规律探索》专题复习试题含解析
中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。
2024辽宁中考数学二轮专题训练 题型四 规律探索题 (含答案)
2024辽宁中考数学二轮专题训练题型四规律探索题类型一图形递推变化典例精讲例1如图，∠MON ＝45°，正方形ABB 1C ，正方形A 1B 1B 2C 1，正方形A 2B 2B 3C 2，正方形A 3B 3B 4C 3，…，的顶点A ，A 1，A 2，A 3，…，在射线OM 上，顶点B ，B 1，B 2，B 3，B 4，…，在射线ON 上，连接AB 2交A 1B 1于点D ，连接A 1B 3交A 2B 2于点D 1，连接A 2B 4交A 3B 3于点D 2，…，连接B 1D 1交AB 2于点E ，连接B 2D 2交A 1B 3于点E 1，…，按照这个规律进行下去，设△ACD 与△B 1DE 的面积之和为S 1，△A 1C 1D 1与△B 2D 1E 1的面积之和为S 2，△A 2C 2D 2与△B 3D 2E 2的面积之和为S 3，…，若AB ＝2，则S n 等于______．(用含有正整数n 的式子表示)例1题图基本模型【解题步骤】分析图形可知，所有图形都是由如图所示的基本模型构成，故求出S 1，S 2，S 3的面积可类比出S n 的面积．①求S 1的面积：根据题意可得：∠AOB ＝45°，∠ABO ＝90°，∴OB ＝AB ，∵AB ＝AC ＝B 1C ＝BB 1＝______，AB ∥A 1B 1，∴A 1B 1＝2AB ＝________，∴A 1B 1＝A 1C 1＝B 2C 1＝B 1B 2＝________，∵AC ∥ON ，∴CD DB 1＝AC B 1B 2＝____，∴CD ＝________B 1C ＝________，B 1D ＝__________B 1C ＝__________．同理可得，B 2D 1＝________B 2C 1＝________．∵B 1D ∥B 2D 1，∴DE B 2E ＝B 1D B 2D 1＝________，∴S △B 1DE ＝________S △B 1B 2D ＝________，∵S △ACD ＝____，∴S 1＝________；②求S 2，S 3，…的面积：A 2B 2＝________，S △B 2D 1E 1＝________S △B 2B 3D 1＝________，∵S △A 1C 1D 1＝________，∴S 2＝________；S 3＝________；③总结，类比可得：S n ＝________．例2如图，在平面直角坐标系中，△ABC ，△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3，…，△A n B n C n 都是等腰直角三角形，点B ，B 1，B 2，B 3，…，B n 都在x 轴上，点B 1与原点重合，点A ，C 1，C 2，C 3，…，C n 都在直线l ：y ＝13x ＋43上，点C 在y 轴上，AB ∥A 1B 1∥A 2B 2∥…∥A n B n ∥y 轴，AC ∥A 1C 1∥A 2C 2∥…∥A n C n ∥x 轴，若点A 的横坐标为－1，则点C n 的纵坐标是________．例2题图基本模型【解题步骤】分析图形可知，所有图形都是由如图所示的基本模型构成，故求出点C 1，C 2，C 3，C 4的纵坐标可类比出点C n 的纵坐标．①求点C 1的坐标：∵点C 1在直线y ＝13x ＋43上，∴设点C 1的坐标为(t ，______)．∵△B 1B 2C 1是等腰直角三角形，且点B 1与原点O 重合，∴B 1B 2＝B 2C 1，即t ＝______，解得t ＝2.∴点C 1的纵坐标为________；②求点C 2，C 3，C 4的坐标：设点C 2的坐标为(m ，______)，∵△B 2B 3C 2是等腰直角三角形，∴m －2＝________，解得m ＝________，∴点C 2的纵坐标为________．同理可得，点C 3的纵坐标为_________；点C 4的纵坐标为________；③总结，类比可得：点C n 的纵坐标为________．辽宁近年中考真题精选1.如图，四边形ABCD 是矩形，延长DA 到点E ，使AE ＝DA ，连接EB ，点F 1是CD 的中点，连接EF 1,BF 1，得到△EF 1B ；点F 2是CF 1的中点，连接EF 2，BF 2，得到△EF 2B ；点F 3是CF 2的中点，连接EF 3，BF 3，得到△EF 3B ；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则△EF n B 的面积为_________________________．(用含正整数n 的式子表示)第1题图基本模型：____________________2.如图，在△A 1C 1O 中，A 1C 1＝A 1O ＝2，∠A 1OC 1＝30°，过点A 1作A 1C 2⊥OC 1，垂足为C 2，过点C 2作C 2A 2∥C 1A 1交OA 1于点A 2，得到△A 2C 2C 1；过点A 2作A 2C 3⊥OC 1，垂足为C 3，过点C 3作C 3A 3∥C 1A 1交OA 1于点A 3，得到△A 3C 3C 2；过点A 3作A 3C 4⊥OC 1，垂足为C 4，过点C 4作C 4A 4∥C 1A 1交OA 1于点A 4，得到△A 4C 4C 3；…；按照上面的作法进行下去，得到△A n ＋1C n ＋1C n 的面积为________．(用含正整数n 的代数式表示)第2题图基本模型：__________________3.如图，等边△A 1C 1C 2的周长为1，作C 1D 1⊥A 1C 2于D 1，在C 1C 2的延长线上取点C 3，使D 1C 3＝D 1C 1，连接D 1C 3，以C 2C 3为边作等边△A 2C 2C 3；作C 2D 2⊥A 2C 3于D 2，在C 2C 3的延长线上取点C 4，使D 2C 4＝D 2C 2，连接D 2C 4，以C 3C 4为边作等边△A 3C 3C 4；…；且点A 1，A 2，A 3，…都在直线C 1C 2同侧，如此下去，则△A 1C 1C 2，△A 2C 2C 3，△A 3C 3C 4，…，△A n C n C n ＋1的周长和．．．为________．(n ≥2，且n 为整数)第3题图基本模型：__________________4.如图，点B 1在直线l ：y ＝12x 上，点B 1的横坐标为2，过B 1作B 1A 1⊥l ，交x 轴于点A 1，以A 1B 1为边，向右作正方形A 1B 1B 2C 1，延长B 2C 1交x 轴于点A 2；以A 2B 2为边，向右作正方形A 2B 2B 3C 2，延长B 3C 2交x 轴于点A 3；以A 3B 3为边，向右作正方形A 3B 3B 4C 3，延长B 4C 3交x 轴于点A 4；…；按照这个规律进行下去，点C n 的横坐标为________(结果用含正整数n 的代数式表示)．第4题图基本模型：__________________5.如图，直线l 1的解析式是y ＝33x ，直线l 2的解析式是y ＝3x ，点A 1在l 1上，A 1的横坐标为32，作A 1B 1⊥l 1交l 2于点B 1，点B 2在l 2上，以B 1A 1，B 1B 2为邻边在直线l 1，l 2间作菱形A 1B 1B 2C 1，分别以A 1，B 2为圆心，以A 1B 1为半径画弧得扇形B 1A 1C 1和扇形B 1B 2C 1，记扇形B 1A 1C 1与扇形B 1B 2C 1重叠部分的面积为S 1；延长B 2C 1交l 1于点A 2，点B 3在l 2上，以B 2A 2，B2B3为邻边在l1，l2间作菱形A2B2B3C2，分别以A2，B3为圆心，以A2B2为半径画弧得扇形B2A2C2和扇形B2B3C2，记扇形B2A2C2与扇形B2B3C2重叠部分的面积为S2；…；按照此规律继续作下去，则S n＝__________________________(用含有正整数n的式子表示)．第5题图基本模型：________________针对训练1.如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3，已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．将△OAB进行n次变换得到△OA n B n，则△OA n B n 的面积为________．第1题图2.如图，∠MON＝30°，点A1在ON上，点C1在OM上，OA1＝A1C1＝2，C1B1⊥ON于点B1，以A1B1和B1C1为邻边作矩形A1B1C1D1，点A1，A2关于点B1对称，A2C2∥A1C1交OM 于点C2，C2B2⊥ON于点B2，以A2B2和B2C2为邻边作矩形A2B2C2D2，连接D1D2，点A2，A3关于点B2对称，A3C3∥A2C2交OM于点C3，C3B3⊥ON于点B3，以A3B3和B3C3为邻边作矩形A3B3C3D3，连接D2D3，…，依此规律继续下去，则D2021D2022＝________．第2题图3.如图，直线y＝－x＋1分别交x轴、y轴于点A、B，点O1、A1分别是BO、BA的中点，连接A1O1、AO1；O2、A2分别是BO1、BA1的中点，连接A2O2、A1O2，…，按此规律进行下去，则S△A n A n＋1O n＋1的面积是________．第3题图4.如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形OA3A4B4，连接A2A4，得到△A2A3A4，…，则△A n A n＋1A n＋2的面积等于________．第4题图5.如图，n个腰长为1的等腰直角三角形(Rt△B1AA1，Rt△B2A1A2，Rt△B3A2A3，…)有一条腰在同一直线上，设△A1B2C1的面积为S1，△A2B3C2的面积为S2，△A3B4C3的面积为S3，…，则S n＝________．(用含n的代数式表示)第5题图6.如图，分别过x 轴上点A 1(1，0)，A 2(2，0)，…，A n (n ，0)作x 轴的垂线，与反比例函数y ＝6x(x ＞0)的图象的交点分别为B 1，B 2，…，B n ，若△A 1B 1A 2的面积为S 1，△A 2B 2A 3的面积为S 2，…，△A n B n A n ＋1的面积为S n ，则S n ＝________．(用含n 的式子表示)第6题图7.已知直线m ：y ＝12x ＋12与直线n ：y ＝－12x ＋12交于点A ，直线n 与x 轴交于点B 1，过B 1作B 1C 1⊥x 轴，交直线m 于点C 1，作菱形AB 1D 1C 1得点D 1，过D 1作B 2C 2⊥x 轴，分别与直线n 和直线m 交于点B 2，C 2，作菱形AB 2D 2C 2得点D 2，过点D 2作B 3C 3⊥x 轴，分别与直线n 和直线m 交于点B 3，C 3，作菱形AB 3D 3C 3得点D 3，…，设△B 1C 1D 1的面积为S 1，△B 2C 2D 2的面积为S 2，△B 3C 3D 3的面积为S 3，…，依次类推，则△B 2022C 2022D 2022的面积S 2022的值是________．第7题图8.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝30°，作BC 1⊥AC ，垂足为C 1，作CB 1⊥AB ，垂足为B 1，BC 1与CB 1交于点A 1；作B 1C 2⊥AC ，垂足为C 2，作C 1B 2⊥AB ，垂足为B 2，B 1C 2与C 1B 2交于点A 2；作B 2C 3⊥AC ，垂足为C 3，作C 2B 3⊥AB ，垂足为B 3，B 2C 3与C 2B 3交于点A 3；…；若△A 1BC 的面积为1，则四边形A n B n A n ＋1C n 的面积为________．第8题图9.如图，∠MON＝90°，点A1，A2，A3，….A n＋1在射线OM上，点B1，B2，B3，…，B n＋1在射线ON上，连接A1B2，A2B1，∠A1B2O＝∠B1A2O＝30°，A1B2∥A2B3∥A3B4…∥A n B n＋1，A2B1∥A3B2∥A4B3…∥A n＋1B n，A1B2与A2B1相交于点C1，A2B3与A3B2相交于点C2，A3B4与A4B3相交于点C3，…，A n B n＋1与A n＋1B n相交于点C n，OA1＝OB1＝1，则四边形A n C n B n O的周长为________．第9题图10.如图，∠MON＝45°，正方形ABB1C，正方形A1B1B2C1，正方形A2B2B3C2，正方形A3B3B4C3，…的顶点A，A1，A2，A3，…在射线OM上，顶点B，B1，B2，B3，B4，…在射线ON上，连接AB2交A1B1于点D，连接A1B3交A2B2于点D1，连接A2B4交A3B3于点D2，…，连接B1D1交AB2于点E，连接B2D2交A1B3于点E1，…，按照这个规律进行下去，设四边形A1DED1的面积为S1，四边形A2D1E1D2的面积为S2，四边形A3D2E2D3的面积为S3，…，若AB＝2，则S n等于________．(用含有正整数n的式子表示)第10题图11.正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…，按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y＝－x＋2和x＝1上，且A1在x轴上，则点C2022的横坐标是________．第11题图12.如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，0)，直线l：y＝33x＋33与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推，连接AB1，与A1B交于点C1，连接A1B2，与A2B1交于点C2，以此类推，则点C2022的纵坐标是________．第12题图类型二图形周期变化典例精讲例3如图，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9，…，△A3n－2A3n－1A3n(n为正整数)均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9，…，A3n均在y轴上，点O 是所有等边三角形的中心，则点A2016的坐标为________．例3题图【解题步骤】①确认周期：观察图形可知，三角形的顶点______个为一个循环；②确定A2016的位置：∵2016÷______＝______，∴点A2016在y轴上，且是第________个三角形的顶点；③求A2016的坐标：在△A1A2A3中，A1A2＝2，∴△A1A2A3的高为________．∵点O是△A1A2A3的中心，∴OA3＝________，同理得OA6＝________，OA9＝________，…，∴点A2016的坐标为________．辽宁近年中考真题精选1.如图①，边长为1的正三角形ABC放置在边长为2的正方形内部，顶点A在正方形的一个顶点上，边AB在正方形的一边上，将△ABC绕点B顺时针旋转，当点C落在正方形的边上时，完成第1次无滑动滚动(如图②)；再将△ABC绕点C顺时针旋转，当点A落在正方形的边上时，完成第2次无滑动滚动(如图③)；…；每次旋转的角度都不大于120°，依次这样操作下去，当完成第2016次无滑动滚动时，点A经过的路径总长为________．第1题图针对训练1.如图，在平面直角坐标系xOy中，第一象限内有一条折线，构成这条线段的端点的坐标是这样的：A1(1，1)、A2(1，2)、A3(2，2)、A4(2，3)、A5(3，3)、A6(3，4)、A7(4，4)，…，依此规律，点A71的坐标为________．第1题图2.如图，多边形A1A2A3A4A5A6、多边形A7A8A9A10A11A12、…、多边形A6n－5A6n－4A6n－3A6n－2A6n A6n(n为正整数)均为正六边形，它们的边长依次是2、4、…、2n，顶点A6、A12、…、A6n －1均在x轴上，点O是所有正六边形的中心，则A2021的坐标是________．第2题图3.如图，四边形OA1B1C1是边长为1的正方形，点A1、C1分别在x轴、y轴的负半轴上，连接OB1，以OB1的长为边长向右侧作正方形OA2B2C2，点A2在y轴的负半轴上，点C2在x轴的正半轴上，连接OB2，以OB2的长为边长向上方作正方形OA3B3C3，点A3、C3分别在x轴、y轴的正半轴上，…，按照这个规律进行下去，点B2021的坐标为________．第3题图4.如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，同心圆与直线y＝x和y＝－x分别交于A1，A2，A3，A4，…，则点A30的坐标是________．第4题图5.如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1＝A1A2＝1，以OA2为直角边作第二个等腰Rt△OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰Rt△OA3A4，…，依此规律，得到等腰Rt△OA2021A2022，则点A2022的坐标为________．第5题图6.如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等边三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1(3，0)，A3(1，0)，A5(4，0)，A7(0，0)，A9(5，0)，依据图形所反映的规律，则A100的坐标为________．第6题图7.如图，边长为4的等边△ABC，AC边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，以OB为边作等边△OBA1，边OA1与AB交于点O1，以O1B为边作等边△O1BA2，边O1A2与A1B交于点O2，以O2B为边作等边△O2BA3，边O2A3与A2B交于点O3，…，依此规律继续作等边△O n BA n，则A2020的横坐标为________．－1第7题图参考答案类型一图形递推变化典例精讲例17×22n－19【解题步骤】①2，4，4，12，13，23，23，43，23，83，12，13，13×12×43×4＝89，12×2×23＝23，23＋89＝149；②8，13，13×12×83×8＝329，12×4×43＝83，83＋329＝569，2249；③7×22n －19.例23n －12n －2【解题步骤】①13t ＋43，13t ＋43，2；②13m ＋43，13m ＋43，5，3，92，274；③3n －12n －2.辽宁近年中考真题精选1.2n ＋12n 【解析】设AB ＝CD ＝a ，AD ＝CB ＝EA ＝b ，则DE ＝2b ，DF 1＝CF 1＝12a ，CF 2＝14a ，CF 3＝18a ，∴S △EF 1B ＝S 四边形BCDE －S △DEF 1－S △CBF 1＝12(2b ＋b )a －12×2b ×12a －12×12ab ＝34ab ＝34×2＝32；S △EF 2B ＝S 四边形BCDE －S △DEF 2－S △CBF 2＝12(2b ＋b )a －12×2b ×34a －12×14ab ＝58ab ＝58×2＝54；S △EF 3B ＝S 四边形BCDE －S △DEF 3－S △CBF 3＝12(2b ＋b )a －12×2b ×78－12×18ab ＝916ab ＝916×2＝98；…；由面积变化规律可知S △EF n B ＝2n ＋12n .基本模型：2.34n 【解析】∵A 1O ＝A 1C 1＝2，∠A 1OC 1＝30°，A 1C 2⊥OC 1，∴A 1C 2＝12A 1O ＝1，C 1C 2＝C 2O ＝3，又∵A 2C 3⊥OC 1，∴A 2C 3∥A 1C 2，∴A 2C 3是△A 1C 2O 的中位线，∴A 2C 3＝12A 1C 2＝12，S △A 2C 2C 1＝12C 1C 2·A 2C 3＝34；以此类推，S △A 3C 3C 2＝342；S △A 4C 4C 3＝343；…；∴S △A n ＋1C n ＋1C n ＝34n.基本模型：3.2n －12n －1【解析】∵△A 1C 1C 2是等边三角形，∴∠A 1C 2C 1＝60°，∵C 1D 1⊥A 1C 2，∴D 1C 2＝12C 1C 2，∠D 1C 1C 2＝30°，∵C 1D 1＝D 1C 3，∴∠D 1C 3C 2＝∠D 1C 1C 2＝30°，∴∠C 2D 1C 3＝∠C 2C 3D 1＝30°，∴C 2C 3＝C 2D 1＝12C 1C 2，∴C △A 2C 2C 3＝12C △A 1C 1C 2＝12，同理C △A 3C 3C 4＝12C △A 2C 2C 3＝122，∴△A n C n C n ＋1的周长为12n －1，∴这些三角形的周长和为1＋12＋122＋…＋12n －1＝2n －12n －1.基本模型：4.7×3n －12n 【解析】如解图，过点B 1作B 1M ⊥x 轴于点M ，过点C 1作C 1N ⊥x 轴于点N ，∵点B 1的坐标为(2，1)，∴点M 的坐标为(2，0)，即B 1M ＝1，OM ＝2，由△A 1MB 1∽△B 1MO可得A 1M ＝12，又∵△C 1NA 1≌△A 1MB 1，∴A 1N ＝1，C 1N ＝12，∴点C 1的横坐标为72；同理可得，点C 2的横坐标为72×32；点C 3的横坐标为72×(32)2；…；∴点C n 的横坐标为7×3n －12n .第4题解图基本模型：5.(π3－32)×(32)2n －2【解析】∵直线l 1∶y ＝33x ，∴∠A 1Ox ＝30°，∵直线l 2∶y ＝3x ，∴∠B 1Ox ＝60°，∴∠A 1OB 1＝30°.∵A 1B 1⊥l 1，∴∠OB 1A 1＝60°，∵四边形A 1B 1B 2C 1是菱形，∴A 1C 1∥B 1B 2，∴∠B 1A 1C 1＝∠A 1B 1O ＝60°，∵A 1B 1＝A 1C 1，∴△A 1B 1C 1是等边三角形，∴S 1＝2(S 扇形A 1B 1C 1－S △A 1B 1C 1).∵点A 1的横坐标为32，∴点A 1的纵坐标为32，OA 1＝3.如解图，过点A 1作A 1D ⊥x 轴于点D ，则△A 1OB 1∽△DOA 1，∴A 1B 1DA 1＝A 1O DO ，即A 1B 132＝332，∴A 1B 1＝1，∴S 1＝2×(π6－34)＝π3－32.在△A 2A 1C 1中，A 1C 1＝A 1B 1＝1，∠C 1A 1A 2＝30°，∴A 2C 1＝12A 1C 1＝12，∴A 2B 2＝A 2C 1＋B 2C 1＝32，∴S 2＝2[(π6×(32)2－12×32×(32)2]＝(π3－32)×(32)2，同理S 3＝(π3－32)×(32)4，S 4＝(π3－32)×(32)6，∴S n ＝(π3－32)×(32)2(n －1)＝(π3－32)×(32)2n －2.第5题解图基本模型：针对训练1.3·2n 【解析】∵A ，A 1，A 2…A n 都在平行于x 轴的直线上，点的纵坐标都相等，∴A n 的纵坐标是3，这些点的横坐标有一定的规律A n ＝2n ；B ，B 1，B 2，…，B n 都在x 轴上，B n 的纵坐标是0，这些点的横坐标也有一定的规律B n ＝2n ＋1，点A n 的坐标是(2n ，3)，B n 的坐标是(2n ＋1，0)，∴△OA n B n 的面积＝12×3×OB n ＝3·2n .2.22020·7【解析】由题意得D 1D 2＝22＋（3）2＝7＝20·7，D 2D 3＝42＋（23）2＝27＝21·7，D 3D 4＝82＋（43）2＝47＝22·7，…，∴D n D n ＋1＝2n －1·7.∴D 2021D 2022＝22020·7.3.122n ＋3【解析】把x ＝0代入y ＝－x ＋1得，y ＝1，∴OB ＝1，把y ＝0代入y ＝－x ＋1得，x ＝1，∴OA ＝1，∴OA ＝OB ，∵点O 1、A 1分别是BO 、BA 的中点，∴OO 1＝12OB ＝12，O 1A 1是△OAB 的中位线，∴O 1A 1∥OA ，O 1A 1＝12OA ＝12，如解图，连接OA 1，O 1A 2，∵O 1A 1∥OA ，∴S △AO 1A 1＝S △OO 1A 1＝12×12×12＝123，同理，O 2A 2＝12O 1A 1＝14，O 2O 1＝12BO 114，S △A 1O 2A 2＝S △O 1O 2A 2＝12×14×14＝125，…，∴S △A n A n ＋1O n ＋1＝122n ＋3.第3题解图4.2n －1【解析】设△AA 1A 2、△A 1A 2A 3、△A 2A 3A 4的面积分别为S 1、S 2、S 3，∵四边形OAA 1B 1是正方形，∴OA ＝AA 1＝A 1B 1＝1，∴S 1＝12，∵∠OAA 1＝90°，∴OA 21＝12＋12＝2，∴OA 2＝A 2A 3＝2，∴S 2＝1，同理可求：S 3＝2，S 4＝4，…，∴S n ＝2n －2，∴△A n A n ＋1A n ＋2的面积S n ＋1＝2n －1.5.n2n ＋2【解析】如解图，连接B 1B 2，B 2B 3，B 3B 4，∵n 个腰长为1的等腰三角形有一条腰在同一直线上，∴B 1B 2＝B 2B 3＝B 3B 4＝1，∴△A 1B 1B 2的面积＝12，∵B 1B 2∥AA 4，∴B 1B 2AA 1＝1，B 2B 3AA 2＝12，B 3B 4AA 3＝13，∴S 1＝12×11＋1＝14，∵S 2＝12×21＋2＝13，S 3＝12×33＋1＝38，∴S n ＝12×n n ＋1＝n 2n ＋2.第5题解图6.3n【解析】如解图，分别连接OB 1，OB 2，…，OB n ，∵点A 1(1，0)，A 2(2，0)，…，A n (n ，0)，∴OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝…，∵B 1，B 2，…，B n 在反比例函数y ＝6x(x ＞0)的图象上，∴S △A n OB n ＝12×6＝3，∴S 1＝S △A 1OB 1＝3，S 2＝12S △A 2OB 2＝32，S 3＝13S △A 3OB 3＝33，…，S n ＝1n S △A n OB n ＝3n .第6题解图7.24041【解析】由12x ＋12＝－12x ＋12得x ＝0，则A (0，12)，令y ＝0，由y ＝－12x ＋12＝0得x ＝1，则B 1(1，0)，C 1(1，1)，∴B 1C 1＝1，如解图，连接AD 1，D 1D 2，D 2D 3，由菱形的对称性可得AD 1＝2，∴S 菱形AB 1D 1C 1＝12AD 1·B 1C 1＝12×2×1＝1，∴S 1＝12S 菱形AB 1D 1C 1＝12，把x ＝2分别代入y ＝12x ＋12与y ＝－12x ＋12得y ＝32和y ＝－12，∴B 2(2，－12)，C 2(2，32)，∴B 2C 2＝2，由菱形的对称性得AD 2＝4，∴S 2＝12S 菱形AB 2D 2C 2＝12×12×4×2＝2，把x ＝4分别代入y ＝12x ＋12与y ＝－12x ＋12得y ＝52和y ＝－32，∴B 3(4，－32)，C 3(4，52)，∴B 3C 3＝4，由菱形的对称性得AD 3＝8，∴S 3＝12S 菱形AB 3D 3C 3＝12×12×8×4＝8，同理可得S 4＝32，S 5＝128，…，由上可知S n ＝22n －3，∴S 2022＝24041.第7题解图8.3n22n －1【解析】∵∠A ＝30°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝75°，∵BC 1⊥AC ，∴∠CBA 1＝15°，同理可得∠BCB 1＝15°，∴∠CA 1C 1＝30°，A 1B ＝A 1C ，∴CC 1＝12A 1C ，∵△A 1BC 的面积为1，∴12A 1B ·CC 1＝1，即12A 1C ·12A 1C ＝1，∴A 1C ＝2，∴A 1C 1＝32A 1C ＝3，∵A 1C 1⊥AC ，B 1A 2⊥AC ，∴A 1C 1∥B 1A 2，同理，A 1B 1∥A 2C 1，∴四边形A 1B 1A 2C 1是平行四边形，∵∠B 1BC ＝∠C 1CB ，∠BB 1C ＝∠CC 1B ＝90°，BC ＝CB ，∴△BB 1C ≌△CC 1B (AAS)，∴BC 1＝CB 1，∵A 1B ＝A 1C ，∴A 1B 1＝A 1C 1，∴四边形A 1B 1A 2C 1是菱形，∴A 1C 1＝A 2C 1，∵CB 1∥C 1B 2，∴∠A 2C 1A 1＝∠CA 1C 1＝30°，如解图，过点A 1作A 1M ⊥A 2C 1于M ，∴A 1M ＝12A 1C 1＝123，∴菱形A 1B 1A 2C 1的面积＝A 2C 1·A 1M ＝32＝3122×1－1；同理可得，菱形A 2B 2A 3C 2的面积＝98＝3222×2－1；菱形A 3B 3A 4C 3的面积＝2732＝3322×3－1；…；由上可知四边形A n B n A n ＋1C n 的面积＝3n 22n －1.第8题解图9.2(3)n 【解析】∵OA 1＝OB 1＝1，∠A 1B 2O ＝∠B 1A 2O ＝30°，∴OA 2＝1tan ∠OA 2B 1＝1tan30°＝3，∴A 1A 2＝OA 2－OA 1＝3－1，∵∠A 1B 2O ＝∠B 1A 2O ＝30°，∴∠B 2A 1O ＝60°，∵∠B 2A 1O ＝∠B 1A 2O ＋∠A 1C 1A 2，∴∠A 1C 1A 2＝30°，∴∠B 1A 2O ＝∠A 1C 1A 2＝30°，∴A 1A 2＝A 1C 1＝3－1，同理OB 2＝3，B 1B 2＝B 1C 1＝3－1，∴四边形A 1C 1B 1O 的周长为1＋1＋3－1＋3－1＝23，∵A 1B 2∥A 2B 3，A 2B 1∥A 3B 2，∴∠OA 1B 2＝∠OA 2B 3，∠OB 1A 2＝∠OB 2A 3，∴四边形OA 1C 1B 1∽四边形OA 2C 2B 2，且相似比为OA 2OA 1＝3，同理四边形OA 2C 2B 2∽四边形OA 3C 3B 3，且相似比为3；以此类推，四边形OA n －1C n －1B n －1∽四边形OA n C n B n ，且相似比为3；∴四边形OA 1C 1B 1∽四边形OA n C n B n ，且相似比为(3)n －1，∴四边形OA 1C 1B 1的周长四边形OA n C n B n 的周长＝1（3）n －1，∴四边形A n C n B n O 的周长为23×(3)n －1＝2(3)n .10.19×4n ＋2【解析】设△ADC 的面积为S ，由题意得，AC ∥B 1B 2，AC ＝AB ＝2，B 1B 2＝4，∴△ACD ∽△B 2B 1D ，∴S △ADC S △B 1B 2D ＝(AC B 1B 2)2＝14，∴S △B 1B 2D ＝4S ，∵CD DB 1＝AC B 1B 2＝12，CB 1＝2，∴DB 1＝43，同理D 1B 2＝83，设△B 1DE 的边B 1D 上的高为h 1，△B 2D 1E 的边B 2D 1上的高为h 2，∵B 1D ∥B 2D 1，∴△B 1DE ∽△D 1B 2E ，∴h 1h 2＝B 1D B 2D 1＝4383＝12，又∵h 1＋h 2＝4，∴h 1＝43，S 1＝12(B 1B 2)2－12B 1D ·h 1＝19×43，同理可得S 2＝19×44，…，S n ＝19×4n ＋2.11.22021＋1【解析】如解图，令y ＝0，则y ＝－x ＋2＝0，得x ＝2，∴点A 1的坐标为(2，0)．令x ＝0，则y ＝－x ＋2＝2，∴M (0，2)，∴OM ＝OA 1＝2，∴∠MA 1O ＝45°，∴∠A 1PN ＝45°，∵四边形A 1B 1C 1A 2为正方形，∴∠MA 1B 1＝90°，∴∠NA 1B 1＝45°，∴∠A 1B 1N ＝45°，∴A 1N ＝B 1N ＝2－1＝1，∴A 1P ＝A 1B 1＝A 1A 2＝A 2C 1＝B 1C 1＝2，B 1(1，－1)，如解图，连接A 2B 1，A 1C 1，则∠A 1B 1A 2＝∠C 1A 1B 1＝45°，∴∠A 2B 1N ＝∠C 1A 1N ＝90°，∴点C 1的横坐标与A 1的横坐标相等为2，A 2与B 1的纵坐标相等为－1，当y ＝－1时，y ＝－x ＋2＝－1，得x ＝3，∴点A 2的坐标为(3，－1)．∵四边形A 2B 2C 2A 3为正方形，∴∠PA 2B 2＝90°，∵∠A 1PN ＝45°，∵A 2B 2＝A 2P ＝22，∴PB 2＝2A 2B 2＝4，∴B 2(1，－3)，如解图，连接A 3B 2，A 2C 2，则A 3B 2∥x 轴，A 2C 2∥y 轴，∴点C 2的横坐标与A 2的横坐标相等为3，A 3与B 2的纵坐标相等为－3，当y ＝－3时，y ＝－x ＋2＝－3，得x ＝5，∴点A 3的坐标为(5，－3)．∴点C 3的横坐标为5.同理可得，C 4的横坐标为9，C 5的横坐标为17，…，由上可得规律，C n 的横坐标为2n －1＋1(n ≥2)，∴点C 2022的纵坐标为22021＋1.第11题解图12.22023－363【解析】∵直线l ：y ＝33x ＋33与x 轴交于点B ，∴B (－1，0)，∴OB ＝1，∵A (－2，0)，∴OA ＝2，∴AB ＝1，∵△ABA 1是等边三角形，∴A 1(－32，32)，把y ＝32代入y ＝33x ＋33，求得x ＝12，∴B 1(12，32，∴A 1B 1＝2，设C 1到x 轴的距离为h 1，C 1到A 1B 1的距离为h 1′，∴h 1＋h 1′＝yA 1＝123，∵A 1B 1//AB ，∴△A 1B 1C 1∽△BAC 1，∴h 1h 1′＝BA A 1B 1＝12，∴h 1＝13(h 1＋h 1′)＝13×123＝163，∴C 1的纵坐标为163；∵A 1B 1＝2，∴A 2(－12，332，将y ＝332代入y ＝33x ＋33中，得33x ＋33＝332，求得x ＝72，∴B 2(72，332)，∴A 2B 2＝4，设C 2到A 1B 1的距离为h 2，C 2到A 2B 2的距离为h 2′，∴h 2＋h 2′＝12A 1B 1·3＝3，∵A 1B 1//A 2B 2，∴△A 1B 1C 2∽△B 2A 2C 2，∴h 2h 2′＝A 1B 1A 2B 2＝12，∴h 2＝13(h 2＋h 2′)＝13×3＝133，∴C 2的纵坐标为yA 1＋h 2＝123＋133＝563；同理可得，C 3的纵坐标为1363；C 4的纵坐标为2963；…，∴C n 的纵坐标为2n ＋1－36 3.∴点C 2022的纵坐标是22023－363.第12题解图类型二图形周期变化典例精讲例3(0，4483)【解题步骤】①3；②3，672,672；③3，233，433，23，(0，4483)辽宁近年中考真题精选1.560π【解析】第一次操作：A 点运动路径长为l 1＝120×π×1180＝23π，第二次操作：A 点运动路径长为l 2＝30×π×1180＝16π，第三次操作：A 点运动路径长为l 3＝0，第四次操作：A 点运动路径长为l 4＝30×π×1180＝16π，第五次操作：A 点运动路径长为l 5＝120×π×1180＝23π，第六次操作：A 点运动路径长为l 6＝0，第七次操作：A 点运动路径长为l 7＝120180×π×1＝23π，…，以此类推，不难发现每三次操作，A 点的运动路径总长相同，即为l ＝23π＋16π＋0＝56π，又∵2016÷3＝672刚好整除，∴A 点的运动总路径长为l 总＝672×56π＝560π.针对训练1.(36，36)【解析】观察这些端点的坐标，有以下规律：当n 为奇数时，第n 个点的坐标为(n ＋12，n ＋12)；当n 为偶数时，第n 个点的坐标为(12n ，12n ＋1)．由此可知，点A 71的坐标为(36，36)．2.(337，－3373)【解析】观察图形可知，六边形的顶点是6个为一个循环，∵2021÷6＝336……5，∴点A 2021是第337个正六边形的顶点，且在第四象限，如解图连接OA 5，A 5，A 11，并延长至A 2021，∵点O 是所有正六边形的中心，易得△OA 5A 6、△OA 11A 12…，都是等边三角形，∴OA 5＝2、OA 11＝4、…，OA 2021＝337×2＝674，作A 2021P ⊥x 轴于点P ，∵∠A 2021OP ＝60°，∴A 2021P ＝OA 2021·sin60°＝3373，OP ＝OA 2021·cos60°＝337，∴点A 2021的坐标是(337，－3373)．第2题解图3.(－21010，－21010)【解析】由题意得，点B 1，B 2，B 3，B 4分别在第三象限，第四象限，第一象限，第二象限的角平分线上，且点B 5与点B 1在一条直线上，∴周期为4.∵2021÷4＝505……1，∴点B 2021在第三象限的角平分线上．∵四边形OA 1B 1C 1是边长为1的正方形，∴OA 1＝1，∴OB 1＝2.∵正方形OA 2B 2C 2的边长等于OB 1，∴OA 2＝2，∴OB 2＝2OA 2＝2＝(2)2.∵正方形OA 3B 3C 3的边长等于OB 2，∴OA 3＝2，∴OB 3＝2OA 3＝22＝(2)3.同理可得，OB 2021＝(2)2021，∴点B 2021的横坐标为－(2)2021×cos45°＝－（2）20222＝－210112＝－21010，纵坐标为－(2)2021×sin45°＝－（2）20222＝－210112＝－21010，∴点B 2021的坐标为(－21010，－21010)．4.(－42，42)【解析】观察题图可知，每4个点在一个图上，∴周期为4，∵30÷4＝7……2，∴A 30在直线y ＝－x 上，且在第二象限第8个圆上，即射线OA 30与x 轴的夹角是45°，∵在直角坐标系中，以原点O 为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4，…，∴OA 30＝8，如解图，OA ＝8，∠AOB ＝45°，∵sin45°＝AB 8，cos45°＝OB 8，∴AB ＝42，OB ＝42，∵A 30在第二象限，∴A 30的横坐标是－42，纵坐标是42，即A 30的坐标是(－42，42)．第4题解图5.(－21010，－21010)【解析】∵等腰Rt △OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1＝A 1A 2＝1＝(2)°，以OA 2为直角边作第二个等腰Rt △OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰Rt △OA 3A 4，…，∴OA 1＝1＝(2)°，OA 2＝2，OA 3＝(2)2，…，OA 2022＝(2)2021，∵A 1、A 2、A 3、…，每8个一循环，再回到y 轴的正半轴，2022÷8＝252……6，∴点A 2022在第三象限对角线上，∵OA 2022＝(2)2021，∴点A 2022的坐标为(－21010，－21010)．6.(52，－5132)【解析】观察，发现规律：A 2(2，3)，A 4(52，－332)，A 6(2，23)，A 8(52，－532)，…，∴A 4n ＋2(2，3n ＋3)，A 4n ＋4(52，－（2n ＋3）32)(n 为自然数)，∵100＝4×24＋4，∴A 100的坐标为(52，－5132)．7.－3101022019【解析】∵边长为4的等边△ABC ，AC 边在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴上，OB ⊥AC ，∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°，∠ABO ＝12∠ABC ＝30°，∴AO ＝12AB ＝2，OB ＝3AO ＝23；∵以OB 为边作等边△OBA 1，边OA 1与AB 交于点O 1，以O 1B 为边作等边△O 1BA 2，边O 1A 2与A 1B 交于点O 2，∴∠BA 1O ＝∠A 1OB ＝∠A 2O 1B ＝60°，∠A 1BO 1＝∠OBO 1＝12∠A 1BO＝30°，∴∠AOO 1＝∠A 1O 1O 2＝90°－60°＝30°，在△OO 1A 与△O 1O 2A 1OAO 1＝∠A 1AOO 1＝∠A 1O 1O 2，∴△OO 1A ∽△O 1O 2A 1，同理，可得△OO 1A ∽△O 1O 2A 1∽△O 2O 3A 2∽…∽△O n －1O n A n －1，相似比O 1A 1OA ＝O 1O 2OO 1＝sin60°＝32，∴O 1A 1＝32OA ，同理O 2A 2＝32O 1A 1＝(32)2OA ，…，O n A n ＝(32)n OA ∵∠OBA ＝∠O 1BA 1＝∠O 2BA 2＝∠O 3BA 3＝…＝∠O n －2BA n －2＝∠O n －1BA n －1＝30°，360°÷30°＝12，∴这些点所在的位置以12个为一个周期依次循环，∵2020÷12＝168……4，∴O 2020A 2020为4÷2×(32)2020＝3101022019.∴△O 2019BA 2020的边长为2O 2020A 2020＝2×(3101022019)＝3101022018，∵点A 2020与点A 4位置类似，∴点A 2020的横坐标为－3101022019·sin30°＝－3101022019.。
中考数学必考题型《规律探索》分类专项练习含答案
中考数学必考题型《规律探索》分类专项练习类型一 数式规律1. 我国战国时期提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为12尺，第二天再折断一半，其长为14尺，…，第n 天折断一半后得到的木棍长应为________尺． 12n2. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是________．第2题图41【解析】由图形可知，第n 行最后一个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，∴第8行最后一个数为8×92＝36＝6，则第9行从左至右第5个数是36＋5＝41.3. 观察下列关于自然数的式子：第一个式子：4×12－12 ① 第二个式子：4×22－32 ② 第三个式子：4×32－52 ③ …根据上述规律，则第2019个式子的值是______．8075 【解析】∵4×12－12＝3①，4×22－32＝7②，4×32－52＝11③，…，4n 2－(2n －1)2＝4n －1，∴第2019个式子的值是4×2019－1＝8075. 4. 将数1个1，2个12，3个13，…，n 个1n (n 为正整数)顺次排成一列：1，12，12，13，13，13，…，1n ，1n ，…，记a 1＝1，a 2＝12，a 3＝12，…，S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2，S 3＝a 1＋a 2＋a 3，…，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2019＝________．63364 【解析】根据题意，将该数列分组，1个1的和为1，2个12的和为1，3个13的和为1，…；∵1＋2＋3＋…＋63＝2016个数，则第2019个数为64个164的第3个数，则此数列中，S 2019＝1×63＋3×164＝63364. 类型二 图形规律5. 如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3，…，已知A (1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B (2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．观察每次变换前后的三角形的变化，按照变换规律，则点A n 的坐标是________．第5题图(2n，3)【解析】∵A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，…，∴纵坐标不变，为3，横坐标都和2有关，为2n，即点An的坐标是(2n，3)．6. 如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，点P的坐标为________．第6题图(6058，1)【解析】∵铁片OABC为正方形，A(3，0)，P(1，2)，∴正方形铁片OABC 的边长为3，如解图第一个循环周期内的点P1，P2，P3，P4的坐标分别为(5，2)，(8，1)，(10，1)，(13，2)，每增加一个循环，对应的点的横坐标就增加12.而2019÷4＝504……3，即504个循环周期后点P2016的横坐标为504×12＋1＝6049，纵坐标为2，所以点P2019的横坐标为6049＋9＝6058，纵坐标为1.故P2019(6058，1)．第6题解图7. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…，组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2019秒时，点P 的坐标是________．第7题图(2019，－1) 【解析】∵圆的半径都为1，∴半圆的周长＝π，以时间为点P 的下标．观察发现规律：P 0(0，0)，P 1(1，1)，P 2(2，0)，P 3(3，－1)，P 4(4，0)，P 5(5，1)，…，∴P 4n (4n ，0)，P 4n ＋1(4n ＋1，1)，P 4n ＋2(4n ＋2，0)，P 4n ＋3(4n ＋3，－1)．∵2019÷4＝504……3，∴第2019秒时，点P 的坐标为(2019，－1)．8. 如图，已知菱形OABC 的顶点O (0，0)，B (2，2)，若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为________．第8题图(－1，－1) 【解析】∵菱形OABC 的顶点O (0，0)，B (2，2)，∴BO 与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1)，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O 逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D 的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．9. 如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点B n到ON的距离是________．第9题图3n－13【解析】由题可知，∠MON＝60°，设B n到ON的距离为h n，∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，∴A1B1＝1，易知△A1OF1为等边三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，则h1＝2×32＝3，又∵OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，则h2＝6×32＝33，同理可得：OB3＝18，则h3＝18×32＝93，…，依此可得OB n＝2×3n－1，则h n＝2×3n －1×32＝3n －1 3.∴B n 到ON 的距离h n ＝ 3n －1 3.10. 如图，正方形AOBO 2的顶点A 的坐标为A (0，2)，O 1为正方形AOBO 2的中心；以正方形AOBO 2的对角线AB 为边，在AB 的右侧作正方形ABO 3A 1，O 2为正方形ABO 3A 1的中心；再以正方形ABO 3A 1的对角线A 1B 为边，在A 1B 的右侧作正方形A 1BB 1O 4，O 3为正方形A 1BB 1O 4的中心；再以正方形A 1BB 1O 4的对角线A 1B 1为边，在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1O 5A 2，O 4为正方形A 1B 1O 5A 2的中心；…；按照此规律继续下去，则点O 2018的坐标为________．第10题图(21010－2，21009) 【解析】由A (0，2)和A 1(2，4)可知直线AA 1的解析式为y ＝x ＋2，由图可知点A 1，A 2，…，A n 的纵坐标分别为22，23，…，2n ＋1，将y ＝2n ＋1代入y ＝x ＋2，得2n ＋1＝x ＋2，∴x ＝2n ＋1－2，∴点A n 的坐标为(2n ＋1－2，2n ＋1)，由图可知O 2n 横坐标与A n 的横坐标相同，O 2n 纵坐标是A n 的纵坐标的12，∴O 2n 的坐标为(2n ＋1－2，2n)，∴当n ＝1009时，O 2018的坐标为(21010－2，21009)． 真题反馈：1. 观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．2. 如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为( )A．671 B．672 C．673 D．6743. 观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是( )A．43 B．45 C．51 D．534. 请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+x n)的结果是( ).A. 1-x n+1B. 1+x n+1C. 1-x nD. 1+x n5. 如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2019次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为().A. (-2012,2)B. (-2012,-2)C. (-2013,-2)D. (-2013,2)6. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．7. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．8. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B6的坐标是．9. 如图,将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列,那么第2015个图形是.10. 如图,弹性小球从点P(0,3)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到矩形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2次碰到矩形的边时的点为P2,…,第n 次碰到矩形的边时的点为P n,则点P3的坐标是;点P2 019的坐标是.11.观察下列关于自然数的等式：32-4×12=5 ①52-4×22=9 ②72-4×32=13 ③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．12.(1)证明三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;[要求根据图(1)写出已知、求证、证明;在证明过程中,至少有两处写出推理依据(“已知”除外)(2)如图(2),在▱ABCD中,对角线焦点为O,A1,B1,C1,D1分别是OA,OB,OC,OD的中点,A2,B2,C2,D2分别是OA1,OB1,OC1,OD1的中点,…,以此类推.若▱ABCD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和l;(3)借助图形(3)反映的规律,猜猜l可能是多少?(1)(2) (3)。
2024中考数学复习专题 规律探索题 (含答案)
2024中考数学复习专题规律探索题类型一数式规律1. (2023鄂州)生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n 来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，请你推算22023的个位数字是()A. 8B. 6C. 4D. 22. (2023泰安)将从1开始的连续自然数按以下规律排列：…若有序数对(n，m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3，2)表示6，则表示99的有序数对是________．3. (2022怀化)观察等式：2＋22＝23－2，2＋22＋23＝24－2，2＋22＋23＋24＝25－2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是________．4. (2023张家界)有一组数据：a1＝31×2×3，a2＝52×3×4，a3＝73×4×5，…，a n＝2n＋1n（n＋1）（n＋2）.记S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n，则S12＝________．5. (2023达州)人们把5－12≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a＝5－12，b＝5＋12，记S1＝11＋a＋11＋b，S2＝21＋a2＋2 1＋b2，…，S100＝1001＋a100＋1001＋b100，则S1＋S2＋…＋S100＝________．6. (2023安徽)观察以下等式：第1个等式：(2×1＋1)2＝(2×2＋1)2－(2×2)2，第2个等式：(2×2＋1)2＝(3×4＋1)2－(3×4)2，第3个等式：(2×3＋1)2＝(4×6＋1)2－(4×6)2，第4个等式：(2×4＋1)2＝(5×8＋1)2－(5×8)2，…按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：____________________；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明．类型二图形规律考向1累加型7. (2023重庆B卷)把菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第①个图案中有3个菱形，第①个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第①个图案中菱形的个数为()第7题图A. 15B. 13C. 11D. 98. (2023济宁)如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点…按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是()第8题图A. 297B. 301C. 303D. 4009. (2023青海省卷)木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料________根．第9题图源自人教七上P70第10题10. (2022常德)如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为________．(用含n的代数式表示)第10题图11. (2023遂宁)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为________．第11题图12. (2023德阳)古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：第12题图其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1＋2＝3，第三个三角形数是1＋2＋3＝6，…图①的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1＋3＝4，第三个正方形数是1＋3＋5＝9，……由此类推，图①中第五个正六边形数是________．考向2成倍递变型13. (2023威海)由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，①AOB ＝①BOC ＝①COD ＝…＝①LOM ＝30°.若S ①AOB ＝1，则图中与①AOB 位似的三角形的面积为( )第13题图A. (43 )3B. (43 )7C. (43 )6D. (34)6 14. (2023荆州)如图，已知矩形ABCD 的边长分别为a ，b ，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；第二次，顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边的中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2；…如此反复操作下去，则第n 次操作后，得到四边形A n B n C n D n 的面积是( )A. ab 2nB. ab 2n －1C. ab 2n ＋1 D. ab22n第14题图15. (2023烟台)如图，正方形ABCD 边长为1，以AC 为边作第2个正方形ACEF ，再以CF 为边作第3个正方形FCGH ，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为( ) A. (22 )5 B. (22 )6 C. (2 )5 D. (2 )6第15题图16. (2023广安)如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA 1的圆心为A ，半径为AD ；弧A 1B 1的圆心为B ，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1….弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2023D2023的长是________(结果保留π).第16题图17. (2023绥化)如图，①AOB＝60°，点P1在射线OA上，且OP1＝1，过点P1作P1K1①OA 交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；过点P2作P2K2①OA交射线OB 于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2；…；按照此规律，线段P2023K2023的长为________.第17题图考向3周期变化型18. (2023玉林)如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF 的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2023秒钟后，两枚跳棋之间的距离是()A. 4B. 23C. 2D. 0第18题图19. (2023河南)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O 重合，AB①x轴，交y轴于点P.将①OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为()A. (3，－1)B. (－1，－3)C. (－3，－1)D. (1，3)第19题图20. (2023毕节)如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1(1，1)；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2(－1，3)；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3(－4，0)；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4(0，－4)；…；按此做法进行下去，则点A10的坐标为________．第20题图类型三与函数图象结合21. (2023龙东地区)如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4…在x轴上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此规律，过点A1，A2，A3，A4…作x轴的垂线分别与直线y＝3x交于点B1，B2，B3，B4…记①OA1B1，①OA2B2，①OA3B3，①OA4B4…的面积分别为S1，S2，S3，S4…则S2023＝________．第21题图22. (2022菏泽)如图，一次函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x(x ＞0)的图象交于点A ，过点A 作AB ①OA ，交x 轴于点B ；作BA 1①OA ，交反比例函数图象于点A 1；过点A 1作A 1B 1①A 1B 交x 轴于点B 1；再作B 1A 2①BA 1，交反比例函数图象于点A 2，依次进行下去…，则点A 2022的横坐标为________．第22题图23. (2023盐城)《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线l 1：y ＝12x ＋1与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交直线l 2：y ＝x 于点O 1，过点O 1作y 轴的平行线交直线l 1于点A 1，以此类推，令OA ＝a 1，O 1A 1＝a 2，…，O n －1A n －1＝a n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ≤S 对任意大于1的整数n 恒成立，则S 的最小值为________．第23题图类型四 与实际问题结合24. (2022安徽)某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图①表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．【观察思考】当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块(如图①)；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块(如图①)；以此类推．第24题图【规律总结】(1)若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加________块；(2)若一条这样的人行道一共有n(n为正整数)块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为______(用含n的代数式表示)；【问题解决】(3)现有2022块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？参考答案与解析1. C 【解析】21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，则2的1，2，3，4次方的个位上的数分别为2，4，8，6，每4个一次循环，而22022中2022÷4＝550……2，∴个位上的数为4.2. (10，18) 【解析】按照规律可得每一行的最后一个数为行数的平方，第n 行有(2n －1)个数．∵92＝81，102＝100，∴99是第10行，第18个数，∴表示99的有序数对是(10，18).3. m 2－m4.201182 【解析】∵a n ＝2n ＋1n （n ＋1）（n ＋2） ＝n ＋n ＋1n （n ＋1）（n ＋2） ＝n n （n ＋1）（n ＋2） ＋n ＋1n （n ＋1）（n ＋2） ＝1（n ＋1）（n ＋2） ＋1n （n ＋2） ＝1n ＋1 －1n ＋2 ＋12 (1n －1n ＋2)，∴S 12＝12 －13 ＋13 －14 ＋…＋113 －114 ＋12 ×(1－13 ＋12 －14 ＋…＋112 －114 )＝12 －114 ＋12 ×(1＋12 －113 －114 )＝12 ＋12 ＋14 －126 －114 －128 ＝201182. 5. 5050 【解析】∵a ＝5－12 ，b ＝5＋12 ，∴ab ＝1，∵S 1＝11＋a ＋11＋b ＝2＋a ＋b 1＋a ＋b ＋ab ＝2＋a ＋b 2＋a ＋b ＝1，S 2＝21＋a 2 ＋21＋b 2 ＝2（2＋a 2＋b 2）1＋a 2＋b 2＋a 2b 2 ＝2（2＋a 2＋b 2）2＋a 2＋b 2＝2，…，S 100＝1001＋a 100 ＋1001＋b 100 ＝100（2＋a 100＋b 100）1＋a 100＋b 100＋a 100b 100 ＝100（2＋a 100＋b 100）2＋a 100＋b 100＝100，∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝1＋2＋…＋100＝100×（100＋1）2＝5050. 6. 解：(1)(2×5＋1)2＝(6×10＋1)2－(6×10)2；(2)(2n ＋1)2＝[2n (n ＋1)＋1]2－[2n (n ＋1)]2.证明：等式左边＝4n 2＋4n ＋1，等式右边＝4n 2(n ＋1)2＋1＋4n (n ＋1)－4n 2(n ＋1)2＝4n (n ＋1)＋1＝4n 2＋4n ＋1，∴左边＝右边，∴等式成立．7. C 【解析】经分析可得，第个图案的菱形个数为2n －1，∴第⑥个图案中菱形个数为2×6－1＝11(个).8. B 【解析】第一幅图中圆点的个数是4＝1×3＋1；第二幅图中圆点的个数是7＝2×3＋1；第三幅图中圆点的个数是10＝3×3＋1；第四幅图中圆点的个数是13＝4×3＋1；…；按照此规律，第n 幅图中圆点的个数是3n ＋1，∴第一百幅图中圆点的个数是3×100＋1＝301.9. n （n ＋1）2【解析】∵第1个图中有木料1根，第2个图中有木料1＋2＝3根，第3个图中有木料1＋2＋3＝6根，第4个图中有木料1＋2＋3＋4＝10根，…，∴第n 个图中有木料1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2根． 10. 2n 2＋2n 【解析】观察图形可知：第一个图形由1个小正方形组成，所有线段的和为4×1＝2×2×1, 第二个图形由4个小正方形组成，所有线段的和为6×2＝2×3×2, 第三个图形由9个小正方形组成，所有线段的和为8×3＝2×4×3, 第4个图形由16个小正方形组成，所有线段的和为10×4＝2×5×4，…由此发现规律是：第n 个图形由n 2个小正方形组成，所有线段的和为2(n ＋1)·n ＝2n 2＋2n .11. 127 【解析】第一代勾股树中正方形个数＝20＋21；第二代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22；第三代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22＋23；第四代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22＋23＋24，…，∴第六代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22＋23＋24＋25＋26＝127.12. 45 【解析】由题图可知，题图④前三层点数分别是：1＝4×1－3，5＝4×2－3，9＝4×3－3，…，∴第n 层的点数是4n －3，∴第n 个正六边形数是1＋5＋9＋…＋4n －3＝4×1－3＋4×2－3＋4×3－3＋…＋4n －3＝2n 2－n ，∴题图④中第五个正六边形数是2×52－5＝45.13. C 【解析】在Rt △AOB 中，∠AOB ＝30°，∵cos ∠AOB ＝OA OB ，∴OB ＝23OA .同理可得OC ＝23 OB ，∴OC ＝(23 )2OA ，…，∴OG ＝(23)6OA ，由题图可知△GOH 与△AOB 位似且位似比为(23 )6.∵S △AOB ＝1，∴S △GOH ＝[(23 )6]2＝(43 )6. 14. A 【解析】第一次操作后S 四边形A 1B 1C 1D 1＝12 S 矩形ABCD ＝12ab ，第二次操作后S 四边形A 2B 2C 2D 2＝12 S 四边形A 1B 1C 1D 1＝12 ×12 ab ＝ab 22 ，第三次操作后S 四边形A 3B 3C 3D 3＝12S 四边形A 2B 2C 2D 2＝ab 23 ，…，第n 次操作后S 四边形A n B n C n D n ＝ab 2n . 15. C 【解析】∵正方形ABCD 边长为1，∴AB ＝BC ＝1，∴AC ＝2 ，∴以AC 为边作第2个正方形ACEF 的边长为2 ；∵CF 是正方形ACEF 的对角线，∴CF ＝2 ×2 ＝(2 )2＝2，∴以CF 为边作第3个正方形FCGH 的边长为2；又∵GF 是正方形FCGH 的对角线，∴GF ＝2 ×2 ×2 ＝(2 )3＝22 ，以GF 为边作第4个正方形FGMN 的边长为22 ，…∴依此规律可知下一个正方形的边长是原来正方形边长的2 倍，即第n 个正方形的边长为(2 )n －1，∴第6个正方形的边长为(2 )5.16. 2022π 【解析】由题图可知，题图中由一段90°的弧组成的，弧所在圆的半径每次增加12 ，则弧C 1D 1的半径＝12 ×4＝12 ×4×1，弧C 2D 2的半径＝12 ×8＝12×4×2，弧C 3D 3的半径＝12 ×12＝12 ×4×3…，弧C 2022D 2022的半径＝12×4×2022＝4044，∴弧C 2022D 2022的长＝90π180×4044＝2022π. 17. 3 (1＋3 )2022 【解析】∵∠AOB ＝60°，OP 1＝1，∴P 1K 1＝3 OP 1＝3 ，∴P 1P 2＝P 1K 1＝3 ，∴OP 2＝1＋3 .∵P 2K 2＝3 OP 2，∴P 2K 2＝3 (1＋3 )，∴OP 3＝(1＋3 )2，∴P 3K 3＝3 OP 3＝3 (1＋3 )2，…，∴依此规律可得P 2023K 2023＝3 (1＋3 )2022.18. B 【解析】根据两枚跳棋跳动规则可知，红跳棋每过6秒钟跳动回顶点A ，黑跳棋每过18秒钟跳动回顶点A ，∵2022÷6＝337，∴经过2022秒后，红跳棋在顶点A 处；∵2022÷18＝112……6，6÷3＝2，∴经过2022秒钟后，黑跳棋在顶点E 处．如解图，连接AE ，过点F 作FG ⊥AE 于点G ，∵六边形ABCDEF 是边长为2的正六边形，∴∠AFE ＝120°，FE ＝AF ，∴∠F AE ＝30°，∴AG ＝EG ＝AF ·cos 30°＝2×32 ＝3 ，∴AE ＝23 ，即两枚跳棋之间的距离是23 .第18题解图19. B 【解析】如解图，连接OB ，∵AB ∥x 轴，∴AB ⊥y 轴，∵六边形ABCDEF 是正六边形，点O 是中心，∴OB ＝OA ，∠AOB ＝60°，∴∠AOP ＝30°，AP ＝12AB ＝1，∴OP ＝3 ，∴点A (1，3 )，将△AOP 绕点O 顺时针每次旋转90°，则第1次结束点A 的坐标为(3 ，－1)，第2次结束点A 的坐标为(－1，－3 )，第3次结束点A 的坐标为(－3 ，1)，第4次结束点A 的坐标为(1，3 )，…，∴每4次一个循环，∵2022＝4×505＋2，∴第2022次旋转结束时，相当于第2次结束，∴点A 的坐标为(－1，－3 ).第19题解图20. (－1，11) 【解析】由图象可知，A 5(5，1)，将点A 5向左平移6个单位，再向上平移6个单位，可得A 6(－1，7)，将点A 6向左平移7个单位，再向下平移7个单位，可得A 7(－8，0)，将点A 7向右平移8个单位，再向下平移8个单位，可得A 8(0，－8)，将点A 8向右平移9个单位，再向上平移9个单位，可得A 9(9，1)，将点A 9向左平移10个单位，再向上平移10个单位，可得A 10(－1，11).21. 240433 【解析】∵S 1＝1×32 ＝ 20×32 ，S 2＝2×232 ＝ 22×32，… ，依此规律可得S n ＝ 22(n －1)×32 ，∴S 2023＝ 22×(2023－1)×32＝ 240433 . 22. 2021 ＋2022 【解析】∵点A 是函数y ＝x 与y ＝1x的图象在第一象限的交点，∴点A 的坐标为(1，1)，又∵AB 垂直于直线y ＝x ，∴点B 坐标为(2，0)，又∵BA 1∥OA ，∴BA 1的解析式为y ＝x －2，与y ＝1x 联立，解得x ＝1＋2 (负值已舍)，即点A 1的横坐标为1＋2 ；同理可得B 1的横坐标为22 ，∵B 1A 2∥BA 1，∴B 1A 2的解析式为y ＝x －22 ，与y ＝1x 联立，解得A 2的横坐标为2 ＋3 (负值已舍)；…；依此按规律可得A 2021的横坐标为2021 ＋2022 .23. 2 【解析】由题可得a 1＝OA ＝1，而y ＝x 与y 轴的正方向的夹角是45°，O 1A ⊥y 轴，∴O 1A ＝OA ＝1，∴ 点O 1的横坐标是1，对于y ＝12 x ＋1，当x ＝1时，y ＝32，∴a 2＝O 1A 1＝12 ，∴tan ∠A 1AO 1＝O 1A 1O 1A ＝12 ，依次得出A 1O 2＝A 1O 1＝12 ，a 3＝A 2O 2＝12 A 1O 2＝(12)2，…，可以得出A n －1O n －1＝(12 )n －1，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝1＋12 ＋…＋(12 )n －2＋(12)n －1①，①×2得2×(a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n )＝2＋1＋12 ＋…＋(12 )n －3＋(12)n －2②，②－①得a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝2－(12 )n －1，∴S ≥2－(12)n －1，∴S 的最小值是2. 24. 解：(1)2；【解法提示】观察题图②与题图③，每增加1块正方形地砖，则增加2块等腰直角三角形地砖．(2)2n ＋4；【解法提示】在题图②中，正方形地砖1块，等腰直角三角形地砖(4＋2)块；在题图③中，正方形地砖2块，等腰直角三角形地砖(4＋2×2)块；正方形地砖若有3块，则等腰直角三角形地砖(4＋2×3)块；…；依此按规律可得正方形地砖若有n 块，则等腰直角三角形地砖有(4＋2n )块．(3)设需要正方形地砖n块，∴2n＋4≤2021，解得n≤1008.5，∵n为正整数，∴n最大取1008，答：需要正方形地砖1008块．。
中考数学复习：规律探索
一．选择题（共27小题）1．按一定规律排列的单项式：a 2，4a 3，9a 4，16a 5，25a 6，…，第n 个单项式是中考数学复习：规律探索（）A ．n 2a n +1B ．n 2a n ﹣1C ．n n a n +1D ．（n +1）2a n2．把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（）A ．10B ．15C ．18D ．213．我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m ，最大的“正方形数”为n ，则m +n 的值为（）A ．33B ．301C ．386D ．5714．如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）A ．B ．C ．D ．5．根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则n＝（）A．17B．18C．19D．206．把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）A．15B．13C．11D．97．观察下列两行数：1，3，5，7，9，11，13，15，17，…1，4，7，10，13，16，19，22，25，…探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（）A．18B．19C．20D．218．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，…，按如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C的位置是有理数，2008应排在A、B、C、D、E中的位置．其中两个填空依次为（）A．﹣28，C B．﹣31，E C．﹣30，D D．﹣29，B9．用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第12个图案中共有小三角形的个数是（）A．34B．35C．37D．4010．观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…用你所发现的规律得出22022的末位数字是（）A．2B．4C．6D．811．用火柴棍按如图所示的方式摆大小不同的“E”，依此规律，摆出第n个“E”需要火柴棍的根数是（）A．2n+3B．4n+1C．3n+5D．3n+212．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，…第n个三角形数记为a n，计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，此推算，a100﹣a99＝（）A．99B．1C．101D．10013．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．201914．观察图中的“品”字形中个数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A．75B．89C．103D．13915．用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆，则摆第n个“口”字需用棋子（）A．4n枚B．（4n﹣4）枚C．（4n+4）枚D．n2枚16．在一列数：a1，a2，a3，…a n中，a1＝3，a2＝7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2019个数是（）A．1B．3C．7D．917．将一些完全相同的三角形按如图所示的规律排列，第①个图形中有2个三角形，第②个图形中有5个三角形，第③个图形中有10个三角形，第④个图形中有17个三角形，…，按此规律排列，则第⑥个图形中三角形的个数为（）A．26B．37C．50D．6518．我们把一些有理数按照一定的顺序排成一列，将第1个数记作a1，第2个数记作a2，…，第n个数记作a n．这样得到a1，a2，…，a n，如果这n个数满足：从第2个数开始，每个数都等于1与它前面的那个数的倒数的差，且a1＝﹣2，那么a2016＝（）A．B．C．﹣2D．19．如图，观察这组图形中五角星的个数，其中第①个图形中共有4个五角星，第②个图形中共有10个五角星，第③个图形中共有18个五角星…，按此规律，则第⑥个图形中五角星的个数为（）A．64B．34C．40D．5420．某公园里鲜花的摆放如图所示，第①个图形中有3盆鲜花，第②个图形中有6盆鲜花，第③个图形中有11盆鲜花，…，按此规律，则第⑥个图形中的鲜花盆数为（）A．26B．37C．38D．5121．观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑦中星星的颗数是（）A．24B．32C．41D．5122．下列图形都是由同样大小的★按照一定规律组成的，其中第①个图形中共有5个★，第②个图形中共有8个★，第③个图形中共有11个★，…，按此规律排列下去，第⑥个图形中的★个数为（）A．18个B．20C．22D．2423．如图，图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，按此规律，则第（6）个图形中面积为1的正方形的个数为（）A．14B．20C．24D．2724．将一些完全相同的梅花按如图所示的规律摆放，第1个图形有5朵梅花，第2个图形有8朵梅花，第3个图形有13朵梅花，…，按此规律，则第11个图形中共有梅花的朵数是（）A．121B．125C．144D．14825．下列图形都是由三角形按一定规律组成的，其中第①个图形共有3个顶点，第②个图形共有6个顶点，第③个图形共有10个顶点，…，按此规律排列下去，第⑦个图形顶点的个数为（）A．66个B．55个C．45个D．36个26．下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（）A．252B．209C．170D．13527．将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12二．填空题（共11小题）28．观察下列各项：1，2，3，4，…，则第n项是．29．观察以下一列数：3，，，，，…则第20个数是．30．如图，将图1中的菱形剪开得到图2，图中共有4个菱形；将图2中的一个菱形剪开得到图3，图中共有7个菱形；如此剪下去，第5图中共有个菱形……，第n个图中共有个菱形．31．将一些圆按照如图方式摆放，从上向下有无数行，其中第一行有2个圆，第二行有4个圆，第三行有6个圆…按此规律排列下去，则前50行共有圆个．32．如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，则第10个图案中白色瓷砖块数为．33．将一些相同的“〇”按如图所示摆放，观察每个图形中的“〇”的个数，若第n个图形中“〇”的个数是78，则n的值是．34．用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要小圆个（用含n的代数式表示）．35．观察下列图形，第一个图形中有一个三角形；第二个图形中有5个三角形；第三个图形中有9个三角形；…，则第15个图形中有个三角形．36．按照下列图形反映出的规律，那么第8个图形中有个点．37．如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第98个图形中花盆的个数为．38．正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，则第27行的第21个数是．三．解答题（共4小题）39．用火柴棒按图中的方式搭图形：按图示规律填空：图形标号①②③④⑤火柴棒根数5913a b（1）a＝，b＝；（2）按照这种方式搭下去，则搭第n个图形需要火柴棒的根数为；（用含n 的代数式来表示）（3）按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第2021个图形需要的火柴棒根数．40．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…照此规律摆下去：（1）摆成第4个图案需要个三角形，摆成第6个图案需要个三角形．（2）摆成第n个图案需要个三角形．（3）摆成第203个图案需要几个三角形？41．如图所示：搭1条、2条、3条“金鱼”各用几根火柴棒？（1）根据上面的图形填写如表：金鱼条数123…n火柴根数…（2）搭100条金鱼需要多少根火柴棒？（3）搭多少条金鱼需要500根火柴棒？42．用若干个“〇”与“▲”按如图方式进行拼图：（1）观察图形，寻找规律，并将下面的表格填写完整：图1图2图3图4〇的个数3921▲的个数1410（2）根据你所观察到的规律，分别写出图n中“〇”与“▲”的个数（用含n的代数式表示）．。
中考数学专题复习规律探究题练习(四)
中考数学专题复习规律探究题练习（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________ 评卷人 得分一、解答题1．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层.将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为(1)1232n n n ++++⋯+=. 如果图3、图4中的圆圈均有13层.(1)我们自上往下，在每个圆圈中都图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是________；(2)我们自上往下，在每个圆圈中按图4的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，-20，…，求最底层最右边圆圈内的数是________；(3)求图4中所有圆圈中各数值的绝对值之和.(写出计算过程)2．已知点P （0x ，0y ）和直线y=kx+b ，则点P 到直线y=kx+b 的距离证明可用公式d=002||1kx y b k -++ 计算．例如：求点P （﹣1，2）到直线y=3x+7的距离． 解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7． 所以点P （﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d=002||1kx y b k -++=2|3(1)27|1k ⨯--++ =210=105． 根据以上材料，解答下列问题：（1）求点P （1，﹣1）到直线y=x ﹣1的距离；（2）已知⊙Q 的圆心Q 坐标为（0，5），半径r 为2，判断⊙Q 与直线y=3x+9的位置关系并说明理由；（3）已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x ﹣6平行，求这两条直线之间的距离．3．观察以下等式：第1个等式：2222233+=⨯；第2个等式：2333388+=⨯；第3个等式：244441515+=⨯；第4个等式：255552424+=⨯；……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：____________________________________________________________；（2）写出你猜想的第n 个等式：____________________；（用含n 的等式表示），并证明.4．观察下列各式规律：⊙ 52-22=3×7；⊙72-42=3×11；⊙ 92-62=3×11；…；根据上面等式的规律：（1）写出第6个和第n 个等式； （2）证明你写的第n 个等式的正确性．5．观察下列等式： 2111123⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭ 21111324⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭21111435⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭ 21111546⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭()1写出第⑥个等式： ；()2写出你猜想的第n 个等式： (用含n 的等式表示)，并证明．6．化简：2334122232+⨯⨯⨯⨯+45342⨯⨯+…+20203201920202⨯⨯．为了能找到复杂计算问题的结果，我们往往会通过将该问题分解，试图找寻算式中每个式子是否存在某种共同规律，然后借助这个规律将问题转化为可以解决的简单问题．下面我们尝试着用这个思路来解决上面的问题．请你按照这个思路继续进行下去，并把相应横线上的空格补充完整． 【分析问题】第1个加数：23122⨯⨯＝112⨯﹣2122⨯；第2个加数：34232⨯⨯＝2122⨯﹣3132⨯；第3个加数：45342⨯⨯＝3132⨯﹣4142⨯；第4个加数： ＝2142⨯﹣5152⨯； 【总结规律】第n 个加数： ＝ ﹣ ．【解决问题】请你利用上面找到的规律，继续化简下面的问题．（结果只需化简，无需求出最后得数）2334122232+⨯⨯⨯⨯+45342⨯⨯+…+20203201920202⨯⨯．7．（1）观察下列图形与等式的关系，并填空： 第一个图形：；第二个图形：；第一个等式：9+4＝13；第二个等式：13+8＝21；第三个图形：；……；第三个等式： + ＝ ；……；（2）根据以上图形与等式的关系，请你猜出第n 个等式（用含有n 的代数式表示），并证明．8．观察以下等式：第1个等式：23-22=13＋2×1＋1； 第2个等式：33-32=23＋3×2＋22； 第3个等式：43-42=33＋4×3＋32； ……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第4个等式：__________________；（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的等式表示），并证明．参考答案：1．(1)79；(2)6；(3)2554. 【解析】 【详解】【分析】（1）13层时最底层最左边这个圆圈中的数是前12层圆圈的个数和再加1； （2）首先计算圆圈的个数，从而分析出23个负数后，又有多少个正数即可得； （3）将图⊙中的所有数字加起来利用所给的公式进行计算即可得.【详解】（1）当有13层时，前12层共有：1+2+3+…+12=78个圆圈，78+1=79， 故答案为79；（2）图⊙中所有圆圈中共有1+2+3+…+13=()131312⨯+=91个数，其中23个负数，1个0，67个正数， 故答案为67；（3）图⊙中共有91个数，分别为-23，-22，-21，...，66，67， 图⊙中所有圆圈中各数的和为： -23+（-22）+...+（-1）+0+1+2+ (67)()9123672⨯-+=2002.【点睛】本题是一道找规律的题目，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．注意连续整数相加的时候的这种简便计算方法：1+2+3+…+n=()12n n +.2．(1)22;(2)见解析;(3)25. 【解析】 【分析】（1）根据点P 到直线y=kx+b 的距离公式直接计算即可；（2）先利用点到直线的距离公式计算出圆心Q 到直线y=3x+9，然后根据切线的判定方法可判断⊙Q 与直线y=3x+9相切；（3）利用两平行线间的距离定义，在直线y=-2x+4上任意取一点，然后计算这个点到直线y=-2x-6的距离即可． 【详解】（1）因为直线y=x-1，其中k=1，b=-1， 所以点P （1，-1）到直线y=x-1的距离为：d=002211(1)(1)1222111kx y b k -+⨯--+-===++； （2）⊙Q 与直线y=3x+9的位置关系为相切．理由如下：圆心Q （0，5）到直线y=3x+9的距离为：d=230594221(3)⨯-+==+， 而⊙O 的半径r 为2，即d=r ， 所以⊙Q 与直线y=3x+9相切；（3）当x=0时，y=-2x+4=4，即点（0，4）在直线y=-2x+4， 因为点（0，4）到直线y=-2x-6的距离为：d=20-2-46102551(2)⨯-==+-（）， 因为直线y=-2x+4与y=-2x-6平行， 所以这两条直线之间的距离为25． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题：熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、切线的判定方法和两平行线间的距离的定义． 3．（1）266663535+=⨯；（2）211(1)(1)(2)(2)n n n n n n n n ++++=+⋅++，证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据提供的算式写出第5个算式即可； （2）根据规律写出通项公式然后证明即可． 【详解】解：（1）根据已知规律，第5个等式为266663535+=⨯， 故应填：266663535+=⨯； （2）根据题意，第n 个等式为211(1)(1)(2)(2)n n n n n n n n ++++=+⋅++证明：左边[](1)(2)1(1)(2)1(1)(2)(1)(2)(2)(2)(2)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ++++++++++=+==++++()222(1)21(1)(1)1(1)(2)(2)(2)n n n n n n n n n n n n n ++++++===+⋅=+++右边，⊙等式成立. 【点睛】本题考查规律探索问题，从特殊的、简单的问题推理到普通的、复杂的问题，从中归纳问题的规律，体现了逻辑推理与数学运算的核心素养．4．（1）第6个：221512327-=⨯，第n 个：()()()22232343n n n +-=+；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1仿照⊙⊙⊙写出第6和第n 个等式即可；（2）结合（1）发现的规律，并运用整式的四则混合运算证明即可． 【详解】解：（1）⊙ 52-22=3×7；⊙72-42=3×11；⊙ 92-62=3×11；…； 所以第6个等式为：152-122=3×27：所以第n 个等式为：（2n+3）2-（2n ）2=3（4n+3） （2）证明：左边=（2n+3+2n ）（2n+3-2n ） =3（4n+3） =右边所以第n 个等式正确． 【点睛】本题考查了规律型中的数字的变化类，观察数字的变化、寻找规律是解答本题的关键． 5．（1）21161187⎛⎫⨯ ⎪+⎭=⎝÷；（2）()2121111n n n ⎛⎫⨯ ⎪+⎭=⎝++÷，证明见解析【解析】 【分析】（1）根据所给等式的特点，写出第⊙个等式即可；（2）由所给等式可知：等号左边的被除数是1，括号内的两个分数的分子都是1，第一个分数的分母和序数相同，第二个分数的分母比序数大2，然后再加1，而等号右边是比序数大1的数的平方，据此可写出第n 个等式，然后根据分式的混合运算法则进行证明． 【详解】解：（1）2111123⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭21111324⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭21111435⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭21111546⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭∴第⊙个等式为：()2211681161=7⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭÷+=+；（2）由分析可猜想第n 个等式为：()2121111n n n ⎛⎫⨯ ⎪+⎭=⎝++÷， 证明：左边()()221112112n n n n n =÷+=++=+=+右边， 故等式成立． 【点睛】本题考查了数字类规律探索、分式的混合运算，根据所给式子，分析变化的部分与不变的部分，正确得出规律是解题的关键．6．56452⨯⨯；12(1)2n n n n ++⨯+⨯，12n n ⨯，11(1)2n n ++⨯；2020202010102120202⨯-⨯ 【解析】 【分析】（1）观察前3个加数即可写出第4个加数；通过前4个加数即可发现规律写出第n 个加数；（2）根据（1）中的规律进行化简即可计算．【详解】解：（1）因为第1个加数：223111221222=-⨯⨯⨯⨯；第2个加数：3234112322232=-⨯⨯⨯⨯；第3个加数：4345113423242=-⨯⨯⨯⨯；所以第4个加数：5456114524252=-⨯⨯⨯⨯总结规律：所以第n 个加数：()()1121112212n nn n n n n n +++=-⨯+⨯⨯+⨯．解决问题： 原式＝223342019202011111111...1222223232422019220202-+-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =202011220202-⨯ =2020202010102120202⨯-⨯故答案为：56452⨯⨯；12(1)2n n n n ++⨯+⨯，12n n ⨯，11(1)2n n ++⨯；2020202010102120202⨯-⨯ 【点睛】本题考查数的规律，根据已知条件找出数字规律是解题关键． 7．（1）17，12，29；（2）（4n+5）+4n ＝8n+5，证明见解析 【解析】 【分析】（1）观察图形的变化写出前两个个图形与等式的关系，进而可得第三个等式； （2）结合（1）总结规律即可得第n 个等式． 【详解】解：（1）观察图形的变化可知：第一个图形：9+4＝13，即4×1+5+4＝13＝8×1+5， 第二个图形：13+8＝21，即4×2+5+4×2＝21＝8×2+5， 第三个图形：17+12＝29，即4×3+5+4×3＝29＝8×3+5， … 发现规律：第n 个等式为：（4n+5）+4n ＝8n+5； 故答案为：17，12，29； （2）由（1）发现的规律：所以第n 个等式为：（4n+5）+4n ＝8n+5； 证明：左边＝4n+5+4n ＝8n+5＝右边． 所以等式成立． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律，总结规律．8．（1）3232554544-=+⨯+；（2）猜想出第n 个等式为3232(1)(1)(1)n n n n n n +-+=+++，证明见解析．【解析】 【分析】（1）根据前三个等式归纳总结出规律即可得；（2）先归纳总结出一般规律，得出第n 个等式，再利用因式分解的方法分别计算等式的两边即可得证． 【详解】（1）由前三个等式可得：第4个等式为3232554544-=+⨯+ 故答案为：3232554544-=+⨯+；（2）猜想出第n 个等式为3232(1)(1)(1)n n n n n n +-+=+++，证明如下：等式的左边[]3222(1)(1)(1)(1)1(1)n n n n n n =+-+=++-=+等式的右边()32222(1)(1)21(1)n n n n n n n n n n n n n ⎡⎤=+++=+++=++=+⎣⎦则等式的左边=等式的右边 所以等式成立． 【点睛】本题考查了因式分解的实际应用，理解题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．。
中考数学探索题训练—找规律总结
中考数学探索题训练—找规律总结Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998中考数学找规律题专项训练 1、从1开始，将连续的奇数相加，和的情况有如下规律：1=1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；…按此规律请你猜想从1开始，将前10个奇数（即当最后一个奇数是19时），它们的和是 。
2、小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：输入… 1 2 3 4 5 … 输出 … …那么，当输入数据是8时，输出的数据是（ ）A 、618B 、638C 、658 D 、678 3、如下左图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要 枚棋子.4、如下右图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子，观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了 块石子。
5、如下图是用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字 第二个“上”字 第三个“上”字(1)(2)(3)第4题如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：（1）第四、第五个“上” 字分别需用 和 枚棋子；（2）第n 个“上”字需用 枚棋子。
6、观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；（2）通过猜想写出与第n 个点阵相对应的等式_____________________。
7. 观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，通过观察，用你所发现的规律确定272的个位数字是（ ）A . 2B . 4C .6D . 88． 观察下列各式：1×3=21+2×1，2×4=22+2×2，3×5=23+2×3，请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来： 。
中考数学复习专题一探索规律问题试题
在上述数字宝塔中，从上往下数，2 016在第类型层．类型二图形变化规律这类题型一般是给出一组排列的图形，探索图形的变化规律或图形蕴含的数量关系．解答这类问题，首先要观察图形的变化趋势，即是增加还是减少；然后从第一个图形的构成元素开始分析，寻找其中的变化规律或蕴含的数量关系，归纳出结论后，再验证其正确性．(20__·黑龙江)观察下列图形，第1个图形中有1个三角形；第2个图形中有5个三角形；第3个图形中有9个三角形；…；则第2 017个图形中有_____个三角形．【分析】结合图形数出前三个图形中三角形的个数，找出规律，然后写出第2 017个图形中三角形的个数．4．(20__·连云港)如图，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O 方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A3O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；…；按此规律运动到点A2 017处，则点A2 017与点A0间的距离是( )A．4 B．2 C．2 D．05．(20__·重庆)下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中图①中一共有3个菱形，图②中一共有7个菱形，图③中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，图⑨中菱形的个数为( ) A．73 B．81 C．91 D．1096．(20__·内江)将一些半径相同的小圆圈按如图所示的规律摆放，请仔细观察，图n中有___________个小圆圈．(用含n的代数式表示)类型三点的坐标规律这类问题通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．如图，动点P从(0，3)出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2 017次碰到矩形的边时，点P的坐标为( )A．(1，4) B．(3，0) C．(6，4) D．(8，3)【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2 017除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．7．如图，在平面直角坐标系中，A(0，0)，B(2，0)，△AP1B是等腰直角三角形，且∠P1＝90°，把△AP1B 绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C，把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，…以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2 017的坐标为__________．8．(20__·菏泽)如图，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－_上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－_上，依次进行下去…，若点B的坐标是(0，1)，则点O12的纵坐标为__________．9．(20__·齐齐哈尔)如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在_轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1.在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2，…，依此类推，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为______________．参考答案【例1】 n＝1时，结果为＝；n＝2时，结果为＝；n＝3时，结果为＝，故第n个式子的结果为.故答案为. 【变式训练】1．B 2. 3.44【例2】第1个图形中，三角形的个数是1；第2个图形中，三角形的个数是1＋4＝5；第3个图形中，三角形的个数是1＋4＋4＝9；…第n个图形中，三角形的个数是1＋4(n－1)＝4n－3.当n＝2 017时，4n－3＝8 065.故答案为8 065.【变式训练】4．A 5.C 6.n2＋n＋4【例3】如图，经过6次反弹后动点回到出发点(0，3).∵2 017÷6＝336……1，∴当点P第2 017次碰到矩形的边时为第337个循环组的第1次反弹，此时点P的坐标为(3，0)．故选B. 【变式训练】7．(4 033，1) 8.9＋3 9.(－，)。
中考数学专题训练：规律探索——图形累加(附参考答案)
中考数学专题训练：规律探索——图形累加（附参考答案）1．用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第10个图案(即n＝10)中共有圆点的个数是()A．59B．65C．70D．712．如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为()A．148B．152C．174D．2023．观察下列树枝分叉的规律图，若第n个图中树枝数用Y n表示，则Y9－Y4＝()A．15×24B．31×24C．33×24D．63×244．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，按此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为()A．32B．34C．37D．415．某数学家把1，3，6，10，15，21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以如图表示．根据图形，若把第(1)个图形表示的三角形数记为a1＝1，第(2)个图形表示的三角形数记为a2＝3……则第(n)个图形表示的三角形数a n＝______．(用含n的式子表示)6．将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“○”的个数，则第30个“龟图”中有_______个“○”．7．用棋子摆成如图所示的图案，摆第20个图案需要_______颗棋子．8．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”的个数是______．9．如图，用火柴棒拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棒；拼第二个图形共需要5根火柴棒；拼第三个图形共需要7根火柴棒……照这样拼图，则第n个图形(即图n)需要_____________根火柴棒．参考答案6．875 7．290 8．49 9．(2n＋1) 1．C 2．C 3．B 4．C 5．n(n+1)2。
中考数学规律探索型问题.doc
An
1n
AB
、、、、
，且
1；双曲 恰好 点
B、 、 、 、
。（ 1）求双曲 和直
S1 S2 S3
Sn
S1
B
B
123
B
n
解析式；
y
n 1 n 1 ，分
AA
n ，它 的面 分
A B 的函数
12
（ 2）填空： S10 ___________， Sn _____________；
（ 3）若直 B1 O 交双曲 于另一点
12 3
曲 AA A A ⋯叫做“正方形的 开 ” ，其中
1
12
23
AA 、A A 、 A
A ⋯的 心
yA
3
依次是点 B、 C、 D、A 循 ， 点 A2010 的坐 是
。
3. 如 15，△ P1OA1，△ P2A1A2，△ P3A2A3⋯⋯△ PnAn－ 1An 都是
A2
CD
o
x
y
BA
A4
A1
P1
y 1C
1
A
() OA
A2
3
A B1 1 B2 B3
B
2x
9. 如 ，在直角坐 系中，一直
△ ABO 的内切 ⊙ O1 的半径 r 1
按此 律， ⊙
的半径
O2008
r 2008
l 点 M ( 3,1) 与 x ， y 分 交于 A、 B 两点，且 MA
MB ，
；若⊙ O2 与⊙ O1 、l 、y 分 相切， ⊙ O3 与⊙ O2
P
(x 0) 都在函数 y 1
的 象上， 点 P 的坐 是（
，
）.
(word完整版)中考数学规律探索专题复习
中考数学规律探索专题复习一、典例精析类型之一 数字规律型例1. (2011丽江）下面是按一定规律排列的一列数:23，45-，87，169-，…那么第n 个数是 . 【简析】根据题意,首先从各个数开始分析，n=1时,分子：2=（﹣1）2•21，分母：3=2×1+1；n=2时，分子：﹣4=(﹣1)3•22，分母：5=2×2+1；…，即可推出第n 个数为12(1)21nn n +-•+。
【答案】解：∵n=1时，分子:2=（-1)2•21,分母：3=2×1+1；n=2时，分子:﹣4=（—1)3•22，分母：5=2×2+1； n=3时，分子：8=（—1）4•23，分母:7=2×3+1；n=4时，分子：﹣16=（-1)5•24，分母：9=2×4+1；…,∴第n 个数为：12(1)21n n n +-•+ 故答案为：12(1)21n n n +-•+. 例2:(2010深圳) 观察下列算式，用你所发现的规律得出22010的末位数字是（ )。
21＝2,22＝4，23＝8,24＝16，25＝32,26＝64,27＝128,28＝256，… A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【简析】有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.通过观察可以发现,本题中的数字从第1个到第4个为一个循环节，以此规律总结下来，第2010个图形应该就是一个循环节中的第2个数字，故选B.【答案】B对应练习1。
有一组数:1,2，5，10，17,26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 ．2.（2011湛江)若：A 32=3×2=6，A 53=5×4×3=60,A 54=5×4×3×2=120，A 64=6×5×4×3=360，…，观察前面计算过程,寻找计算规律计算A 73= (直接写出计算结果),并比较A 103 A 104（填“＞”或“＜”或“=”) 类型之二 图形规律型例3：（2011•临沂)如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形．则在第10个这……样的图形中共有 个等腰梯形．【简析】本题考查了图形的变化,解题的关键是按照一定的顺序依次找到符合条件的等腰梯形，做到不重复不遗漏．由于图②4个=2+1+1,图③8个3+2+2+1+1,图④16=4+3+3+2+2+1+1，由此即可得到第10个图形中等腰梯形的个数为:10+9+9+8+8+7+7+6+6+5+5+4+4+3+3+2+2+1+1=100． 【答案】100．例4： （2011兰州）如图,依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。
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中考数学《探索规律题》复习训练专题
1・如上图1所示，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下 图，
则第n 个图形中需用黑色瓷砖 _____________________ 块
[1]
【2】
2•图2是棱长为日的小正方体，图2、图3由这样的小正方体摆放而成.按照这 样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、…、第门层，第〃层的小 正方体的个数为s ・则s 二 ______________ ・
3•观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：①1 = 11②1 + 3 = 2］③1
+ 3 + 5 = 32；……通过猜想写岀与第n 个点阵和对应的等式 _______________
4•观察下列顺序排列的等式：9XO+1 = 1, 9X1 + 2=11, 9X2 + 3 = 21, 9X3
+ 4 = 31, 9X4 + 5=41,…：第n 个等式为 ____________________ ・
5. (2016 滨州)12.求 1+2+2'+2'+・・・+2叩的值,可令 S=l+2+22+23+-+22012,则 2S=2+22+23+24+-+22013,因此 2S - S=22013 - 1 .仿照以上推理，计算出
1+5+52+53+-+52012 的值为( )
A. 52012 一 1
B. 52013 - 1
C. 5勿 3 - 1
D. 5如 2 _ i 4
4 6.如图，将边长为1的正方形创刖沿/轴 \y
正方向连续翻转2 006次，点P 依次落在点
咒，A ，…，4)06的位置, 则鬥006的横坐标%2012 =
(n)
2J
(I) ⑵ ⑶
厂3丿
按照上面的规律，摆/个“金鱼”需用火柴棒的根数为（
）
A. 2 + 6〃
B. 8 + 6/?
C. 4 + 4〃 D ・ 8H 9.观察下列各式： 152
=1X (1 + 1)X 100 + 52 =225 352 = 3X （3 + 1）X 100 + 52 =1225……依此规律，第〃个等式（刃为正整数） 为 ___________ . 11.按右边3x3方格中的规律，在下面4个符号中选择一个填入方格左上方的空 格内（ ）A
_/ 、>>
①»® _/ _/_/ 、\ 、\ _/_/ ②252 =2X (2 + 1)X 100 + 52 =
625 符合前面式子的规律, &为庆祝“六、一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示: 10.已知: 3 则a + b。