专题-圆锥曲线与方程(教师)

专题-圆锥曲线与方程

抓住3个高考重点

重点1 椭圆及其性质

1．椭圆的定义：椭圆的第一定义：对椭圆上任意一点M 都有1212||||2||2MF MF a F F c +=>=

椭圆的第二定义：对椭圆上任意一点M 都有

||

,(01)MF e e d

=<< 2．求椭圆的标准方程的方法

（1）定义法：根据椭圆定义，确定2

2

,a b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆的标准方程．

（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出2

2

,a b ，从而写出椭圆的标准方程． 3．求椭圆的标准方程需要注意以下几点？

（1）如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为2

2

1(0,0,)Ax By A B A B +=>>≠或22

221x y m n

+=

（2）与椭圆2222

221()x y m n m n +=≠共焦点的椭圆方程可设为22222

21(,)x y k m k n m k n k

+=>->-++ （3）与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆方程可设为22

122x y k a b +=（10k >，焦点在x 轴上）或

22

222

y x k a b +=（20k >，焦点在y 轴上） 4．椭圆的几何性质的应用策略

（1）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形：若涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量，则要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的联系，求解自然就不难了．

（2）椭圆的离心率2

21c b e a a

==-当e 越接近于1时，椭圆越扁，当e 越接近于0时，

椭圆越接近于圆，

求椭圆的标准方程需要两个条件，而求椭圆的离心率只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次方程，再结合2

2

2

a b c =+即可求出椭圆的离心率 [高考常考角度]

角度1若椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点)2

1,1(作圆12

2=+y x 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好

经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 14

52

2=+y x . 解析:方法一：设过点)21,1(的直线方程为：当斜率存在时，1

(1)2

y k x =-+，即22120kx y k -+-=

由题意，2|12|31444k k k -==>=-+，由22331(1)5424

15x y x y x y ⎧⎧=⎪=--+⎪⎪=>⎨⎨

⎪⎪=+=⎩⎪⎩

，切点为34(,)55B ，

又当斜率不存在时，直线方程为1x =，切点为(1,0)A ，故直线:220AB x y +-=,

则与y 轴的交点即为上顶点坐标(2,0)2=⇒b ，与x 轴的交点即为焦点1=⇒c ，2225a b c ∴=+=，

即椭圆方程为 14

52

2=+y x （说明：如果设切点00(,)B x y ，则过切点的切线方程为001x x y y +=，与3134

(1)14255

y x x y =--+=>+=比

较，也可求出切点34

(,)55

B ）

方法二：（数形结合）设点1(1,)2P ，则有直线1

:2

OP y x =，作图分析可得2AB k =-，又切点(1,0)A

故直线:2(1)AB y x =--，即220x y +-=，

则AB 与y 轴的交点即为上顶点坐标(2,0)2=⇒b ，与x 轴的交点即为右焦点1=⇒c ，2225a b c ∴=+=，

故 椭圆方程为 14

52

2=+y x

角度2在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2

2

.过1F 的直线l 交C 于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 .

解析：可设椭圆方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>,22c e a ==,

2ABF 的周长为2

4164,228a a c b ==>=∴==>=, 故椭圆C 的方程为22

1168

x y +=

角度3 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b

+=>>,直线l 为圆222

:O x y b +=的一条切线，记椭圆E 的离心率为e ．若

直线l 的倾斜角为

3

π

，且恰好经过椭圆的右顶点，则e 的大小为__________. 解析：本题考查直线与圆的位置关系，椭圆的离心率等知识． 如图所示，设直线l 与圆O 相切于C 点，椭圆的右顶点为D ，则 由题意，知△OCD 为直角三角形，且||,||,,3

OC b OD a ODC π

==∠=

22221||||||cos 32

c CD OD OC a b c e a π∴=-=-==>=

==

重点2 双曲线及其性质

1．双曲线的定义：双曲线的第一定义：对双曲线上任意一点M 都有1212||||||2||2MF MF a F F c -=<=