用特征方程求数列的通项
特征根方程求数列
特征方程求数列的通项江西省丰城市第二中学 陈爱荣 331100数列是高中数学的重要内容,也是高考的热点问题,但课本对数列的教学安排和高考的要求有一定的差距,从近年各省的高考试卷看,高考对数列的要求明显比课本要高,所以在复习中我们要在深刻理解等差和等比数列的基础上,对数列的性质各特点进行必要的挖掘,特别是某些递推关系求数列的通项这一类问题中有一些高等数学的背景,其中特征方程求数列的通项就是其中典型的内容之一一．可用特征方程解决递推数列的三类模型1．线性递推关系{1,11n a n n pa q a =++=（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）2．齐次二阶线性递推关系1221(1)(2)n n n a n a a n pa qa ++=⎧⎪==⎨⎪+⎩（其中p ，q 均为常数）3．分式递推关系1n n n pa q a ra h ++=+（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,） 二. 特征根方程及求法1． {1,11n a n n pa q a =++=的特征根方程为 x=px+q ，其根为α,则1n a α+-=p(1n a α+-) 2. 1221(1)(2)n n n a n a a n pa qa ++=⎧⎪==⎨⎪+⎩的特征根方程为2x px q =+设两实根为α,β(1).若α≠β时,则n a =1112n n c c αβ--+,其中1c ,2c 是由1a ,2a 确定(2). 若α=β时,则112()n n a c n c α-=+其中1c ,2c 是由, 1a 2a 确定 3. 1n n n pa q a ra h ++=+的特征根方程为px q x rx h+=+若方程的两根为α,β 若1,a αβ≠且αβ≠,则11n n n n a a p r a p r a αααβββ++---=⋅---即{n n a a αβ--}等比数列 若1a αβ=≠且0p h +≠,则1121n n r a p h a αα+=+-+-即{ 1n a α- }等差数列三．例题分析例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作特征方程.23,231-=--=x x x 则 .211231=+a 数列13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以31-为公比的等比数列.于是 13n a +=（231+a ）.N ,)31(21123,)31(211)31(111∈-+-=-=----n a n n n n 例2.已知数列{n a }满足1a =3,2a =6,2n a +=41n a +-4n a 求n a解：作特征方程x 2=4x-4由特征根方程得α=β=2故设n a =(1c +2c n) 12n -, 其中3=1c +2c ,6=(1c +22c ).2所以1c =3, 2c =0,则n a =3.12n -例3. 已知数列{n a }满足1a =3,2a =6,2n a +=21n a ++3n a 求n a解：作特征方程x 2=2x+3由特征根方程得α=3, β=-1所以n a =1c 13n -+2c 1(1)n --其中3=1c +2c , 6=31c -2c得1c =94, 2c =34所以n a =14.13n ++341(1)n -- 例4.(2009江西)各项均为正数的数列{.n a }1a =a, 2a =b 且对任意的m+n=p+q 的正整数 m,n p,q 都有(1)(1)(1)(1)p q m n n m n q a a a a a a a a ++=++++当a=12,b=45求通项n a 解:由(1)(1)(1)(1)p q m n m n p q a a a a a a a a ++=++++得121121(1)(1)(1)(1)n n n n a a a a a a a a --++=++++ 将14,25a b ==代入上式化简得11212n n n a a a --+=+ 考虑特征方程212x x x +=+得特征根1x =± 所以11111121112112113112n n n n n n n n a a a a a a a a ------+--+-==⋅+++++所以数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=-+为首项,公比为13的等比数列 故11111()()1333n n n n a a --=-⋅=-+ 即3131n n n a -=+ 例5:已知数列{}n a 满足*1112,2,n n a a n N a -==-∈,求通项n a . 解: 考虑特征方程12x x=-得特征根1x = 111111111111111(2)11n n n n n n a a a a a a -----====+------ 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1111a =-为首项,公差为1的等差数列 故11n n a =- 即1n n a n += 数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈，而特征方程求数列的通项却为我们提供了一种简便、快捷的方法。
用特征方程法求数列通项
１，ｊ￣ｌ ａ ．＋ ｌ＝ ７ ａ ．４ ＂
６ｂ ．－
３’（ ：
。 ，
１，２，…
）．
＋
． ．
．
证 明 ：口 （”一０，１，２，…）是完 全平方 数．
分析 ：这 是 一 个 双 数 列 问 题 ，首 先 从 方 程
组 中求 出 口 的递推式 ，事 实上 由
． ． 口 一 Ａ１ ４－Ａ２（７＋ ４√３） ４－Ａ３（７—
４ ）ｎ，将初始值代人得Ａ 一告，Ａ 一Ａ。一÷，
。
． ． 口 。＝
÷［２＋（７＋４ ） ４－（７－４ ） ］一
所以％ 高 一告 ，于是 ａ ｎ４ ＂ ａｎ－２一 『Ｉ － ２ ］Ｉ 一（ 面 “ ２ ．３ｋ）ｚ
２厄 故 可 设 其 通 项 为 一 Ｃ１（３＋ ２√２） ＋
Ｃ２（３—２√２） ．由 。一Ｏ可推 出 一 １，于 是 得
ｆ Ｃ１＋ Ｃｚ一０，
方程组
一
一
Ｉ（３＋２√２）Ｃ１＋ （３－２√２）Ｃ２—１Ｉ
．
· ．
ＣＩ一譬，Ｃ２一 ．
２，口 一７，一丢＜ａｎ＋ｌ－芒≤丢（竹≥２）．
维普资讯
专题 探讨
：一】一 １一Ｏ ② 由 ① 、② 知 ＋ ， 一 是 二 次 方 程 ＋
６ｘ ＋ ：一１一Ｏ的两根．由韦达 定理得
＋ ｌ＋ 一１— ６ｘ ．
这 是一个 线性 递 推数 列 ，其 特 征 方 程 一 ６ ＋１— ０的特 征 根 为 ｌ一３＋ ２￣／２， ２—３—
方 程为 ｚ 一４ｚ＋ １—０，特 征 根 为 ｚ１—２＋√３， 阶线性递 推关 系 ，再 利用特征 方程法 解答 ．
用特征根方程法求数列通项
特征方程法求解递推关系中的数列通项之迟辟智美创作那时()f x x =，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法.典范例子：1n n n aa b a ca d++=+令ax bx cx d+=+，即2()0cx d a x b +--= ，令此方程的两个根为12,x x ， (1)若12x x =,则有11111n n p a x a x +=+-- （其中2c p a d=+）(2)若12x x ≠,则有111122n n n n a x a x qa x a x ++--=--（其中12a cx q a cx -=-）例题1：设23()27x f x x -+=-， (1)求函数()y f x =的不动点； (2）对(1)中的二个不动点,()a b a b <，求使()()f x a x akf x b x b--=--恒成立的常数k 的值； (3)对由111,()n n a a f a -==(2)n ≥界说的数列{}n a ，求其通项公式n a .23()27x f x x -+=-解析：(1)设函数()f x 的不动点为0x ，则0002327x x x -+=-解得012x =-或03x =(2)由231111()1272222238248(3)83327x x x x x x x x x x -++---++-===⋅-++-----可知使()()f x a x a k f x b x b --=--恒成立的常数18k =.(3)由(2)可知1111122383n n n n a a a a --++=⋅--，所以数列123n n a a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是以34-为首项，18为公比的等比数列.则11312()348n n n a a -+=-⋅-，则11911()482311()48n n n a ---=+例2．已知数列}{n a 满足性质：对14N,,23n n n a n a a ++∈=+ 且,31=a 求}{n a 的通项公式.解:依定理作特征方程,324++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，则有即11111252n n n n a a a a ++--=-++ 又1113122325a a --==++∴数列12n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以25为首项，15-为公比的等比数列例3．已知数列}{n a 满足：对,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a（1）若,51=a 求;n a （2）若,61=a 求;n a解：作特征方程.32513+-=x x x 变形得,025102=+-x x 特征方程有两个相同的特征根 5.x =（1）∵115,.a a x =∴=∴对,N ∈n 都有5;n a x == （2）∴543,N.7n n a n n +=∈+一、数列的一阶特征方程（1n n a pa q -=+型）在数列{}n a 中，1a 已知，且2n ≥时，1n n a pa q -=+（,p q 是常数），（1）那时1p =，数列{}n a 为等差数列；（2）那时0p =，数列{}n a 为常数数列；（3）那时1,0p q ≠=，数列{}n a 为等比数列；（4）那时0,1,0p q ≠≠，称x px q =+是数列{}n a 的一阶特征方程，其根1qx p=-叫做特征方程的特征根，这时数列{}n a 的通项公式为：11()n n a a x p x -=-+； 例1：已知数列{}n a 中，15a =，且2n ≥时，求n a ； （参考谜底：122273n n a -=-） 二、数列的二阶特征方程（21n n n a pa qa ++=+型）在数列{}n a 中，1a 与2a 已知，且21n n n a pa qa ++=+（,p q 是常数），则称2x px q =+是数列{}n a 的二阶特征方程，其根1x ，2x 叫做特征方程的特征根.（1）那时12x x ≠，有1122n n n a c x c x =+；（2）那时12x x =，有111[(1)]n n a a n d x -=+-； 其中12,,c c d 由12,a a 代入n a 后确定.例2：在数列{}n a 中，123,7a a ==，且3n ≥时，12340n n n a a a ----=，求n a ； （参考谜底：121(1)2n n n a +-=-+）考虑一个简单的线性递推问题. 设已知数列}{n a 的项满足1a b =,1n n a ca d +=+ 其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式.采纳数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易犯错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行论述.0x ，则那时10a x =，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -= 则1101n n n db a x ca d c--=-=+-- 那时10a x ≠，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 那时10a x =，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用.例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则那时41=a ，.21123,1101=+=≠a b x a 数列}{n b 是以31-1111111()(),323n n n b b --=-=-例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单元.当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？解：作方程,)32(i x x +=则.5360i x +-=要使n a 为常数，即则必需.53601ix a +-== 现在考虑一个分式递推问题（*）.例3．已知数列}{n a 满足性质：对,324,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有hra qpa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且rh a r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方 程hrx qpx x ++=.（1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时，若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ，则,N ,1∈+=n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λλ特别地，当存在,N 0∈n 使00=nb 时，无穷数列}{n a 不存在.（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则112--=n n n c c a λλ，,N ∈n 其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中则λλ-++=-=++h ra q pa a d n n n n 11h ra h q r p a n n +-+-=λλ)(hd r hq r p d n n ++-+-+=)())((λλλλ λλλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=])([)(2①∵λ是特征方程的根，∴λ.0)(2=--+⇒++=q p h r hr qp λλλλ将该式代入①式得.N ,)(1∈-+-=+n rh rd r p d d n n n λλ②将rp x =代入特征方程可整理得,qr ph =这与已知条件qr ph ≠λ,rp≠于是.0≠-r p λ③当01=d ，即λ+=11d a =λ时，由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ 立即01≠d λ≠1a 时，由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变动：.1)(11rp rd r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+⋅-+=--+=+④由λ是方程h rx qpx x ++=的两个相同的根可以求得.2r h p -=λ∴,122=++=---+=-+h p p h rrh p p rr h p h r p r h λλ将此式代入④式得.N ,111∈-+=+n r p r d d n n λ 令.N ,1∈=n d b nn 则.N ,1∈-+=+n r p r b b n n λ故数列}{n b 是以r p r λ-为公差的等差数列.∴.N ,)1(1∈-⋅-+=n r p r n b b n λ其中.11111λ-==a d b那时0,N ≠∈n b n ，.N ,1∈+=+=n b d a nn n λλ 当存在,N 0∈n 使00=nb 时，λλ+=+=0001n n n b d a 无意义.故此时，无穷数列}{n a 是不存在的.再证明定理的第（2）部份如下：∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ，∴其中必有一个特征根不即是1a ，无妨令.12a ≠λ于是可作变换.N ,21∈--=n a a c n n n λλ故21111λλ--=+++n n n a a c ，将hra qpa a n n n ++=+1代入再整理得N ,)()(22111∈-+--+-=+n hq r p a hq r p a c n n n λλλλ⑤由第（1）部份的证明过程知rp x =不是特征方程的根，故.,21rp r p ≠≠λλ 故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得：N,2211211∈--+--+⋅--=+n rp h q a r p hq a rp r p c n n n λλλλλλ⑥∵特征方程hrx qpx x ++=有两个相异根1λ、2λ⇒方程0)(2=--+q p h x rx 有两个相异根1λ、2λ，而方程xrp xh q x --=-与方程0)(2=---q p h x rx 又是同解方程.∴222111,λλλλλλ-=---=--rp h q rp h q将上两式代入⑥式得立即,01=c 11λ≠a 时，数列}{n c 是等比数列，公比为rp rp 21λλ--.此时对N∈n 都有.))(()(12121111211------=--=n n n rp r p a a r p r p c c λλλλλλ立即01=c 11λ=a 时，上式也成立.由21λλ--=n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n 所以.N ,112∈--=n c c a n n n λλ(证毕)注:那时qr ph =,h ra q pa n n ++会退化为常数;那时0=r ,hra qpa a n n n ++=+1可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.现在求解前述例3的分类递推问题）（*.解:依定理作特征方程,324++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部份，则有.N ,)221211(2313)(11212111∈⋅-⋅-⋅+-⋅--⋅--=--n r p r p a a c n n n λλλλ∴.N ,)51(521∈-=-n c n n∴.N ,1)51(521)51(52211112∈----⋅-=--=--n c c a n n n n n λλ即.N ,)5(24)5(∈-+--=n a nn n 例4．已知数列}{n a 满足：对,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a （4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？解：作特征方程.32513+-=x x x 变形得,025102=+-x x特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第（1）部份解答. （1）∵∴=∴=.,511λa a 对,N ∈n 都有;5==λn a （2）∵.,311λ≠∴=a a ∴λλr p rn a b n --+-=)1(1151131)1(531⋅-⋅-+-=n ,8121-+-=n 令0=n b ，得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在，当n ≤4，N ∈n 时，51751--=+=n n b a n n λ. （3）∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,811)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=λλ令,0=n b 则.7n n ∉-=∴对.0b N,n ≠∈n∴.N ,7435581111∈++=+-+=+=n n n n b a nnλ （4）显然那时31-=a ，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，51=a 时，数列}{n a 是存在的，那时51=≠λa ，则有.N ,8151)1(111∈-+-=--+-=n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得N ,11351∈--=n n n a 且n ≥2. ∴当11351--=n n a （其中N ∈n 且N≥2）时，数列}{n a 从第n 项开始便不存在.于是知：当1a 在集合3{-或,:1135N n n n ∈--且n ≥2}上取值时，无穷数列}{n a 都不存在.。
特征根法求数列通项原理
特征根法求数列通项原理特征根法是解线性递推方程的一种重要方法，可以用于求数列通项。
在本文中，我将详细介绍特征根法的原理，并展示如何利用此方法求解数列的通项。
一、特征根法的基本原理特征根法基于以下核心思想：解线性递推方程，一般需要首先找到数列的通解，然后根据已知初始条件来确定特定的通解。
特征根法通过构造特征方程，寻找数列的特征根，进而求解通解的方法。
设数列的通项表示为：an = c1 * λ1^n + c2 * λ2^n + ... + ck * λk^n其中，c1, c2, ..., ck是待定系数，λ1, λ2, ..., λk是数列的特征根。
现在，让我们来详细讨论特征根法的求解步骤。
二、求解步骤1.根据已知的递推关系式，得到数列的特征方程。
对于一般的线性递推方程，形如：an = a1 * an-1 + a2 * an-2 + ... + ak * an-k其特征方程可表示为：x^k - a1 * x^(k-1) - a2 * x^(k-2) - ... - ak = 02.求解特征方程的根。
通过求解特征方程的根来得到数列的特征根。
这里需要用到一些代数求根的方法，比如因式分解、配方法等。
3. 根据特征根，构造数列的通解。
特征根λ1, λ2, ..., λk 对应的解分别为c1 * λ1^n, c2 * λ2^n, ..., ck * λk^n。
由于特征根可能为复数，所以通解可能包含实部和虚部。
4. 利用已知的初始条件，确定数列的具体通解。
根据已知的初始条件（比如前几项的值），代入数列的通解方程，并解出待定系数 c1,c2, ..., ck。
这样，我们就得到了数列的特定通解。
三、一个具体的求解例子为了更好地理解特征根法的求解步骤，我们来看一个具体的例子。
假设数列的递推关系为：an = 2 * an-1 - 3 * an-2，其中a0 = 2, a1 = 5步骤1：得到特征方程。
特征方程为：x^2-2x+3=0。
特征方程法求递推数列的通项介绍
征方程法求递推数列的通项介绍1、引例：已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：11131323232n n n n a a a a ++⎛⎫=--⇔+=-+ ⎪⎝⎭ 得13111()223n n a -=-+- 这里的32-恰为方程0132,.32x x x =--=-的根 则称方程123x x =--为特征方程 一般地：定理1：在数列{}n a 中，已知1a ，且2n ≥时，1n n a pa q -=+（,p q 是常数），这时数列{}n a 的通项公式为：11()n n a a x p x -=-+2、定理2：在数列{}n a 中，已知1a 与2a ，且21n n n a pa qa ++=+（,p q 是常数），则称2x px q =+是数列{}n a 的二阶特征方程，其根1x ，2x 叫做特征方程的特征根。
（1）当12x x ≠时，有111122n n n a c x c x --=+；（2）当12x x =时，有()1121n n a c c n x -=+；其中12,c c 由12,a a 代入n a 后确定。
例2. （1）已知数列{n a }满足1a =3,2a =6,2n a +=41n a +-4n a 求n a解：作特征方程x 2=4x-4由特征根方程得122x x ==，故设n a =(1c +2c ) 12n -, 其中3=1c +2c ,6=(1c +22c ).2，所以1c =3, 2c =0,则n a =3.12n -（2）已知数列{n a }满足1a =3,2a =6,2n a +=21n a ++3n a 求n a解：作特征方程x 2=2x+3由特征根方程得α=3, β=-1所以n a =1c 13n -+2c 1(1)n --其中3=1c +2c , 6=31c -2c得1c =94, 2c =34所以n a =14.13n ++341(1)n --例 3. 已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++，求数列{}n a 的通项公式。
特征方程法求递推数列的通项公式
bn1
d . 作 换 元 bn a n x 0 , 则 1 c d cd a n1 x 0 ca n d ca n c(a n x 0 ) cbn . 1 c 1 c
当 x0 a1 时，b1 0 ，数列 {bn } 是以 c 为公比的等比数列，故 bn b1c n 1 ; 当 x0 a1 时， b1 0 ， {bn } 为 0 数列，故 a n a1 , n N. （证毕） 下面列举两例，说明定理 1 的应用. 例 1．已知数列 {a n } 满足： a n 1 a n 2, n N, a1 4, 求 a n .
a n 2 3 n1 (1) n 2 ）
2、 在数列 {a n } 中， a1 1, a 2 5, 且 a n 5a n 1 4a n 2 ，求 a n 。 （key：
13 x 25 . 变形得 x 2 10 x 25 0, x3 特征方程有两个相同的特征根 5. 依定理 2 的第（1）部分解答.
(1)∵ a1 5, a1 . 对于 n N, 都有 a n 5; (2)∵ a1 3, a1 . ∴ bn
存在. 于是知：当 a1 在集合 {3 或 数列 {a n } 都不存在. 练习题： 求下列数列的通项公式： 1、 在数列 {a n } 中， a1 1, a 2 7, a n 2a n1 3a n 2 (n 3) ， 求 an 。 （key：
5n 13 : n N , 且 n ≥2}上取值时，无穷 n 1
a n
满
足
a1 a, a 2 b,3a n 2 5a n 1 2a n 0(n 0, n N ) ，求数列 a n 的通项
特征根法求数列的通项公式
特征根法求数列的通项公式类型一、n n n qa pa a +=++12 对于由递推公式n n n qa pa a+=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。
若21,x x 是特征方程的两个根.(1)当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；(2)当21x x=时，数列{}n a 的通项为12)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入12)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）.例1. 数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n aa a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a . 解：其特征方程为232xx =-，解得121,2x x ==，令n n n B A a 21⋅+⋅=，由⎩⎨⎧=+==+=342221B A a B A a ，得⎪⎩⎪⎨⎧==211B A ， 112n na-∴=+.例2.已知数列{}na 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求{}n a 的通项n a .解：其特征方程为2441xx =-，解得1212x x ==，令n nnB A a)21)((+=，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=241)2(121)(21B A a B A a ，得⎩⎨⎧=-=64B A ， 1322n n n a --∴=.类型二、 hra qpa a n n n ++=+1如果数列}{na 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有hra qpa an n n ++=+1， （其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h ar qr ph -≠≠≠1,0,），那么，其特征方程为hrx qpx x ++=，变形为0)(2=--+q x p h rx(1)若方程有二异根1x 、2x ，则可令212111x a x a c x a x an nn n --⋅=--++（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值.这样数列12nn ax a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为2111x a x a --，公比为c 的等比数列，于是可求得na .(2)若方程有二重根0x ，则c x a x a n n +-=-+00111（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值.这样数列01n a x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为011x a -，公差为c 的等差数列，于是可求得na .例3. 已知数列{}na 满足11122,(2)21n n n a aa n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a . 解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++ 由12,a=得245a =，可得13c =-， ∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n nn nna --∴=+-.例4.已知数列{}na 满足*11212,()46n n n a aa n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a . 解：其特征方程为2146x x x -=+，即24410xx ++=，解得1212x x ==-，令1111122n n c a a +=+++由12,a=得2314a =，求得1c =， ∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+-⋅=-+， 135106n n a n -∴=-.例5（2005，重庆,文,22）数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a aa n n n n n且满足记).1(211≥-=n a b n n（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（Ⅱ）求数列}{nb 的通项公式及数列}{nn b a 的前n 项和.nS解：由已知,得nn n a a a816521-+=+,其特征方程为xx x 81652-+=解之得,211=x 或452=x∴n n n a a a 816)21(6211--=-+,nn n a a a 816)45(12451--=-+∴452121452111--⋅=--++n n n n a a a a , ∴n n n n a a a a 24)21(45214521111-=⋅--=---∴42521++=-nn n a )1(34231≥+⋅=n b n n ,121211+=-=n n n n n b b a a b 得由 n n n b a b a b a S +++= 2211故121()2n b b b n=++++ 1(12)53123n n -=+-1(251)3n n =+-.。
特征方程求数列通项
特征方程求数列通项以《特征方程求数列通项》为标题，写一篇3000字的中文文章特征方程求数列通项是数学中的一种常见技术，在分析等差数列的通项时尤其重要。
以下篇幅将介绍数列的特性以及如何使用特征方程来求数列的通项。
首先，我们来讨论什么是等差数列。
简单来说，等差数列是一种满足有限项之和恒定的数列，它的项之间都相等。
大多数等差数列的构成是最初的某个数a，然后每一项都比前一项多加上一个定值d，因此也称d为公差。
这样，数列的通项公式就可以写成：an = a + (n-1)d，其中n代表数列的第n项。
当回答如何使用特征方程来求数列的通项时，我们先要了解什么是特征方程。
特征方程是一种数列特性的简单表达式，它可以用来描述数列中某一项与另一项之间关系的多项式。
特征方程可以更有效地利用数列本身的特性，让我们更容易把握数列的规律，从而求出数列的通项。
要求数列的通项，我们可以把特征方程用来代替数列本身，从而简化求解过程。
通常，特征方程都是一元n次方程，满足：an = an-1 + d，其中n代表数列的第n项。
那么，我们可以根据特征方程的形式，将其化简成一元一次方程，其中，根据不同情况有以下几种：1. an = a + (n-1)d；2. an = an-1 + d；3. an = an-1 + (n - 1)d；4. an = an-2 + 2d；对不同的特征方程，求解过程也有所不同。
比如，如果特征方程为an = a + (n - 1)d，那么我们可以简单的把它转化为一个一元一次方程a + (n - 1)d = c，然后求解之。
这样，就可以求出数列的通项了。
类似地，我们也可以使用不同的特征方程来求解数列的通项。
一般来说，我们要先把特征方程转化成一元一次方程，这样就可以求出该数列的通项了。
随着数学理论的不断发展，特征方程求数列通项也越来越重要。
特征方程可以有效地用来求解复杂的数列，而且特征方程本身又是一种简单的数学表达式，更容易把握数列的规律，使求解更加简单可靠。
特征方程法求解递推关系中的数列通项
特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列｛a n ｝的项满足a j = b,a n 4 = ca n • d ,其中c = 0, c = 1,求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法一一特征方程 法：针对问题中的递推关系式作出一个方程 x =cx • d,称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式•下面以定理形式进行阐述.定理1:设上述递推关系式的特征方程的根为 x 0，则当x 0 = a 4时，a n为常数列，即a n 二a i ；当X o 二a i 时,a^ b n ' x o ，其中｛b n ｝是以c 为公比 的等比数列，即 b n = b 4c n J,b 4 =a 4-x 0.pl证明：因为c = 0,1,由特征方程得x 0——.作换元b n = a n - x 0,贝U 1 -c n 1当X 。
=a 1时，b 1 =0 ,数列｛b n ｝是以c 为公比的等比数列， 故b n =b1C _; 当 x ° 二a 1 时，d =0 , ｛b n ｝为 0 数列，故 a * =a 1,n • N.（证毕） 下面列举两例，说明定理 1的应用.1例1•已知数列｛a n ｝满足：a n^^a -2,- N,a—,求a n.13 解：作方程x x -2,则x 0. 3 2b"a n「x0 © d—注乂a .cd1 -c二 c(a n -X °) = cb n . 11一2 -3 一2 +X — a-fl等的比公为11 1 n4丁 3) ,a n-3b n —3叫-」)n‘, n N. 2 2 2 3b n列是例2.已知数列｛a n｝满足递推关系：a n ^（2a n - 3）i, n，N,其中i为虚数3单位。
当a i 取何值时，数列｛a .｝是常数数列?a^ :-,a 2二：给出的数列：a n 爲方程x 2- px -q =0，叫做数列 :a n / 的特征方程。
数列2利用特征方程求通项
数列专题（二） ------递归数列（2）一．知识方法扫描：与k 阶常系数齐次线性递归数列)0,,2,1(2211≠=+++=-+-++k n k k n k n k n c n a c a c a c a 对应的一元k 次方程{}n k k k k k a c c x c x c x 称为)0(2211≠+++=-- 的特征方程，其根称为特征根。
定理1.nkk n n n i x x x a k k i x λλλ+++=≤≤ 2211)1(个互不相等的根，则是特征方程的若 其中由初始条件唯一确定。
k λλλ,,,21定理2. m m k k k x x x m ,,,,,,2121 ，其重数分别是个互不相等的根若特征方程有n k n m n n n n n m x x x a k k k k )(2)(21)(121),(λλλ+++==+++ 则其中),1(12321)(m i n c n c n c c i ik ik i i i n i ≤≤++++=- λ)1(,,21m i c c c iik i i ≤≤是待定系数，由初始条件确定。
二．合作探究例1. {}{}的通项求数列满足：已知数列n n n n n a a a a a a a ,2110,93,31221-===++例2. {}{}的通项求数列满足设数列n n n n n a a a a a a a ,96,0,32121---===例3.{}{}的通项求数列满足设数列n n n n n n a a a a a a a a a ,243,2,1123321-+====+++例4. {}{}的通项求数列满足设数列n n n n n a n a a a a a a ),3(2,122121≥+===--例5{}{}的通项求数列中在数列n n n n a n n a a a a ,4423,1211++-==+.法2：例6. {}{}的通项求数列满足设数列n n n n n a n a a a a a ),1(1245,0210≥++==+例7.{}N n a a a a a n n n n ∈-+==+,236457,1210满足：数列，证明：为正整数对任意n a N n ,∈。
特征方程法求递推数列的通项公式
特点方程法求解递推关系中的数列通项一.（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项知足d ca a b a n n +==+11,,个中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式.采取数学归纳法可以求解这一问题,然而如许做太甚繁琐,并且在猜测通项公式中轻易出错,本文提出一种易于被学生控制的解法——特点方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特点方程;借助这个特点方程的根快速求解通项公式.下面以定理情势进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特点方程的根为0x ,则当10a x =时,n a 为常数列,即0101,;x b a a x a a n n n +===时当,个中}{n b 是认为c 公比的等比数列,即01111,x a b c b b n n -==-. 证实：因为,1,0≠c 由特点方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时,01≠b ,数列}{n b 是认为c 公比的等比数列,故;11-=n n c b b当10a x =时,01=b ,}{n b 为0数列,故.N ,1∈=n a a n （证毕）下面列举两例,解释定理1的运用.例1．已知数列}{n a 知足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时,.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是认为31-公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 知足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 个中i 为虚数单位.当1a 取何值时,数列}{n a 是常数数列？解：作方程,)32(i x x +=则.5360ix +-=要使n a 为常数,即则必须.53601ix a +-== 二.（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式nn n qa pa a +=++12,βα==21,a a 给出的数列{}n a ,方程02=--q px x ,叫做数列{}n a 的特点方程.若21,x x 是特点方程的两个根,当21x x ≠时,数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ,个中A,B 由βα==21,a a 决议（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入1211--+=n n n Bx Ax a ,得到关于A.B的方程组）;当21x x =时,数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x B A a ,个中A,B 由βα==21,a a 决议（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入11)(-+=n n x Bn A a ,得到关于A.B 的方程组）. 例3：已知数列{}n a 知足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++,求数列{}n a 的通项公式.解法一（待定系数——迭加法） 由025312=+-++n n n a a a ,得)(32112n n n n a a a a -=-+++, 且a b a a -=-12.则数列{}n n a a -+1是认为a b -首项,32为公比的等比数列,于是11)32)((-+-=-n n n a b a a .把n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=代入,得a b a a -=-12,)32()(23⋅-=-a b a a ,234)32()(⋅-=-a b a a ,21)32)((---=-n n n a b a a .把以上各式相加,得])32()32(321)[(21-+⋅⋅⋅+++-=-n n a b a a )(321)32(11a b n ---=-.a b b a a a b a n n n 23)32)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--.解法二（特点根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++,b a a a ==21,的特点方程是：02532=+-x x .32,121==x x , ∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)32(-⋅+=n B A . 又由b a a a ==21,,于是 故1)32)((323--+-=n n b a a b a三.(分式递推式)定理3：假如数列}{n a 知足下列前提：已知1a 的值且对于N ∈n ,都有hra q pa a n n n ++=+1（个中p.q.r.h 均为常数,且rh a r qr ph -≠≠≠1,0,）,那么,可作特点方程hrx qpx x ++=.（1）当特点方程有两个雷同的根λ（称作特点根）时, 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ 若λ≠1a ,则,N ,1∈+=n b a nn λ个中.N ,)1(11∈--+-=n r p rn a b n λλ特殊地,当消失,N 0∈n 使00=n b 时,无限数列}{n a 不消失.（2）当特点方程有两个相异的根1λ.2λ（称作特点根）时,则112--=n n n c c a λλ,,N ∈n个中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中例3.已知数列}{n a 知足性质：对于,324,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.解:依定理作特点方程,324++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特点方程有两个相异的根,运用定理2的第（2）部分,则有∴.N ,)51(521∈-=-n c n n∴.N ,1)51(521)51(52211112∈----⋅-=--=--n c c a n n n n n λλ即.N ,)5(24)5(∈-+--=n a nn n 例5．已知数列}{n a 知足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a（4）当1a 取哪些值时,无限数列}{n a 不消失？ 解：作特点方程.32513+-=x x x 变形得,025102=+-x x特点方程有两个雷同的特点根.5=λ依定理2的第（1）部分化答.(1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a (2)∵.,311λ≠∴=a a ∴λλr p rn a b n --+-=)1(11 令0=n b ,得5=n .故数列}{n a 从第5项开端都不消失, 当n ≤4,N ∈n 时,51751--=+=n n b a n n λ. (3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,811)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=λλ令,0=n b 则.7n n ∉-=∴对于.0b N,n ≠∈n ∴.N ,7435581111∈++=+-+=+=n n n n b a nn λ(4).显然当31-=a 时,数列从第2项开端便不消失.由本题的第（1）小题的解答进程知,51=a 时,数列}{n a 是消失的,当51=≠λa 时,则有.N ,8151)1(111∈-+-=--+-=n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得N ,11351∈--=n n n a 且n ≥2. ∴当11351--=n n a （个中N ∈n 且N ≥2）时,数列}{n a 从第n项开端便不消失.于是知：当1a 在聚集3{-或,:1135N n n n ∈--且n ≥2}上取值时,无限数列}{n a 都不消失. 演习题：求下列数列的通项公式：1、 在数列}{n a 中,,7,121==a a )3(3221≥+=--n a a a n n n ,求n a .（key ：21)1(32---+⋅=n n n a ）2、 在数列}{n a 中,,5,121==a a 且2145---=n n n a a a ,求n a .（key ：)14(31-=n n a ）3、 在数列}{n a 中,,7,321==a a )3(2321≥-=--n a a a n n n ,求n a .（key ：121-=+n n a ）4、 在数列}{n a 中,,2,321==a a n n n a a a 313212+=++,求n a .（key ：2)31(4147--⋅+=n n a ）5、 在数列}{n a 中,,35,321==a a )4(3112n n n a a a -=++,求n a .（key ：1321-+=n n a ）6、 在数列}{n a 中,,,21b a a a ==n n n qa pa a +=++12,且1=+q p .求n a .（key ：1=q 时,))(1(a b n a a n --+=;1≠q 时,qq a b b aq a n n +---+=-1))((1）7、 在数列}{n a 中,,,21b a a a a +==0)(12=++-++n n n qa a q p pa （qp ,长短0常数）.求n a .（key ：bpq q p p a a n n )](1[1---+= (qp ≠);b n a a n )1(1-+=）(q p =)8.在数列}{n a 中,21,a a 给定,21--+=n n n ca ba a .求n a .(key:122211)(a c a a n n n n n ⋅--+⋅--=----αβαβαβαβ)(βα≠;若βα=,上式不克不及运用,此时,.)2()1(1122----⋅-=n n n a n a n a αα附定理3的证实定理3(分式递推问题)：假如数列}{n a 知足下列前提：已知1a 的值且对于N∈n ,都有hra qpa a n n n ++=+1（个中p.q.r.h 均为常数,且rh a r qr ph -≠≠≠1,0,）,那么,可作特点方程hrx qpx x ++=.（1）当特点方程有两个雷同的根λ（称作特点根）时, 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ,则,N ,1∈+=n b a nn λ个中.N ,)1(11∈--+-=n r p rn a b n λλ特殊地,当消失,N 0∈n 使00=n b 时,无限数列}{n a 不消失.（2）当特点方程有两个相异的根1λ.2λ（称作特点根）时,则112--=n n n c c a λλ,,N ∈n 个中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中证实：先证实定理的第（1）部分. 作交流N ,∈-=n a d n n λ 则λλ-++=-=++hra qpa a d n n n n 11λλλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=])([)(2① ∵λ是特点方程的根,∴λ.0)(2=--+⇒++=q p h r hr qp λλλλ将该式代入①式得.N ,)(1∈-+-=+n rh rd r p d d n n n λλ②将rp x =代入特点方程可整顿得,qr ph =这与已知前提qr ph ≠抵触.故特点方程的根λ,rp≠于是.0≠-r p λ③ 当01=d ,即λ+=11d a =λ时,由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ当01≠d 即λ≠1a 时,由②.③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变更：.1)(11rp rd r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+⋅-+=--+=+④由λ是方程hrx qpx x ++=的两个雷同的根可以求得.2rhp -=λ ∴,122=++=---+=-+h p p h rrh p p rr hp h r p r h λλ将此式代入④式得.N ,111∈-+=+n rp r d d n n λ 令.N ,1∈=n d b nn 则.N ,1∈-+=+n r p r b b n n λ故数列}{n b 是认为rp r λ-公役的等差数列.∴.N ,)1(1∈-⋅-+=n rp rn b b n λ个中.11111λ-==a db 当0,N ≠∈n b n 时,.N ,1∈+=+=n b d a nn n λλ 当消失,N 0∈n 使00=n b 时,λλ+=+=01n n n b d a 无意义.故此时,无限数列}{n a 是不消失的.再证实定理的第（2）部分如下：∵特点方程有两个相异的根1λ.2λ,∴个中必有一个特点根不等于1a ,无妨令.12a ≠λ于是可作变换.N ,21∈--=n a a c n n n λλ故21111λλ--=+++n n n a a c ,将hra qpa a n n n ++=+1代入再整顿得N ,)()(22111∈-+--+-=+n hq r p a hq r p a c n n n λλλλ⑤由第（1）部分的证实进程知rp x =不是特点方程的根,故.,21rp rp ≠≠λλ故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得：N ,2211211∈--+--+⋅--=+n rp h q a r p hq a rp r p c n n n λλλλλλ⑥∵特点方程hrx q px x ++=有两个相异根1λ.2λ⇒方程)(2=--+q p h x rx 有两个相异根1λ.2λ,而方程xrp xhq x --=-与方程0)(2=---q p h x rx 又是同解方程.∴222111,λλλλλλ-=---=--rp hq r p h q将上两式代入⑥式得当,01=c 即11λ≠a 时,数列}{n c 是等比数列,公比为rp rp 21λλ--.此时对于N ∈n 都有当01=c 即11λ=a 时,上式也成立. 由21λλ--=n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n所以.N ,112∈--=n c c a n n n λλ(证毕) 注:当qr ph =时,hra q pa n n ++会退化为常数;当0=r 时,hra qpa a n n n ++=+1可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.。
用特征方程求数列的通项
用特征方程求数列的通项——发表于《数理天地》高中版第204期贵溪市第四中学 吴善祥1.“q pa a n n +=+1（其中q p 、均为常数，且()01≠-p pq ）”型递推数列。
对于“q pa a n n +=+1（其中q p 、均为常数，且()01≠-p pq ）”型递推数列，可设其特征方程为q px x +=，其根为α，则有()αα-=-+n n a p a 1。
例1 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈， 证明：{}1n a -是等比数列。
分析 由()21≥-=-n s s a n n n 易得61651+=-n n a a ，可设其特征方程为6165+=x x ，从而得到()16511-=--n n a a 。
证明 当1=n 时，141-=a ；当2≥n 时，15511++-=-=--n n n n n a a s s a ，即61651+=-n n a a ，作特征方程6165+=x x ，解得1=x ，所以()16511-=--n n a a ，又01511≠-=-a ，所以数列{}1n a -是等比数列。
2.“n n n qa pa a +=++12（其中q p 、均为常数）”型递推数列。
对于“n n n qa pa a +=++12（其中q p 、均为常数）”型递推数列，可设其特征方程为2x px q =+，设其两实根为α、β，（1）若α≠β时，则有n a =1112n n c c αβ--+，其中1c 、2c 是由1a 、2a 确定； （2）若α=β时，则有112()n n a c n c α-=+，其中1c 、2c 是由1a 、2a 确定。
例2 设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，…），求数列{}n x 的通项公式。
特征方程求通项公式
特征方程求通项公式好的，以下是为您生成的关于“特征方程求通项公式”的文章：在咱们数学这个神奇的世界里，有一个特别厉害的工具，叫做特征方程。
这玩意儿在求数列通项公式的时候，那可真是大显身手！还记得我当年读高中的时候，有一次数学考试，最后一道大题就是关于用特征方程求通项公式的。
当时我一看到题目，心里就“咯噔”一下，这不是前两天老师刚讲过的知识点嘛！可我当时并没有完全掌握。
题目是这样的：已知数列{aₙ}满足 a₁ = 1，aₙ₊₁ = 2aₙ + 1，求数列{aₙ}的通项公式。
我当时就想，这可咋办呀？硬着头皮上呗！我先设了个特征方程 x= 2x + 1，解出来特征根是 -1。
然后按照老师教的方法，设 aₙ = b × (-1)ⁿ + c，把 a₁ = 1 代进去，求出 b 和 c 的值。
可算来算去，总是出错，心里那个着急啊！时间一分一秒过去，额头上的汗珠都冒出来了。
最后考试结束，我也没做出来这道题，心里别提多失落了。
从那以后，我就下定决心，一定要把特征方程求通项公式这个知识点给拿下！咱们先来说说什么是特征方程。
其实呀，它就是根据数列的递推关系式，通过巧妙的设未知数，构造出一个方程，这个方程就叫特征方程。
比如说，如果数列{aₙ}满足 aₙ₊₁ = paₙ + q（p ≠ 1）这样的递推关系，那它的特征方程就是 x = px + q。
通过解这个特征方程，我们就能得到一些关键的信息，从而求出通项公式。
那具体怎么求呢？比如说，解出来的特征根是 r，那我们就可以设 aₙ = b × rⁿ + c。
这里的 b 和 c 呢，就需要根据已知条件来确定。
再比如，如果递推关系式是 aₙ₊₂ = paₙ₊₁ + qaₙ 这样的形式，那它的特征方程就是 x² = px + q。
解这个方程，得到两个特征根 r₁和r₂。
这时候，通项公式就可以设为 aₙ = b × r₁ⁿ + c × r₂ⁿ 。
特征方程求数列通项原理
特征方程求数列通项原理
特征根法求数列通项原理是数列{a(n)}，设递推公式为
a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)，则其特征方程为x^2-px-q=0。
若方程有两相异根A、B，则a(n)=c*A^n+d*B^n，若方程有两等根A=B，则
a(n)=(c+nd)*A^n。
按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an}的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。
这正如函数的解析式一样，通过代入具体的n值便可求知相应an项的值。
数列（sequence of number）是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。
著名的数列有斐波那契数列，三角函数，卡特兰数，杨辉三角等。
1。
特征方程法求数列的通项公式
高中数学数列`特征方程法求数列的通项公式求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径.证明: 2()0,ax b a d bx cx d a x b cx d c cαβαβ+-=⇒+--=⇒+==-+(),d a c b c αβαβ∴=-+=-11()()()()()()()()n n n n n n n n n n n n aa ba ca d aab ca d ac a bd aa b a aa b ca d a c a b d ca dαααααβββββ+++--++-+-+-∴===+-+-+-+--+()[()]()()()[()]()()n n n n a c a c a c c a c a a c a c a c a c c a c a a c ααβαβααααβαβαβββββ-+-------==-+------- n n a a c a c a ααββ--=⋅-- 证毕证明: 22,d a c b c αα=-=-111()()()n n nn n n n n ca d ca d aa b a aa b ca d a c a b dca dααααα+++∴===+-+-+-+--+ 22222()(2)()()()2n n n n n n ca a c ca a c ca a ca c a c a c a c a a αααααααααα+-+-+-===--+---- 2242(2)2()()()()()()()()n n n n n n ca a c ca a c d c a a d a d a a d a a d a αααααα+-+-+-++===+-+-+-21n c a d a α=++- 证毕例1:各项均为正数的数列{}n a ,12,a a a b ==,且对满足m n p q +=+的正数,,,m n p q 都有(1)(1)(1)(1)p q m n m n p q a a a a a a a a ++=++++. (1)当14,25a b ==时,求通项n a ;(2)略. 解:由(1)(1)(1)(1)p q m nm n p q a a a a a a a a ++=++++得121121(1)(1)(1)(1)n n n n a a a a a a a a --++=++++ 将14,25a b ==代入上式化简得11212n n n a a a --+=+考虑特征方程212x x x +=+得特征根1x =± 所以11111121112112113112n n n n n nn n a a a a a a a a ------+--+-==⋅+++++ 所以数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=-+为首项,公比为13的等比数列 故11111()()1333n nn n a a --=-⋅=-+ 即3131n n na -=+ 例2:已知数列{}n a 满足*1112,2,n n a a n N a -==-∈,求通项n a . 解: 考虑特征方程12x x=-得特征根1x = 111111111111111(2)11n n n n n n a a a a a a -----====+------ 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1111a =-为首项,公差为1的等差数列 故11n n a =- 即1n n a n += 类型二.已知数列{}n a 满足2112n n n a c a c a ++=+ ② (其中12,c c 为常数,且*20,c n N ≠∈.) 定义2:方程212x c x c =+为②的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为12,λλ. 定理3:若12λλ≠,则1122n n n a b b λλ=+,其中12,b b 常数,且满足111222221122a b b a b b λλλλ=+⎧⎨=+⎩.定理4: 若12λλλ==,则12()nn a b b n λ=+,其中12,b b 常数,且满足1122212()(2)a b b a b b λλ=+⎧⎨=+⎩.例3:已知数列{}n a 满足12211,2cos ,2cos n n n a a a a a ϕϕ++===-,求通项n a . 解: 考虑特征方程22cos 1x x ϕ=-得特征根12cos sin ,cos sin i i λϕϕλϕϕ=+=- 则121212(cos sin )(cos sin )()cos ()sin n n n a b i b i b b n i b b n ϕϕϕϕϕϕ=++-=++-其中12121212121201()cos ()sin sin 1()2cos ()cos 2()sin 2sin sin n b b b b i b b n a i b b b b i b b ϕϕϕϕϕϕϕϕ+=⎧=++-⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-==++-⎩⎪⎩例4:已知数列{}n a 满足12212,8,44n n n a a a a a ++===-,求通项n a .解: 考虑特征方程244x x =-得特征根2λ=则12()2n n a b b n =+ 其中1211222()2024(2)81n n b b b a n b b b +==⎧⎧⇒⇒=⎨⎨+==⎩⎩。
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若 且 ,则 即{ }等差数列
五、练习
1．已知数列 满足： 求
2.已知数列{ }满足 =3, =6, =4 -4 求
3.已知数列{ }满足 =3, =6, =2 +3 求
4.各项均为正数的数列{ } =a, =b，且对任意的m+n=p+q的正整数 m，n，p，q，
都有 当a= ,b= 时 ，求通项
⑴．线性递推关系：已知
⑵．齐次二阶线性递推关系：已知 且
⑶．分式递推关系：已知 ，
2.特征根方程及求法
⑴． 的特征根方程为x=px+q，其根为 ,则 =p( )
⑵. 的特征根方程为 设两实根为 ,
①.若 时,则 = ,其中 , 是由 , 确定
②.若 = 时,则 其中 , 是由, 确定
⑶. 的特征根方程为 若方程的两根为 ,
三、例题
例1、已知数列 且 ，求通项公式 。
解设 ，∴
令 ，可得 ，于是
… ，
∴ ，即 是以 为首项、 为公差的等差数列，
∴ ，从而 .
例2、设数列 满足 .
解：对等式两端同加参数 得
令 ，解之得 ， ，代入上式
得 ，
两式相除得
即 的等比数列，
∴ ．
四、本课小结：
1．可用特征方程解决递推数列的三类模型
5:已知数列 满足 ,求通项 .
6．已知数列 满足 ，求数列 的通项
7．已知数列 满足 ，求数列 的通项
8．已知数列 满足 ，求数列 的通项
9．已知数列 满足 ，求数列 的通项
练习答案
1、解：作特征方程 数列 是以 为公比的等比数列.于是
=（ ）
2、解：作特征方程x2=4x-4由特征根方程得 = =2故设 =( + n) ,其中3= + ,6=( +2 ).2， 所以 =3, =0,则 =3.
所以有结论：若递推公式为 则其特征方程为
1、若方程有两相异根 、 ，则 ；
2、若方程有两等根 ，则 .其中 、 可由初始条件确定。
（三）分式线性递推数列 （ ），
将上述方法继续类比，仿照前面方法，等式两边同加参数 ，则
①，
令 ，即 ②，记②的两根为 ，
（1）若 ，将 分别代入①式可得
，
以上两式相除得 ，于是得到 为等比数列，其公比为 ，数列 的通项 可由 求得；
设 ，令 ，即 ，当 时可得
，知数列 是以 为公比的等比数列，
将 代入并整理，得 .故数列 对应的特征方程是：x=cx+d
（二）、二阶线性递推数列
仿上，用上述参数法我们来探求数列 的特征：不妨设 ，则 ,令 （※）
（1）若方程组（※）有两组不同的实数解 ,
则 , ,即 、 分别是公比为 、 的等比数列，由等比数列通项公式可得 ①, ②,
故 即
6．解：其特征方程为 ，解得 ，令 ，
由 ，得 ，
7．解：其特征方程为 ，解得 ，令 ，
由 ，得 ，
8．解：其特征方程为 ，得 ，解得 ，令 由 得 ，可得 ， 数列 是以 为首项 为公比的等比数列， ，
9．解：其特征方程为 ，即 ，解得 ，
令 ，由 得 ，求得 ，
数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
（2）若 ，将 代入①式可得 ,考虑到上式结构特点，两边取倒数得
③
由于 时方程③的两根满足 ，∴
于是④式可变形为
∴ 为等差数列，其公差为 ，
∴数列 的通项 可由 求得．
这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。如果我们引入分式线性递推数列 的特征方程为 ，即 ，此特征方程的两根恰好是方程②两根的相反数，于是我们得到如下结论：
，
分式线性递推数列 的特征方程为
1、若方程有两相异根 、 ，则 成等比数列，其公比为 ；
2、若方程有两等根 ，则 成等差数列，其公差为 .
值得指出的是，上述结论在求相应数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的思想方法更为重要。如对于其它形式的递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式，其结论与特征方程法完全一致，
3、解：作特征方程x2=2x+3由特征根方程得 =3, =-1所以 = + 其中3= + , 6=3 - ， 得 = , = 所以 = . +
4、解:由 得 将 代入上式化简得 考虑特征方程 得特征根 所以 ，所以数列 是以 为首项,公比为 的等比数列，，故 即
5、解:考虑特征方程 ，得特征根 ，
所以数列 是以 为首项,公差为1的等差数列，
∵ 由上两式①+②消去 可得 .
（2）若方程组（※）有两组相等的解 ，易证此时 ，则
， ,即 是等差数列，由等差数列通项公式可知 ，所以 ．
这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（※）消去 即得 ，显然 、 就是方程 的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列 的特征方程，
用特征方程求数列的通项
用特征方程求数列的通项
一、递推数列特征方பைடு நூலகம்的研究与探索
递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。递推数列的特征方程是怎样来的
（一）、若数列 满足 其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：