用特征方程求数列的通项
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若 且 ,则 即{ }等比数列
若 且 ,则 即{ }等差数列
五、练习
1．已知数列 满足： 求
2.已知数列{ }满足 =3, =6, =4 -4 求
3.已知数列{ }满足 =3, =6, =2 +3 求
4.各项均为正数的数列{ } =a, =b，且对任意的m+n=p+q的正整数 m，n，p，q，
都有 当a= ,b= 时 ，求通项
∵ 由上两式①+②消去 可得 .
（2）若方程组（※）有两组相等的解 ，易证此时 ，则
， ,即 是等差数列，由等差数列通项公式可知 ，所以 ．
这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（※）消去 即得 ，显然 、 就是方程 的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列 的特征方程，
5:已知数列 满足 ,求通项 .
6．已知数列 满足 ，求数列 的通项
7．已知数列 满足 ，求数列 的通项
8．已知数列 满足 ，求数列 的通项
9．已知数列 满足 ，求数列 的通项
练习答案
1、解：作特征方程 数列 是以 为公比的等比数列.于是
=（ ）
2、解：作特征方程x2=4x-4由特征根方程得 = =2故设 =( + n) ,其中3= + ,6=( +2 ).2， 所以 =3, =0,则 =3.
三、例题
例1、已知数列 且 ，求通项公式 。
解设 ，∴
令 ，可得 ，于是
… ，
∴ ，即 是以 为首项、 为公差的等差数列，
∴ ，从而 .
例2、设数列 满足 .
解：对等式两端同加参数 得
令 ，解之得 ， ，代入上式
得 ，
两式相除得
即 的等比数列，
∴ ．
四、本课小结：
1．可用特征方程解决递推数列的三类模型
所以有结论：若递推公式为 则其特征方程为
1、若方程有两相异根 、 ，则 ；
2、若方程有两等根 ，则 .其中 、 可由初始条件确定。
（三）分式线性递推数列 （ ），
将上述方法继续类比，仿照前面方法，等式两边同加参数 ，则
①，
令 ，即 ②，记②的两根为 ，
（1）若 ，将 分别代入①式可得
，
以上两式相除得 ，于是得到 为等比数列，其公比为 ，数列 的通项 可由 求得；
故 即
6．解：其特征方程为 ，解得 ，令 ，
由 ，得 ，
7．解：其特征方程为 ，解得 ，令 ，
由 ，得 ，
8．解：其特征方程为 ，得 ，解得 ，令 由 得 ，可得 ， 数列 是以 为首项 为公比的等比数列， ，
9．解：其特征方程为 ，即 ，解得 ，
令 ，由 得 ，求得 ，
数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
，
3、解：作特征方程x2=2x+3由特征根方程得 =3, =-1所以 = + 其中3= + , 6=3 - ， 得 = , = 所以 = . +
4、解:由 得 将 代入上式化简得 考虑特征方程 得特征根 所以 ，所以数列 是以 为首项,公比为 的等比数列，，故 即
5、解:考虑特征方程 ，得特征根 ，
所以数列 是以 为首项,公差为1的等差数列，
用特征方程求数列的通项
用特征方程求数列的通项
一、递推数列特征方程的研究与探索
递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。递推数列的特征方程是怎样来的
（一）、若数列 满足 其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：
⑴．线性递推关系：已知
⑵．齐次二阶线性递推关系：已知 且
⑶．分式递推关系：已知 ，
2.特征根方程及求法
⑴． 的特征根方程为x=px+q，其根为 ,则 =p( )
⑵. 的特征根方程为 设两实根为 ,
①.若 时,则 = ,其中 , 是由 , 确定
②.若 = 时,则 其中 , 是由, 确定
⑶. 的特征根方程为 若方程的两根为 ,
设 ，令 ，即 ，当 时可得
，知数列 是以 为公比的等比数列，
将 代入并整理，得 .故数列 对应的特征方程是：x=cx+d
（二）、二阶线性递推数列
仿上，用上述参数法我们来探求数列 的特征：不妨设 ，则 ,令 （※）
（1）若方程组（※）有两组不同的实数解 ,
则 , ,即 、 分别是公比为 、 的等比数列，由等比数列通项公式可得 ①, ②,
分式线性递推数来自百度文库 的特征方程为
1、若方程有两相异根 、 ，则 成等比数列，其公比为 ；
2、若方程有两等根 ，则 成等差数列，其公差为 .
值得指出的是，上述结论在求相应数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的思想方法更为重要。如对于其它形式的递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式，其结论与特征方程法完全一致，
（2）若 ，将 代入①式可得 ,考虑到上式结构特点，两边取倒数得
③
由于 时方程③的两根满足 ，∴
于是④式可变形为
∴ 为等差数列，其公差为 ，
∴数列 的通项 可由 求得．
这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。如果我们引入分式线性递推数列 的特征方程为 ，即 ，此特征方程的两根恰好是方程②两根的相反数，于是我们得到如下结论：
若 且 ,则 即{ }等差数列
五、练习
1．已知数列 满足： 求
2.已知数列{ }满足 =3, =6, =4 -4 求
3.已知数列{ }满足 =3, =6, =2 +3 求
4.各项均为正数的数列{ } =a, =b，且对任意的m+n=p+q的正整数 m，n，p，q，
都有 当a= ,b= 时 ，求通项
∵ 由上两式①+②消去 可得 .
（2）若方程组（※）有两组相等的解 ，易证此时 ，则
， ,即 是等差数列，由等差数列通项公式可知 ，所以 ．
这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数列的通项，若将方程组（※）消去 即得 ，显然 、 就是方程 的两根，我们不妨称此方程为二阶线性递推数列 的特征方程，
5:已知数列 满足 ,求通项 .
6．已知数列 满足 ，求数列 的通项
7．已知数列 满足 ，求数列 的通项
8．已知数列 满足 ，求数列 的通项
9．已知数列 满足 ，求数列 的通项
练习答案
1、解：作特征方程 数列 是以 为公比的等比数列.于是
=（ ）
2、解：作特征方程x2=4x-4由特征根方程得 = =2故设 =( + n) ,其中3= + ,6=( +2 ).2， 所以 =3, =0,则 =3.
三、例题
例1、已知数列 且 ，求通项公式 。
解设 ，∴
令 ，可得 ，于是
… ，
∴ ，即 是以 为首项、 为公差的等差数列，
∴ ，从而 .
例2、设数列 满足 .
解：对等式两端同加参数 得
令 ，解之得 ， ，代入上式
得 ，
两式相除得
即 的等比数列，
∴ ．
四、本课小结：
1．可用特征方程解决递推数列的三类模型
所以有结论：若递推公式为 则其特征方程为
1、若方程有两相异根 、 ，则 ；
2、若方程有两等根 ，则 .其中 、 可由初始条件确定。
（三）分式线性递推数列 （ ），
将上述方法继续类比，仿照前面方法，等式两边同加参数 ，则
①，
令 ，即 ②，记②的两根为 ，
（1）若 ，将 分别代入①式可得
，
以上两式相除得 ，于是得到 为等比数列，其公比为 ，数列 的通项 可由 求得；
故 即
6．解：其特征方程为 ，解得 ，令 ，
由 ，得 ，
7．解：其特征方程为 ，解得 ，令 ，
由 ，得 ，
8．解：其特征方程为 ，得 ，解得 ，令 由 得 ，可得 ， 数列 是以 为首项 为公比的等比数列， ，
9．解：其特征方程为 ，即 ，解得 ，
令 ，由 得 ，求得 ，
数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
，
3、解：作特征方程x2=2x+3由特征根方程得 =3, =-1所以 = + 其中3= + , 6=3 - ， 得 = , = 所以 = . +
4、解:由 得 将 代入上式化简得 考虑特征方程 得特征根 所以 ，所以数列 是以 为首项,公比为 的等比数列，，故 即
5、解:考虑特征方程 ，得特征根 ，
所以数列 是以 为首项,公差为1的等差数列，
用特征方程求数列的通项
用特征方程求数列的通项
一、递推数列特征方程的研究与探索
递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。递推数列的特征方程是怎样来的
（一）、若数列 满足 其通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等比数列：
⑴．线性递推关系：已知
⑵．齐次二阶线性递推关系：已知 且
⑶．分式递推关系：已知 ，
2.特征根方程及求法
⑴． 的特征根方程为x=px+q，其根为 ,则 =p( )
⑵. 的特征根方程为 设两实根为 ,
①.若 时,则 = ,其中 , 是由 , 确定
②.若 = 时,则 其中 , 是由, 确定
⑶. 的特征根方程为 若方程的两根为 ,
设 ，令 ，即 ，当 时可得
，知数列 是以 为公比的等比数列，
将 代入并整理，得 .故数列 对应的特征方程是：x=cx+d
（二）、二阶线性递推数列
仿上，用上述参数法我们来探求数列 的特征：不妨设 ，则 ,令 （※）
（1）若方程组（※）有两组不同的实数解 ,
则 , ,即 、 分别是公比为 、 的等比数列，由等比数列通项公式可得 ①, ②,
分式线性递推数来自百度文库 的特征方程为
1、若方程有两相异根 、 ，则 成等比数列，其公比为 ；
2、若方程有两等根 ，则 成等差数列，其公差为 .
值得指出的是，上述结论在求相应数列通项公式时固然有用，但将递推数列转化为等比（等差）数列的思想方法更为重要。如对于其它形式的递推数列，我们也可借鉴前面的参数法，求得通项公式，其结论与特征方程法完全一致，
（2）若 ，将 代入①式可得 ,考虑到上式结构特点，两边取倒数得
③
由于 时方程③的两根满足 ，∴
于是④式可变形为
∴ 为等差数列，其公差为 ，
∴数列 的通项 可由 求得．
这样，利用上述方法，我们可以把分式线性递推数列转化为等比数列或等差数列，从而求得其通项。如果我们引入分式线性递推数列 的特征方程为 ，即 ，此特征方程的两根恰好是方程②两根的相反数，于是我们得到如下结论：