2015年解放军高中士兵考学数学真题

处的切线方程式 2
3
1 n ) 的二项展开式的各项系数之和为 A，二项式系数之和为 B，若 A-B=240，则 x
该二项展开式中的常数项为 . 6.一个盒子中有 3 个分别标有 1,2,3 的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子， 共取 3 次，则取到的小球标号最大是 3 的取法有 .种. 7.已知 PQ 是圆 x 2 y 2 9 的弦，PQ 的中点是（1,2） ，则直线 PQ 的方程是 8.已知 f ( x ) . .
3. " k h" 是“直线 y x 2 与圆 ( x k ) 2 ( y h) 2 2 相切”的（ A. 充分不必要条件 C. 充要条件 4.若 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
ln 3 ln 4 ln 5 , , ，则有（ ） 3 4 5 A. b c a B. c b a
四．（12 分）已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 2 an ，数列 {bn } 满足 b1 1, b3 b7 18. ， 且 bn 1 bn 1 2bn . （1）求数列 {an } ， {bn } 的通项公式； （2）若 c n =
bn ，求数列{ cn }的前 n 项和. an
（3）是否存在实数 m，使得函数 g ( x ) f / ( x ) mx 在区间[1,2]上有最小值-5？若存在， 请求出 m 值，若不存在，说明理由.
x2 y2 6 七．（12 分）已知椭圆 C： 2 2 1( a b 0) 的离心率为 ，短轴的一个端点到右 a b 3
5.已知双曲线
C. a c b
D. c a b
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 2 px ( p 0) 的准线分 2 a b
别交于 P、Q 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率是 2，三角形 POQ 的面积为 3 ，则 p= （ A. 4 ） B. 3 C. 1 D. 2 ）

.
1 ，则 sin( ) 2
2 2
.
3.若直线 ax 2by 2 0(ab 0) 始终平分圆 x y 4 x 2 y 8 0 ，则 值为 .
/
1 1 的最小 2a b
.
4.已知函数 f ( x ) f (0) cos x sin x, 则函数 f ( x ) 在 x0 5.设 (5 x
2015 年数学真题
一．选择题（36 分）
1.设集合 P= {5, log 2 (a 3)} ，集合 Q {a, b} ，若 P Q {2} ，则 P Q （ A. {1,2,4} B. {1,2,5} C. {1,2,3} D. {2,3,5} ） ）
2.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数，它在 [0,) 上递减，那么一定有（ A. f ( 2) f ( a 2 2a 3) C. f ( 2) f ( a 2 2a 3) B. f ( 2) f ( a 2 2a 3) D. f ( 2) f ( a 2 2a 3) ）
*
(1 x) k a b 则 ab=（ x 0 x
D.k
）
二．填空题（32 分）
1.已知向量 a , b 满足 a 1, b 2 且 ( a b )( a 2 b ) 6 ，则向量 a , b 的夹角为 2.若 cos cos sin sin
焦点的距离为 3 ； （1）求椭圆 C 的方程； （2） 设直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点， 坐标原点 O 到直线 l 的距离为 积的最大值.
3 ， 求 ABC 面 2
八．（ 14 分 ） 如 图 所 示 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， 底 面 ABCD 为 平 行 四 边 形 ，
六．（14 分） 已知 f ( x )
1 3 1 2 ax x cx d (a, c, d R) ，满足 f (0) 0 ， f / (1) = 0 且 3 4
f / ( x) 0 在 R 上恒成立.
（1）求 a，c，d 的值； （2）若 h( x )
3 2 b 1 x bx (b R) ，解不等式 f / ( x) h( x) 0 ； 4 2 4
6.等差数列 {xn } 中，x3 x11 8 ， 数列 { y n } 为等比数列， 且 y 7 x7 ， 则 y6 y8 的值为 （ A. 4 B. 6 C. 12 D. 16
→
7.连续两次掷骰子，得到的点数分别为 m 和 n，若记向量 a ( m, n) 与向量 b = (1,-2) 的夹 角为 ，则 为锐角的概率（ A. ） D.
五．（14 分）袋中黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球，都是白球的概率是
1 ；现有甲乙 7
两个人从袋中轮流摸取一球，甲先取乙后取，然后甲再取· · ·取后不放回，直到两人中有一 人取到白球时终止，每个球在每一次被取到的机会是相等的.用 表示取球终止时所需要的 取球次数; （1）求袋中原有白球的个数； （2）求随机变量 的概率分布和期望. （3）求甲取到白球的概率.
ADC 45, AD=AC=1，O 为 AC 的中点，PO 垂直于底面 ABCD，PO=2，M 为 PD 的中
点； （1）证明：PB//平面 ACM； （2）证明：AD 平面 PAC； （3）求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值.
8.一个四棱柱的各个顶点都在一个直径为 2cm 的球面上， 如果该四棱柱的底面是对角线长为
5 36
B.
7 36
Hale Waihona Puke Baidu
C.
1 6
2 9
2cm 的正方形，侧棱与底面垂直，则该四棱柱的表面积为（
A.
） D. ( 2 4 2 )cm
2
2cm 2
B. (1 2 2 )cm
2
C. (1 4 2 )cm
2
9.已知 k N , a, b R ，若 lim A. -1 B. 1 C.-k
log 3 x, x 0
, 且 f (0) 2, f (1) 3 ，则 f ( f (3)) x a b, x 0
三．（16 分）计算题，本题共 2 个小题. 1.（6 分）解不等式 x + 3 - x - 2 ≥ 3
2.（10 分） 在 ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c， 已知 cos 2 A 3 cos( B C ) 1 （1）求角 A 的大小； （2）若 ABC 的面积 S 5 3 , b 5, ，求 sin B sin C 的值.