线性代数各章知识和脉络图

a11 a11 a22
a11 a11
a22
ann a11 a11
ann
2、（次）对角行列式、上（下）三角行列式
a11
a11 n aii i1
ann
a1n
a1n a11
a1n a1n
a2,n1
a2,n1 a2,n a21
a2,n1
nn1 n
1 2
aii
i 1
an1
an1
an,n1 ann
an1
【例】：
1、设行列式 det A的元素为 aij ，行列式
n
试证： det D det A x Aij ，其中 Aij 为 aij 在 det A中的代数余子式。 i, j1
证明：把 det D 升阶得到
n
n
n
Dn akj Akj （按 j 行展开） k 1
给定（i,j）元的值
化三角形－加边法、爪型行列式； 公式法－特殊行列式、范德蒙德行列式；
未给定（i,j）元的值
递推、数学归纳法；等 用行列式性质计算；
用矩阵性质计算；
克拉默法则；
用方阵的特征值；等
应用
判断方阵的可逆，利用伴随几种求逆矩阵；
线性相关性的判定；
子式 M ij 和代数余子式 Aij 的取值。 Aij 1 i j Mij ，代数余子式即为带符号的余子式。
利用教材 P21 例 13 深入理解余子式和代数余子式及其关系。 【例】：已知 4 阶行列式 D 中，第一行元素分别为 1，2，0，-4；第三行的 4 个元素的余子式分别为：
M31 6,M32 x,M33 19,M34 2 。求 x 的值。 解答： a11A31 a12 A32 a13 A33 a14 A34 0 ，所以有 M 31 2M 32 4M 34 0 ， 6 2x 4 2 0，所以 x 7 。
一、行列式
知识结构网络图
概念
不同行、不同列的 n 个元素之积的代数和
经转置行列式的值不变；
性质
某行有公因数 k，可把 k 提到行列式外；
展开式
行 列 式
计算
某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和；
两Dn行互换n a行ik列Aik式（变按号i；行展开） k 1
某行的 k 倍加至另一行．行列式的值不余变子；式、代数余子式
xn xn1 xn xn2 xn x2 xn x1
xn1 xn2 xn1 xn3
xn1 x2 xn1 x1
x3 x2 x3 x1 x2 x1
认识范德蒙德行列式
可以将 n 阶范德蒙德行列式看成式关于 n 个变量 x1, x2 , , xn 的函数，即 Dn f x1, x2, , xn 。此种类型
, xn
xi x j 是关于变量 x1, x2 ,
ni j1
,
xn
的
1 2
n
n 1
次齐次函数；而且该
齐次函数可以分解为 1 nn 1 个一次因式 2
xi x j
之积，其中 n i j 1，即脚标大者与脚标小者之差。
（说明：i 可以取值为1, 2, , n ，例当 i 取值为 4 时，j 只可以取值为 3、2、1，即区间i 1,1 中的每一个
xn 1 x2 xn2
x n1 n
1 xn1 1 xn
x12 x22
x2 n1
xn 2
x n1 1
x n1 2
x n1 n1
x n1 n
, xn xi xj ni j1
, xn
xn x j
xn1 x j
x3 xj x2 xj
n1 j1
n2 j1
2 j1
1 j1
行列式具有如下三个特点：
○1 从列的角度看：第 j 列元素从上到下依次为同一个变量 x j 的零次幂、1 次幂、…、n－1 次幂，j 1, 2, , n ；
○2 从行的角度看：第 i 行元素是从左往右依次为 x1, x2 , , xn 的 i－1 次幂， i 1, 2, , n
○3 从结果看： f x1, x2,
解答：设原行列式为
det
A
1
，则新的行列式为
1 2 ，
2 3
n
det
B
n1 n
n
1
1 2
0
2 3
2 3
det
B
r1 ri i 2,3,,n
0
n1 n
n1 n
n
1
n
1
特殊行列式
1、（主）对角行列式、上（下）三角行列式
a11 a22
行列式的性质
522 【例】：已知 531，252，234 都是 9 的倍数，利用行列式的性质（而不是展开），证明 3 5 3 也是 9 的倍
124
来自百度文库
数。
522
522
522
解答： 3 5 3 r3 102 r1,r3 10r2 3
5
3
1 9
r3
9
3
5
3
124
531 252 234
58 27 26
【例】：如果除最后一行外，从每一行减去后面的一行，而从最后一行减去原先的第一行，问行列式值如何 变化？
整数） 当给定具体的范德蒙德行列式时，可能变量采用不同的名称，或者是已经赋予具体的值。 参见“范德蒙德行列式专辑”
-3-
认识余子式（Minor）和代数余子式（Algebraic Minor），及其之间的关系
det aij 的 i, j 元 aij 的余子式 M ij 和代数余子式 Aij ，仅与位置 i, j 有关， aij 的取值如何并不影响其余
求矩阵的R秩 ，An并n 判断n线；性方程组的解存在情况；
证明 A 0 求方阵的特征值。
0 是方阵 A 的特征值；
-1-
行列式是线性代数中的重要工具，在求解线性方程组、求逆矩阵、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特 征值、判断二次型的正定性等方面都要用到．本章的重点是应用行列式的性质和展开定理计算行列式．行 列式的计算除了利用性质及展开定理外，还有三角化法、升阶法、递推法和数学归纳法等，计算方法多， 技巧性强，这是难点所在．要掌握好这些方法，首先必须具体分析所求行列式元素分布的规律，针对其特 点采取适当的方法；其次是要注意总结、积累经验，不断提高运算能力．
-2-
3、分块三角行列式
形式简记为： A
OA
AB ，O
A
A 1 kn A B
B OB
B BO
4、范德蒙德行列式
f x1, x2,
f x1, x2, f x1, x2,
11
x1
x2
, xn x12 x22
x x n1 1
n1 2
1 xn1 x2
n1
x n1 n1
1 1 x1