近世代数(抽象代数)课件

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§1 代数运算

n i 1
ai
m j 1
an j

nm
ak
k 1
.
进而证明:在不改变元素顺序的前提下, A 中元素的乘
积与所加括号无关.
证明 当 m 1时,根据定义,对于任意的正整数 n ,
等式成立.
假设当 m r ( r 1)时,对于任意的正整数 n ,等式
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§1 代数运算
例 7 向量空间上的加法适合结合律、交换律和 消去律;向量空间上的减法不适合结合律和交换律,适 合消去律.
设“ ”是有限集 A {a1, a2 , , an} 上的乘法,其 乘法表如前所述.令 X (aij )nn .显而易见,“ ”适合 交换律当且仅当 X 为对称矩阵; “ ”适合左(右)消 去律当且仅当 X 的每一行(列)都是 a1, a2 , , an 的一 个排列.
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§1 代数运算
假定乘法“ ”是非空集合 A 上的代数运算,并且它 适合结合律.对于任意的 a A 和任意的正整数 n ,我们 定义 a 的 n 次幂 an 如下:当 n 1时, an a ;当 n 为大于1 的整数时, an 就是 n 个 a 的乘积.
作业 p3,第 1,3 题.
习题参考答案
2.设“ ”是集合 A 上一个适合结合律的代数
运算.对于 A 中元素,归纳定义
n
ai
i 1
为: 1 ai a1 , r1 ai r ai ar1 .证明:
i 1
i 1
i1
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§1 代数运算
(3)若对于任意的 a, b, c A ,由 ab ac 可以推得 b c ,则称“ ”适合左消去律;若对 于任意的 a, b, c A ,由 ba ca 可以推得 b c , 则称“ ”适合右消去律;若“ ”既适合左消去 律,又适合右消去律,则称“ ”适合消去律.
成立.当 m r 1时,由于“ ”适合结合律,我们有
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§1 代数运算

n i 1
ai
m j 1
an j

n i 1
ai
r 1 j 1
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§1 代数运算
例 6 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方 阵构成的集合.则 P nn 上的加法适合结合律、交换 律和消去律; P nn 上的减法不适合结合律和交换律, 适合消去律; P nn 上的乘法适合结合律,不适合消去 律,当 n 1时不适合交换律.
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Байду номын сангаас
§1 代数运算
但是,当“ ”适合结合律时,我们可以定义 A 中任意有限 n ( n 3 )个元素 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an .这是因为,容易证明,对于 A 中任意 n 个元素 a1, a2 , , an ,只要不改变它们的次序,运 算结果与加括号的方式无关(见习题 2).这样一 来,我们便可定义 a1, a2 , , an 的乘积 a1a2 an 就 是按任意一种方式添加括号后的算出的结果.
简写成 ab c .
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§1 代数运算
例 1 设 R 是实数集.于是,平常的加法“”,减 法“-”和乘法“”都是 R 上的二元运算;除法“”是 R , R \{0}到 R 的代数运算,不是 R 上的二元运算.
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵 组成的集合.则矩阵的加法、减法和乘法都是 P nn 上 的二元运算.数与矩阵的乘法是 P , P nn 到 P nn 的代 数运算,不是 P nn 上的二元运算.
设 A 是一个非空集合. f 是 A 上的一个二
元运算.于是，对于任意的 a, b A ，存在唯
一的 c A ，使得 f (a, b) c .我们约定,将等
式 f (a, b) c 改写成 afb c .
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§1 代数运算
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§1 代数运算
定义 1.1 设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)和 A 都是非空集合. A1 A2 An 到 A 的映射 又 称 为 A1, A2 , , A n 到 A 的 代 数 运 算 ; 特 别 地, An 到 A 的映射又称为 A 上的 n 元运算.
nm
i1 ai anr1
ak ak .
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所以,对于任意的正整数 n 和 m ,等式成立.
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§1 代数运算
所以,对于任意的正整数 n 和 m ,等式成立. 考察 A 中任意 n ( n 1 )个元素 a1, a2 , , an :当 n 3 时,要使记号 a1 a2 an 变成有意义的记号,必 需在其中添加一些括号规定运算次序.现在我们来阐
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§1 代数运算
例 3 设V 是实数域 R 上的三维欧几里得 空间.于是,向量的加法“”,减法“-”以及向 量与向量的叉乘“”都是V 上的二元运算;实数 与向量乘法“ ”是 R ,V 到V 的代数运算,不是 V 上 的 二 元 运 算 ; 向 量 与 向 量 的 点 乘“ ”是 V ,V 到 R 的代数运算,不是V 上的二元运算.
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§1 代数运算
· a1 a2 … an a1 a11 a12 … a1n a2 a21 a22 … a2n an an1 an2 … ann 其中, aia j aij A , i, j 1, 2, , n .
§1 代数运算
定义 1.2 设“ ”是非空集合 A 上的一个代数 运算.
(1)若对于任意的 a, b, c A 总有 (ab)c a(bc) ,
则称“ ”适合结合律. (2)若对于任意的 a, b A 总有 ab ba ,
则称“ ”适合交换律.
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所以 a b ai . i 1
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§1 代数运算
例 4 设 K4 {e, a, b, c} ,我们可以利用 下表来定义 K4 上的乘法“ ”:
· eabc e eabc aaecb bb c e a c cba e
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{(a1, a2 , , an ) | ai Ai , i 1, 2, n} 称为 A1, A2 , , An 的直积或笛卡儿积,记作
A1 A2 An . 特别地,当 A1 A2 An A 时, A1 A 2 A n 可 以简记作 An (读作 A 的 n 次方).这里约定,当 n 1 时, A1 A 2 A n 就是 A1 .
近世代数又称为抽象代数,主要研究各式 各样的代数运算,是现代数学的一个内容丰富 有趣的分支.它不仅渗透到其它所有的数学分 支,而且在许多自然科学领域都有重要的应用.
本课程只介绍最基本的一些近世代数知 识,主要讨论二元运算.
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§1 代数运算
明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添
加括号其中添加括号,这 n 个元素的乘积总等于
n
ai ，
i 1
从而与加括号的方式无关.
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事实上,当 n 1或 n 2 时,无需加括号,我们的结论
自然成立.当 n 3时,由于“ ”适合结合律,我们的结论成
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§1 代数运算
以下,如无特别声明,凡是提到代数运算 都是指二元运算.
有限集 A 上的每一个代数运算“ ”都可 以用一张表(称为乘法表)来定义.
设 A {a1, a2 , , an} ,“ ”A 是上的乘法 “ ”，则相应的乘法表如下:
第一章 群 论
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目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
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§1 代数运算
设 A1, A2 , , An ( n 为正整数)都是集合.我们将 集合
不难验证:对于任意的 a A 和 m, n N ,有 aman amn , (am )n amn .
若“ ”还适合交换律,则对于任意的 a, b A 和 nN ,有 (ab)n anbn .
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§1 代数运算
立.假设当 n r ( r 1)我们的结论成立.考察 n r 1的
情形:不妨设最后一次运算是 a b ,其中 a 为 a1, a2 , , an
中前 s 个元素的乘积, b 为 a1, a2 , , an 中后 n s 个元素的
乘积.于是,根据归纳假设,
s
ns
a ai , b as j .
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§1 代数运算
例 5 设 R 是实数集.则 R 上的加法“”适合 结合律、交换律和消去律; R 上的乘法“”适合结 合律和交换律,不适合消去律; R 上减法“-”不适 合结合律和交换律,但适合消去律.
注意: R \{0}上的乘法“”适合结合律、交换 律和消去律.
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§1 代数运算
例如,对于我们刚才提到的集合 K4 上的那个乘 法“ ”,从乘法表立即可以看出“ ”适合交换律和消 去律.
设“ ”是非空集合 A 上的乘法.根据定义,我 们每一次只能对 A 中的两个元素进行运算.要对 A 中 n ( n 3 )个元素 a1, a2 , , an 施行运算,必需添 加 n2 次括号,规定运算次序.一般说来,随着加 括号的方式不同,运算的结果有可能不同.
在讨论二元运算时,一般不用字母 f 或 g
等 表 示 二 元 运 算 , 而 是 用“”,“” ,
“ ” ,“－”，“”,“”或“”等记号表示二
元运算.特别地,我们常常用记号“ ”来表示任
意一个二元运算,并将其称为乘法.当 ab c
时, c 称为 a 与 b 的乘积;甚至还将等式 ab c