理想低通欠采样定理的结合应用分析
采样定理实验指导书 (2)
数字信号处理实验指导书实验名称：采样定理依托实验室：信号系统与处理实验室二00六年十二月数字信号处理实验一：采样定理一．实验目的1．熟练掌握SYSTEMVIEW软件工具的使用2．掌握采样定理的精髓3．了解采样定理在实际中的应用4．了解巴特沃斯滤波器的设计与仿真二．实验原理及方案1．采样定理的内容：奈奎斯特采样定理说明要从抽样信号中无失真地恢复原信号，抽样频率应大于或等于信号最高频率的2倍。
抽样频率小于信号最高频率的2倍时，抽样信号的频谱有混叠，用低通滤波器不可能恢复原始信号。
2．实验方案：三．实验内容系统参数设置：（1）系统时钟采样频率：最好大于4000HZ（2）观察时间0—0.1秒（3）低通滤波器：巴特沃斯滤波器（5阶，截止频率150HZ）（4）信号预处理：低通滤波器+放大器（5）抽样脉冲宽度：0.002秒1．信号源是100HZ的正弦波；抽样信号的频率分别设置为180HZ，350HZ，800HZ，分别观察信号的输出波形是否有失真，记录结果。
180HZ：350HZ：800HZ：2．信号源是20HZ的方波抽样信号的频率分别设置为180HZ，350HZ，800HZ，分别观察信号的输出波形是否有失真，记录结果。
180HZ：350HZ：800HZ：四．实验结果分析分析实验内容中信号的频率改变以及抽样脉冲频率改变对结果的影响，在分析的基础上得出结论。
答：180HZ的采样频率会使结果失真。
五．思考题1．方波信号的最大频率如何确定？2．为什么180HZ的采样频率会使结果失真？3．滤波器的阶数改变时对结果有何影响？4．系统的时钟抽样频率如何确定，为什么越大越好？。
带通采样定理和低通采样定理
带通采样定理和低通采样定理模拟信号经过采样转换成数字信号，时域分析为模拟信号与采样的周期冲击串相乘，根据傅里叶变换的时频对应关系可知，频域以采样周期为周期的频谱搬移过程，低通采样定理要求采样频率大于信号最高上限频率的2倍，频谱搬移的过程不会导致频谱混叠，带通采样频率小于这一条件，当满足一定的条件后频谱也不会混叠，但是此时频带发生传动，信号的重构和低通信号有很大差别。
一、低通采样周期性频谱搬移低通采样的原理分析见数字信号处理(西电版)。
首先，低通采样实现的原理是进行周期性的频谱搬移，实际FFT 变换的结果只有(O:fs或者-fs/2:fs/2),周期频谱搬移就是每个周期的信号频谱相同，只是索引值不同带来的结果不同，可以保持一个周期频谱不变，改变对应的真实频率范围获得搬移的效果。
@——fftshift()函数对应的真实频谱范围：fs*(-N/2:N/2-1)/N @------fft()函数对应的真实频谱范围：fs*(0:N-1)/N庚宙IB茸障站霆号的魚谒E 64 2 Q 24€B .:1.■U的耳 IS r/电 £写抽Mil保持原始信号的频谱不变，转换频谱搬移周期，刚好达到两倍采 样频率，谱结构如下：结论：（1） 低通采样定理的周期性频谱搬移以采样频率为周期，采样频率 必须大于信号最高上限的二倍，否则就会导致频谱混叠。
（2） 低通采样后的信号重构只需要经过低通滤波器即可。
二、带通采样定理原理和重构分析 1、带通采样定理原理带通采样定理：一个频带限制在f L ，f H 内的连续时间信号X t ，信号带宽B f H f L ，令N 为不大于f H B 的最大正整数，当采样频率f s 满足一 下条件-]I -1 ir■ qr n 11I 1 : !i i…-一.....r1i ii ii :1 11 1iiJLJi L i*L1JiL ] JL€则可以由采样后的序列无失真的重构原始信号 x t 原理分析:X(f)Xs(f)采样后的信号在频域变现为周期性的频谱搬移，为了能够重构原 始信号，选择合适的采样频率，使f H ，f L 和f L ，f H 的频带分量不会 和延拓分量出现混叠，这样通过升采样后经过带通滤波器即可恢复原 始信号，分析正频率附近无混叠的条件：保证延拓的频谱分量f H mf s , f L mf s 和 f H (m 1)f s , h (m 1)f s 与无拓展频率分量不会混叠，即满足以下关系:整理可得，2f Hf 2fL m 1 s m当m 0时，f s 2f H ，此时为低通采样定理(奈奎斯特采样定理) 延拓周期还要保证f s 2B ，f s2f LfHfL 01)fsf H m 1 f s f H2f L f Lf s B带通采样定理由此而来2、重构分析低通采样后的信号经过低通滤波器后即可恢复原始信号，低通信号的抽样和恢复比起带通信号来要简单。
实验一：低通采样定理和内插与抽取实现a
实验一：低通采样定理和内插与抽取实现一．实验目的1. 连续信号和系统的表示方法，以及坊真方法。
2.用MATLAB实现连续信号采用与重构的方法，3. 采样信号的插值和抽取等重采样实现方法。
4. 用时域采样信号重构连续时域信号的原理和方法。
5. 用MATLAB绘图函数表示信号的基本方法，实验数据的可视化表示。
二．原理1 、时域抽样定理令连续信号xa(t)的傅里叶变换为Xa(jΩ),抽样脉冲序列p(t)傅里叶变换为P(jΩ),抽样后的信号x^(t)的傅里叶变换为X^(jΩ)若采用均匀抽样,抽样周期Ts,抽样频率为Ωs=2πfs,由前面分析可知:抽样的过程可以通过抽样脉冲序列p(t)与连续信号xa(t)相乘来完成,即满足:x^(t)=xa(t) p(t)，又周期信号f(t)傅里叶变换为：故可以推得p(t)的傅里叶变换为:其中:根据卷积定理可知:得到抽样信号x(t)的傅里叶变换为:其表明:信号在时域被抽样后,他的频谱X(jΩ)是连续信号频谱X(jΩ)的形状以抽样频率Ω为间隔周期重复而得到,在重复过程中幅度被p(t)的傅里叶级数Pn 加权。
因为Pn只是n的函数,所以X(jΩ)在重复的过程中不会使其形状发生变化。
假定信号x(t)的频谱限制在-Ωm~+Ωm的范围内, 若以间隔Ts对xa(t)进行抽样,可知抽样信号X^(t)的频谱X^(jΩ)是以Ωs为周期重复。
显然,若在抽样的过程中Ωs<2Ωm,则X^(jΩ)将发生频谱混叠现象,只有在抽样的过程中满足Ωs>=2Ωm条件,X^(jΩ)才不会产生频谱的混叠,接收端完全可以由x^(t)恢复原连续信号xa(t),这就是低通信号抽样定理的核心内容。
2、信号的重建从频域看,设信号最高频率不超过折叠频率:Xa(jΩ)=Xa(jΩ) |Ω|<Ωs/2Xa(jΩ)=0 |Ω|>Ωs/2则理想取样后的频谱就不会产生混叠,故有:让取样信号x^(t)通过一带宽等于折叠频率的理想低通滤波器:H(jΩ)=T |Ω|<Ωs/2H(jΩ)=0 |Ω|>Ωs/2滤波器只允许通过基带频谱,即原信号频谱,故:Y(jΩ)=X^(jΩ)H(jΩ)=Xa(jΩ)因此在滤波器的输出得到了恢复的原模拟信号:y(t)=xa(t)从时域上看,上述理想的低通滤波器的脉冲响应为:根据卷积公式可求得理想低通滤波器的输出为:由上式显然可得:则:上式表明只要满足取样频率高于两倍信号最高频率,连续时间函数xa(t)就可用他的取样值xa(nT)来表达而不损失任何信息，这时只要把每一个取样瞬时值与内插函数式相乘求和即可得出xa(t),在每一取样点上,由于只有该取样值所对应的内插函数式不为零,所以各个取样点上的信号值不变。
采样定理简介
关于采样定理的介绍一、采样定理简介采样定理，又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker（1915年发表的统计理论），克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。
另外，V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。
采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。
采样得到的离散信号经保持器后，得到的是阶梯信号，即具有零阶保持器的特性。
如果信号是带限的，并且采样频率高于信号最高频率的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。
带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的。
采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。
高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。
大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。
采样过程所应遵循的规律，又称取样定理、抽样定理。
采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。
采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。
1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。
1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。
采样定理有许多表述形式，但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。
采样定理在数字式遥测系统、时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。
时域采样定理频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δt≤1/2F，便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。
低通信号理想抽样 数字通信原理 资料介绍
1 Ts
F (
n
n s )
（2.10）
其中F ( )为被抽样信号的频谱
s 2f s
fs
1 Ts
பைடு நூலகம்
f(t)
F(ω)
t
-ωM
0 ωM
ω
fs(t)
Fs(ω)
t
-2ωM -ωM
0 ωM -2ωM
ω
低通信号的理想抽样－－上、下边带
一个带限信号 经抽样后其样值序 列的频谱将要展宽， 即产生了一系列上、 下边带。
奈奎斯特抽样定理一（低通型信号抽样定理）：
P14
设时间连续信号f(t)，其最高截止频率为fM。如果用 时间间隔为Ts≤1/2fM的开关信号对f(t)进行抽样，则f(t) 就可被样值信号fs(t)=f(nTs)来唯一的表示。或者说，要 从样值序列无失真地恢复原时间连续信号，其抽样频率应
选为2fM。 话音信号频率范围：300～3400Hz，fM=3400Hz，这时
满足抽样定理的最低的抽样频率应为 6800Hz，为了留有
一定的防卫带，CCITT（ITU-T）规定话音信号的抽样频率
为fs=8000Hz，Ts=125µs。 fs抽样频率不是越高越好，fs太高将会降低信道的利
用率。
例：一模拟信号频谱如下图所示，（1）求其刚好满足抽 样定理时的抽样频率，并画出抽样信号的频谱。（2）若 抽样频率为8kHz，画出其抽样信号的频谱。
=10-(1～5)=5～9 一次上边带：fs＋原始频带
=10+(1～5)=11～15 二次下边带：2fs－原始频带
=20－(1～5)=15～19 二次上边带：2fs＋原始频带
=20＋(1～5)=21～25
信号临界采样、过采样、欠采样实验报告
信号临界采样、过采样、欠采样实验报告抽样定理及应用课程设计的目的1.掌握利用MATLAB分析系统频率响应的方法，增加对仿真软件MATLAB的感性认识，学会该软件的操作和使用方法。
2. 掌握利用MATLAB实现连续信号采用与重构的方法，加深理解采样与重构的概念。
3.学习MATLAB中信号表示的基本方法及绘图函数的调用，实现对常用连续时间信号的可视化表示，加深对各种电信号的理解。
4.加深理解采样对信号的时域和频域特性的影响；验证信号与系统的基本概念、基本理论，掌握信号与系统的分析方法。
5.加深对采样定理的理解和掌握，以及对信号恢复的必要性；掌握对连续信号在时域的采样与重构的方法。
二．课程设计的内容及要求1.课程设计的内容离散正弦序列的MATLAB表示与连续信号类似，只不过是用stem函数而不是用plot函数来画出序列波形。
由于函数不是严格的带限信号，其带宽可根据一定的精度要求做一近似。
根据以下三种情况用MATLAB实现采样信号及重构并求出两者误差，分析三种情况下的结果。
（1）的临界采样及重构：，，；（2）的过采样及重构：，，；（3）的欠采样及重构：，，。
2.课程设计的方案2.1课程设计的原理2.1.1连续信号的采样定理模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs，重复出现一次。
为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。
时域采样定理从采样信号恢复原信号必需满足两个条件：(1) 必须是带限信号，其频谱函数在＞各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号才能适用采样定理。
）(2) 取样频率不能过低，必须＞2 （或＞2）。
（对取样频率的要求，即取样频率要足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号）如果采样频率大于或等于，即（为连续信号的有限频谱），则采样离散信号能无失真地恢复到原来的连续信号。
低通信号的抽样定理
实验一抽样定理一．概述抽样的分类：(1) 根据信号是低通型的还是带通型的，抽样定理分低通抽样定理和带通抽样定理。
(2) 根据用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等同隔的，又分均匀抽样定理和非均匀抽样。
(3) 根据抽样的脉冲序列是冲击序列还是非冲击序列，又可分理想抽样和实际抽样。
二．实验原理及其框图抽样定理是通信原理中十分重要的定理之一，是模拟信号数字化的理论基础。
低通型连续信号的抽样定理一个频带限制在内的时间连续信号，若以的间隔对它进行等间隔抽样，则将被所得到的抽样值完全确定。
原理框图图1 抽样说明：抽样过程中满足抽样定理时，PCM系统应无失真。
这一点与量化过程有本质区别。
量化是有失真的,只不过失真的大小可以控制。
三．实验步骤1、根据抽样原理，用Systemview 软件建立一个仿真电路，如下图所示：图2 仿真电路元件参数配制Token 0: 被采样的模拟信号—正弦波（频率=100Hz，电平=1V，相位=0）Token 2: 乘法器Token 5 抽样脉冲——窄脉宽矩形脉冲（脉宽=1us ）Token1，3: 模拟低通滤波器（截止频率=100 Hz ）Token 4,6,7: 观察点—分析窗（6频率=100Hz 电压=-1V）2、运行时间设置运行时间=0.3 秒采样频率=10,00 赫兹3、运行系统在Systemview 系统窗内运行该系统后，转到分析窗观察Token 5,6,8三个点的波形。
4、功率谱在分析窗绘出该系统调制后的功率谱。
四、实验报告1）观察实验波形：Token 0－被采样的模拟信号波形；Token 2－采样后波形；Token 3－恢复信号的波形。
2）整理波形，存入文档。
3）观察采样前后各信号的功率谱，结果存入文档，进行比较。
4）分析说明实验结果与理论值之间的差别。
5）改变参数配置，将所得不同结果存档后，与实验结果进行比较，说明参数改变对结果的影响。
奈奎斯特低通抽样定理定理
奈奎斯特低通抽样定理定理
在数字信号处理领域，采样定理是连续信号（通常称作“模拟信号”）与离散信号（通常称作“数字信号”）之间的一个基本桥梁。
它确定了信号带宽的上限，或能捕获连续信号的所有信息的离散采样信号所允许的采样频率的下限。
严格地说，定理仅适用于具有傅里叶变换的一类数学函数，即频率在有限区域以外为零（参照图1）。
离散时间傅里叶变换（泊松求和公式的一种形式）提供了实际信号的解析延拓，但只能近似该条件。
直观上我们希望，当把连续函数化为采样值（叫做“样本”）的离散序列并插值到连续函数中，结果的保真度取决于原始采样的密度（或采样率）。
采样定理介绍了对带宽限制的函数类型来说保真度足够完整的采样率的概念；在采样过程中"信息"实际没有损失。
定理用函数的带宽来表示采样率。
定理也导出了一个数学上理想的原连续信号的重构公式。
该定理没有排除一些并不满足采样率准则的特殊情况下完整重
构的可能性。
（参见下文非基带信号采样，以及压缩感知。
）奈奎斯特–香农采样定理的名字是为了纪念哈里·奈奎斯特和克劳德·香农。
该定理也被埃德蒙·泰勒·惠特克、弗拉基米尔·科捷利尼科夫等人独立发现。
所以它还叫做奈奎斯特–香农–科特尔尼科夫定理、惠特克–香农–科特尔尼科夫定理、惠特克–奈奎斯特–科特尔尼科夫–香农定理及插值基本定理。
低通型采样定理
低通型采样定理低通型采样定理是信号处理领域中的重要理论，它描述了在数字信号处理中对连续信号进行采样的方法和限制条件。
本文将详细介绍低通型采样定理的原理、应用以及一些相关概念。
一、低通型采样定理的原理低通型采样定理是由著名数学家香农（Claude Shannon）在1949年提出的。
它的基本原理是：如果一个连续信号的最高频率为f，则将其进行采样时，采样频率应该大于2f才能完全恢复原始信号。
也就是说，在采样过程中，采样频率必须大于信号的最高频率的两倍，才能保证采样后的信号不发生混叠现象。
二、低通型采样定理的应用低通型采样定理在实际应用中有着广泛的应用。
在音频和视频领域，低通型采样定理被广泛应用于数字音频、数字视频的采样和处理过程中。
通过合理的采样频率选择，可以在不损失信息的情况下，将连续信号转换为数字信号，从而实现信号的存储、传输和处理。
在通信领域，低通型采样定理也起着至关重要的作用。
在无线通信系统中，天线接收到的连续信号首先需要经过模数转换器（ADC）进行采样，然后才能进行数字信号处理和解调。
根据低通型采样定理，合理选择采样频率可以避免信号混叠，保证信号的完整性和准确性。
在生物医学领域，低通型采样定理也被广泛应用于生理信号的采样和处理过程中。
例如，心电图（ECG）信号和脑电图（EEG）信号都是连续信号，为了实现对这些信号的准确分析和诊断，需要首先对其进行采样，然后进行数字信号处理。
三、低通型采样定理的相关概念1. 采样频率：指每秒钟对连续信号进行采样的次数，用赫兹（Hz）表示。
根据低通型采样定理，采样频率应大于信号最高频率的两倍。
2. 采样定理：也称为奈奎斯特采样定理，是信号处理领域中的基本理论，指出连续信号在进行采样时，采样频率应大于信号最高频率的两倍，以避免信号混叠。
3. 混叠现象：也称为折叠现象，是指在采样过程中由于采样频率不满足低通型采样定理的要求，导致高频部分的信号频谱被折叠到低频区域，从而引起信号失真。
低通型采样定理
成绩《通信原理》软件仿真实验报告实验名称：低通型采样定理院系：通信与信息工程学院专业班级： 1学生姓名：学号：（班内序号）0指导教师：报告日期：2012年11月22日●实验目的：1、掌握低通型采样定理；2、掌握理想采样、自然采样和瞬时采样的特点；●知识要点：1、低通型采样定理；2、理想采样及其特点；3、自然采样及其特点；4、瞬时采样及其特点；●仿真模拟图：1、理想采样时信源、样值序列和恢复信号的波形和频谱：理想采样时信源：样值序列：恢复信号：分析:理想采样时的波形与原波形一样频谱也与原波形一致。
2、自然采样时样值序列和恢复信号的波形和频谱：恢复信号：分析:自然采样时的波形是与矩形脉冲相乘 但还是呈原波形的形状只是中间有了间隔而频谱形状会出现某段的频谱衰减或消失。
3、瞬时采样时样值序列和恢复信号的波形和频谱；瞬时采样时样值序列：瞬时采样恢复信号：分析:瞬时采样的波形与自然采样的波形比较像但与自然采样不同的是波形的顶部不是与原波形一样,而是水平直线频谱的顶部形状也会有变化也会出现衰减和消失的现象。
实验成绩评定一览表系统设计与模块布局系统设计合理，模块布局合理，线迹美观清楚系统设计合理，模块布局较合理，线迹清楚系统设计、模块布局较合理，线迹较清楚系统设计基本合理，模块布局较合理，线迹较清楚系统设计不够合理，模块布局较合理，线迹较清楚参数设置与仿真波形参数设置合理，仿真波形丰富、准确参数设置合理，仿真波形较丰富、较准确参数设置较合理，仿真波形较丰富参数设置较合理，仿真波形无缺失、无重大错误参数设置较合理，仿真波形有缺失参数设置不够合理，仿真波形有缺失或重大错误实验分析实验分析全面、准确、表达流畅实验分析较全面、基本无误、表述清楚实验分析基本正确、个别地方表述不清实验分析无原则性错误、表述不清楚实验分析有缺失或存在严重错误实验成绩。
低通采样原理及应用分析
低通采样原理及应用分析低通采样是一种信号处理技术，用于从一个连续时间信号中提取出其频率范围内的低频分量，并将其转换为离散时间信号。
该技术在信号处理、通信系统、音频处理、图像处理等领域有着广泛的应用。
低通采样的原理是基于奈奎斯特采样定理。
奈奎斯特采样定理指出，如果一个连续时间信号的最高频率分量为fmax，那么就需要以不小于2fmax的采样频率对其进行采样，才能完全还原该连续时间信号。
然而，在实际应用中，信号的最高频率通常不会很高，因此可以通过低通采样来降低采样频率，减少存储和处理的复杂度。
低通采样的基本步骤是首先对原始连续时间信号进行采样，然后通过低通滤波器将采样信号的高频成分去除，最后将滤波后的信号转换为离散时间信号。
通常使用的低通滤波器有抗混叠滤波器、Butterworth滤波器、卡尔曼滤波器等。
低通采样在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些低通采样的应用案例：1. 数字音频处理：在音频录制和音频压缩中，通常需要对音频信号进行低通采样。
通过降低采样频率，可以减少存储和传输带宽，同时保留音频信号的主要特征。
2. 图像处理：在数字相机和图像压缩中，通常需要对图像信号进行低通采样。
通过降低采样频率，可以减少图像数据的存储和传输量，同时保留图像的主要特征。
3. 通信系统：在无线通信系统中，为了适应带宽有限的信道，通常需要对调制后的信号进行低通采样。
通过降低采样频率，可以减少信号处理的复杂度和功耗。
4. 传感器信号处理：在传感器信号处理中，通常需要对传感器输出信号进行低通采样。
通过降低采样频率，可以减少信号处理的复杂度和功耗，同时保留传感器信号的主要特征。
总之，低通采样是一种常用的信号处理技术，可以从连续时间信号中提取出其频率范围内的低频分量，并将其转换为离散时间信号。
在音频处理、图像处理、通信系统、传感器信号处理等领域都有着广泛的应用。
通过降低采样频率，低通采样可以减少存储和处理的复杂度，同时保留信号的主要特征。
0501_低通型抽样定理小结
1、样值序列的频谱可以视作原始信号频谱的周期延拓，延拓的周期为采样速率s s f 1=，其中s T 为采样间隔。
2、为了避免混叠失真，不论何种采样方式都必须满足m s f f 2≥（或m s f T 21≤），其中m f 为原始信号最高截至频率；对于频率限制在300~3400Hz 的语音信号而言，采样速率限定为8000Hz 。
3、对于理想采样而言，样值序列频谱各次谐波分量的增益全都相同（均为s f ），故理想采样样值序列的带宽为无限宽；另一方面各次谐波分量的频谱结构与原始信号的频谱结构完全一致，因而可以直接采用最高截至频率为m f 的理想低通滤波器提取基波分量不失真的恢复原始信号。
4、对于自然采样（或曲顶采样）而言，样值序列频谱各次谐波分量的增益不尽相同（按照()τπτssfkSaf的规律衰减，其中τ为采样脉冲的宽度，k为各次谐波分量的阶数），故自然采样（或曲顶采样）样值序列的带宽为τ1；另一方面各次谐波分量的频谱结构与原始信号的频谱结构完全一致，因而可以直接采用最高截至频率为m f的理想低通滤波器提取基波分量不失真的恢复原始信号。
5、对于瞬时采样（或平顶采样）而言，样值序列频谱各次谐波分量的增益不尽相同（按照()τπfSa的规律衰减，其中τ为采样脉冲的宽度），故瞬时采样（或平顶采样）样值序列的带宽为τ1；另一方面各次谐波分量的频谱结构与原始信号的频谱结构均不相同，若直接采用最高截至频率为m f的理想低通滤波器提取基波分量将不可避免的引入孔径失真，必须通过传输特性为()mfffSa≤,1τπ的滤波器加以修正方能不失真的恢复原始信号。
6、对于自然采样和瞬时采样而言，采样脉冲还可以选择三角脉冲、钟型脉冲等其他脉冲形式，将对样值序列的带宽和各次谐波分量的增益产生直接影响；为了克服瞬时采样恢复信号时的孔径失真，补偿滤波器的传输特性为()mHωωω≤,1，其中()ωH为采样脉冲的频谱特性。
通信原理抽样定理及其应用实验报告
当DDS信号源处于《PDM波1》状态，旋转SS01可改变取样脉冲的频率。示波器接在32P02上，可观察取样脉冲波形。
6．取样信号观察：
示波器接在32TP01上，可观察PAM取样信号，示波器接在32P03上，调节“PAM脉冲幅度调制”上的32W01可改变PAM信号传输信道的特性，PAM取样信号波形会发生改变。
实验1 抽样定理及其应用实验
一、实验目的
1．通过对模拟信号抽样的实验,加深对抽样定理的理解；
2．通过PAM调制实验，使学生能加深理解脉冲幅度调制的特点；
3．学习PAM调制硬件实现电路，掌握调整测试方法。
二、实验仪器
1．PAM脉冲调幅模块，位号：H（实物图片如下）
2．时钟与基带数据发生模块，位号：G（实物图片见第3页）
PAM实验原理：它采用模拟开关CD4066实现脉冲幅度调制。抽样脉冲序列为高电平时，模拟开关导通，有调制信号输出；抽样脉冲序列为低电平，模拟开关断开，无信号输出
图1-2 PAM信道仿真电路示意图
四、可调元件及测量点的作用
32P01：模拟信号输入连接铆孔。
32P02：抽样脉冲信号输入连接铆孔。
32TP01：输出的抽样后信号测试点。
32P03：经仿真信道传输后信号的输出连接铆孔。
32W01：仿真信道的特性调节电位器。
五、实验内容及步骤
1．插入有关实验模块：
在关闭系统电源的条件下，将“时钟与基带数据发生模块”、“PAM脉冲幅度调制模块”，插到底板“G、H”号的位置插座上（具体位置可见底板右下角的“实验模块位置分布表”）。注意模块插头与底板插座的防呆口一致，模块位号与底板位号的一致。
3．20M双踪示波器1台
4．频率计1台
5．小平口螺丝刀1只
11-1 低通模拟信号的抽样定理
问题
问题
抽样信号
x t
()
主要内容
低通模拟信号的抽样定理
低通模拟信号的抽样定理
低通模拟信号的抽样定理
收端重建的模当抽样频率f s (=1/T s ) 满足低通抽样定理（f s ≥2f H ）时
T s
低通模拟信号的抽样定理低通模拟信号的抽样定理
低通模拟信号的抽样定理低通模拟信号的抽样定理
低通模拟信号的抽样定理
低通模拟信号的抽样定理
Harry Nyquist Claude Elwood Shannon
(1916−2001)
14
低通模拟信号的抽样定理
低通模拟信号的抽样定理
n
实际应用中，抽样频率f必须比2f大一些。
低通模拟信号的抽样定理实例。
采样定理及其在信号处理中的应用
采样定理及其在信号处理中的应用采样定理，也被称为尼奎斯特定理或香农定理，是数字信号处理中的重要理论基础。
它描述了在离散时间下对连续时间信号进行采样的条件和方法。
本文将探讨采样定理的原理和在信号处理中的应用。
一、采样定理原理采样定理的核心思想是：为了恢复一个连续时间信号，我们需要以高于信号中最高频率两倍的采样频率对该信号进行采样。
也就是说，如果信号的最高频率为fmax，则采样频率必须大于2*fmax，才能完全还原原始信号。
采样定理的数学表达为：Fs > 2 * fmax其中，Fs表示采样频率，fmax表示信号中最高频率。
采样频率越高，我们能够恢复的频率范围就越大，信号的信息也就越完整。
二、采样定理在信号处理中的应用1. 数字音频处理采样定理在数字音频处理领域有着广泛的应用。
我们知道，人类耳朵能够感知的声音频率范围为20Hz到20kHz。
因此，在音频采样中，常用的采样频率为44.1kHz，这是因为它略高于人耳可感知的最高频率。
在数字音频处理中，如音频录制、音频压缩等，采样定理的应用能够保证音频信号的准确还原和高保真度。
2. 数字图像处理在数字图像处理领域，采样定理同样发挥着重要作用。
对于连续图像的数字化表示，我们需要对图像进行采样。
采样定理保证了我们能够准确地还原连续图像，同时避免了采样带来的伪像和失真。
在图像处理中，采样定理的应用范围涵盖了图像的获取、存储、传输等各个环节，为我们呈现清晰、真实的视觉效果提供了保证。
3. 信号重构采样定理为信号重构提供了理论基础。
由于采样频率限制，我们在采样时只获取了部分信号信息。
但是，根据采样定理，只要我们满足采样频率大于信号最高频率两倍的条件，就可以通过插值等算法对采样信号进行重构，从而还原出原始信号。
信号重构在通信系统中广泛应用，能够恢复信号的完整信息，提高通信质量和可靠性。
4. 信号滤波采样定理在信号滤波中的应用主要体现在滤波器的设计和性能改善上。
通过对采样信号进行滤波，可以去除采样过程中引入的杂散和混叠，保证信号质量的提升。
低通抽样定理的理解
低通抽样定理的理解带通信号抽样速率的一统性研究（篇一）:低通抽样定理的理解写在前：这是笔者第一篇CSDN博客，希望未来保持更新和分享，督促自己学习和思考，也希望能有助于小伙伴们的解惑，内容是关于通信和信号处理方面的。
我现在基本还是通信和信息的小白，会不断学习。
如果内容有出错或者不够严谨的地方希望指正，相互交流，共同进步。
本篇是《带通信号抽样速率的一统性研究》的篇一，基础知识部分。
从频域和时域两个角度对低通抽样定理进行了探讨和理解。
在通信与信息系统中需要将一个时间连续信号（模拟信号，时间和幅度上均连续）通过抽样（或称为采样）来转换为时间离散信号（时间离散，幅度不离散），继而通过量化、编码得到数字信号（时间离散，幅度离散）。
数字信号相对于模拟信号具有便于存储、处理、传输等优点。
我们只探讨抽样过程和其对应的信号恢复过程。
经过抽样得到的离散序列需要能够还原出原来的模拟信号，这也就意味着抽样过程完整地保留了原信号的信息。
抽样过程追求高效，离散序列的长度被期待尽量短（对应抽样速率尽量低）。
抽样定理包含两个内容：低通抽样定理和带通抽样定理。
我们先从低通抽样定理入手。
低通抽样定理：给定最高非零频率为fH f_HfH的带限信号m(t) m(t)m(t)，如果取抽样间隔Ts<1/(2fH) T_s<1/(2f_H)Ts<1/(2fH )（即抽样速率fs>2fH f_s>2f_Hfs>2fH，有些资料的表达为fs≥2f H f_s\ge2f_Hfs≥2fH），则m(t) m(t)m(t)由其样值序列{mn=m(nTs)，n为整数} \big\{m_n=m(nT_s)，n为整数\big\}{mn=m(nTs)，n为整数}唯一确定，即m(t)⟷只要fs>2fH{mn，n=0,±1,±2,…} m(t)\stackrel{只要f_s>2f_H}{\longleftrightarrow}\big\{m_n，n=0,\pm1,\pm2,…\big\}m(t)⟷只要fs>2fH{mn，n=0,±1,±2,…}低通抽样定理中，抽样速率必须大于2fH 2f_H2fH，该频率2fH 2f_H2fH通常称为奈奎斯特频率。
采样定理的分析及应用初探
采样定理的分析及应用初探【摘要】本文分析采样定理的过程及应用，并对采样后丢失的信息将如何恢复作了初步的探讨。
【关键词】Shan 函数；采样；内插；采样定理0 引言模拟信号的数字化处理中，首先要对信号进行模数转换。
但在模数转换过程中的“采样定理”在一些教科书中只是给出了结论，没有详细的推导过程。
要想更深层次地掌握采样定理，透彻了解信号的采样和重建过程，我们必须掌握它的数学推导过程。
本文从数学过程上推导采样定理，并对采样定理在实际中的应用作了简单的说明。
1 采样的插值数字采样一定会某些程度上会造成信息丢失，对连续函数进行采样后，可以用内插进行恢复。
1.1 Shan函数在定量的讨论采样的影响前，我们必须建立一种数学手段来对采样过程建模。
为了做到这一点，我们使用一个特殊函数叫Shan函数。
Shan函数即为无限冲激串（序列）Ⅲ（X），其定义为：Ⅲ（X）=■δ（x-n）（1）图1 频带受限函数Ⅲ（X）是一个沿X轴相隔单位间距出现的单位幅值序列。
其傅立叶变换为本身，即：F{Ⅲ（X）}=Ⅲ（S）1.2 使用Shan函数采样假设函数f（x）的带宽为So，即：F（s）=0 |S|≥S0（2）如图1，如果我们以等间距对f（x）采样，则仅在x=nτ处取f（x）的值，在其他地方f（x）被破坏了。
我们将取样过程模型化为简单的用Ⅲ（x/τ）乘以函数f（x）而得到采样的函`g（x）。
这个过程将采样点之间的函数值设为0，而在采样点的冲激强度保存的函数的值。
采样后的函数如图2所示。
1.3 采样定理因为函数f（x）已被采样，采样点间的信息可能丢失，如果从G（s）得到F（s）即可从g（x）中获得f（x）。
要做到这一点，除了保留中心处于原点的那一个外，只需消除F（s）所有的复制品。
做到这一点用Ⅲ（s/2s1）去乘G（s）。
其中：s0≤s1≤■-s0（3）那么：G（s）·Ⅲ（s/2s1）=F（s）（4）图2 采样后的函数即我们以从采样后的信号g（x）的频谱恢复了原先f（x）的频谱，最初的函数：f（x）=F-1{G（s）·Ⅲ（s/2s1）}（5）对（5）式右端用卷积定理可得：f（x）=g（x）·2s1■（6）只需用采样后的函数与一个形式为sin（x）=sin（x）/x的内插函数做卷积即可。
信号与系统课件10-采样定理
y(t) = (e-t – e-2t )ε(t)
四、无失真传输与滤波
线性失真:
1、振幅失真:系统对信号中各频率分量的幅度 产生不同程度的衰减（放大），使各频率分量之 间的相对振幅关系发生了变化。
2、相位失真：系统对信号中各频率分量产生 的相移与频率不成正比，使各频率分量在时间轴 上的相对位置发生了变化。这两种失真都不会使 信号产生新的频率分量。 非线性失真: 由信号通过非线性系统产生的，特点是信号通 过系统后产生了新的频率分量。
n
( n )
s
1 Ts 1 Ts
n
F j ( n )
s
f(t)
× s(t)
fs(t)
n
F j ( n )
s
冲激取样信号的频谱
f(t)
δ
Ts(t)
fs(t)
…
×
0 t
(1) … -Ts 0 Ts 2Ts t
n s
频谱是原连续信号的频 Ts 为抽样间隔， 谱以抽样角频率为间隔 周期地延拓，频谱幅度 所以抽样信号的频谱为 受抽样脉冲序列的傅立 1 f s (t ) f (t ) p (t ) Fs ( ) F ( ) P ( ) 叶系数加权。
2
n
F ( ) P ( n ) P F ( n )
冲激取样信号的频谱
当 s 2m 时 各相邻频谱相互分开
1 Ts
s
F ( j )
o
1 Ts
s
当 s 2m 时 各相邻频谱相互重叠
F ( j )
s
o
s
二、时域取样定理
低通信号的抽样定理
低通信号的抽样定理
一、设计任务：运用SYSTEMVIEW 软件，对低通信号的抽样定理进行仿真，观察得到的
信号波形。
被采样的模拟信号源是幅度为1V ，频率为100HZ 的正弦波，
抽样脉冲为窄脉冲矩形脉冲，脉宽为1us 。
抽样器用乘法器代替，选取
100HZ ，200HZ ，500HZ 三种不同的抽样频率。
用于恢复信号的低通滤波
器采用三阶巴特沃斯低通滤波器。
二、仿真环境：
SYSTEMVIEW 5.0
三、实验原理：
抽样信号是由连续信号通过抽样脉冲的相乘得到，如下图
连续信号
抽样信号抽样脉冲
()t f ()t f S ⊗
()t p
其中()f t 为连续信号；() p t 为抽样脉冲序列；()()() s f t f t p t =⋅为抽样信号。
S
四、实验仿真电路及参数设置：
1、仿真全图
仿真电路全图如下，信号发生器为编号0装置，产生如1V ，100Hz 的正弦信号，经滤波后与抽样脉冲相乘，装置6、7、5、10为示波器，其中7为正弦信号，6为抽样信号，10为脉冲信号，5为恢复信号
抽样全图
2、参数设置
正弦波信号参数如下
抽样脉冲信号参数如下
其频率可由100Hz改为200Hz及500Hz
Butterworth滤波器参数如下
五、仿真结果
100Hz的仿真波形图
200Hz的仿真波形图
500Hz的仿真波形图。
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Ana lysis of the Comb ina tion Applica tion of Sam plin g Idea l L ow - pa ss and Band - pa ss Signa l
LUO Z heng - gang , PEN G Yuan , L I Gu i - juan , L IU D ong - tao
Ω1 nT:它的包络在所 对它进行采样得到正弦序列 sin Ω Ω0 nT, 满足 有的采样点 t = nT 处有 sin 1 t | t = nT = sin 这个条件的 Ω1 有无穷多个 , 因为对于任何整数 k 和
n, 有 :
sin (Ω0 +
πk 2
T
) t | t = nT = sin (Ω0 nT + 2 πnk )
: 对理想低通信
∞
号进行采样所需要的最低采样率为信号所含最高频
:设有窄带信号 f ( t) , 最
-∞
∫
s2 ( t) e
-ω j t
dt =
0, | ω | > W 3 或 | ω | < W 2
( 4)
低角频率为 ωl , 最高角频率为 ωh , 带宽 W =ωh - ωl , 频谱为 F (ω) :
∞
∑
1
Ts
∞
[
n=-∞
∑S
2
(ω - n ωs ) ]
( 7)
计算所设计数字滤波器的通阻带范围来对信号进 行筛选 。 若我们进一步想降低采样率 , 则我们首先可以 把信号进行 H ilbert变换以得到相应的解析信号 。这 种解析信号的频谱只含有原来信号的正频率部分 , 且幅值是原信号正频谱分量的 2 倍 , 原始信号的正 频谱形状只是在幅度上发生了变化 。再按上述方法 对信号采样 , 则我们还可以使采样率降低一半 。
由于采样后得到的序列其频谱周期表现出重复 性 , 所以只需取其中的一个周期进行分析即可 , 为方 ωs 这一频带进行分析 , 根据对模 便起见 , 我们取 0 ～ 拟信号采样得到的序列在频谱上表现为模拟信号的 频谱在频率轴上的搬移这一特点 , 从式 ( 8 ) 得到的 S1 s (ω) 和 S2 s (ω) 的频谱表达式来看 , 若要保证两者在频 域中所占据的频带如图 3 所示那样不发生重叠 , 这要 求采样率必须满足下列条件 : ( 1 )ωs Ε 2W 1 , ωs Ε 2 (W 3 - W 2 ) , 只有这样 , 才能 首先保证对各个信号成分采样后得到各自的频谱本 身不发生重叠 ; ( 2 )ωs Ε 2 (W 1 + W 3 - W 2 ) , 这个不等式能够满足 步骤 ( 1 ) 中的不等式 , 这就是要求的最低采样率 , 若 两者信号在采用这个最低采样率的条件下映射到数 字频率轴上的位置互不叠加 ,则这个采样率就是我们 所求的采样率 ; ( 3 )若步骤 ( 2 ) 求得的采样率不能满足要求 , 则 需逐步提高采样率并按图 1 所示的关系对两种频率 进行映射 ,以改变两者信号映射到数字频率轴上的位 置 ,直到两者信号的频谱在频域轴上不发生混迭 。
第 48 卷 第 8 期 2008 年 8 月
电讯技术
Telecommunication Engineering
Vol . 48 No. 8 Aug . 2008
文章编号 : 1001 - 893X ( 2008 ) 08 - 0069 - 04
理想低通欠采样定理的结合应用分析
罗正刚 , 彭 圆 , 李桂娟 , 刘东涛
滤波器时所考虑的奈氏带宽是基于理想低通信号采 样定理或是欠采样定理的 。这样就只考虑到了数字 频率所对应的位于 - fs / 2 ～fs / 2 范围内的信号 , 而数 字频率所对应的这个频带范围之外的信号并没有考 虑到 。 假设原始信号 s ( t) 由 s1 ( t) 和 s2 ( t) 两部分组 成 , s1 ( t) 为低频成分 , s2 ( t) 为窄带成分 , 有 : ( 3) s ( t) = s1 ( t) + s2 ( t) 且
Байду номын сангаас
在信号处理领域 ,信号的种类繁多 ,如何有效地 从含有各种干扰的信号中提取有用的信号来为我们 所要实现的工程服务是这一领域里一个永久的话题 。 数字滤波器的出现是解决这类问题的一种手段。但 工程上常常由于所需要处理的数据量非常大 ,完成序 列数据滤波处理的过程都将会耗费很长一段时间 ,而 在很多方面特别是军事需求方面对实时性的要求又 非常高。缩短信号的处理时间不论是在民用领域还 是在军事应用方面都具有十分重要的意义 。
2 ) 若该信号 f ( t) 的最高频率 ωh 不是带宽 W 的
图 2 原始信号的频谱
整数倍 , 但 ωh 可表示为 ωh = nW + kW , 其中 0 < k < 1, n 是小于 ωh /W 的最大整数 。则当式 ( 2 ) 成立 时 , 采样后得到的信号的频谱不发生重叠 , 可用带通 滤波器准确地恢复出被采样信号 f ( t) 。特别地 , 对 于 ωh 远远大于 W 的窄带信号 , 其抽样频率近似地 等于 2W 。 ω2 = 2W +
∞
ωh - nW ) 2(
n
2 ( nW + kW - nW )
n
2 kW
n k ) n ( 2)
δ ω) = ωs T (
n=-∞
∑δ(ω -
ωs ) n
( 5)
= 2W ( 1 +
得到采样后的信号的频谱为 1 ω) ] S1 s (ω) = [ S1 (ω) 3 δ T ( π 2
= =
2 对数字滤波器所对应奈氏带宽的新构思
1 ) 若该信号的角频率 ωh 是带宽 W 的整数倍
(最低角频率 ωl 也自然为 W 的整数倍 ) , 则当采样
其中 , 0 <W 1 <W 2 <W 3 , W 2 > 2W 1 , 则有 : S (ω) = S1 (ω) + S2 (ω) 信号频谱表示如图 2。
频率 ωs = 2W 时 , 只要让抽样信号通过一个理想带 通滤波器 (通带范围 ωl - ωh ) , 就可重新获得 F (ω) , 从而恢复 f ( t) ;
1 1 1 2
3
(1. 中国船舶重工集团第七六零研究所 ,辽宁 大连 116013; 2. 西北工业大学 航海学院 ,西安 710000 )
摘 要 : 通过分析模拟频率与数字频率的对应关系 ,对含低频和不交叠窄带频率成分的信号推导得 出对该类信号采样所需的最低采样率 ,提出了确定采样频率最小值的方法 ,改进了数字滤波器所对 应的奈氏带宽 。该方法可在不失真的情况下降低采样率 ,减少信号处理时间 。 关键词 : 信号处理 ; 数字滤波器 ; 奈氏带宽 ; 采样 中图分类号 : TN911. 7 文献标识码 : A
∞
图 1 模拟频率与数字频率之间的关系
-∞
s ( t) e ∫
1
-ω j t
dt =
S1 (ω) , | ω | Φ W 1
0, | ω | > W 1
S2 (ω) , W 2 Φ | ω | Φ W 3
( 2 ) 理想低通采样定理指出 率的 2 倍 。
( 3 ) 欠采样定理指出
[2 ]
[2]
及其正确性的推导
通常在设计数字滤波器时 , 所考虑的第一个问 题是 :原始信号的所有频率是否都处在 - fs / 2 ～ fs / 2 的范围内 , 或者信号是否是纯窄带信号 , 即设计数字 ・70・
1 δ(ω - n ωs ) ] [ S (ω) 3 ωs π 1 2 n=-∞
∞
∑
1
Ts
∞
[
n=-∞
1 1 1 2
( 1. The 760 th Research Institute of CSI C, Dalian 116013, China; 2. Navigation Institute, Northwestern Polytechnical University, Xi’ an 710000, China ) Abstract: The corresponding relationship bet w een analog and digital frequency is analyzed to reduce the re2 quired samp ling rate on a signal, which is composed of unlapped low - frequency and narrow band signals . It gives a method for deter m ining the m ini m al samp ling rate and imp roves the Nyquist band w idth to digital filter . The method can cut samp ling rate rightly and decrease signal p rocessing tim e. Key words: signal p rocessing; digital filter; Nyquist band w idth; samp ling
T T
1 理论基础
。 Ω0 t, 以时间间隔 T 的采样率 一个连续正弦信号 sin
( 1 ) 一个序列 , 其频率以包络的频率来定义
[1 ]
π。 Φ 0. 5 Fs , 同时定义了数字频率范围为 - π～
3
收稿日期 : 2008 - 02 - 04; 修回日期 : 2008 - 05 - 13 ・69・
=2 W + = 2W +
按照理想低通采样定理 , 若对图 2 所示信号进 行采样 , 则最低采样频率应为 2W 3 , 若 W 3 很高 , 则相 应的最低采样率也会变得很高 , 这是不可取的 。 图 2 所示的信号显然也不是窄带信号 , 但如果 把上述信号看成是理想低通信号和窄带信号两种信 号的叠加 ,并以某同一采样率对这 2 个信号进行采 样 ,若对这二者信号采样后得到的各自的频谱在频 域上不发生混迭 ,则我们就可以大大地降低对信号 的采样率 ,以此降低信号处理的数据量 。 以理想采样序列对图 2 中所示的信号 s1 ( t) 成 分进行采样 , Ts 为采样周期 , ωs > 2W 1 , 采样序列频 谱表达式为