理想低通欠采样定理的结合应用分析

对原始信号采样后得到的序列的频谱为两者频 谱之和 : S s (ω) = S1 s (ω) + S2 s (ω)
=
1
Ts
∞
∞
[
n=-∞
∑
ωs ) + S1 (ω - n
n=-∞
∑S
2
(ω - n ωs ) ] ( 8)
3 对上述思路的实验验证
以图 2 所示的信号为例 , 假定在图 2 中我们要把 s2 ( t) 信号提取出来并和 s1 ( t) 作自相关运算 , 以检测 s1 ( t) 中是否含有某些信号 , 而且 s2 ( t) 的中心频率远 高于 s1 ( t)的最高频率 。若按照常规的想法 , 则我们 对信号的采样率必须大于等于 2W 3 , 这与实时性的要 求是背道而驰的 , 特别是在自相关运算中 ; 但若我们 按照上面的思路选取采样率 , 则我们就能极大地加快 信号的处理速度 。图 5 和图 6 为用上述思路对某一 实际信号 (见图 4 ) 处理得到的结果 , 图中的横坐标均 为归一化的频率 :
1 1 1 2
( 1. The 760 th Research Institute of CSI C, Dalian 116013, China; 2. Navigation Institute, Northwestern Polytechnical University, Xi’ an 710000, China ) Abstract: The corresponding relationship bet w een analog and digital frequency is analyzed to reduce the re2 quired samp ling rate on a signal, which is composed of unlapped low - frequency and narrow band signals . It gives a method for deter m ining the m ini m al samp ling rate and imp roves the Nyquist band w idth to digital filter . The method can cut samp ling rate rightly and decrease signal p rocessing tim e. Key words: signal p rocessing; digital filter; Nyquist band w idth; samp ling
Ω1 nT:它的包络在所 对它进行采样得到正弦序列 sin Ω Ω0 nT, 满足 有的采样点 t = nT 处有 sin 1 t | t = nT = sin 这个条件的 Ω1 有无穷多个 , 因为对于任何整数 k 和
n, 有 :
sin (Ω0 +
πk 2
T
) t | t = nT = sin (Ω0 nT + 2 πnk )
第 48 卷 第 8 期 2008 年 8 月
电讯技术
Telecommunication Engineering
Vol . 48 No. 8 Aug . 2008
文章编号 : 1001 - 893X ( 2008 ) 08 - 0069 - 04
理想低通欠采样定理的结合应用分析
罗正刚 , 彭 圆 , 李桂娟 , 刘东涛
1 ) 若该信号的角频率 ωh 是带宽 W 的整数倍
(最低角频率 ωl 也自然为 W 的整数倍 ) , 则当采样
其中 , 0 <W 1 <W 2 <W 3 , W 2 > 2W 1 , 则有 : S (ω) = S1 (ω) + S2 (ω) 信号频谱表示如图 2。
频率 ωs = 2W 时 , 只要让抽样信号通过一个理想带 通滤波器 (通带范围 ωl - ωh ) , 就可重新获得 F (ω) , 从而恢复 f ( t) ;
∞
ωh - nW ) 2(
n
2 ( nW + kW - nW )
n
2 kW
n k ) n ( 2)
δ ω) = ωs T (
n=-∞
∑δ(ω -
ωs ) n
( 5)
= 2W ( 1 +
得到采样后的信号的频谱为 1 ω) ] S1 s (ω) = [ S1 (ω) 3 δ T ( π 2
= =
2 对数字滤波器所对应奈氏带宽的新构思
1 1 1 2
3
(1. 中国船舶重工集团第七六零研究所 ,辽宁 大连 116013; 2. 西北工业大学 航海学院 ,西安 710000 )
摘 要 : 通过分析模拟频率与数字频率的对应关系 ,对含低频和不交叠窄带频率成分的信号推导得 出对该类信号采样所需的最低采样率 ,提出了确定采样频率最小值的方法 ,改进了数字滤波器所对 应的奈氏带宽 。该方法可在不失真的情况下降低采样率 ,减少信号处理时间 。 关键词 : 信号处理 ; 数字滤波器 ; 奈氏带宽 ; 采样 中图分类号 : TN911. 7 文献标识码 : A
第 48 卷 第 8 期 2008 年 8 月
电讯技术
Telecommunication Engineering
Vol . 48 No. 8 Aug . 2008
按照包络的概念能够确定序列信号所携带的模 拟频率是多义的 , 增减 k 个采样频率 Fs 都满足包络 频率的定义 。模拟频率和经采样后的数字频率之间 的映射关系为一个多值对单值关系 。这种频率的对 应关系可用图 1 表示 。
∑S
1
(ω - n ωs ) ]
( 6)
以同一采样序列对信号 s2 ( t) 进行采样得
第 48 卷 第 8 期 2008 年 8 月
S2 s (ω) = = =
电讯技术
Telecommunication Engineering
Vol . 48 No. 8 Aug . 2008
1 ω) ] [ S (ω) 3 δ T ( π 2 2 1 δ(ω - n ωs ) ] [ S2 (ω) 3 ωs π 2 n=-∞
∞
图 1 模拟频率与数字频率之间的关系
-∞
s ( t) e ∫
1
-ω j t
dt =
S1 (ω) , | ω | Φ W 1
0, | ω | > W 1
S2 (ω) , W 2 Φ | ω | Φ W 3
( 2 ) 理想低通采样定理指出 率的 2 倍 。
( 3 ) 欠采样定理指出
[2 ]
[2]
由于采样后得到的序列其频谱周期表现出重复 性 , 所以只需取其中的一个周期进行分析即可 , 为方 ωs 这一频带进行分析 , 根据对模 便起见 , 我们取 0 ～ 拟信号采样得到的序列在频谱上表现为模拟信号的 频谱在频率轴上的搬移这一特点 , 从式 ( 8 ) 得到的 S1 s (ω) 和 S2 s (ω) 的频谱表达式来看 , 若要保证两者在频 域中所占据的频带如图 3 所示那样不发生重叠 , 这要 求采样率必须满足下列条件 : ( 1 )ωs Ε 2W 1 , ωs Ε 2 (W 3 - W 2 ) , 只有这样 , 才能 首先保证对各个信号成分采样后得到各自的频谱本 身不发生重叠 ; ( 2 )ωs Ε 2 (W 1 + W 3 - W 2 ) , 这个不等式能够满足 步骤 ( 1 ) 中的不等式 , 这就是要求的最低采样率 , 若 两者信号在采用这个最低采样率的条件下映射到数 字频率轴上的位置互不叠加 ,则这个采样率就是我们 所求的采样率 ; ( 3 )若步骤 ( 2 ) 求得的采样率不能满足要求 , 则 需逐步提高采样率并按图 1 所示的关系对两种频率 进行映射 ,以改变两者信号映射到数字频率轴上的位 置 ,直到两者信号的频谱在频域轴上不发生混迭 。
=2 W + = 2W +
按照理想低通采样定理 , 若对图 2 所示信号进 行采样 , 则最低采样频率应为 2W 3 , 若 W 3 很高 , 则相 应的最低采样率也会变得很高 , 这是不可取的 。 图 2 所示的信号显然也不是窄带信号 , 但如果 把上述信号看成是理想低通信号和窄带信号两种信 号的叠加 ,并以某同一采样率对这 2 个信号进行采 样 ,若对这二者信号采样后得到的各自的频谱在频 域上不发生混迭 ,则我们就可以大大地降低对信号 的采样率 ,以此降低信号处理的数据量 。 以理想采样序列对图 2 中所示的信号 s1 ( t) 成 分进行采样 , Ts 为采样周期 , ωs > 2W 1 , 采样序列频 谱表达式为
Ana lysis of the Comb ina tion Applica tion of Sam plin g Idea l L ow - pa ss and Band - pa ss Signa l
LUO Z heng - gang , PEN G Yuan , L I Gu i - juan , L IU D ong - tao
滤波器时所考虑的奈氏带宽是基于理想低通信号采 样定理或是欠采样定理的 。这样就只考虑到了数字 频率所对应的位于 - fs / 2 ～fs / 2 范围内的信号 , 而数 字频率所对应的这个频带范围之外的信号并没有考 虑到 。 假设原始信号 s ( t) 由 s1 ( t) 和 s2 ( t) 两部分组 成 , s1 ( t) 为低频成分 , s2 ( t) 为窄带成分 , 有 : ( 3) s ( t) = s1 ( t) + s2 ( t) 且
T T
1 理论基础
。 Ω0 t, 以时间间隔 T 的采样率 一个连续正弦信号 sin
( 1 ) 一个序列 , 其频率以包络的频率来定义
[1 ]
π。 Φ 0. 5 Fs , 同时定义了数字频率范围为 - π～
3
收稿日期 : 2008 - 02 - 04; 修回日期 : 2008 - 05 - 13 ・69・
Ω0 nT = sin
T
( 1)
πk 2 πkFs ( k = 0, ± 则 Ω1 =Ω0 + =Ω0 + 2 1, …) 都是 它的包络频率 , 只是通常只取所有 |Ω0 |中的最小值 为其基本频率 , 并在此基础上定义序列正弦信号的 π π 包络的基本频率范围为 - ΦΩΦ , 即 - 0. 5 Fs Φ f
在信号处理领域 ,信号的种类繁多 ,如何有效地 从含有各种干扰的信号中提取有用的信号来为我们 所要实现的工程服务是这一领域里一个永久的话题 。 数字滤波器的出现是解决这类问题的一种手段。但 工程上常常由于所需要处理的数据量非常大 ,完成序 列数据滤波处理的过程都将会耗费很长一段时间 ,而 在很多方面特别是军事需求方面对实时性的要求又 非常高。缩短信号的处理时间不论是在民用领域还 是在军事应用方面都具有十分重要的意义 。
∞
∑
1
Ts
∞
[
n=-∞
∑S
2
(ω - n ωs ) ]
( 7)
计算所设计数字滤波器的通阻带范围来对信号进 行筛选 。 若我们进一步想降低采样率 , 则我们首先可以 把信号进行 H ilbert变换以得到相应的解析信号 。这 种解析信号的频谱只含有原来信号的正频率部分 , 且幅值是原信号正频谱分量的 2 倍 , 原始信号的正 频谱形状只是在幅度上发生了变化 。再按上述方法 对信号采样 , 则我们还可以使采样率降低一半 。
及其正确性的推导
通常在设计数字滤波器时 , 所考虑的第一个问 题是 :原始信号的所有频率是否都处在 - fs / 2 ～ fs / 2 的范围内 , 或者信号是否是纯窄带信号 , 即设计数字 ・70・
1 δ(ω - n ωs ) ] [ S (ω) 3 ωs π 1 2 n=-∞
∞
∑
1
Ts
∞
[
n=-∞
: 对理想低通信
∞
号进行采样所需要的最低采样率为信号所含最高频
:设有窄带信号 f ( t) , 最
-∞
∫
s2 ( t) e
-ω j t
dt =
0, | ω | > W 3 或 | ω | < W 2
( 4)
低角频率为 ωl , 最高角频率为 ωh , 带宽 W =ωh ห้องสมุดไป่ตู้ ωl , 频谱为 F (ω) :
2 ) 若该信号 f ( t) 的最高频率 ωh 不是带宽 W 的
图 2 原始信号的频谱
整数倍 , 但 ωh 可表示为 ωh = nW + kW , 其中 0 < k < 1, n 是小于 ωh /W 的最大整数 。则当式 ( 2 ) 成立 时 , 采样后得到的信号的频谱不发生重叠 , 可用带通 滤波器准确地恢复出被采样信号 f ( t) 。特别地 , 对 于 ωh 远远大于 W 的窄带信号 , 其抽样频率近似地 等于 2W 。 ω2 = 2W +