数值计算方法第三版课后习题答案

习题一解答

1．取3.14，3.15，

227，355113

作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。

解：（1）绝对误差:

e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。相对误差：

3

()0.0016

()0.51103.14

r e x e x x -==≈⨯有效数字：

因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…

所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2

＝213

11101022

--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。

（2）绝对误差:

e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。相对误差：

2

()0.0085

()0.27103.15

r e x e x x --==≈-⨯有效数字：

因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…

所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝112

11

101022

--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。

（3）绝对误差:

22

() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.0013

7

e x π=-=-=-≈- 相对误差：

3

()0.0013

()0.4110227r e x e x x

--==≈-⨯有效数字：

因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，22

3.1428571430.3142857143107

==⨯，m=1。而22

3.14159265 3.1428571430.0012644937

π-=-=-

所以2213

22 3.14159265 3.1428571430.0012644930.005

7

11

0.510101022

π----=-=≤=⨯=⨯= 所以，22

7

作为π的近似值有3个有效数字。

（4）绝对误差:

355

() 3.14159265 3.141592920.00000027050.000000271113

e x π=-=-=-≈- 相对误差：

7

()0.000000271

()0.86310355113

r e x e x x

--==≈-⨯有效数字：

因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，355

3.141592920.31415929210113

==⨯，m=1。而355

3.14159265 3.141592920.0000002705113π-=-=- 所以

6617

355 3.14159265 3.141592920.00000027050.0000005

113

11

0.510101022π----=-=≤=⨯=⨯=⨯ 所以，355

113

作为π的近似值有7个有效数字。

2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。

346．7854，7．000009，0．0001324580，0．600300

分析：本题实际上指出，按要求截取的近似数符合有效数字定义，相关数位上的数字都是有效数字。解答方法简单，直接写出就可以，不需要也不应该做形式转化（化为科学计数法形式）

解：346．7854≈346．79，7．000009≈7．0000，

0．0001324580≈0．00013246，0．600300≈0．60030。指出：

3、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。

12340.0315,0.3015,31.50,5000x x x x ====。

分析：首先，本题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规则确定。其次，应当先求绝对误差限，再求相对误差限，最后确定有效数字个数。有效数字由定义可以直接得出。

解：由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是

1234()0.00005,()0.00005,()0.005,()0.5

x x x x εεεε====

由绝对误差和相对误差的关系，相对误差限分别是

111222333444()0.00005

()0.16%,

0.0315

()0.00005

()0.02%,0.3015()0.005

()0.002%,

31.5()0.5

()0.01%.

5000x x x x x x x x x x x x εδεδεδεδ==≈=

=≈==≈==≈有效数字分别有3位、4位、4位、4位。

0.1％。解：设取n 个有效数字可使相对误差小于0.1％，则111

100.1%2n a -⨯<，

而34≤≤，显然13a =，此时，

1111110100.1%223n n a --⨯=⨯<⨯，即131

10106

n --⨯<，也即461010n ⨯>所以，n=4。

3.162≈。

5、在计算机数系F(10,4,-77,77)中，对31120.14281100.31415910x x =⨯=-⨯与，试求它们的机器浮点数()(1,2)i fl x i =及其相对误差。

解：

333311111

1

1

1

2222()0.142810,(())()0.14281100.1428100.0000110,()0.314210,(())()0.31415910(0.314210)0.0004110

fl x e fl x x fl x fl x e fl x x fl x =⨯=-=⨯-⨯=⨯=-⨯=-=-⨯--⨯=⨯其相对误

差分别是

311231

0.00001100.000041100.007%,0.013%0.1428100.314210

e e ⨯⨯=≈=≈-⨯-⨯。6、在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数

4220.2337125810,0.3367842910,0.3367781110x y z -=⨯=⨯=-⨯，试按(),()x y z x y z ++++两种算法计算x y z ++的值，并将结果与精确结果比较。

解：

422222222

(())(0.23371258100.3367842910)0.3367781110(0.00000023100.3367842910)0.33677811100.33678452100.33677811100.0000064110fl x y z -++=⨯+⨯-⨯=⨯+⨯-⨯=⨯-⨯=⨯