振动力学第六章弹性体的一维振动资料
弹性体的振动
l 0
l 0
EA U iU j dx 0
i 当： j
2
i
j
l
l 0
AU j dx M
2
pj
K M
pj pj
EA (U j ) dx U j ( EA U j ) dx K
0
pj
采用正则振型归一化：
l 0
AU j dx M
X (l ) 0
a
l 0
频率方程
a
i l
i 1, 2 ,
振型函数： X i ( x ) B i sin 各阶固有频率为： i i
a l
i l
x
i l T0
初始张力 线分布密度
i 1, 2 ,
各阶主振动：y i ( x , t ) X i ( x ) T i ( t ) ( A i 1 sin i t A i 2 cos i t ) sin 自由振动解：y ( x , t )
a
B 2 sin
a
l 0
i 0 ,1, 2 ,
i 0 ,1, 2 ,
sin
a
l 0
i
i a l
相应的主振型： U i ( x ) B i cos 当 i 0
0
i l
x
刚体振型
杆的纵向自由振动可以叠加为：
u( x, t)
U
i 1
i
( x ) A i sin( i t i )
振型函数
a
弹性体的一维振动_图文
就是杆的主振型关于质量的正交性。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.3主振型的正交性
Mechanical and Structural Vibration
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
此题也可以用直接求解方法解出。根据已解出的固有频率 及主振型函数可写出杆的振动方程为
常数Ai , Bi由初始条件确定。初始条件为
再利用三角函数的正交性可得
Mechanical and Structural Vibration
根据类似于多自由系统的线性变换，设通解为
第i阶正则振型函数
Mechanical and Structural Vibration
第i阶正则坐标
6.2 杆的纵向受迫振动
6.2.1 杆对初始条件的响应
通乘以 并沿杆长l积分
考虑到正交性条件及标准化条件，上式成为 这就是以正则坐标表示的杆作纵向自由振动的运动方程。
杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极限位置。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
解可以用x的函数U(x)与t的谐函数的乘积表示，即
即为杆的主振动的一般形式。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
《振动力学基础》课件
各自由度之间相互独立，可分别进行分析。
固有频率和主振型
多自由度系统具有多个固有频率和相应的主振型 。
连续系统的振动
分布参数系统
描述长弦、长杆等连续介质的振动，需要考虑空间位 置的变化。
集中参数系统
将连续介质离散化，用弹簧、质量等元件模拟，适用 于简单模型。
波的传播
连续系统中振动能量的传播形式，如声波、地震波等 。
线性振动和非线性振动
线性振动
满足叠加原理，各激励之间互不影响，系统响应与激励成正比。
非线性振动
不满足叠加原理，激励之间存在相互作用，系统响应与激励不成正 比。
周期性振动和非周期性振动
根据振动是否具有周期性进行分类。
CHAPTER 03
振动分析方法
频域分析法
01
频域分析法是一种通过将时间域的振动问题转换为频率域的振动问题 ，从而利用频率特性来分析振动的方法。
CHAPTER 02
振动的基本原理
单自由度系统的振动
自由振动
无外力作用下的振动，系统具有固有频率和固有振型。
强迫振动
在外力作用下产生的振动，其频率与外力频率相同或相近。
阻尼振动
由于系统内部摩擦或外部阻尼作用导致的振动，能量逐渐耗散。
多自由度系统的振动
耦合振动
多个自由度之间相互影响，振动频率和振型较为 复杂。
汽车悬挂系统和路面激励会导致车内振动，影响乘客舒适性。
船舶与海洋工程
船舶和海洋结构的振动会影响其性能和安全性，需要进行有效的振 动控制。
建筑领域
结构健康监测
对建筑物和桥梁等大型结构进行振动监测，可以评估其健康状况和 安全性。
地震工程
地震引起的振动对建筑结构的影响非常大，需要进行抗震设计和分 析。
一维振动方程ppt课件
§4.1、Legendre方程及Legendre多项式 §4.2、Legendre多项式的母函数 §4.3、按Legendre多项式展开 §4.4、连带Legendre多项式 §4.5、球形区域的Dirichlet问题的解
第五章、柱函数，Bessel函数
§5.1、Bessel函数 §5.2、Bessel函数的母函数 §5.3、半奇数Bessel函数 §5.4、按Bessel函数展开 §5.5、第二、三类Bessel函数 §5.6、球Bessel函数 §5.7、虚宗量Bessel函数 §5.8、Bessel函数的渐近式
t2
x2
说明：
由于：sx x2u2x
x
x
1
u x
2
1
1 2
u x
2
L
L
所以，在小振动时，总弦长变化可以忽略，所以：T(x,t)T(t)
2、均匀杆的纵向振动
考虑一均匀细杆，杆纵向存在轻微振动。 由于杆纵向振动，杆内部存在弹性应力作用，令弹性应 力密度为P(x,t)，令u(x,t)为杆沿纵向的位移量，x为杆上的位 置。
II 数学物理方法
第一章 数理方程的导出
§1.1、一维振动方程 §1.2、扩散方程 §1.3、二维薄膜振动方程 §1.4、电报方程
第二章偏微分方程的定解问题
§2.1、定解条件 §2.2、定解问题的适定性 §2.3、偏微分方程的分类
第三章 分离变量法求解偏微分方程
§3.1、奇次方程的分离变量法 §3.2、高元偏微分方程的分离变量法 §3.3、非奇次边界条件问题 §3.4、非奇次偏微分方程的定解问题 §3.5、正交曲面坐标系 §3.6、区域稳定性问题
5、微观系统所满足的shro&&dinger方程以及相对论量子力
振动力学第六章弹性体的一维振动
U (0) 0,
EAdU dx
xl kU(l)
C 0, U (x) Dsin p x a
U (x) C cos px D sin px
a
a
EA p cos p l k sin p l
aa
a
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
EA p cos p l k sin p l
0 dx
dU j dx
d x pi2
l
0 AU iU j d x
( pi2
p
2 j
)
l
0 AU iU
j
d
x
0
pi p j
i j
l
U
0
j
d dx
(EA dU i dx
)d x
0
l EA dU i dU j d x 0
0 dx dx
上二式则是杆的主振型关于刚度的正交性。
a
则频率方程为
iπ pi l a
i 1,2,
相应的主振型为
iπ
Ui (x) Di sin l a
i 1,2,
若 k 0，相当于自由端，即
cos p l 0 a
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
例6-2 与例6-1中所设参数相同的杆，若其一端固定，另一 端附有集中质量M如图所示，试求杆作纵向振动时的固有频 率和主振型。
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
u
p
p
x
xl
D cos l( Acos pt B sin pt)
a
a
2u t 2
《振动力学结构力学》课件
静力学基础
静力学基本概念：力的平衡、力矩平衡、力系平衡等 静力学基本原理：牛顿三大定律、胡克定律等 静力学基本方法：力法、位移法、能量法等 静力学基本应用：结构分析、结构设计等
弹性力学基础
弹性力学的定义：研究弹性体在外力作用下的变形和应力分布的学科 弹性力学的基本假设：连续性假设、小变形假设、均匀性假设、各向同性假设 弹性力学的基本方程：胡克定律、泊松比定律、弹性模量定律 弹性力学的应用：结构设计、地震工程、航空航天等领域
相位：振动 的起始位置
振型：振动 的形态和形 状
阻尼：振动 的衰减程度
共振：振动 的放大效应
振动系统的基本组成
阻尼：阻碍振动的力，影响 振动的衰减和能量损失
弹簧：连接物体和支撑物的 弹性元件，影响振动的频率 和振幅
质量：物体本身的质量，影 响振动的频率和振幅
支撑物：支撑物体的物体， 影响振动的频率和振幅
振添加动副力标学题 结构力学 PPT课件
汇报人：
目录
PART One
振动力学概述
PART Two
结构力学基本概念
PART Three
振动力学中的基本 理论
PART Five
振动力学与结构力 学的应用
PART Four
结构力学中的基本 理论
PART Six
案例分析
振动力学概述
振动的定义和分类
振动：物体 在平衡位置 附近做往复 运动
振动分类： 自由振动物体在平衡 位置附近做 往复运动， 没有外力作 用
受迫振动： 物体在平衡 位置附近做 往复运动， 受到外力作 用
自激振动： 物体在平衡 位置附近做 往复运动， 没有外力作 用，但受到 自身振动的 影响
振动的物理量描述
振动力学第六章弹性体的一维振动
6.1 杆的纵向振动
6.1.1等直杆的纵向振动
实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此， 称之为弹性体系统。
同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从 虎克定律。
由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因 此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间 和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在 物理本质上及振动的基本概念、分析方法上与有限多个自由度 是相似的。
解：此系统仍属于复杂边界条件问题。
当杆作纵向振动时，附有集中质 量的一端相当作用有惯性力
M
2u t 2
xl
因此杆的边界条件为
U (0) 0,
EA u x
xl
M
2u t2
xl
U (x) C cos px D sin px
a
a
得到C = 0
U (x) Dsin p x a
a
a
cos p l 0 a
即为一端固定，一端自由杆的频率方程。
解出固有频率为
pi
2i 1π
2l
a
i 1,2,
相应的主振型为
U
i
(x)
Di
sin
2i
1 π
2l
x
i 1,2,
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
3. 杆的两端都是自由的情况 边界条件为
U (x) C cos px D sin px
d2 U (x) d x2
p2 a2
U (x)
0
取特征值问题的两个解 pi2,Ui; p2j ,U j 代入
6天津大学机械振动课件弹性体的一维振动
第6章 弹性体的一维振动
6.1 杆的纵向振动
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.1等直杆的纵向振动 6.1.2固有频率和主振型 6.1.3主振型的正交性
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
即为杆的主振动的一般形式。
Mechanical and Structural Vibration
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
2 2u u 2 a 2 t x2
振型函数
代入
振动规律
u ( x , t ) U ( x ) ( A c o s p tB s i n p t )
6.1 杆的纵向振动
6.1.2固有频率和主振型
ia π p i l
( i 1 , 2 , )
2 2 d U ( x ) p 2U ( x ) 0 2 d x a
杆有无穷多个自由度系统，振型 不再是折线而变成一条连续曲线。
当U(x)具有非零解，而且符合杆端边界条件的情况下， 求解值 p2及振型函数U(x)称为杆作纵向振动的特征值问题。 p2为特征值，U(x)又称为特征函数或主振型；而p是固有频 率。
2 u u A 2 ( EA) q ( x ,t ) t x x
2 2 u E u 1 ( ) q ( x ,t ) EA是常数，可写成 2 2 A t x
这是杆作纵向受迫振动方程， 常称为波动方程。
Mechanical and Structural Vibration
第6章 弹性体的一维振动
机械与结构振动
振动力学简介
振动力学简介振动力学是研究物体在受到外界激励时产生的振动现象以及其规律的科学。
它涉及到物体的自由振动和受迫振动，并在许多领域有广泛的应用。
本文将介绍振动力学的基本概念、振动的特性以及其在工程领域的应用。
一、基本概念振动力学的基本概念包括自由振动和受迫振动，自由振动是指物体在没有外界干扰的情况下，由于其自身固有的特性，在某一固有频率下产生的振动。
受迫振动则是物体在受到外界激励时产生的振动。
物体振动的主要特性有振幅、周期、频率和阻尼。
振幅指振动物体在平衡位置附近的最大位移；周期是振动物体从一个极端到另一个极端所需时间；频率则是指单位时间内振动物体完成的周期个数；而阻尼是振动过程中由于摩擦力或其他因素导致能量损失的现象。
二、振动的特性振动力学研究了振动的各种特性，包括振幅的变化规律、周期和频率的确定、能量的转换和阻尼的影响等。
当物体受到外界激励时，振动的特性会发生变化。
振动的特性可以通过振动方程来描述，振动方程是研究振动的重要工具。
它可以表示出受迫振动中物体的位置、速度或加速度与时间的关系。
经典的振动方程包括简谐振动方程和非简谐振动方程，简谐振动是指振动物体回复力与其位移成正比的振动，而非简谐振动则是指回复力与位移之间不成线性关系的振动。
振动的特性还涉及到固有频率、共振以及振动的幅频特性等。
固有频率是指物体固有振动时的频率，它与物体的刚度和质量有关；共振是指当外界激励频率等于物体的固有频率时，振动会达到最大幅度的现象；振动的幅频特性则是指在不同频率下振幅的变化规律，它是评估振动特性的重要参数。
三、工程应用振动力学在工程领域有广泛的应用。
例如，在结构工程中，振动力学可以帮助研究建筑物、桥梁等结构在受到地震或其他外界激励时的响应和稳定性；在机械工程中，振动力学可以用于分析和优化机械系统的振动特性，以提高机械设备的运行效率和稳定性。
此外，振动力学还在声学、电子、航空航天等领域有着重要的应用。
在声学领域，振动力学可以帮助分析和预测音乐乐器的声音特性，以及建筑物和交通工具等产生的噪音；在电子领域，振动力学可以用于振动传感器和振动发电器的设计和优化；在航空航天领域，振动力学可以帮助分析和控制航天器和飞机在飞行过程中的振动问题。
第六章弹性体振动的精确解法
• 这里的i，Xi(x)分别为前(c)，(d)所给， Xi(x)中Ai由(e)的归一条件定出。 • 将(b)代入(a)，两边前乘Xj(x) 并沿杆长积 分 注意(e)，(f)及对函数的积分性质， 分，注意 函数的积分性质 有
2U X ( l )( MX ( l )U EAX ( l )U ) U i i i i i i i i X i ( l ) F0 sin t
• 在线性振动问题中，叠加原理以及建立 在这一原理基础上的模态分析法、脉冲 响应法 频率响应法等同样适用于弹性 响应法、频率响应法等同样适用于弹性 体振动分析。
• 在考察实际振动问题时，究竟该采用那 一类力学模型，得根据具体对象作具体 处理。 • 例如。飞机蒙皮一般取为薄板模型，涡 轮盘取为厚圆板模型。涡轮叶片则取为 薄壳或厚壳模型等。 • 当考察振动体内弹性波的传播问题时， 就得采用弹性体模型。
2013/12/11
6.1 介绍
第六章 弹性体振动
• 前各章在讨论振动问题时采用的都是集 中参数模型，它只有有限多个自由度， 且运动规律由常微分方程来确定。 • 事实上，它只是现实问题中的一类力学 模型。
• 客观现实的另一类力学模型是弹性体(也 称连续系统或分布参数系统)，它的物理 参数是分布型的 具有无限多个自由度 参数是分布型的，具有无限多个自由度， 且运动规律由偏微分方程来确定。
• 其中X(x)足是振型函数，它描述整个弦的振 动形态。Y(t)描述弦各点的振动规律。将 (6.2.9)代入方程(6.2.6)，得到
• 上式左边仅是x的函数，右边仅是t的函数， 所以要使上式对任意的x、t都成立，只有两 边都等于同一常数。设这一常数为，有
• 只有当为负数时，才能从上述第一个方 程中确定振动运动 所以，取 程中确定振动运动。所以，取 =－p2 • 于是，上述方程改为
6 第六章 弹性体的一维振动《振动理论及工程应用(第2版)》教学课件
sin p l 0 a
即两端固定杆的频率方程。由此解出固有频率为
pi
iaπ l
(i 0,1,2,)
相应的主振型为
Ui
(x)
Di
s in
iπ l
x
(i 0,1,2,)
由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去
pi
ia π l
(i 1,2,)
Ui
(x)
Di
sin
iπ l
x
(i 1,2,)
x N q(x,t)dx
Adx
2u t 2
0
变形为：
Adx
2u t 2
(N
N x
dx)
N
q( x, t )dx
q( x, t )
0 x dx l
x u(x,t) 为杆上距原点 x 处截 面在时刻 t 的纵向位移
横截面上内力： N EA EA u
x
N (EA u ) x x x
达朗贝尔原理：
第6章 弹性体的一维振动
6.1 杆的纵向自由振动 6.2 杆的纵向受迫振动 6.3 梁的横向自由振动 6.4 梁的横向受迫振动 6.5 转动惯量、剪切变形和轴向力对梁横向振 动的影响 6.6 梁横向振动的近似解法
－实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量 与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统
－确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此 连续体是具有无限多自由度的系统
－连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运 动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程 组，它是偏微分方程
－在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差 别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度 系统是完全类似的
第6章--弹性体的一维振动题解
126习题6-1 一等直杆沿纵向以等速v 向右运动，求下列情况中杆的自由振动∶ (1) 杆的左端突然固定；杆的右端突然固定；杆的中点突然固定。
解；(1)杆的左端突然固定；杆的初始条件为：()()0,00u x u x == 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i ap i lπ==,… 由归一化条件20sin 12li i x A D dx l πρ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰得i D =即正则振型为,...3,2,1i ,x 2li sin Al 2x)U ~i ==πρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为()00i η=，i=1，3，5，…由式（８－４０）得()0sin i i i ip t p ηη=，进而有：(2)杆的右端突然固定；杆的初始条件为：()()0,00u x u x == 由式(8-15),(8-16)可知,1,3,52i i ap i lπ==,… 由归一化条件1)2cos(2=⎰dx lx i C A i lπρ得AlC i ρ2= 即正则振型为,...5,3,1i ,x 2li cos Al 2x)U ~i ==πρ（ 由式（8-39）得正则坐标表示的初始条件为()00i η=，i=1，3，5，…由式（８－４０）得()0sin i i i ip t p ηη=，进而有：6-2 求下列情况中当轴向常力突然移去时两端固定的等直杆的自由振动。
(1) 常力F 作用于杆的中点，如题6-2(a) 图所示；(2) 常力F 作用于杆的三分之一点处，如题6-2(b) 图所示；127(3) 两个大小相等、方向相反的常力F 作用于杆的四分之一点及四分之三点处如题图6-2(c)所示。
解：（1） 根据题意 ，0t =时杆内的应变杆的初始条件为因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 于是杆的自由振动（2） 根据题意 ，0t =时杆内的应变 杆的初始条件为因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 于是杆的自由振动（3） 根据题意 ，0t =时杆内的应变 杆的初始条件为因为杆两端固定，可解得固有频率及主振型为 将主振型代入归一化条件，得 得到正则振型得到以正则坐标表示的初始条件为得到以正则坐标表示的对初始条件的响应 于是杆的自由振动6-3 如题6-3图所示，一端固定一端自由的等直杆受到均匀分布力lF p 00=的作用，求分布力突然移去时杆的响应。
第 6 章 振动力学基础1
dx1 dx2 dv k1 x1 + k2 x2 + mv = 0 dt dt dt dv dx1 dx2 k2 x2 + + mv = 0 dt dt dt dx d ( x1 + x2 ) v= = dt dt dv k1 k2 x2 + m = 0 x2 = x dt k1 + k2 2 k1k2 d x x+m 2 =0 k1 + k2 dt
m h L k M
l
解：（1）首先选一坐标系， ：（ ）首先选一坐标系， 原点放在受力平衡处。 原点放在受力平衡处。 F p
M g = kL
F
(m + M ) g = k ( L + l )
x o 处分析受力： 任意 x处分析受力： p x
m h L k M
l
F p
F x o p x
处分析受力： 任意 x 处分析受力： P = ( M + m) g
m1 dv1 dv2 k + ( x2 x1 l ) v1 + v1 = 0 dt dt mv1 m2 2 2 d x1 dx2 k ( m1 + m2 ) 2+ ( x2 x1 l ) = 0 2 dt dt mm2 1
d ( x1 x2 l ) k ( m1 + m2 ) ( x1 x2 l ) = 0 2 dt mm2 1
O
C
2d
10
证明： 研究对象： 证明：建立坐标系如图， 研究对象：板 板受力： 板受力： mg N1 N2
f1 f2
≠ 0
∑F
x
y
= N1 + N 2 mg = 0
1 2
振动力学(梁的横向振动)
第 i阶振型有 i－ 1 个节点。节点坐标
1
2
l2
EI
A
i
l
xk
k
即
xk
)
2
4 2
l2
EI
A
3
9 2
l2
EI
A
弹性体的振动
【例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。
解：边界条件为挠度和转角为0，即
Φ (0)0,Φ (0)0 Φ(l)0,Φ(l)0 代入特征方程的解得到
i 1
l
l
q & 0 i 0 A Φ jΦ id x q & 0 i0 A Φ iu & (x ,0 )d x
i 1
标准坐标下的初始激励响应
qi(t)qi0cositq & i0 i sinit
弹性体的振动
物理坐标下的响应
u(x,t)Φ i(x) qi0cositq & i0sinit
l
0j
d2 dx2
EI
d2i
dx2
dx
l EI d2i
0 dx2
d2j dx
dx2
0li2Aijdx
对第j阶振型进行上面类似的运算得：
l
0i
d2 dx2
EI
d2j
dx2
dx
l 0
EI
d2i
dx2
d2j
dx2
dx
0l2j Aijdx
弹性体的振动
用j左乘上式两端，并积分
l 0j
解： （1）固有频率与相应的固有振型为
i
i
l
2
EI
A
Φi(x)
Ci