二重积分的变量变换公式 用极坐标计算二重积分知识讲解

v)
h
x(u, v)
o()

x v
(u,
v)
k

o( )
y4

y1
y v
(u,
v)
k

o( )
当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四
边形, 故其面积近似为
M1M 2 M1M 4
x2 x1 x4 x1
y2 y1 y4 y1
在uov坐标面上 , 用平行于坐标轴的
直线分割区域D, 任取其中一个小矩
形, 其顶点为
v
vk v
M 4 M 3
D
M1 M 2
o u u h u
M1 (u, v) ,
M 2 (u h,v),
T
M3 (u h,v k), M 4 (u,v k).
通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边
例1. 计算 e x y dxdy
D
x + y = 1 所围区域.
其中D 是 x = 0, y = 0,
y 1
解 令 u x y, v x y, 则
x 1 (u v), y 1 (v u),
2
2
11
J(u, v)
2 1
2 1
1, 2
22
O
1x
v
1
1 O 1 u
x r cos , y r sin
J ( x, y) cos (r, ) sin
r sin r cos
r
D f ( x, y)d x d y D f (r cos , r sin ) r d r d
(i) 若原点在 D 外，D : r1( ) r r2( ), ,
则
D f (r cos , r sin )r d r d


d
r2( ) f (r cos , r sin )r d r

r1 ( )
r r2( )
D
r r1( )
(ii) 若原点在 D 内，则
O
x
D f (r cos , r sin )r d r d
r1
1(r )
D
1(r) x
r1
r2
例3. 计算
I
d
D 1 x2 y2
其中 D : x2 y2 R2 .
例4. 求球体
被圆柱面
x2 y2 R x 所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解 由对称性可知
V 4
D
R2 x2 y2 d 4
(2) 在 D上 雅可比行列式 J (u, v) (x, y) 0; (u, v)
y D
(3) 变换T : D D是一一对应的 , o
x
则
D f ( x, y)d x d y f ( x(u,v), y(u,v)) J(u,v) d ud v
D
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.

2
d
r ( )
f (r cos , r sin )r d r
0
0
r r( ) D
O
x
(iii) 若原点在 D 的边界上，则
r r( )
D f (r cos , r sin )r d r d

d
r ( )
f
(r
cos
,r
sin
)r
d
O
r

0
D
x
(iv) 若区域 D 可表示为
2(r) r r2
D : 1(r) 2(r), r1 r r2,
f (r cos , r sin )r d r d r r1
D
O
r1 r d r 2(r) f (r cos , r sin )d
所围区域 D 的面积. (0 m n, 0 )
解 令 u y2 , x
v y x
y y x y x
y2 nx D
y2 mx
O
x
v

D

Om
nu
二、用极坐标计算二重积分
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数 含有 x2 + y2 时，采用极坐标变换往往能简化二重 积分的计算. 此时,
D
R cos R2 r 2 r d r 0
R2 r2 r d r d
z
4 R3( 2 )
3 23
y r Rcos o
y
D
R
xx
例5. 计算
rR
其中 D : x2 y2 R2 .
D
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
J (x, y) cos (r, ) sin
r sin
r cos
r
D f (x, y) d x d y D f (r cos , r sin ) r d r d
x y
§4 二重积分的变量变换
二重积分的变量变换公式 用极坐标计算二重积分
一、二重积分的变量变换公式
v
定理21.13 设 f ( x, y)在闭域D上连续,
D
变换:
T
:

x y

x(u, v) y(u, v)
(u,v) D D
o
u
满足 (1) x(u,v), y(u,v) 在 D上一阶偏导数连续; T
xy e x y dxdy
e
u v

1
dudv
1
1
dv
u v
e v du
D
D
2
20
v
1 2
u
1 0
(ve
v
)来自百度文库
|vv
dv
1 2
1 v(e - e1 )dv
0
e - e1
4
例2. 求抛物线 y2 = mx, y2 = nx 和直线 y x, y x
形, 其对应顶点为Mi (xi , yi ) (i 1, 2,3, 4)
y
M3
D M 4
M1 M2
令 h2 k2, 则
o
x
x2

x1

x(u

h,
v)

x(u,
v)

x u
(u, v)
h

o(
)
x4 x1 同理得 y2 y1
x(u,v k)

y u
(u,

x u
h
y u
k

x v
h

y v
k
x x

u y
v y
hk J (u,v) hk
u v
因此面积元素的关系为 d J (u, v) d u d v
从而得二重积分的换元公式:
D f (x, y) d x d y f (x(u,v), y(u,v)) J (u,v) d u d v