三角函数的积化和差与和差化积ppt课件
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人教版高中数学必修四课件：3.3三角函数的积化和差与和差化积43
2sin 54 22 cos 54 22
2
2
2sin 38 cos16
（4） sin5x sin3x
2cos 5x 3x sin 5x 3x
2
2
2cos 4xsin x
例3. 已知A+B+C=180°, 求证： sin Asin B sinC 4 cos A cos B cos C
（2） cos 40 cos52
（3） sin 54 sin 22
（4） sin5x sin3x
解：（1）
cos3 cos 2cos 3 cos 3
2
2
2cos 2 cos
（2）cos 40 cos52
2sin 40 52 sin 40 52
2
2
2sin 46 sin 6
（3）sin 54 sin 22
2
从上面四个式子又可以得到
sin( ) sin( ) 2sin cos sin( ) sin( ) 2cos sin cos( ) cos( ) 2cos cos cos( ) cos( ) 2sin sin
积化和差公式
sin cos 1 [sin( ) sin( )]
3．本题若只是简单处理，可能会做不下去．
到此或许许多人就束手无策了，当然，这样做如果 处理得法，还是会最后得到正确结果的，但是计算 太大了． 若注意到10°、50°分别与80°、40°互为余角， 利用诱导公式可得如下解法．
(四)小结 三角函数的恒等变换，由于三角公式较多、用起 来也较活，所以应当掌握变形的一般规律，而一 般规律的获得主要靠自己的实践以及理性上的升 华。通过一个阶段的学习与练习，应是有一定体 会的．一般说三角变换问题，第一要关注问题中 的角，特别是角的和、差、倍、半关系，当然这 些关系也不是一成不变的，如适当时候，我们也 可以把α看作是
新教材高中数学第二章简单的三角恒等变换第2课时和差化积与积化和差公式pptx课件湘教版必修第二册
例2 把下列各式化成和或差的形式．
(1)2sin 64°cos 10°；
(2)sin 80°cos 132°；
(3)cos
π6பைடு நூலகம்os
π；
4
(4)sin 2sin 1.
方法归纳 积化和差公式可以把某些三角函数的积化为和或差的形式．需要注 意三角函数名称的变化规律．
跟踪训练2 (1)sin 15°cos 165°的值是( )
6°.
(3)sin
15°＋sin
35°＝2sin
15°+235°cos
15°−35° 2
＝2sin 25°cos (－10°)＝2sin 25°cos 10°.
(4)sin
6x－sin
2x＝2cos
6x+22xsin
6x−2x 2
＝2cos 4x sin 2x.
方法归纳 套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，有时函数不同名，要 先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来．
A．14
B．12
C．－14
D．－12
答案：C
解析：sin 15°cos 165°＝12[sin (15°＋165°)＋sin (15°－165°)]＝12sin 180°－12sin 150°＝－14.
(2)sin
π+α
4
cos
π+β
4
化成和差的形式为(
)
A．12sin (α＋β)＋12cos (α－β)
B．12cos (α＋β)＋12sin (α－β)
C．12sin (α＋β)＋12sin (α－β)
D．12cos (α＋β)＋12cos (α－β)
答案：B
高中数学第三章三角恒等变换3.3三角函数的积化和差与和差化积课件新人教B版必修4
(3)和差化积、积化和差公式的基本功能在于:当和积互化时,角 度要重新组合,因此有可能产生特殊角;结构将变化,因此有可能产 生互消项或互约因式,从而利于化简求值. 正因为如此,“和积互化” 是三角恒等变形的一种基本方法.在解题过程中,当遇到三角函数 的和时,就试着化为积的形式;当遇到三角函数的积时,就试着化为 和差的形式.往往这样就能发现解决三角函数问题的思路.为了能 够把三角函数化成积的形式,有时需要把某些数当作三角函数值,
π
)
D.4
π
������- ������-
π 3
故最小正周期为 π. 答案:B
1
2
【做一做1-2】 sin 37.5°cos 7.5°=
.
解析:sin 37.5° cos 7.5°
1 =2[sin(37.5° +7.5° )+sin(37.5° -7.5° )] 1 1 2 1 =2(sin 45° +sin 30° )=2 2 + 2
.
②在 Rt△ONQ 中,
=
2+1 . 4
答案:
2+1 4
1
2
2.和差化积公式 设 α+β=x,α-β=y,则 α= 2 ,β= 2 .这样,上面的四个式子可以写 成 sin x+sin
������+������ ������-������ y=2sin 2 cos 2 ;
������ +������ 2 ������ +������ 2 ������ +������ 2
������+������ ������+������ , sin 2 2
.
������+������ ������-������ , . 2 2
和差化积与积化和差公式ppt课件ppt
积化和差公式介绍
深入探讨了如何通过积的 形式来表达和差，进一步 扩展了公式的应用范围。
公式实例解析
通过多个具体例子，详细 展示了如何在实际问题中 运用这些公式。
公式应用注意事项总结
适用条件
明确公式应用的前提条件 ，确保在正确的场景下使 用公式。
公式变形与拓展
在讨论公式的应用时，注 意公式的各种变形以及与 其他公式的关联。
在一些特定角度下，通过积化和差公式可以快速求解出三角函数的 值，避免复杂的计算过程。
在物理学中的应用
积化和差公式在物理学中经常用于处理振动、波动等问题，通过公 式的应用可以简化问题的求解过程。
04
公式对比与关联
和差化积与积化和差公式的异同点
异处
应用场景：和差化积在处理涉及三角函数和差的问题时 较为方便，而积化和差在处理涉及三角函数乘积的问题 时更为有效。
例题4
通过积化和差公式解决三角函数的求值问题 。例如，求解 $\sin 2x$ 的值，可以通过积 化和差公式将其转化为 $2\sin x \cos x$ 的
形式，从而更容易获取结果。
公式综合运用练习题
练习1
综合运用和差化积与积化和差公式，求解 $\sin(x+y)\cos x - \cos(x+y)\sin x$。此题需要灵活运 用两个公式，通过合适的变换和组合，得到最终的结果 。
培养数学思维
通过深入学习和实践，大家将逐渐 提高自己的数学思维能力，为未来 的学习和工作打下坚实基础。
02
和差化积公式
和差化积公式的基本形式
正弦和差化积公式
sinα+sinβ=2sin(α+β)/2·cos(α-β)/2， sinα-sinβ=2cos(α+β)/2·sin(α-β)/2
三角函数的积化和差与和差化积PPT精品课件
合理开发地下水
四、协调人地关系，从我做起
阅读教材P107“四、协调人地关系，从我做起”， 讨论回答：（1）按照可持续发展的思想和方法，协 调人地关系主要包括哪些方面？ （2）我们每个人 能为可持续发展做些什么？
协调社会经济发展与自然资源、生态环境之间的关系
协调人类社会的眼前利益与长远利益之间的关系
甘蔗蔗糖分一般为 12.5～14%，在我国主 要分布在南方。
甜菜：含蔗糖高，一般达 15～20％,主要分布在北 纬30°～63° 中国甜菜 主要种植在北纬40°以北。
两种发展模式
三、自然资源的可持续利用
可
再
补给、再
利用超
自然资
生
生和繁殖
过极限，
源需求
自
资
需要时间
恢复困
源
难
量越来 环 越大
然
境
倍角、半角公式 及三角函数的 积化和差与和差化积
复习目标： 1.掌握倍角、半角公式，并能用这些公式 进行简单三角函数式的化简、求值和证明 恒等式。 2.了解积化和差，和差化积公式的推导过 程。初步运用公式进行和积互化。进行简 单的三角函数求值、化简、证明。
题型一：求三角函数值
问题：求非特殊角的三角函数值的基 本思路是什么呢？
思考：森林资源的含义是什么？它有哪些生态效益？ 我国森林资源开发利用中存在的主要问题及解决措 施.
我国森林资源开发利用中存在的主要问题:
1 消耗量大于生长量。 2 计划外采伐量大，难以控制。 3 森林火灾及病虫害。 4 毁林开荒和滥砍滥伐现象。
实现可持续发展的目标，意味着一场深刻的变 革，是世界观、价值观、道德观的变革，是人 类行为方式的变革。公众既是消费者，又是生 产者，也是环境的管理者。因此，公众是否认 识、愿意接受并积极参与，是实施这些变革的 必要条件。我们只有建立起可持续发展的世界 观，进而用符合可持续发展的方法来改变我们 的生产、生活方式，才能使可持续发展从观念 走向实践。例如，工厂实行清洁生产，社会公 众积极参与，选购带环境标志的产品。
三角函数的积化和差与和差化积【PPT】省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(1)
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsingβ(2)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(3)
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(4) 师：请同学们注意观察这四个公式，考虑一下能否利用 这些公式得出某些新关系来． 生1：把(1)式与(2)式相加可得 sin(α+β)+sin(α-β)=αsinαcosβ． 生2：把(1)式与(2)式相减可得 sin(α+β)-sin(α-β)=αcosαsinβ． 师：(3)、(4)两式作类似旳加、减还能够得到： cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ， cos(α+β)- cos( α-β)=-2sinαsinβ． 师：若把这四个关系式整顿一下，即可得到
二、板书设计
第三课时 习题课
三角函数是中学数学旳一种很主要旳学习内容， 这二章(第三章与第四章)从简介三角函数旳定义、 性质、图象开始逐渐进一步，学习旳进程高潮迭 起，尤其是从和、差、倍、半角旳三角函数直到 三角函数旳和差化积与积化和差，既充分揭示了 三角函数旳内在关系，且每组公式又都有它本身 旳使用范围，另外三角函数这块内容又是学习其 他数学分支旳主要工具，在函数研究、立体几何、 代数及解析几何中都有广泛旳应用，学好三角函 数是学好其他数学分支旳主要基础．因为三角公 式相当多，所以记忆和应用就显得十分主要，安 排两节习题课旳目旳，就是希望经过练习及比较， 使学生能熟练掌握进行三角恒等变换旳一般措 施． (一)复习和差化积与积化和差公式 (二)作业评讲 1．求cos20°+cos100°+cos140°．
高二数学三角函数的积化和差与和差化积(共9张PPT)
第4页，共9页。
题型三：化简 化简时常用的化简方法有哪些？
1.倍角、半角公式（降幂公式）
2. 切化弦。 4.积化和差与和差化积
第5页，共9页。
当堂检测： 答案：1.C
2.B
她来到这个家已经四十年了,从当年の几岁女娃,成长到了现在四十多岁の老姑娘了,这个院子她居住了四十年,现在就要离开确实是很不舍. 那时候她母亲原本想去找陆震の,可是却没有脸去找他,觉得自己对不起陆震.
3.T=π， ymax=1， ymin=-1 "陆震将壹个黑色の遥控器放到了她の手里,对她说,"这是咱这里の遥控钥匙,你配壹把吧,你那里最好是不要再去住了,那里不安全.
可是她并没有从陆震の眼中,看到过壹丝迟疑与心虚,他似乎说の是真の,难道自己真の错了?"可惜,这壹切都晚了. 她母亲临死这前告诉鬼荷花,可以让她拿着信物去投奔陆震,但是鬼荷花却没有听从她母亲の话,自己在外流浪了七八年. 原本这壹切の苦难应该就可以结束了,陆家在这洪城地位很高,陆震の威名也是大名鼎鼎の,起码在这洪城自己是壹个千金大小姐. 其中也包括陆小芸,这壹天夜里,她の母亲告诉她,要带她前往爪哇国,说是去那里拜访壹位武道名师,令陆小芸极为费解.
第7页，共9页。
布置作业：
请同学们根据自己的不同情况， 课后选择性的完成A案中的内容。
第8页，共9页。
；除甲醛公司；
喝用の都是最好の,咱也送你去最好の学府...""咱虽然没有去时时看望你,但也会经常联系你..."陆震道："虽然咱心里有时也会想,你可能是咱の孩子,是咱最小 但 , の女尔 是咱不敢和你相认,因为咱怕你有心理负担..."听着陆震讲述他の心结,鬼荷花脑袋也低了下来,她也有些无语,脸色有些难看."可是你心里,肯定也壹直在 , 想 咱是被人强出来の孩子吧!"鬼荷花阴沉着说.陆震心中壹怔,随即否认道："咱从来没有这样子想过!咱只是怕你会这样想,所以才尽量不表现得太过殷勤而已...""是真の
题型三：化简 化简时常用的化简方法有哪些？
1.倍角、半角公式（降幂公式）
2. 切化弦。 4.积化和差与和差化积
第5页，共9页。
当堂检测： 答案：1.C
2.B
她来到这个家已经四十年了,从当年の几岁女娃,成长到了现在四十多岁の老姑娘了,这个院子她居住了四十年,现在就要离开确实是很不舍. 那时候她母亲原本想去找陆震の,可是却没有脸去找他,觉得自己对不起陆震.
3.T=π， ymax=1， ymin=-1 "陆震将壹个黑色の遥控器放到了她の手里,对她说,"这是咱这里の遥控钥匙,你配壹把吧,你那里最好是不要再去住了,那里不安全.
可是她并没有从陆震の眼中,看到过壹丝迟疑与心虚,他似乎说の是真の,难道自己真の错了?"可惜,这壹切都晚了. 她母亲临死这前告诉鬼荷花,可以让她拿着信物去投奔陆震,但是鬼荷花却没有听从她母亲の话,自己在外流浪了七八年. 原本这壹切の苦难应该就可以结束了,陆家在这洪城地位很高,陆震の威名也是大名鼎鼎の,起码在这洪城自己是壹个千金大小姐. 其中也包括陆小芸,这壹天夜里,她の母亲告诉她,要带她前往爪哇国,说是去那里拜访壹位武道名师,令陆小芸极为费解.
第7页，共9页。
布置作业：
请同学们根据自己的不同情况， 课后选择性的完成A案中的内容。
第8页，共9页。
；除甲醛公司；
喝用の都是最好の,咱也送你去最好の学府...""咱虽然没有去时时看望你,但也会经常联系你..."陆震道："虽然咱心里有时也会想,你可能是咱の孩子,是咱最小 但 , の女尔 是咱不敢和你相认,因为咱怕你有心理负担..."听着陆震讲述他の心结,鬼荷花脑袋也低了下来,她也有些无语,脸色有些难看."可是你心里,肯定也壹直在 , 想 咱是被人强出来の孩子吧!"鬼荷花阴沉着说.陆震心中壹怔,随即否认道："咱从来没有这样子想过!咱只是怕你会这样想,所以才尽量不表现得太过殷勤而已...""是真の
2.4积化和差与和差化积公式(教学课件)-高中数学北师大版(2019)必修第二册
(1) sin103 sin17；
(2)
cos
4
cos
4
.
解：(1)sin103 sin17=2sin 103 17 cos 103 17
2
2
=2sin 60cos 43 3cos43
(2)
cos
4
cos
4
2
sin
4
2
4
sin
4
2
4
= 2sin sin 2 sin
12 12 分析：求两个不同角的三角函数值的积，利用积化和差公式化简
解：sin
5
12
cos
12
=
1 2
sin
5
12
12
sin
5
12
12
1 2
sin
2
sin
3
1 2
3 4
本题是否可 以转化为同 角三角函数 求值？
两个三角函数值的积可转化为另外两个易求三角函数值的和（差） 乘常数的形式，再进行求值.
课堂小结
03
课堂小结
1、两组公式：
积化和差公式：
sincos 1 sin( + )+sin( )
2
cossin 1 sin( + ) sin( )
2
coscos 1 cos( + )+cos( )
2
sinsin 1 cos( + ) cos( )
2
2、数学思想方法：换元法
(1)为同角三角函数关系，(2)(3)可转化为同角三角函数关系，
利用sin cos 1 sin 2,sin2 1 cos 2 , cos2 1 cos 2 求值.
新教材高中数学第8章第2课时三角函数的积化和差与和差化积ppt课件新人教B版必修第三册
和差化积问题
【例2】 已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，求sin(α＋β) 的值．
[思路探究] 利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用 所给条件求解．
[解] 因为 cos α－cos β＝12，
所以－2sin
α＋β 2 sin
α－2 β＝12.
①
又因为 sin α－sin β＝－13，
A．12
B．14
C．－14
D．－12
B [sin 105°cos 75°＝12(sin 180°＋sin 30°)＝14.]
2．sinπ4＋αcosπ4＋β化成和差的形式为(
)
A．12sin(α＋β)＋12cos(α－β)
B．12cos(α＋β)＋12sin(α－β)
C．12sin(α＋β)＋12sin(α－β)
sin(2A＋2B)＝－sin 2C，cos(2A＋2B)＝cos 2C．
【例3】 在△ABC中，求证：sin A＋sin B－sin C＝4sinA2sinB2 cosC2 .
[思路探究] 利用和差化积进行转化，转化时要注意A＋B＋C ＝π.
[证明]
左边＝sin(B＋C)＋2sin
B－C 2 cos
＝
3 2 cos
10°cos
50°cos
70°＝
2312cos
60°＋cos
40°·cos
70°
＝
3 8 cos
70°＋
3 4 cos
Байду номын сангаас
40°cos
70°
＝
3 8 cos
70°＋
3 8 (cos
110°＋cos
30°)
数学人教必修B第三册课件：8.2.4第2课时 三角函数的积化和差与和差化积
cos x-cos y=-2sin sin ;
sin
sin
2
2
+
-
x+sin y=2sin cos ;
2
2
+ -
x-sin y=2cos 2 sin 2 .
3.做一做:计算(1)sin 54°-sin 18°=
1
(2)cos x-2=
.
1
π
答案:(1) (2)-2sin +
2
2 6
π
π
6
sin -
π
6
=
π
∴ sincos 6 + cossin 6
11
=20,
3
1
Hale Waihona Puke 1-cos2 1 1+cos2
−4×
2
2
1-tan2
3
.
cos 2θ=- =
1+tan2
5
3
即
∴tan θ=±2.
π
π
sincos 6 − cossin 6
11
∴4sin2θ-4cos2θ=20,
D. 2
)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
4.sin 15°sin 30°sin 75°的值是
.
1
8
答案:
5.(双空)sin 105°+sin 15°=
cos 75°×cos 15°=
6
答案: 2
1
4
,
.
当堂检测
sin
π
2 6
;
课堂篇探究学习
探究一
探究二
sin
sin
2
2
+
-
x+sin y=2sin cos ;
2
2
+ -
x-sin y=2cos 2 sin 2 .
3.做一做:计算(1)sin 54°-sin 18°=
1
(2)cos x-2=
.
1
π
答案:(1) (2)-2sin +
2
2 6
π
π
6
sin -
π
6
=
π
∴ sincos 6 + cossin 6
11
=20,
3
1
Hale Waihona Puke 1-cos2 1 1+cos2
−4×
2
2
1-tan2
3
.
cos 2θ=- =
1+tan2
5
3
即
∴tan θ=±2.
π
π
sincos 6 − cossin 6
11
∴4sin2θ-4cos2θ=20,
D. 2
)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
4.sin 15°sin 30°sin 75°的值是
.
1
8
答案:
5.(双空)sin 105°+sin 15°=
cos 75°×cos 15°=
6
答案: 2
1
4
,
.
当堂检测
sin
π
2 6
;
课堂篇探究学习
探究一
探究二
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3．3 三角函数的积化和 差与和差化积
1
(一)知识点 1．三角函数的积化和差．
2．三角函数的和差化积．
2
(二)能力 1．三角函数的积化和差与和差化积，这 两种互化，对于求三角函数的值、化商三 角函数式及三角函数式的恒等变形，都有 重要的作用，它们的作用和地位在三角函 数值的变形中是十分重要的． 2．积化和差与和差化积公式的推导过程 本身也运用了许多重要的教学思想和方法， 在课堂教学中应作为重要一环给予足够的 重视． (三) 方法 数学学习中，处处充满辩证法，和差化积 与积化和差看似是一对矛盾，但它们又处 在对立统一体中，这些公式中，从左到右 为积化和差，而从右到左则成为和差化
请同学们注意观察这四个公式，考虑一下能否利用
这些公式得出一些新关系来．
把(1)式与(2)式相加可得
sin(α+β)+sin(α-β)=αsinαcosβ．
把(1)式与(2)式相减可得
sin(α+β)-sin(α-β)=αcosαsinβ．
(3)、(4)两式作类似的加、减还可以得到：
cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ，
14
习题
三角函数是中学数学的一个很重要的学习内容， 这一节从介绍三角函数的定义、性质、图象开始 逐步深入，学习的进程高潮迭起，特别是从和、 差、倍、半角的三角函数直到三角函数的和差化 积与积化和差，既充分揭示了三角函数的内在关 系，且每组公式又都有它自身的使用范围，另外 三角函数这块内容又是学习其他数学分支的重要 工具，在函数研究、立体几何、代数及解析几何 中都有广泛的应用，学好三角函数是学好其他数 学分支的重要基础．由于三角公式相当多，所以 记忆和应用就显得十分重要，安排两节习题课的 目的，就是希望通过练习及比较，能熟练掌握进 行三角恒等变换的一般方法．
6
练习 1．求sin20°·cos70°+sin10°·sin50°的值， 2．求cos37.5°·cos22.5°的值，
7
1．sin20·cos70°+sin10°·sin50° 2． cos37.5°·cos22.5°
8
而sin20°·sin40°·sin80°
9
三角函数的和差化积
我们知道，每个数学公式都有两方面的应用，即正
用与逆用．积化和差公式也不例外，那么，积化和
差公式的逆用应怎么称呼呢？
应称为三角函数的和差化积公式．
由三角函数的积化和差公式的逆用，我们可得以下
几个公式：
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ；
sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ；
cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ；
3
积．在实际应用，他们又是相辅相成的.
三角函数的积化和差
(一)复习和、差角的正弦与余弦公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ．
为了突出这组公式是三角函数的和差化积公式并能
方便地记忆，可作如下的换元：
10
这样我பைடு நூலகம்就得到如下的三角函数的和差化积公式
和差化积公式与积化和差公式相反，它可以把三角函数 的和差的形式转化为积的形式，从而获得问题的解决．
11
例1 求sin42°-cos12°+sin54°的值． 分析：这是三角中常遇到的问题，由于原题是三个三 角函数的和差形式，自然想到要使用和差化积公式， 由于上述问题中现成的同名角函数为sin42°、sin54°， 因而一般做法是将这二个函数做和差化积但本题若采 用此法则无后续手段，问题的解决将十分困难．应该 说这种思考的方向是正确的，但我们不是为和差化积 而和差化积，而是为问题的解决而和差化积的，一般 地说出现多个三角函数的和差时，应选择能出现特殊 角的一组进行．鉴于此，本题应采取下面的解法． 解：原式=sin42°-sin78°+sin54° =-2cos60°sin18°+sin54° =cos54°-sin18° =2sin36°sin18°．
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进行到此，本题的化简能进行下去吗？ 可试着使用正弦函数的倍角公式化简． 2cos36°sin18°
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和差化积公式的左边全是同名函数的和或 差，只有负数绝对值相同的同名函数的和 与差才能直接运用公式化成积的形式，如 果是一个正弦与一余弦的和或差必须先用 诱导公式化成同名函数后，再运用积化和 差公式化成积的形式． 无论是和差化积还是积化和差中的“和差” 与“积”，都是指得三角函数间的关系， 并不是角的关系，这是必须十分清楚的． 三角函数的和差化积所要求的最后结果， 只要是三角函数的积的形式就可以了，不 求形式上的一致．
所有这些三角公式都是从一个公式演化而来的，主要是
证明了两角和的余弦函数公式．之后，利用换元法以及
诱导公式，同角三角函数之间的关系等而导出一系列公
式来，他们相互之间是有紧密关系的．
和、差、倍、半角的三角函数是一组十分重要的公式，
它们在解决三角恒等变换等方面有许多重要应用．但是，
光是这些关系还不足以解决问题，今天我们还要进一步
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1．△ABC中，求证cos2A+cos2B+cos2C= -1-4cosAcosBcosC． 证明：∵A、B、C为△ABC的三内角． ∴A+B+C=π，即C=π-(A+B)． ∴原式左边=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1 =2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1 =2cos(A+B)[cos(A+B)+cos(A-B)]-1 =4cos(A+B)cosAcosC-1 =-1-4cosAcosBcosC． 2. 求sin220°+cos250°+sin20°·cos50°的值． 分析：本题有两个平方式，遇到三角函数的平方式(包含三次，四 次式等)，常利用余弦的倍角公式作降次处理．
cos(α+β)- cos( α-β)=-2sinαsinβ．
若把这四个关系式整理一下，即可得到
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以上这四个公式的特征是把三角函数的积的形式 转化为三角函数的和、差的形式，我们把上述公 式称为三角函数的积化和差公式． 积化和差公式的功能可以把三角函数的一种形式 (积的形式)转化为另一种形式(和差的形式)，这种 转化可以使得一些我们无法解决的问题变成可能 解决的问题，它们在三角式的变换中有很重要的 作用．
把握它们的内在联系，寻求新的关系式．
(二)新课
正、余弦的和差角公式
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sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(1)
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsingβ(2)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(3)
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(4)
1
(一)知识点 1．三角函数的积化和差．
2．三角函数的和差化积．
2
(二)能力 1．三角函数的积化和差与和差化积，这 两种互化，对于求三角函数的值、化商三 角函数式及三角函数式的恒等变形，都有 重要的作用，它们的作用和地位在三角函 数值的变形中是十分重要的． 2．积化和差与和差化积公式的推导过程 本身也运用了许多重要的教学思想和方法， 在课堂教学中应作为重要一环给予足够的 重视． (三) 方法 数学学习中，处处充满辩证法，和差化积 与积化和差看似是一对矛盾，但它们又处 在对立统一体中，这些公式中，从左到右 为积化和差，而从右到左则成为和差化
请同学们注意观察这四个公式，考虑一下能否利用
这些公式得出一些新关系来．
把(1)式与(2)式相加可得
sin(α+β)+sin(α-β)=αsinαcosβ．
把(1)式与(2)式相减可得
sin(α+β)-sin(α-β)=αcosαsinβ．
(3)、(4)两式作类似的加、减还可以得到：
cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ，
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习题
三角函数是中学数学的一个很重要的学习内容， 这一节从介绍三角函数的定义、性质、图象开始 逐步深入，学习的进程高潮迭起，特别是从和、 差、倍、半角的三角函数直到三角函数的和差化 积与积化和差，既充分揭示了三角函数的内在关 系，且每组公式又都有它自身的使用范围，另外 三角函数这块内容又是学习其他数学分支的重要 工具，在函数研究、立体几何、代数及解析几何 中都有广泛的应用，学好三角函数是学好其他数 学分支的重要基础．由于三角公式相当多，所以 记忆和应用就显得十分重要，安排两节习题课的 目的，就是希望通过练习及比较，能熟练掌握进 行三角恒等变换的一般方法．
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练习 1．求sin20°·cos70°+sin10°·sin50°的值， 2．求cos37.5°·cos22.5°的值，
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1．sin20·cos70°+sin10°·sin50° 2． cos37.5°·cos22.5°
8
而sin20°·sin40°·sin80°
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三角函数的和差化积
我们知道，每个数学公式都有两方面的应用，即正
用与逆用．积化和差公式也不例外，那么，积化和
差公式的逆用应怎么称呼呢？
应称为三角函数的和差化积公式．
由三角函数的积化和差公式的逆用，我们可得以下
几个公式：
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ；
sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ；
cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ；
3
积．在实际应用，他们又是相辅相成的.
三角函数的积化和差
(一)复习和、差角的正弦与余弦公式
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ．
为了突出这组公式是三角函数的和差化积公式并能
方便地记忆，可作如下的换元：
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这样我பைடு நூலகம்就得到如下的三角函数的和差化积公式
和差化积公式与积化和差公式相反，它可以把三角函数 的和差的形式转化为积的形式，从而获得问题的解决．
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例1 求sin42°-cos12°+sin54°的值． 分析：这是三角中常遇到的问题，由于原题是三个三 角函数的和差形式，自然想到要使用和差化积公式， 由于上述问题中现成的同名角函数为sin42°、sin54°， 因而一般做法是将这二个函数做和差化积但本题若采 用此法则无后续手段，问题的解决将十分困难．应该 说这种思考的方向是正确的，但我们不是为和差化积 而和差化积，而是为问题的解决而和差化积的，一般 地说出现多个三角函数的和差时，应选择能出现特殊 角的一组进行．鉴于此，本题应采取下面的解法． 解：原式=sin42°-sin78°+sin54° =-2cos60°sin18°+sin54° =cos54°-sin18° =2sin36°sin18°．
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进行到此，本题的化简能进行下去吗？ 可试着使用正弦函数的倍角公式化简． 2cos36°sin18°
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和差化积公式的左边全是同名函数的和或 差，只有负数绝对值相同的同名函数的和 与差才能直接运用公式化成积的形式，如 果是一个正弦与一余弦的和或差必须先用 诱导公式化成同名函数后，再运用积化和 差公式化成积的形式． 无论是和差化积还是积化和差中的“和差” 与“积”，都是指得三角函数间的关系， 并不是角的关系，这是必须十分清楚的． 三角函数的和差化积所要求的最后结果， 只要是三角函数的积的形式就可以了，不 求形式上的一致．
所有这些三角公式都是从一个公式演化而来的，主要是
证明了两角和的余弦函数公式．之后，利用换元法以及
诱导公式，同角三角函数之间的关系等而导出一系列公
式来，他们相互之间是有紧密关系的．
和、差、倍、半角的三角函数是一组十分重要的公式，
它们在解决三角恒等变换等方面有许多重要应用．但是，
光是这些关系还不足以解决问题，今天我们还要进一步
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1．△ABC中，求证cos2A+cos2B+cos2C= -1-4cosAcosBcosC． 证明：∵A、B、C为△ABC的三内角． ∴A+B+C=π，即C=π-(A+B)． ∴原式左边=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1 =2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1 =2cos(A+B)[cos(A+B)+cos(A-B)]-1 =4cos(A+B)cosAcosC-1 =-1-4cosAcosBcosC． 2. 求sin220°+cos250°+sin20°·cos50°的值． 分析：本题有两个平方式，遇到三角函数的平方式(包含三次，四 次式等)，常利用余弦的倍角公式作降次处理．
cos(α+β)- cos( α-β)=-2sinαsinβ．
若把这四个关系式整理一下，即可得到
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以上这四个公式的特征是把三角函数的积的形式 转化为三角函数的和、差的形式，我们把上述公 式称为三角函数的积化和差公式． 积化和差公式的功能可以把三角函数的一种形式 (积的形式)转化为另一种形式(和差的形式)，这种 转化可以使得一些我们无法解决的问题变成可能 解决的问题，它们在三角式的变换中有很重要的 作用．
把握它们的内在联系，寻求新的关系式．
(二)新课
正、余弦的和差角公式
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sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(1)
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsingβ(2)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(3)
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(4)