2.8电场能量

2)
导体球的电位为：


a
uv v E dr

q 2πa(1

2
)
故导体球的电容为
C

q

2πa(1
2)
或
We
v1 121E2dV1
v
2
1 2
2
E
2dV2

q2
4πa(1 2 )
内容小结
1. 电场能量 （1）孤立带电体
W 1 q q2 1 C 2 2 2C 2
1 2
(21
q1
12
q2 )
第三个点电荷q3从无穷远处移来，外力需克服
点电荷q1、q2的电场而作功，考虑到电场的叠加性
质，则有
q1
W 13 q3 23 q3

1 2
13
q3
31
q1


1 2
23

q3
32
q2

由点电荷q1，q2， q3构成的点电荷系统的能量为
W

1 2
n
i qi
i 1
带电系统的能量用电位系数表示为
W

1 2
n
i qi
i 1
N
i pijq j j 1
We

1 2
n i 1
n j 1
pij qiq j
带电系统的能量用电容系数表示为
W

1 2
n
i qi
i 1
N
qi ij j j 1
设体电荷分布在S和S’限定的区域V内，
面电荷分布在表面S上，该系统的能量为
We

1 2
dV 1
V
2
S SdS
将 We
uv D
1 2
和 S
V

uv D
nv代入上式，有
uv DdV

1
uv v
D ndS
2S
利用矢量恒等式 A1.4
uv
uv
1
a
2
O
【解】：（1）在两介质分界面上由边界条件 E1t E2t可得：
uuv uuv uv
E1 E2 Eer
由高斯定理得：Ñs uDv

d
uv S

q
2πr2 (1 2 )E q
（2）总的静电能量为
We

1 2
q

q2 4πa(1 2 )
E

q 2πr 2 (1
球的总电场能量 We
【解】：方法一：利用
We

1 2
iqi求解
本题为孤立金属球，故只有一项。
We

1 q 2

1q 2
uv v E dr
a
1q 2
Байду номын сангаас
a
q 4π0
r
2
dr

q2 8π0a
方法二：利用
We

v
1 2

0
E
2dV
求解
We
v
1 2

0
E
2dV

a
第二章 静电场
2.8电场能量与能量密度
主要内容
❖ 静电场的能量 ❖ 静电场的能量密度
学习目的
❖ 掌握静电场能量的求解
一、孤立带电体的电场能量
设想带电体上的电量q，是一些分散在无限远处的电荷在外力作用下
一点点搬到带电体上的，因此就搬运过程中，外力克服静电场力作的功，
就是带电体的电能。
U
设每次都搬运极少量的电荷∆qi，此过程可认为导 i
（2）导体系统
W

1 2
n
i qi
i 1
2. 能量密度
we

1 2
uv uv ED
1 E2
2
We

1 2
uv uv E DdV
V
We
1 2
n i 1
n
iji j
j 1
设电容器极板上的电荷量为±q，电压为U，则电容器储存的 静电能量为
We

1 2
qU

1 2
CU
2

q2 2C
2. 连续分布电荷的电场能量
对于体分布电荷，将其分割为无限个小体积元∆v，假设其体电荷 密度为ρ,则
qi vi
由前面分析点电荷q的过程类比可得：

v ndS

1
uv uv E DdV
2 S'
2V
电场能量储
令V 即 R
存在电场所 在空间。
有
We
1 2
uv uv E DdV
V
定义静电场的能量密度为单位体积的电场能量，即
we

1 2
uv uv ED

1 E2
2
【例1】：半径为a的金属球，所带电荷为q,求该孤立带电金属
体上的电势不变，设为i ，该过程中搬运电荷∆ qi所
做的功为
Wi iqi
图中一狭条 矩形的面积
O
qi
Q
整个过程中，带电导体储存的能量为 W Wi iqi
令 qi 0
W
idqi

1 2
q

q2 2C

1 C 2
2
二、带电导体系统的电场能量
1. 点电荷系统的能量
q2 q3
W123 W12 W

1 2
(21

q1

12

q2
)

1 2
13

q3

31

q1


1 2
23

q3

32

q2


1 2
[21

31


q1

12

32


q2

13

23


q3
]

1 2
3 1
i qi
i 1
2
3
则对于由n个点电荷构成的静电系统：
uv
uv uv uv
D ( D) D ( D) E D
1 2
uv
V DdV

1 2
V
uv
( D)dV

1 2
V
uv uv E DdV
1

uv D
uv dS

1
uv uv E DdV
2 SS'
Wi iqi
W Wi iqi
W 1 q
2
Wi i vi
W Wi ivi
W

V
1dV
2
体分布电荷 电场能量
同理，面分布电荷的能量为 线分布电荷的能量为
W s 12sdS W l 12ldl
三、静电场的能量密度
1 2

0
E
2

4πr
2
dr

a
1 2
0

q 4π o r 2
2

4πr 2dr
q2 8π 0 a
【例2】有一半径为a,带电荷量为q的导体球，其球心位于两种介
质的分界面上，此两种介质的介电常数分别为1 和 2 ，分界面 可视为无限大平面，求：
（1）球的电容； （2）总静电能。
第一个点电荷q1从无穷远处移来， W 0
q1
q2
第二个点电荷q2从无穷远处移来，外力克服点电荷q1的电场而作功
W 12 q2
同理，当已有点电荷q2，将点电荷q1从无穷远处移来，外力克服点 电荷q2的电场而作功
W 21 q1
由点电荷q1,q2构成的点电荷系统的能量为
W12

2V
1

uv D
v ndS

1

uv D
uv n 'dS

1
uv uv E DdV
2 S'
2S
2V
所以
We

1 2

uv D

v ndS

1
S'
2

uv D
uv n 'dS

1
S
2
uv E
uv DdV

1
V
2
uv v
D ndS
S
1

uv D