等积变形解决问题
九年级数学上册1.4用解决问题专项练习二等积变形面积问题新版苏科版043.doc
第一章第4节用一元二次方程解决问题专项练习二二、等积变形、面积问题2：1．某家庭农场要建一个长方形的养兔场，兔场的两边靠墙（两堵墙互相垂直，长度不限），另两边用木栏围成，木栏总长20米．（1）兔场的面积能达到100平方米吗？请你给出设计方案；（2）兔场的面积能达到110平方米吗？如能，请给出设计方案，若不能说明理．2．张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？3．如图，学校打算用16 m 的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠墙（如下图），面积是30 m2．求生物园的长和宽．4．现有一块长20cm，宽10cm的长方形铁皮，在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为56cm2的无盖长方体盒子，求出剪去的小正方形的边长？5．校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少米？6．要对一块长60米，宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化、设计方案如图所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的14，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．7．如图，在矩形ABCD中，BC=24cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm，（1）当x为何值时，点P、N重合；（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．8．如图，要建一个面积为150 m2的矩形养鸡场，为了节约材料，养鸡场的一边沿用原来的一堵墙，墙长为a m，其余三边用竹篱笆围成，已知竹篱笆的长为35 m.(1)如果a＝40，那么养鸡场的长和宽各为多少米？(2)如果a是一个可以变化的量，那么墙的长度a对所建的养鸡场有怎样的影响？9．如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方米．求花边的宽10．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=6m，AC=8m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC，BC 方向向点C匀速运动，已知点P移动的速度是20cm/s，点Q移动的速度是10cm/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的58？11．做一个底面积为24 cm2，长，宽，高的比为4∶2∶1的长方体．求：(1)这个长方体的长、宽、高分别是多少？(2)长方体的表面积是多少？12．把一边长为36cm的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．①要使折成的长方体盒子的底面积为676cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为880cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）13．在一块长，宽为的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案．（）小芳说，‘我的设计方案如图所示，平行于荒地的四边建造矩形的花园，花园四周小路的宽度均相同’，你能帮小芳算出小路的宽度吗？请利用方程的方法计算出小路的宽度．（）小华说，‘我的设计方案是建造一个中心对称的四边形的花园，并且这个四边形的四个顶点分别在矩形荒地的四条边上’，请你按小华的思路，分别设计符合条件的一个菱形和一个矩形，在图和图中画出相应的草图，说明所画图形的特征，并简述所画图形符合要求的理由．14．用如图所示矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形(阴影部分)．并制成一个长方体纸盒。
等积变形解题技巧
等积变形解题技巧
等积变形是解题过程中常用的一种技巧，主要涉及在物体形状变化过程中，体积保持不变的一种理想状态。
解题时，需要遵循以下步骤：
1. 确定物体形状变化前后的体积。
2. 理解等积变形的含义，即物体形状变化前后体积相等。
3. 根据等积变形原则，判断物体形状变化前后体积相等的条件。
4. 运用等积变形技巧，将问题转化为容易解决的形式。
5. 解答问题时，要细心分析每个步骤，确保思路清晰、计算准确。
以一个例子说明：有一个长方体容器，长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。
问如何通过等积变形将水全部导出？
首先，我们需要理解等积变形的含义，即物体的形状变化前后体积不变。
对于这个例子，我们可以考虑将长方体容器中的水倒入另一个容器，使水的高度与容器的底面相平。
然后，我们需要确定水在两个容器中的体积。
由于水的体积不变，所以我们可以计算出长方体容器中水的体积，即为倒入另一个容器的水的体积。
最后，我们可以通过计算来验证是否能够通过等积变形将水全部导出。
根据题目给出的数据，我们可以计算出长方体容器中水的体积为
30×20×6=3600立方厘米。
由于另一个容器的底面面积大于长方体容器的底面面积，所以水的高度会低于10厘米。
因此，我们可以将水全部导出。
以上是等积变形解题技巧的简单介绍和示例，希望能对您有所帮助。
等积变形问题归纳总结
等积变形问题归纳总结等积变形是数学中一个经典而重要的问题，涉及到几何和代数两个方面。
这类问题一般给定一个几何形状，然后要求找到一个变形的方法，使得该形状在变形后保持等面积不变。
在这篇文章中，我将对等积变形问题进行归纳和总结，介绍常见的等积变形方法及其应用。
一、等积变形的概念和意义等积变形是指通过某种方式改变一个几何形状，使得变形后的形状与原来的形状面积相等。
这个问题在工程、建筑、地理测量等领域有着广泛的应用。
等积变形的主要目的是在不改变面积的情况下，改变某个几何形状的外观或者其他性质。
在实际应用中，等积变形可以用于设计优化、曲面造型、地图绘制等方面。
二、等积变形的常见方法1. 平移变形：平移是最简单的等积变形方法之一。
平移变形是通过将几何形状整体平行地移动，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。
平移变形的关键是保持对称性，即移动后的形状与原来的形状在空间中仍具有相同的位置关系。
2. 旋转变形：旋转变形是通过将几何形状绕一个确定的旋转点旋转一定角度，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。
旋转变形的关键是确定旋转中心和旋转角度，以及保持旋转后的形状与原来的形状在空间中具有相同的位置关系。
3. 缩放变形：缩放变形是通过改变几何形状的尺寸，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。
缩放变形可以分为等比例缩放和非等比例缩放两种方式。
等比例缩放是将形状的所有尺寸同时按照相同的比例进行缩放；非等比例缩放是将形状的各个尺寸分别按照不同的比例进行缩放。
4. 拉伸变形：拉伸变形是通过改变几何形状的某个方向的尺寸，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。
拉伸变形可以在一维、二维和三维空间中进行。
在一维空间中，拉伸变形是指改变线段的长度；在二维空间中，拉伸变形是指改变面的某个方向的尺寸；在三维空间中，拉伸变形是指改变体的某个方向的尺寸。
5. 弯曲变形：弯曲变形是通过施加外力将几何形状弯曲，使得形状的外观发生变化，但面积保持不变。
等积变形定理及其应用Microsoft_Word_文档
等积变形定理及其应用对平面图形的面积，直观上要承认如下的两条性质： 1. 两个图形完全重合，则这两个图形的面积相等。
2. 把一个图形分成有限个小部分，则整个图形的面积等于所有这些小部分面积之和。
这两条性质，是面积割补的理论基础。
定理1.等底等高的两个三角形的面积相等。
推论1.三角形的一条中线平分这个三角形的面积.推论2.梯形中，以腰为一边，第三个顶点为梯形对角线交点的两个三角形面积相等。
反之，共底的两个三角形的面积相等.若第三个顶点落在底边的同侧，则连接第三顶点的直线与底边所在的直线平行.例1. 凸四边形ABCD 的两组对边中点连线EF , GH 相交于O . 求证: 1.2AEOG CFOH ABCD S S S +=证明: 连接OD , OA ，OB ，OC .则 ()12AEOG AOE AOG AOD AOB S S S S S ∆∆∆∆=+=+ ()12CFOH COF COH BOC COD S S S S S ∆∆∆∆=+=+ 所以 AEOG CFOH S S + ()11.22AOD AOB BOC COD ABCD S S S S S ∆∆∆∆=+++= 例2.如图，四边形ABCD 中，E 和F 分别为 对角线BD 和AC 的中点. 过E 、F 的直线交AB 和CD 分别于M 和N .已知△ABN 的面积为25平 方厘米，求△CDM 的面积. 答：25.解：因为E 是BD 的中点，则BMN DMN S S ∆∆=；因为F 是AC 的中点，则AMN CMN S S ∆∆=. 相加即得25.ABN CDM S S ∆∆== 例3. 右图中ABCD 是个直角梯形（90DAB ABC ∠=∠=）. 以AD 为一边向外作长方 形ADEF ，其面积为6.36平方厘米. 连结BE 交AD 于 P ，连结PC . 求图中阴影部分的面积是多少平方厘米？解：连接AE ，BD . 因为AD//BC ，则PDC PDB S S ∆∆=， 又AB//ED ，则EAD EBD S S ∆∆=.所以EPD PDC EPD PDB S S S S S ∆∆∆∆=+=+阴影EBD EAD S S ∆∆==116.36 3.1822ADEF S ==⨯=（平方厘米）. 例4.过梯形ABCD 的顶点A 作平行于腰 DC 的直线交下底BC 于E 点，交BD 于点 F . 已知三角形ABE 的面积等于15，求三角 形BCF 的面积. 答：15.解：因为F 为梯形ABED 对角线 AE 、BD 的交点，所以三角形ABF 的面积=三角形DEF 的面积. 连接DE . 三角形DEF 的面积=三角形CEF 的面积所以，三角形CBF 的面积=三角形ABE 的面积=15.例5. 在平行四边形ABCD 的边AB 和AD 上分 别取点E 和F ，使得线段EF 平行于对角线BD.求证：三角形BCE 与三角形CDF 等积. 证明：△BCE 的面积=△BDE 的面积 =△BDF 的面积=△C DF 的面积例6. 四边形ABCD 中，M 是AD 的中点， N 是BC 的中点.已知.ABNM DCNM S S = 求证：AD//BC .证明：连接AN ，DN .由于MN 为△AND 的一条中线，所以,AMN DMN S S ∆∆=又已知,ABNM DCNM S S = 所以 .ABN DCN S S ∆∆=（等量减等量其差相等）由于△ABN 与△DCN 的底边在一条直线BC 上，且BN=CN ，点A ，D 在BC 同侧，由定理2可得，AD//BC .例7．P 为五边形ABCDE 内一点，,3AB BP AB ⊥=厘米,4BP =厘米.又AE //,BP PD //BE ，ED //BC . 联结.CE 求三角形CDE 的面积.解：由,3,4,AB BP AB BP ⊥==得 ABP ∆面积为6.联结,PE BD ，则 ,ABP EBP EBD CDE S S S S ∆∆∆∆===所以1134 6.22CDE ABP S S AB BP ∆∆==⋅⋅=⨯⨯=答: 6平方厘米.例8. P 为三角形ABC 内一点,过P 作12//A B AB ,1212//,//.B C BC C A AC求证: 三角形111A B C 与三角形222A B C 的 面积相等.（考虑3种不同的证法） 提示: 连接A 1C 2, C 1B 2, B 1A 2.22PA B ∆面积=21PA B ∆面积=11PA B ∆面积同理可得22PA C ∆面积=12PA C ∆面积=11PA C ∆面积； 22PB C ∆面积=21PB C ∆面积=11PB C ∆面积；相加得三角形111A B C 与三角形222A B C 的 面积相等.例9.如图，四边形ABCD 中,对角线,AC BD 相交于E .,.AF CE BG DE ==如果四边形ABCD 的面积等于2009平方厘米，求EFG ∆的面积.提示：连接AG ，利用等积变形定理得EFG ∆的面积为2009平方厘米. 例10.在五边形12345A A A A A 中, 如果 135424153521//,//,//,A A A A A A A A A A A A4132//,A A A A 求证:5243//.A A A A分析：要证5243//.A A A A只需234A A A ∆面积=534A A A ∆面积. 但4132//A A A A ，有234A A A ∆面积=231A A A ∆面积但3521//,A A A A 有231A A A ∆面积=251A A A ∆面积， 又 2415//,A A A A 有251A A A ∆面积=451A A A ∆面积； 注意到1354//,A A A A 所以451A A A ∆面积=534A A A ∆面积. 因此，234A A A ∆面积=534A A A ∆面积，所以5243//.A A A A例11. 已知ABCDEFG 是凸七边形. 证明: 如果//,//,//,AC EF BD FG CE GA//,//DF AB EG BC 和//FA CD ,那么//.GB DE分析:要证//.GB DE 只需证BDG ∆面积=BEG ∆的面积.因为//,BD FG 有BDG ∆面积=FDB ∆的面积; 由//,DF AB 有FDB ∆的面积=ADF ∆的面积; 由//FA CD ,有ADF ∆的面积=ACF ∆的面积; 由//,AC EF 有ACF ∆的面积=ACE ∆的面积; 由//,CE GA ,有ACE ∆的面积=GCE ∆的面积由//EG BC ,有GCE ∆的面积=GBE ∆的面积,因此，BDG ∆面积=GBE ∆的面积.故得证//.GB DE例12. 如图所示，正方形ABCD 的面积为36 cm 2，正方形EFGH 的面积为256 cm 2，三角形ACG 的面积为27 cm 2，则四边形CDHG 的面积为 cm 2.（第17届华杯赛初赛网络版试题）答：77解：由条件知，正方形ABCD 的边长为6cm. 正方形EFGH 的边长为16 cm. 连接EG ，则45,ACE CEG ∠==∠所以AC//EG . 因此ACGE 是梯形， 所以27==∆∆ACG ACE S S .即27=EC ⨯⨯621，所以EC = 9，因此CH =916-=7，因为四边形CDHG 是个梯形， 所以四边形CDHG 的面积 =7727)166(=⨯+（cm 2）. 定理2. 凸四边形ABCD 的对角线AC , BD 相交于O . 则.ABD CBD S AOS CO∆∆=EFAD E F证明: 由共边定理,得AOD AOBCOD COBS S AO k S CO S ∆∆∆∆===, 所以,AOD COD AOB COB S kS S kS ∆∆∆∆== 相加得 ()AOD AOB COD COB S S k S S ∆∆∆∆+=+ 所以.AOD AOB COD COB S S k S S ∆∆∆∆+=+ 即.ABD CBD S AOk S CO∆∆==特别地, 由ABD CBD S S ∆∆=可以得出结论AO=CO .为用面积方法证明线段相等 提供了新思路.例13. 右图中, 正方形ABCD 的面积为840平方厘米，AE =EB ，BF =2FC ，DF 与EC 相交于G . 则四边形AEGD 的面积为 平方厘米.（第17届华杯赛决赛小高网络版试题6）答: 510解. 连结DE , EF , 则△DEC 的面积=420. △EBC 的面积=210 .△EFC 的面积=13⨯△EBC 的面积13=⨯210=70.所以4206701DEC EFC S FG GD S ∆===，所以6.7DG FD = △DGC 的面积=66140120.77DFC S ∆⨯=⨯=所以 四边形AEGD 的面积=四边形AECD 的面积-△DGC 的面积630120510.=-= 例14如图所示，直角三角形ACB 的两条直角边 AC 和BC 的长分别为14 cm 和28 cm ，CA 和 CB 分别绕点A 和B 点旋转 90至DA 和EB . 若DB 和AE 相交于点P ，求三角形P AB 的ABC DEP面积.（第17届华杯赛决赛初一网络版试题12）答：56.解：易知，45,DCA BCE ∠=∠=90,ACB ∠=所以，DCE 是一条直线.延长DA ，EB 相交于H . 则.DH EH ⊥12828421144232ABE ADEAH BES PB DP S AD EH ∆∆⨯⨯====⨯⨯，因此 44.437PB PB DB DP PB ===++而141498.2ADB ADC S S ∆∆⨯=== 所以449856.77PAB DAB S S ∆∆=⨯=⨯=例15．在△ABC 的边AB ，BC 和CA 上分别取点R ，P ，Q ，使得线段AP ，BQ 和CR 相交于一点M .证明：如果,,AMQ AMR BMR BMP CMP CMQ S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===和那么M 是△ABC 三条中线的交点.证明：已知条件中给出的面积，我们通过右图中所示的S 1，S 2和S 3来表示. 因为△ARM 和△BRM 高相同， 所以12.S ARS RB = 类似可得13232,2S S AR S S RB +=+ 也就是12S AR S RB ==132322S S S S ++，由此推出 ()()12321322,S S S S S S +=+ ()3120,S S S ⇒-=因为30,S > 所以S 1=S 2，即AR=RB ，也就是CR 是△ABC 的一条中线.同理类似可证AP 和BQ 也是△ABC 的中线.因此M 是△ABC 三条中线的交点.例16. 如图，梯形ABCD 中，过对角线的交点O 引梯形两底的平行线分别交腰AD 、BC 于点M 和N . 求证：OM=ON.解：如图，连接MB ， 有NBD BOC AOD BMD S S S S ∆∆∆∆=== 在四边形MDNB 中， 因为NBD BMD S S ∆∆=，所以ON = OM .（思考：进一步可证2.ADN CBO S S ∆∆=）例17.在凸四边形ABCD 中，延长边AB 到1B ，使1BB AB =；延长BC 到1C ，使1CC BC =；延长CD 到1D ，使1DD CD =；延长DA 到1A ，使.1AA DA =请你证明：四边形1111D C B A 的面积是四边形ABCD 面积的5倍.证明： 由下左图，连接11,,,CA CB AD设12,.ABCACDS s Ss ==则1112,BB C Ss =1122,A DD Ss =所以11BB C S +11122()2A DD ABCD Ss s S =+=……①同理由上右图，连接11,,,C D BA BD 设34,.ABDBCDSs Ss ==则1132,A AB Ss =1142,C CD Ss =所以 11A AB S+11342()2C CD ABCD Ss s S =+=……②① + ②得 11BB C S+11A DD S+11A AB S +114C CD ABCD SS =所以 1111A B C D S =11(BB C S +11A DD S+11A AB S+11)5.C CD ABCD ABCD SS S +=例18． 如图，在直角ABC ∆的两直角边AC 、BC 上分别作正方形ACDE 和 CBFG . 连结AF 、BE 分别交 BC 、AC 于Q ，P . 求证：CP = CQ . 证明：注意AG = AC + CG = D C + CB = BD因为ABC BCE BPD ∆=∆=∆ ABC ACF AQG ∆=∆=∆所以AQG BPD ∆=∆ 即21BD ×CP =21AG ×CQ . 由于AG = BD ，所以CP = CQ.例19. 如右图所示, 四边形ABCD 的面积为6, 点M , N , P , Q 分别为各边的中点. 点O 为ABCD 内的一点. 连接OM 并延长至E 点, 使得2OM ME =, 同样的方式可得点F , G , H . 则四边形EFGH 的面积为 . 答: 27.解. 连接,,,MN NP PQ QM , 因为点,,,M N P Q 分别为四边形ABCD 各边的中点, 所以四边形MNPQ 的面积为四边形ABCD 面积的一半, 即四边形MNPQ 的面积为 3.因为2ME OM =且2NF ON =, 容易得到三角形OEF 的面积是三角OMN 的面积的9倍.同理可得三角形OFG 的面积是三角形ONP 的面 积的9倍；三角形OGH 的 面积是三角形OPQ 的面积 的9倍；三角形OHE 的面积是三角形OQM 的面积的9倍.所以四边形EFGH 的面积是四边形MNPQ 的面积9倍, 即四边形EFGH 的面积为27.例20．如图, 在五边形ABCDE 中, M ，N 分别是AB ，AE 的中点. 四边形AMPN ，△CPM ， △ CPD ，△DPN 的面积分别是9，6，9，6. 求五边形ABCDE 的面积.解：易知30.AMCDN S =连接MN ，设,MNP S x ∆=则:66:9x =推得 4.x =所以94 5.AMN S ∆=-=连接AC ，AD ，分别交MN 于F ，G . 由15//MCD NCD S S MN ∆∆==⇒CD . 在四边形AMCN 中， 51,462AMN CMN S AF FC S ∆∆===+ 同理可证1.2AG DG = 连接DF ，则6915.FCD MCD S S ∆∆==+=由于1,7.52AFD AF S FC ∆=⇒=，22.5.ACD S ∆= 因此3022.57.5.AMC AND AMCDN ACD S S S S ∆∆∆+=-=-= 由于M ，N 分别是AB ，AE 的中点，,,BMC AMC DNE AND S S S S ∆∆∆∆== 7.5.BMC DNE AMC AND S S S S ∆∆∆∆+=+=所以 ABCDE AMCDN BMC DNE S S S S ∆∆=++=30 +7.5 = 37.5. 例21. 平行四边形ABCD 的边AD 上 任取一点N ，过N 作平行于对角线AC 、 BD 的直线分别交边AB 、CD 于点M 和K.证明：三角形NMB 与NKC 等积.11。
等积变形问题
等积变形问题引言等积变形问题是数学中的一个重要概念，涉及到几何图形的形状变化和面积的关系。
在这个问题中，我们考虑一个固定面积的图形，在保持面积不变的情况下，改变图形的形状。
这个问题有着广泛的应用背景，例如在工程设计、物理学和经济学中都能找到对等积变形问题的研究。
等积变形问题的定义等积变形问题是指在保持图形面积不变的前提下，通过改变图形的尺寸或者形状，使得其它属性发生相应的改变。
通常情况下，我们会固定一个属性（例如周长、直径等），然后通过调整另外一个属性（例如宽度、长度等）来实现对图形进行等积变形。
等积变形问题的解法1. 基于比例关系的解法在等积变形问题中，最常见且直观的解法就是基于比例关系。
假设我们有一个矩形，并且知道其面积为A。
如果我们要将这个矩形进行等积变换，并且保持其宽度不变，那么我们可以通过调整其长度来实现。
根据矩形的面积公式，我们可以得到长度与宽度之间的比例关系：长度/宽度 = A/宽度。
通过这个比例关系，我们可以计算出新的长度。
同样地，如果我们要保持矩形的长度不变，而调整其宽度来实现等积变换，我们也可以利用比例关系进行计算。
这种基于比例关系的解法适用于各种图形，包括矩形、圆形、三角形等。
2. 基于微积分的解法除了基于比例关系的解法外，我们还可以使用微积分方法来解决等积变形问题。
这种方法通常需要使用到函数的导数和积分等概念。
考虑一个简单的例子：一个圆形区域的面积为A。
现在我们要将这个圆形区域进行等积变换，并且保持其半径不变。
我们可以通过求解一个方程来找到新的半径。
设原始圆的半径为r，新圆的半径为R。
根据圆的面积公式，我们有πr^2 = πR2，即r2 = R^2。
由此可得R = ±r。
根据几何意义可知，R不能取负值，因此新圆的半径为r。
这意味着，在保持圆的半径不变的情况下，进行等积变换得到的仍然是一个圆形。
3. 基于几何变换的解法除了基于比例关系和微积分方法的解法外，我们还可以使用几何变换来解决等积变形问题。
小学五年级奥数 等积变形
奥数拓展：等积变形（一）故事导入：有一个富翁留了一块三角形的土地给两个儿子，两个儿子要求平分这块地，这可伤透了他们的脑筋，因为他们不知道怎样去测量、平分。
同学们，你们能想出多少种方法将这块土地平分成2个面积相等的三角形吗？根据这个问题，你能得出什么结论？结论一：。
（二）即学即练：2.如图，把△ABC的底边BC四等分，那么甲、乙两个三角形的面积谁大，为什么？如图.三角形ABC中.D是AB的中点.点E、F.G、H把BC平均分成五份.阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？AB£FG H C三）思维探索：（平行线间的等积变形）如下图，AACD和厶BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边，那么△ACD和厶BCD的面积关系是怎样的？为什么？四）即学即练：1.如图，在梯形ABCD中共有8个三角形，其中面积相等的三角形有哪几对?2.如下圏，在梯形ABCP中，梯形舫CD的面釈是ZIABC的面視是1也AAKD的面秩是瘗少？（五）结论总结：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。
同时也告诉我们:一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。
为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等；（3）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
（六）例题梳理【例1】等积变形的等分点应用1.如图，在直角三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，如果△AED的面积是30平方厘米.求AABC2.如图，A为三角形DE边上的中点，BF为CD边上的三等分点，如果三角形ABC的面积为5,求三角形ABD和三角形ACE的面积。
3.在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E,交DA延长线于F,若三角形ADE的面积是1,求三角形BEF的面积。
初一等积变形题解题方法
初一等积变形题解题方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：初一等积变形是初中数学中的一个重要知识点，也是中考中常考的内容之一。
等积变形是指在等式两侧同时乘以（或除以）相同的数（非零）得到新的等式，等式依然成立。
初一等积变形题目一般比较简单，但是要掌握一些解题方法才能高效解题。
下面就给大家介绍一下初一等积变形题解题方法。
要熟练掌握等式的性质。
等式的性质有交换性、结合性、分配律等。
通过这些性质可以将等式进行变形，从而更好地解题。
要能够灵活运用等性变形规律。
在等式中，常见的等式变形规律有消去规律、配方规律等。
要能够根据题目的要求，合理运用这些规律进行等式变形。
接着，要注意等式的两侧同时进行变形。
等式的两侧必须同时进行变形，不能只对一侧进行操作，否则等式就会不成立。
在进行等积变形题目时，一定要保持等式的平衡性。
要善于利用未知数进行代入。
有些等积变形题目中会涉及到未知数，此时可以通过代入的方法，将未知数代入到等式中，从而更好地解题。
要注意化简过程中的乘法运算。
在进行等积变形题解题时，常常会涉及到乘法运算，要注意运算的准确性和顺序，避免出现计算错误。
要进行检验答案。
在解完等积变形题目之后，一定要进行答案的检验。
将得到的答案代入原等式中进行验证，确保答案正确，避免因计算错误而导致答案不准确。
初一等积变形题目在解题过程中需要注意一些方法和技巧。
只有掌握了这些方法和技巧，才能更好地解答等积变形题目，提高解题效率。
希望通过本文的介绍，大家能够更好地掌握初一等积变形题解题方法，取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：初一的数学学习主要围绕着数学的基础知识展开，其中等积变形是其中一个比较重要的知识点。
等积变形是数学中的一个重要概念，它是指通过对等式两边进行一些操作，使得等式的两边仍然等积的过程。
初一阶段的数学学习主要是帮助学生建立数学思维和分析问题的能力，等积变形题是一个很好的训练这些能力的题型。
今天我们就来探讨一下初一等积变形题解题方法。
等积变形篇
等积变形篇丁志浩物体的形状虽然改变了，但是其面积或体积仍然保持不变．这类问题我们可以称为等积变形问题．在等积变形问题中，变化前后的体积或面积相等，往往是列方程所需的重要的相等关系．1.面积不变问题例1将图（1）三角形纸片沿虚线叠成图（2），原三角形图（1）的面积是图（2）（粗实线图形）面积的1.5倍，已知图（2）中阴影部分的面积之和为1，求重叠部分的面积.解析：首先要看清题意，其中图（2）中粗实线图形面积就是图（3）中三个角上的小三角形面积和重叠部分面积的总和，这个题目中的等量关系我们可以从图中不难看出，就是整个三角形的面积是三个角上小三角形(从图（3）中看)面积和重叠（从图（2）中看）部分面积的总和的1.5倍.如果设重叠部分面积为x，将折叠还原后，则原三角形的面积是（2x+1），图（2）中粗实线部分面积是（x+1）,等量关系为：原三角形的面积=1.5粗实线部分面积解：设重叠部分面积为x.根据题意，得1.5(x+1)=2x+1.解得x=1.所以重叠部分的面积为1.例2如图2，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路走到终点B，他共走了多少米？分析：如果我们直接解这个问题，这里有重复部分，是个十分麻烦问题，现在需要对这个问题转化，可以看作用一米宽的拖把把这块区域托一遍，我们以走直线方式拖地，那么拖把走过区域是长方形，长方形的宽是一定的，是一米.而长方形的长就是拖把走过路程.长方形的面积就等于回字形面积，直接就可以算出拖把走过的路程是56米.而这正是人要走的路程.这时候我们可以看到这和拖把是否走直线没有关系了，只要拖把的宽度一定，它走过的路程就定下来，就是56米.我们也可以这样来看：所有小路连在一起可以组成一个宽1米的长长的长方形，因为长方形场地“充满”了小路，所以小路的面积等于长方形场地的面积．解：设小路的总长度为x米.根据题意，得x×1=8×7．解得x=56．所以从入口A处走到终点B，至少要走56米．2.体积不变问题例3 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水，且水足够多）向一个内底面积为131× 131mm2，内高为81mm的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了多少？（结果保留π）分析：因为铁盒里水是满的，所以水的体积就等于铁盒的容积.根据长方体的体积公式可以计算出水的体积是131×131×81 mm3 ，圆柱形玻璃杯中减少的的体积为圆柱的底面积乘以水下降的高度.显然玻璃杯里倒掉的水的体积和长方体铁盒里所装的水的体积相等，所以等量关系为：玻璃杯里倒掉的水的体积=长方体铁盒的容积.解：设玻璃杯中水的高度下降了xmm.根据题意，得π·(90÷2)2x=131×131×81.解得π44.686x. 经检验，它符合题意．所以玻璃杯中水的高度下降了π44.686mm.例4将一个长、宽、高分别为15厘米、12厘米和8厘米的长方体钢块锻造成一个底面（正方形）边长为12厘米的长方体零件钢坯，试问是锻造前的长方体钢块表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯表面积大？请你进行比较．分析：锻造前长方体钢块的体积为15×12×8cm3，锻造后长方体零件钢坯体积为12×12×它的高cm3.虽然钢块的形状发生了变化，但是钢块的体积没有变化．因此可得长方钢块体的体积=长方体零件钢坯体积,如果设长方体零件钢坯高为x厘米,得15×12×8=12×12×x.显然可以算出它的高=10厘米,但问题到此并没有结束,最终要比较它们的表面积的. 锻造前长方体钢块的表面积为为2×(12×15+15×8+12×8)平方厘米,锻造后长方体零件钢坯的表面积是2×(12×12+12×10+12×10)平方厘米.解：设锻造后的长方体零件钢坯的高为x厘米.根据题意，得5×12×8=12×12×x．解得10x=．所以锻造后的长方体零件钢坯表面积为：2(121212101210)768⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．而锻造前的长方体钢块表面积为：2(1512158128)792⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．所以锻造前的长方体钢块表面积比锻造后的长方体零件钢坯表面积大．例5 一种圆筒状包装的，如图3所示，其规格为“20cm×60m”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别是3.2cm、4.0cm，则这种保鲜膜的厚度约为多少厘米？（π取3.14，结果保留两位有效数字）分析：当我们把圆筒状包装的保鲜膜展开时原来的形状可以看成长方体，根据长方体的体积公式可以计算出此时的体积为20ⅹ6000ⅹ保鲜膜的厚度，需要说明的是20 cm指展开后鲜膜的宽，也是展开前圆筒状包装的高，60 m是保鲜膜展开后的长度(单位要统一).圆筒状时可以看成圆柱体，我们要注意这个圆柱是空心的，计算时不能忘了减去空心部分．展开前后形状虽然改变了，但体积不变.即圆筒状包装体积=长方体的体积.解：设这种保鲜膜的厚度为x cm.根据题意，得223.2202060002x ⎡⎤4⎛⎫⎛⎫π-=⨯⎢⎥⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．解得0.00075x≈．所以这种保鲜膜的厚度约为0.00075cm．例6 一张桌子有一个桌面和四条桌腿，做一张桌面需要木材0.03m3，做一条桌腿需要木材0.002m3，现做一批这样的桌子，恰好用去木材3.8m3，共做了多少张桌子？分析：解决这个问题关键是找出一个能表示实际问题全部意义的相等关系，我们要注意的是：一张桌子有一个桌面和四条腿，那么整张桌子所需的木材的体积是四条腿的和一个桌面的，如果设共做桌子X张，我们就容易用X表示出做桌腿所需木材的体积是4ⅹ0.002X m3 ，做桌面所需的木材的体积是0.03X m3 .因此这个问题中就有这样的相等关系：做桌面所需木材的体积+做桌腿所需木材的体积=3.8m3解：设共做了x张桌子.根据题意,得0.003x+4×0.002x=3.8.解得x=100.所以共做100张桌子.同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，当倒满铁盒时玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？1、分析：变形前钢坯的体积等于变形后所有圆柱形机轴的总体积2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2。
等积变形的问题.ppt
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动脑筋
一个圆锥形沙堆，底面积是 25.12平方米，高是1.8米。用这 堆沙在10米宽的公路上铺3厘米 厚的路面，能铺多少米？
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反馈练习
1、把一个棱长是8厘米的正方体铁 块熔铸成一个底面直径是10厘米 的圆柱形铁块，这个圆柱形铁块的 高大约是多少厘米？
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复习：
1、圆柱、圆锥、长方体和正方体的体积 公式;
2、计算: (1)圆柱：d=4dm h=10dm v=? (2) 圆锥： v=15.7立方分米
S底=3.14平方分米 高=? （3）长方体：V=150.72立方米 宽=10米 高=3米 长=？
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1、理解 “等积变形”的数 学问题，并掌握其解题思路；
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谈一谈：
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2、能熟练解决相关习题。
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例题
一个圆柱形铁块，底面半径10厘米，高5 厘米，把它熔铸成一个底面积是157平方 厘米的圆锥形铁块，圆锥的高是多少？
思考：
1、题中的变量和不变量是什么？
2、由两量可得到怎样的等量关系？
3、如何根据等量关系于 圆锥的体积
圆柱的体积：3.14×10²×5＝1570（立方厘 米）
等积变形的应用——两道赛题的解法
等积变形的应用——两道赛题的解法赛题一：给定一个三角形ABC，给定它的边长a，b，c，要求把它变形成一个等腰直角三角形，且其新的三边为x，x，y。
解题思路：由等积变形定理可知，三角形ABC与新三角形ABC满足：$$\frac{a}{\sin A} = \frac{x}{\sin A'} = \frac{x}{\sin B'} = \frac{y}{\sin C'}$$解出新的三角形边长x，y的差分方程为：$$a\cdot\sin A = x\cdot\sin B = x\cdot\sin C = y\cdot\sinA'$$解得：$$x = \frac{a \cdot \sin A}{\sin B} = \frac{a \cdot \sinA}{\sin C}$$$$y = \frac{a \cdot \sin A}{\sin A'}$$赛题二：给定一个三角形ABC，给定它的边长a，b，c，要求把它变形成一个三角形，且其新的三边为x，y，z。
解题思路：由等积变形定理可知，三角形ABC与新三角形ABC满足：$$\frac{a}{\sin A} = \frac{x}{\sin A'} = \frac{y}{\sin B'} = \frac{z}{\sin C'}$$解出新的三角形边长x，y，z的差分方程为：$$a\cdot\sin A = x\cdot\sin A' = y\cdot\sin B' = z\cdot\sin C'$$解得：$$x = \frac{a \cdot \sin A}{\sin A'}$$$$y = \frac{a \cdot \sin A}{\sin B'}$$$$z = \frac{a \cdot \sin A}{\sin C'}$$。
等积变形（附答案）
三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积三角形面积==底×高÷底×高÷2 2这个公式告诉我们：这个公式告诉我们：三角形面积的大小，三角形面积的大小，三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．取决于三角形底和高的乘积．取决于三角形底和高的乘积．如如果三角形的底不变，果三角形的底不变，高越大高越大高越大((小)，三角形面积也就越大三角形面积也就越大((小)．同样若三角形的高不变，底越大高不变，底越大((小)，三角形面积也就越大，三角形面积也就越大((小)．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，一个三角形在面积不改变的情况下，一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．③若两个三角形的高③若两个三角形的高((或底或底))相等，其中一个三角形的底其中一个三角形的底((或高或高))是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．它们所对的顶点同为A 点，(也就是它们的高相等也就是它们的高相等))那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△同时也可以知道△ABC ABC 的面积是△的面积是△ABD ABD 或△或△AEC AEC 面积的3倍．例如在图中，△例如在图中，△ABC ABC 与△与△DBC DBC 的底相同的底相同((它们的底都是BC)BC)，它所对的两个顶点，它所对的两个顶点A 、D 在与底BC 平行的直线上，平行的直线上，((也就是它们的高相等也就是它们的高相等))，那么这两个三角形的面积相等．例如图中，△例如图中，△ABC ABC 与△与△DBC DBC 的底相同的底相同((它们的底都是BC)BC)，△，△，△ABC ABC 的高是△的高是△DBC DBC 高的2倍(D 是AB 中点，AB=2BD AB=2BD，，有AH=2DE)AH=2DE)，，则△则△ABC ABC 的面积是△的面积是△DBC DBC 面积的2倍．倍．上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．例1、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．、用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．方法2：如右图，先将BC 二等分，分点D 、连结AD AD，得到两个等积三角，得到两个等积三角形，即△形，即△ABD ABD 与△与△ADC ADC 等积．然后取AC AC、、AB 中点E 、F ，并连结DE DE、、DF DF．以而．以而得到四个等积三角形，即△得到四个等积三角形，即△ADF ADF ADF、△、△、△BDF BDF BDF、△、△、△DCE DCE DCE、△、△、△ADE ADE 等积．等积．例2、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法方法 1 1 1：如下左图，将：如下左图，将BC 边八等分，取1∶3∶4的分点D 、E ，连结AD AD、、AE AE，从而得到△，从而得到△，从而得到△ABD ABD ABD、△、△、△ADE ADE ADE、△、△、△AEC AEC 的面积比为1∶3∶4．DE DE，从而得到三个三角形：△，从而得到三个三角形：△，从而得到三个三角形：△ADE ADE ADE、△、△、△BDE BDE BDE、△、△、△ACD ACD ACD．其面积比为．其面积比为1∶3∶4．当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．例3、如图，在梯形ABCD 中，中，AC AC 与BD 是对角线，其交点O ，求证：△，求证：△AOB AOB 与△COD 面积相等．面积相等．证明：∵△证明：∵△ABC ABC 与△与△DBC DBC 等底等高，等底等高，∴S △ABC =S △DBC又∵又∵ S S △AOB =S △ABC —S △BOCS △DOC =S △DBC —S △BOC ∴S △AOB =S △COD ．例4、如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形．改成一个等积的三角形．分析分析 本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A 移到CB 的延长线上的A ′处，△′处，△A A ′BD 与△与△ABD ABD 面积相等，从而△A ′DC 面积与原四边形ABCD 面积也相等．这样就把四边形ABCD 等积地改成了三角形△了三角形△A A ′DC DC．问题是．问题是A ′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A 作一条和DB 平行的直线与CB 的延长线交于A ′点．′点．解：①连结BD BD；；②过A 作BD 的平行线，与CB 的延长线交于A ′．′． ③连结A ′D ，则△，则△A A ′CD 与四边形ABCD 等积．等积．例5、如图，已知在△、如图，已知在△ABC ABC 中，中，BE=3AE BE=3AE BE=3AE，，CD=2AD CD=2AD．若△．若△．若△ADE ADE 的面积为1平方厘米．求三角形ABC 的面积．的面积．解法1：连结BD BD，在△，在△，在△ABD ABD 中∵ BE=3AE BE=3AE，，∴ S △ABD =4S △ADE =4(=4(平方厘米平方厘米平方厘米))． 在△在△ABC ABC 中，∵中，∵CD=2AD CD=2AD CD=2AD，，∴ S △ABC =3S △ABD =3=3××4=12(4=12(平方厘米平方厘米平方厘米))．解法2：连结CE CE，如右图所示，在△，如右图所示，在△，如右图所示，在△ACE ACE 中，中，∵ CD=2AD CD=2AD，，∴ S △ACE =3S △ADE =3(=3(平方厘米平方厘米平方厘米))．在△在△ABC ABC 中，∵中，∵BE=3AE BE=3AE∴ S △ABC =4S △ACE=4=4××3=12(3=12(平方厘米平方厘米平方厘米))．例6、如下图，在△、如下图，在△ABC ABC 中，中，BD=2AD BD=2AD BD=2AD，，AG=2CG AG=2CG，，BE=EF=FC=解：连结BG BG，在△，在△，在△ABG ABG 中，中，∴ S △ADG +S △BDE +S △CFG例7、如右图，、如右图，ABCD ABCD 为平行四边形，为平行四边形，EF EF 平行AC AC，如果△，如果△，如果△ADE ADE 的面积为4平方厘米．求三角形CDF 的面积．的面积．解：连结AF AF、、CE CE，∴，∴，∴S S △ADE =S △ACE ；S △CDF =S △ACF ；又∵；又∵AC AC 与EF 平行，∴平行，∴S S △ACE =S △ACF ；∴ S △ADE =S △CDF =4(=4(平方厘米平方厘米平方厘米))．例8、如右图，四边形ABCD 面积为1，且AB=AE AB=AE，，BC=BF BC=BF，，DC=CG DC=CG，，AD=DH AD=DH．求．求四边形EFGH 的面积．的面积．解：连结BD BD，将四边形，将四边形ABCD 分成两个部分S 1与S 2．连结FD FD，有，有S △FBD =S △DBC =S 1 所以S △CGF =S △DFC =2S 1．同理同理 S S △AEH =2S 2，因此S △AEH +S △CGF =2S 1+2S 2=2(S 1+S 2)=2)=2××1=21=2．．同理，连结AC 之后，可求出S △HGD +S △EBF =2所以四边形EFGH 的面积为2+2+1=5(2+2+1=5(平方单位平方单位平方单位))．例9、如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若S △ADE=1ADE=1，求△，求△，求△BEF BEF 的面积．的面积．解：连结AC AC，∵，∵，∵AB//CD AB//CD AB//CD，∴，∴，∴S S △ADE =S △ACE又∵又∵AD//BC AD//BC AD//BC，∴，∴，∴S S △ACF =S △ABF而 S △ACF =S △ACE +S △AEF ∶S △ABF =S △BEF +S △AEF ∴ S △ACE =S △BEF ∴S △BEF =S △ADE =1=1．．。
5年级等积变形
等积变形有一个富翁留了一块三角形的土地给两个儿子，两个儿子要求平分这块地，这可伤透了他们的脑筋，因为他们不知道怎样去测量、平分。
同学们，你们能想出多少种方法将这块土地平分成个面积相等的三角形吗？根据这个问题，你能得出什么结论？结论一：。
思维探索例1：你有什么方法将任意一个三角形分成6个面积相等的三角形？如图，把△ABC的底边BC四等分，那么甲、乙两个三角形的面积谁大，为AB的面积是多少？如果△AC的面积是,那么AAB的面积是多少?如图，已知是BC的中点，是C的中点，是AC的中点。
已知三角形的面积是平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少平方厘米？A思维探索例：（平行线间的等积变形）如下图，△和厶夹在一组平行线之间，且有公共底边，那么△和厶的面积关系是怎样的？结论拓展：夹在平行线间的一组同底三角形面积相等例：如图，在梯形中共有个三角形，其中面积相等的三角形有哪几对？即学即练如下图，在梯形A中，梯形A的面积是，AA的面积融会贯通例：如图，在直角三角形A中，D、E分别是A、A的中点，如果△AED的面积是即学即练如下图，在AA中，D、E是所在边的中点，如果AA的面积是,那么△DE的面积是多少？例：如图，A和DE都是长方形，A的长是厘米，的长是厘米。
那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？即学即练在边长为厘米的正方形中有一点，将点分别和四条边的中点相连，如下图，求阴影部分的面积。
练习册知识导航一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。
同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。
为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：（）等底等高的两个三角形面积相等；（）底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的的顶点是同一个点或在与底平行精彩文档如图, 是直角的直线上，这两个三角形面积相等；（）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
等积变形问题
一元一次方程的应用
.
1
商店对某种商品进行调价，决定按原价的九 折出售，此时该商品的利润率是15℅,已知这种 商品每件的进货价为1800元，求每件商品的原 价。 售价=成本×（1+利润率）
×
(
2
0 2
0
) 2x
=300×300×90
方程化简为x =810
解得 x≈258
x
90
四、解方程，求出未知数的值；
五、检验求得的值是否正确和符
300 合实际情形，并写出答案.
.
11
300
精讲
例题
一、分析题意，找出等量关系 ：
例 如图，用直径为200毫 米的圆钢，锻造一个长、
圆解钢：体设积应截= 取长的方圆体钢毛长坯为体x积毫，米，根据题意
x
90
二、用含未知数x的一次式
300 表示有关的量；
.
9
300
精讲
例题 200
分
析
思考3：如何根据等量关系“圆钢体 积=长方体毛胚的体积”列出方程？
根据等量关系列出方程，得：
•
(200 2
)2
•
x
=300×300×80
x
90
三、根据等量关系列出方
300 程；
.
10
精讲
例题
200
分
析
思考4：如何解这个方程？
18
一圆柱形容器的内半径为3厘米，内壁高30厘 米，容器内盛有15厘米高的水。现将一个底 面半径为2厘米、高18厘米的金属圆柱竖直放 入容器内，问容器的水将升高多少米？
小学数学 几何问题之等积变形问题 完整版题型训练 PPT带答案带练习
练习6
6、右图ADEF为正方形,BD的长为9,FC的长为4,求右图沿阴影长方形的 四周作四个正方形,四个正方形的面积之和为68平方厘米,其阴影的长方形 的周长是16厘米,求阴影部分的面积。
设正方形ADEF边长为a 4×9=36=6×6 a=6 三角形ABC面积=（6+9）×（6+4）÷2=75
练习7 7、右图沿阴影长方形的四周作四个正方形,四个正方形的面积 之和为68平方厘米,其阴影的长方形的周长是16厘米,求阴影部 分的面积
设阴影长方形长与宽分别为a,b a×a+b×b=130÷2=65 a+b=22÷2=11 经尝试a,b分别为4,7 阴影长方形面积=4×7=28（平方厘米）
ห้องสมุดไป่ตู้
课后作业
练习1
1、如图,图形甲与乙的面积差又可以看做是长方形 ABCD与（ 三角形 ）的差
ABF
练习2
2、将右图通过平移的方法变成一个长方形
小学数学几何问题之 等积变形
例1 下图(单位:厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起: 求阴影部分的面积
20-5=15(厘米) (15+20)×8÷2=140(平方厘米)
例2
下图中,矩形ABCD的边AB为4厘米,BC为6厘米,三角 形ABF比三角形EDF的面积大9平方厘米，求ED的长。
4×6-9=15（平方厘米） EC=15×2÷6=5（厘米） ED=5-4=1（厘米）
设阴影长方形长与宽分别为a,b a×a+b×b=68÷2=34 A+b=16÷2=8 经尝试长与宽分别为5,3 阴影面积=3×5=15（平方厘米）
平行四边形ABCD面积--三角形BCE面积=10（平方 厘米） 三角形BCE面积=10×8÷2=40（平方厘米） 平行四边形ABCD面积=40+10=50（平方厘米）
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（水没有溢出），求圆锥的底面积?
解设：圆锥的底面积是x平方厘米。
1 3 x×10=15×12×2
x=108 答：圆锥的底面积是108平方厘米。
4.一个圆柱形容器的底面半径是4分米，高8分米，里面盛满水，
把水倒在棱长是8分米的正方体容器中，水深多少分米？
x=12
答：零件的高是12厘米。
2.一个圆锥形沙堆，底面半径是4m，高是1.5m，用这堆沙在5
m宽的小路上铺4cm厚的路面，可以铺几米？
解设：可以铺x米. 4cm = 0.04m 1
5×0.04x = 3 ×3.14×4²×1.5 x=125.6
答：可以铺125.6米。
做一做
3.在长为15厘米，宽为12厘米的长方体水箱中，有10厘米深的
小结：例2题中的我们运用到了“等积变形”的数学思想，物体变化前后体积相等，你喜欢哪种做法？
5分钟后，比谁能正确运用等积变形解决问题
做一做
1.有一段钢可做一个底面直径4厘米，高3厘米的圆柱形零件。
如果把它改制成底面积是9.42平方厘米的圆锥形零件，零件的高
是多少厘米？
解设：零件的高是x厘米 1 ×9.42x=3.14×(4÷2)²×3 3 3.14x=3.14×12
面上升0.1分米，量得个长方体的长为3.14分米，宽为2分米，它的高是多少？
解设：它的高是 x dm。 25.12÷3.14÷2=4（dm） 3.14×2x = 3.14×4²×0.1
3.一个长方体木块，长50cm，宽x40=cm0.8，高30cm，将其加工成一个最大的圆锥形木块，
圆锥形木块的体积是多少立方厘米？
解设：水深x分米。 8×8x=3.14×4²×8
x=6.28 答：水深6.28分米。
议一议
归纳总结：
运用方程解决“等积变形”实际问题一般步骤： 1.分析题意，找出相等量； 2.设未知数，列出方程； 3.根据等式性质解方程； 4.检验并写答。 注意：单位换算，熟练体积公式。
练一练 口答竞赛
1.将一个底面直径为4cm，高为6cm的圆柱形钢坯锻造成一个与它底面积相等的圆锥形钢 坯，则圆锥形钢坯的高为（ 18 ）cm。 2.将一个底面直径为4cm，高为6cm的圆锥形蜡烛熔铸成一个与它底面积相等的圆柱形蜡 烛，则圆柱形蜡烛的高为（ 2 ）cm。 3.一个盛有水的圆柱形玻璃缸，底面积是30cm²，把一个圆锥形铁块完全浸没在水中，水 面上升了3cm（水没有溢出），这个圆锥形铁块的体积是（ 90 ）cm³。 4.有一个棱长为1dm的正方体容器，盛满水后又将水倾倒入一个棱长为2dm的正方体容器 中，水面高度为（0.25）dm。 5.用一堆呈圆锥形状的石料去铺路，已知圆锥形石料堆的底面积为30㎡，高为3m，路面 宽为5m，长为100m，则铺成的路面有（0.06 ）m厚。
（2）.若乙鱼缸的高未知，其容积与甲鱼缸相同，怎样求乙鱼缸的高？（ 6×6×6÷9÷8=3(dm) ）；可否 用方程解？（ 9×8х=6×6×6）。
3.例2中，卸车前后沙土的（ 体积 ）不变，只是形状发生了改变，可根据不变量求变化量，先求不变量 （5×4×1.5=30（dm³））再求变化量（30÷2÷⅓=45（㎡））；也可以由不变量列等量关系; （ 沙堆体积）= （ 车箱容积 ），设所求量为x，列方程解答（ ⅓x×2=5×4×1.5 ）。
运用方程解决“等积变形”实际问题
授课教师：靳亚明
学习目标
1. 巩固常见立体图形的体积计算方法。 2. 运用体积公式解决实际问题。 3. 转化体积，体会等积变数学思想的实际
应用。
自学指导
认真阅读导学案，思考：
1.物体体积是指物体所占（空间）的大小；容器所能容纳物体的体积叫做（容积）；容积的计算方法与体积 （相同）。
⅓×3.14×（40÷2）²×30=12560cm³ ⅓× 3.14×（30÷2）²×50=11775cm³ ⅓× 3.14×（30÷2）²×40=9420cm³
答：圆锥形木块的体积是12560cm³。
练一练 笔算竞赛
（拓展）在一个圆柱形储水桶里，把一段半径是5cm的圆钢全部放入水中，水面就上升 9cm；把圆钢竖着拉出水面8cm长后，水面就下降4cm。求圆钢的体积。
练一练 笔算竞赛
1.一个底面周长31.4cm高10cm的圆柱铁块，熔铸成一个底面积是75c㎡的圆锥，圆锥的高
是多少cm？
解设：圆锥的高是 x cm。 31.4÷3.14÷2=5（cm）
1 ×75x = 3.14×5²×10
3
x = 31.4
2.一个盛水的圆柱形水桶,内底面周长为25.12分米，当一个长方形的物体投入水中时，水
2.长方体体积计算公式（ V=abh）或（V=Sh）；正方体体积（V=a³）或（V=Sh） ；圆柱体体积（ V=πr²h）或 （ V=Sh ） ；圆锥体体积计算公式（V= ⅓πr²h ）或（ V= ⅓Sh ）。
思考（1）例1中，甲鱼缸的容积计算方法（6×6×6=216(dm³)）；乙鱼缸的容积计算方法（9×8×3=216(dm³)）； 比较发现两鱼缸（ 体积相等 ）。
3.14×5²×8÷4=157（cm²） 157×9=1413（cm³） 答：圆钢的体积是1413cm³。