高二数学北师大选修同步精练：第二章 平摆线和渐开线

平摆线和渐开线练习

1给出下列说法：

①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；

②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；

③在求圆的平摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；

④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．

其中正确的说法有( )．

A ．①③

B ．②④

C ．②③

D ．①③④

2平摆线=2sin =21cos x t t y t (-)⎧⎨(-)

⎩，(0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )．

A ．(π－2,2)

B ．(3π＋2,2)

C ．(π－2,2)或(3π＋2,2)

D ．(π－3,5)

3如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( )．

A ．3π

B ．4π

C ．5π

D ．6π

4我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线()()

sin ,1cos x r y r ϕϕϕ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为( )． A ．=sin ,=1cos x r y r ϕϕϕ(-)⎧⎨(-)

⎩(φ为参数)

B ．=1cos ,=sin x r y r ϕϕϕ(-)⎧⎨(-)

⎩(φ为参数)

C ． ,1x rsin y r cos ϕϕ=⎧⎨=(-)

⎩(φ为参数)

D ．1cos ,sin x r y r ϕϕ

=(-)⎧⎨=⎩(φ为参数)

5半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标为__________．

6已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数

π

2

ϕ=，则点P的坐

标为________．

7已知平摆线的生成圆的直径为80 mm，写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．

8已知圆的渐开线

cos sin,

sin cos

x r

y r

ϕϕϕ

ϕϕϕ

=(+)

⎧

⎨

=(-)

⎩

(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点的坐标为

(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．

参考答案

1 答案：C 对于一个圆，只要半径确定，渐开线和平摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．

2答案：C 由y ＝2得2＝2(1－cos t )，∴cos t ＝0.

∵0≤t ≤2π，∴π=

2t 或3π2. ∴x 1＝ππ2sin 2

2⎛⎫- ⎪⎝⎭＝π－2， x 2＝332πsin π2

2⎛⎫- ⎪⎝⎭＝3π＋2. ∴交点的直角坐标为(π－2,2)或(3π＋2,2)．

3答案：C 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的

14圆周长，长度为π2

，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2

；GH 是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 4答案：B 关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换．所以要写出平摆线方程关于直线y ＝x 的对称曲线方程，只需把其中的x 与y 互换．

5 答案：6k π(k ∈Z ) ∵r ＝3，∴平摆线的参数方程为=33sin =33cos x y ϕϕϕ-⎧⎨-⎩

，(φ为参数)． 把y ＝0代入，得cos φ＝1.

∴sin φ＝0，∴φ＝2k π(k ∈Z )．

∴x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z )．

6 答案：(π，2) 由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为=2cos sin =2sin cos x y ϕϕϕϕϕϕ(+)⎧⎨(-)⎩

，(φ为参数)． 当π=2

ϕ时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为(π，2)． 7答案：解：∵平摆线的生成圆的半径r ＝40 mm ，∴此平摆线的参数方程为=40sin =401cos x t t y t (-)⎧⎨(-)

⎩，(t 为参数)，它一拱的拱宽为2πr ＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r ＝2×40＝80(mm)．

8 答案：解：把已知点(3,0)代入参数方程得3=cos sin 0=sin cos r r ϕϕϕϕϕϕ(+)⎧⎨(-)⎩，，解得=0=3.r ϕ⎧⎨⎩

，所以基圆的面积S ＝πr 2＝π×32

＝9π.