7.数列的综合应用之一(数列与函数的综合)

数列的综合应用

数列综合应用题型分类:

一、数列与函数的综合;

二、数列与不等式的综合；

三、数列与平面解析几何的综合；

四、数列与极限、数学归纳法、导数等知识的综合。

数列与函数的综合应用

——数列的综合应用之一

一、典例培析

1、已知函数2*1

()(,,)ax f x a b N c R bx c

+=

∈∈+是奇函数，在区间(0,)+∞上()(1)f x f ≥恒成立，且(1)1f ≥

（1）求函数()f x 的解析式；

（2）是否存在这样的区间D ：①D 是()f x 定义上的一个子区间；②对任意12,,x x D ∈当 1212120,|()||()|x x x x f x f x ><<且时有，若存在，求出区间D ；若不存在，说明理由。

（3）若数列{}n a ，{}n b 满足关系：111

,()12n n n n n b a a f a b ++==-，当13a =时，求数列{}

n b 的通项公式，且当{}n b 的前n 项之积1

128

n T ≥时，求n 的最大值。

2

、已知函数()2)f x x =

<-

（1）求()f x 的反函数1

()f x -；

（2）设1*11

1

1,()()n n a f a n N a -+==-∈，求n a ； （3）设22

2121,

n n n n n S a a a b S S +=+++=- 是否存在最小正整数m ，使得对任意*

n N ∈，都有25

n m

b <成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由。

3、定义：称

12n

n

p p p +++ 为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”。若已知数列{}n a 的前

n 项的“均倒数”为

1

21

n +， （1）求{}n a 的通项公式；

（2）设21

n

n a C n =+，试判断并说明*1()n n C C n N +-∈的符号；

（3）设函数2()421

n a f x x x n =-+-+是否存在最大的实数λ，当x λ≤时，对一切*

n N ∈，

都有()0f x ≤成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由。

4、设数列{},{}n n a b 满足：1122336,4,3a b a b a b ======且数列1{}n n a a +-是等差数列，{2}n b -是等比数列。

（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；

（2）是否存在*

k N ∈，使1

02

k k a b <-<

？若存在，求出k ；若不存在，说明理由。 5、已知函数()log (01)a f x x a a =>≠且，若数列*122,(),()(),24()n f a f a f a n n N +∈ 成等差数列，

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）若01a <<，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求lim n n S →∞

；

(3)记n m S →表示这个数列的第n 项到第m 项共1m n -+项的和，求证：

,,n n m p p m S S →+→+*(2,,,)r r m S p r n m n p r N →+=+∈且成等比数列；

（4）若2a =，设()n n n b a f a =?对任意*

n N ∈，都有1()n b f t ->，求t 的范围。

6、已知*111

1()23n S n N n

=++++∈ ，设211()n n f n S S ++=-，试确定实数m 的取值范围，使得对于任意2n ≥，不等式：2

2111()[log (1)][log ]20

m m f n m m ->--恒成立。

7、已知数列{}n a 中，11a =，且点*1(,)()n n P a a n N +∈在直线10x y -+=上， （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若函数*12111

()(2,)n

f n n n N n a n a n a =+++≥∈+++ ，求函数()f n 的最小值； （3）若1

n n

b a =

，n S 表示数列{}n b 的前n 项的和，试问：是否存在关于n 的整式n g ，使得121(1)n n S S S S -+++=- 对一切2n ≥的自然数n 恒成立？若存在，写出()g n 的解析式

并证明之；若不存在，则说明理由。

8、已知函数()12x f x x =

-的反函数为1()f x -，数列{}n a 满足11()n n a f a -+=且11

3

a =，又正项数列中{}n

b 中，16b =，点1(,)n n n A b b +在过点(0,1)，且以(1,1)为方向向量的直线l

上，

（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；

（2）对任意的正整数n

，不等到式12(1)(1)(1)n a a a ≤+++ 恒成立，求正数a 的取值范围。

9、已知函数1

()()42

x f x x R =

∈+， （1）试证函数()f x 的图象象关于点（11

,24

）对称； （2）数列{}n a 的通项公式为*(

)(,1,2,,)n n

a f m N n m m

=∈= ，求数列{}n a 的前m 项和m S ；

（3）设数列{}n b 满足：2111,3n n n b b b b +=

=+，设12111111

n n T b b b =++++++ ，若（2）中的m S 满足对任意正整数2n ≥，m n S T <恒成立，试求m 的最大值。

【小结】上述1——9题都利用了函数的单调性．．．．．．．．．求最值．．．的思想来研究数列与函数中的含参不等式问题（如恒成立问题、存在问题）。与函数结合时，有的利用单调性的定义法．．．．．．．研究数列的单调性；有的利用直接法．．．研究数列的单调性；有的利用单调性的性质．．．．．．研究数列的单调性；有的利用“作差法．．．”、“作商法．．．

”研究数列的单调性……

10、已知函数2

*()()2

x f x a N ax =

∈-，又存在非零的自然数m ，使得(),f m m = 1

()f m m

-<-成立

（1）求()f x 的表达式；

（2）设{}n a 是各项非零的数列，若12311()4()

n n f a a a a a =++++ 对任意*

n N ∈成立，

求满足条件的数列{}n a 的一个．．

通项公式； （3）在（2）的条件下，数列{}n a 是否唯一确定？请给出判断，并予以证明。 【分析】第（2）问中巧妙转化为“已知n S 与n a 的关系，求n a ”。

11

、已知()f x ={}n a 前n 项和n S ，点11(,)n n n P a a +-在曲线()y f x =上，且11,0n a a =>，

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 的前n 项和n T ，且满足：

2

1221

1683n n n n T T n n a a ++=+--，求1b 的值，使得数列{}n b 是等差数列；

（3

）求证：*

11)()2

n S n N >∈。

【分析】该题第（2）问中构造了数列{}43n T

n -为等差数列；

第（3）问中利用了“2111

(1)2(1)n n n n n

<<+-”的放缩法证明不等式。

12、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*111,31()n n a S a n n N +==--∈

（1）证明：数列{3}n a +是等比数列；

321n n S a n n k -+=-

（2）对*

k N ∈，设()f n = 求使不等式 2log (3)2n a n k +=

2cos()[(2)()]0m f m f m π-≤成立的正整数m 的取值范围。 【分析】该题利用了分类讨论思想．．．．．．并结合了数列归纳法．．．．．加以证明

13、设21

()(0)ax bx f x a x c

++=

>+

为奇函数，且min |()|f x ={}n a 与{}n b 满足如下关系：11()1

2,,21

n n n

n n n f a a a a a b a +--===+ （1）求()f x 的解析式；

（2）证明：当*

n N ∈时，有1()3n n b ≤。

【分析】该题利用了型如“2

1n n a a +=”两边同时取对数求数列通项；同时利用了二项式定．．．．

理（或数学归纳法）．．．．．．．．．证明不等式。

14、已知函数2

()log ((0,3))3x

f x x x x

=+∈- （1）求证：()(3)f x f x +-为定值；

（2）记21*11()(1)()22

n

n n i i

S n f n N -==+∈∑，求n S ；

（3）若函数()f x 的图象与直线1,2x x ==以及x 轴围成的封闭图形的面积为S ，试探究()S n 与S 的大小关系。

【分析】该题利用了倒序相加法．．．．．

求()S n ，求图象面积时，利用了图象的对称性转化为特殊图形求面积并比较了大小关系

15、已知函数1()2f x x

=+

，{}n a 数列中，*11,()()n n a a a f a n N +==∈，当a 取不同

的值时，得到不同的数列{}n a ，如果当1a =时，得到无穷数列1，3，717,37 ；当1

2

a =-时，得到有穷数列1

,02

-。 （1）求a 的值，使得30a =；

（2）设数列{}n b 满足*111

,()()2

n n b b f b n N +=-=∈，求证：不论a 取{}n b 中的任何数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；

（3）求a 的取值范围，使得当2n ≥时，都有7

33

n a <<。

结束

16、对任意函数()f x ，x D ∈其工作原理如下： ①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出10()x f x =； ②若1x D ?，则数列发生器结束工作；若1x D ∈， 则将1x 反馈输入端，再输出21()x f x =，并依此规 律继续下去，现定义42

()1

x f x x -=+， （1）若输入049

65

x =

，则由数列发生器产生数列{}n x ， 请写出数列{}n x 的所有项；

（2）若要数列产生器产生一个无穷的常数数列，试求 输入的初始数据0x 的值；

（3）若输入0x 时，产生器产生的无穷数列{}n x 满足： 对任意正整数n ，均有1n n x x +<，求0x 的取值范围。

三、强化训练